trabalho andreia

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LICENCIATURA DE CIÊNCIAS EMPRESARIAIS 
MÉTODOS QUANTITATIVOS II - 2ºANO 
2º SEMESTRE 
 
 
 
TRABALHO PRÁTICO 
2018/2019 
 
 
 
 
Andreia Cunha nº 8170094 
Catarina Duarte nº 8170118 
Dalila Correia nº 8170132 
Diana Meireles nº 8170450 
 
 
 
 
Docente: Teófilo Melo 
Sumário 
O presente trabalho tem como propósito conhecer a aplicabilidade da 
programação linear numa empresa que fabrica blazers. 
Inicialmente elaborou-se um problema real, de modo a facilitar as escolhas da 
empresa e escolher a melhor solução ótima. O objetivo é perceber qual a melhor forma 
de utilizar os ativos da empresa, de forma a esta maximizar os lucros. Desta forma, 
utilizou-se o Método das Duas Fases e, posteriormente, uma interpretação económica 
deste modelo, analisando a atividade no ponto ótimo, as restrições e os coeficientes da 
função objetivo. 
Por fim, realizou-se a análise de Pós-Otimização, alterando os termos 
independentes, a função objetivo e introdução de uma nova restrição, de forma a 
verificar quais as vantagens para a empresa. 
 
 
Índice 
Introdução ................................................................................................................................................. 4 
Formalização do Problema ................................................................................................................... 5 
Resolução do problema ........................................................................................................................ 6 
Resolução pelo método das duas fases ....................................................................................... 6 
Interpretação económica ................................................................................................................ 10 
Análise da atividade no ponto ótimo: ........................................................................................... 10 
Análise das restrições: ................................................................................................................... 11 
Análise dos coeficientes da função objetivo ............................................................................... 11 
Análise Pós-Otimização ...................................................................................................................... 11 
Alteração dos termos Independentes ......................................................................................... 11 
Alteração dos coeficientes da função objetivo ......................................................................... 12 
Introdução de novas restrições .................................................................................................... 13 
Análise de Sensibilidade ..................................................................................................................... 13 
Anexo-Solver do Excel .................................................................................................................... 16 
 
 
 
 
 
 
Introdução: 
No âmbito da Unidade Curricular Métodos Quantitativos II foi proposta a 
realização de um trabalho, de modo a aplicar todos os conhecimentos adquiridos ao 
longo do semestre com a respetiva aplicação a um problema da vida real. 
A investigação operacional consiste na investigação ou análise das operações 
realizadas numa organização. A metodologia e as técnicas da investigação operacional 
podem ser aplicadas a todo o tipo de operações e atividades, bem como em todo o tipo 
de organizações ou instituições. Permite melhorar a eficiência com que as operações 
ou atividades são desempenhadas, melhorando o desempenho global da organização. 
O presente trabalho consiste na construção (e realização) de um problema da 
vida real para a aplicação do Método Simplex- técnica das variáveis artificiais e/ou o 
algoritmo Simplex Dual, posteriormente, na elaboração de uma análise de Pós-
Otimização. 
Inicialmente, formulou-se o problema através do Solver do Excel, de modo a 
encontrar a solução ótima. Numa segunda fase, procedeu-se à resolução do problema 
pelo método das duas fases e a sua interpretação económica. 
Por fim, procedemos à análise de Pós-otimização, com a alteração de um termo 
independente, da função objetivo e introduzimos uma nova restrição (sendo ela de uma 
encomenda) de forma a encontrar uma melhor solução ótima admissível. 
 
 
Formalização do Problema: 
A empresa “Vestir Bem” é uma empresa especializada na produção de blazers 
para o sexo feminino. A produção de blazers divide-se em três marcas diferentes, 
sendo elas: Dutti, Penny e Tommy. A administração da empresa, notou que os ativos 
disponíveis não estavam a ser utilizados de maneira eficiente na produção, de tal 
forma decidiu recorrer a um problema de maximização de forma a maximizar os lucros 
da empresa. 
 Cada blazer passa por várias etapas no seu processo de produção. 
Primeiramente é realizado a fase do corte, de seguida a fase da costura, fase do 
controlo, fase de engomar e por fim, fase de embalamento. Para cada fase, a empresa 
dispõe de um certo número de funcionários. Na fase do corte, a empresa dispõe de 2 
funcionários, para a costura 4 funcionários, para o controlo 1 funcionário, para engomar 
1 funcionário e para a embalagem disponibiliza 1 funcionário. O horário de trabalho de 
cada funcionário é de 8 horas por dia, 5 dias por semana, ou seja, durante um mês 
para a fase do corte são utilizadas 320 horas, na fase da costura 640 horas, 160 horas 
para cada uma das restantes fases (controlo, engomar e embalagem). 
Na produção de 1 blazer Dutti são precisos 15 minutos no corte, 1 hora e 30 minutos 
na costura, 18 minutos no controlo, 15 minutos para engomar e 9 minutos para a 
embalagem. 
Na produção de 1 blazer Penny é necessário 14 minutos no corte, 1 hora na costura, 
18 minutos no controlo, 15 minutos para engomar e 9 minutos na embalagem. 
Por fim, na produção de 1 blazer Tommy necessita-se de 12 minutos no corte, 1 hora 
na costura, 12 minutos no controlo, 15 minutos para engomar e 9 minutos na 
embalagem. 
O lucro de 1 blazer Dutti é de 60€, de Penny é de 70€ e da Tommy é 100€. 
 
