Derivadas parciais, gradientes e valor maximo

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Ensino Superior
5. Derivadas Direcionais, Gradientes e Pontos Críticos
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
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Derivadas Direcionais
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis f(x,y) são consideradas na direção do eixo x (fx) ou do eixo y (fy).
Quando se considera uma direção qualquer no domínio de f(x,y), ou seja, no plano xy, têm-se a derivada direcional que vale:
Foi considerada a direção do vetor unitário u, u = cosqi + senqj 
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Derivadas Parciais
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Derivadas Parciais
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Gradiente de uma função de várias variáveis
O segundo termo do produto escalar da derivada direcional é o vetor gradiente.
Este vetor fornece a direção e sentido no qual ocorre a maio variação das curvas de níveis da função de duas variáveis.
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Curvas de Nível
 A curva
Decréscimo mais rápido de f
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1) Se f(x,y) = 5x2 + 3y, ache o gradiente e o valor da função no ponto (1,2). Ache tb a taxa de variação de f(x,y) na direção de 0,25p neste ponto.
2) A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa retangular situada no plano xy é determinada pela expressão: T(x,y) = x2 + y2 .
(a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) na direção e no sentido que fazem um ângulo de 0,33p com o eixo x positivo. (b) ache a direção e o sentido em que a taxa de variação no ponto (-3,1) é máxima.
Exercícios
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	Máximo e Mínimo Local:
a) f(a,b) é um valor máximo local de f(x,y), se f(a,b) > f(x,y) para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado em (a,b).
b) f(a,b) é um valor mínimo local de f(x,y), se f(a,b) < f(x,y) para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado em (a,b).
 Nestes dois casos fx = fy = 0
Pontos Críticos
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Máximos e Mínimos
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Máximos e Mínimos
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No Ponto de Sela.também fx = fy = 0
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Pontos Críticos de f(x,y)
	Critérios:
(a) Máximo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx < 0 
(b) Mínimo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx > 0 
(c) Ponto de sela: fxxfyy – (fxy)2 < 0 
(d) Teste inconclusivo: fxxfyy – (fxy)2 = 0 
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1) Encontrar os valores extremos locais da função
 f(x,y) = xy - x2 - y2 - 2x - 2y+ 4. 
2) Encontrar os valores extremos locais da função
	 f(x,y) = xy. 
Exercícios
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