 
Resolução do problema: 
Variáveis de decisão: 
X1- número de blazers Dutti 
X2- número de blazers Penny 
X3- número de blazers Tommy 
 
Maximizar Z= 60x1 + 70x2 + 100x3 Função objetivo 
 Sujeito a: 0.25x1 + 7/30 x2 + 0.2 x3≤ 320 Restrição do corte 
 1.5x1 + x2 + x3 = 640 Restrição da costura 
 0.3x1 + 0.3 x2 + 0.2 x3 ≥ 160 Restrição do controlo 
 0.25x1 + 0.25 x2 + 0.25x3 ≤ 160 Restrição de engomar 
 0.15x1 + 0.15 x2 + 0.15x3 ≤ 160 Restrição da embalagem 
 x1, x2, x3 ≥ 0 Restrição de não negatividade 
 
Para determinar a solução ótima e os valores das variáveis que maximizam o problema 
real recorreu-se ao Solver do Excel (ver anexo I). 
 
 Resolução pelo método das duas fases: 
O método das duas fases é um método que consiste na resolução de problemas com 
variáveis artificiais. Este processo de resolução de problemas que incluem variáveis 
artificiais tem duas fases distintas. 
 
Forma standard: Forma aumentada: 
Max. Z= 60x1 + 70x2 + 100x3 
 s.a. 0.25x1 + 7/30 x2 + 0.2 x3 ≤ 320 
 1.5 x1 + x2 + x3 = 640 
 0.3 x1 + 0.3 x2 + 0.2 x3 ≥ 160 
 0.25 x1 + 0.25 x2 + 0.25 x3 ≤ 160 
 0.15 x1 + 0.15 x2 + 0.15 x3 ≤ 160 
 x1, x2, x3 ≥ 0 
 
Na 1º fase, o principal objetivo é a anulação das variáveis artificiais. Esta fase traduz-
se na minimização de uma função objetivo auxiliar que é a soma de todas as variáveis 
artificiais do problema. 
Forma aumentada: 
Max. Z= 60x1 + 70x2 + 100x3 
 s.a. 0.25x1 + 7/30 x2 + 0.2 x3 + x4 = 320 
 1.5 x1 + x2 + x3 + x5 = 640 
 0.3 x1 + 0.3 x2 + 0.2 x3 - x6 + x7 = 160 
 0.25 x1 + 0.25 x2 + 0.25 x3 + x8 = 160 
 0.15 x1 + 0.15 x2 + 0.15 x3 + x9 = 160 
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7,
x8, x9 ≥ 0 
1º Fase: 
Min Z= x5 + x7 Max -Z = - x5 – x7 
 ⇔ - Z + x5 + x7 = 0 
Eq (0) - Z + x5 + x7 = 0 
Eq (2) 1.5 x1 + x2 + x3 + x5 = 640 
Eq (3) 0.3 x1 + 0.3 x2 + 0.2 x3 - x6 + x7 = 160 
 
 Eq (0) – Eq (2) – Eq (3) 
(- Z + x5 + x7) – (1.5 x1 + x2 + x3 + x5) – (0.3 x1 + 0.3 x2 + 0.2 x3 - x6 + x7) = - 800 
⇔ -Z – 1.8x1 – 1.3 x2 – 1.2 x3 + x6 = - 800 
 
1º Fase: Na primeira fase o que se pretende atingir é a anulação das variáveis 
artificiais. 
 
Notas: Não se colocam variáveis de excesso na primeira iteração, na base; 
Utiliza-se função objetivo auxiliar; 
 
Teste de coeficiente mínimo: X4: 320/ (1/4) =1280 
 X5:640/ (3/2) =426,67 
 X7:160/ (3/10) =533,33 
 X8:160/ (1/4) =640 
 X9:160/ (3/20) =1066,67 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 0 
-Z 0 -9/5 -13/10 -6/5 0 0 1 0 0 0 -800 
X4 1 1/4 7/30 1/5 1 0 0 0 0 0 320 
X5 2 3/2 1 1 0 1 0 0 0 0 640 
X7 3 3/10 3/10 1/5 0 0 -1 1 0 0 160 
X8 4 1/4 1/4 1/4 0 0 0 0 1 0 160 
X9 5 3/20 3/20 3/20 0 0 0 0 0 1 160 
Sendo o menor valor 
dos positivos, o X5 sai 
da base, por sua vez, 
entra na base o X1. 
https://pt.wiktionary.org/w/index.php?title=%E2%87%94&action=edit&redlink=1
https://pt.wiktionary.org/w/index.php?title=%E2%87%94&action=edit&redlink=1
Notas: X1 / (3/2); (-1/4) X1 + X4; (9/5) X1 +Z; (-3/10) X1 + X7; (-1/4) X1+ X8; (-3/20) X1+ X9 
Teste de coeficiente mínimo: X4: (640/3) / (1/15) =3200 
 X1: (1280/3) / (2/3) =640 
 X7:32/ (1/10) =320 
 X8: (160/3) / (1/12) =640 
 X9:96/ (1/20) =1920 
 
 
Notas: Terminou a 1ºfase, porque encontramos a seguinte situação: Z=0, todos os 
coeficientes de Z são iguais e/ou maiores a zero e na base não existe variáveis 
artificiais. 
 
Preparação para a 2ºfase: 
 
 
 
 
 
 
 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 1 
-Z 0 0 -1/10 0 0 6/5 1 0 0 0 -32 
X4 1 0 1/15 1/30 1 -1/6 0 0 0 0 640/3 
X1 2 1 2/3 2/3 0 2/3 0 0 0 0 1280/3 
X7 3 0 1/10 0 0 -1/5 -1 1 0 0 32 
X8 4 0 1/12 1/12 0 -1/6 0 0 1 0 160/3 
X9 5 0 1/20 1/20 0 -1/10 0 0 0 1 96 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 2 
-Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 
X4 1 0 0 1/30 1 -1/30 2/3 -2/3 0 0 192 
X1 2 1 0 2/3 0 2 20/3 -20/3 0 0 640/3 
X2 3 0 1 0 0 -2 -10 10 0 0 320 
X8 4 0 0 1/12 0 0 5/6 -5/6 1 0 80/3 
X9 5 0 0 1/20 0 0 1/2 -1/2 0 1 80 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X6 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 0 
Z 0 -60 -70 -100 0 0 0 0 0 
X4 1 0 0 1/30 1 2/3 0 0 192 
X1 2 1 0 2/3 0 20/3 0 0 640/3 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X8 4 0 0 1/12 0 5/6 1 0 80/3 
X9 5 0 0 1/20 0 1/2 0 1 80 
Sendo o menor valor 
dos positivos, o X7 sai 
da base, por sua vez, 
entra na base o X2. 
Notas: Na preparação da 2ºfase largamos as variáveis artificiais, estas já 
desempenharam a sua função. Substituímos a função objetivo auxiliar pela função 
objetivo inicial. Como se encontra na base o X1 e X2, o próximo passo é colocar 
coeficientes da função objetivo respetivos ao X1 e X2 a zero, através do método de 
condensação de Gauss-Jordan. 
Notas: 60X1 + Z 
Notas: 70X1 + Z 
Ainda temos valores negativos, passamos então para a segunda fase: 
 
 
 
 
 
 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X6 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 1 
Z 0 0 -70 -60 0 400 0 0 12800 
X4 1 0 0 1/30 1 2/3 0 0 192 
X1 2 1 0 2/3 0 20/3 0 0 640/3 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X8 4 0 0 1/12 0 5/6 1 0 80/3 
X9 5 0 0 1/20 0 1/2 0 1 80 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 2 
-Z 0 0 0 -60 0 -300 0 0 35200 
X4 1 0 0 1/30 1 2/3 0 0 192 
X1 2 1 0 2/30 0 20/3 0 0 640/3 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X8 4 0 0 1/12 0 5/6 1 0 80/3 
X9 5 0 0 1/20 0 1/2 0 1 80 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X
9 
2ºM 
 
 
 
 
 0 
-Z 0 0 0 -60 0 -300 0 0 35200 
X4 1 0 0 1/30 1 2/3 0 0 192 
X1 2 1 0 2/30 0 20/3 0 0 640/3 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X8 4 0 0 1/12 0 5/6 1 0 80/3 
X9 5 0 0 1/20 0 1/2 0 1 80 
Teste coeficiente mínimo: X4: 192/ (2 /3) =288 
 X1: (640 /3) / (20 /3) =32 
 X2: 320/ (-10) =-32 
 X8: (80 /3) / (5/6) =32 
 X9: 80/ (1/2) =160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas: X8 / (5/6); (-1/2) X8 + X9; (10) X8 + X2; (-20/3) X8 + X1; (-2/3) X8+ X4; (300) X8+ Z 
 
Teste coeficiente mínimo: X4: (512 /3) / (-1/ 30) =-5120 
 X1: 0/0=0 
 X2: 640/ 1=640 
 X6: 32/ (1/ 10) =320 
 X9: 64/0= --- 
 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 0 
-Z 0 0 0 0 0 300 720 0 54400 
X4 1 0 0 0 1 1/3 -2/5 0 544/3 
X1 2 1 0 0 0 0 -8 0 0 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X3 4 0 0 1 0 10 12 0 320 
X9 5 0 0 0 0 0 -3/5 1 64 
Notas: X3 / (1/10); (-1) X3 + X2; (1/30) X3 + X1; (30) X3 + Z; 
Solução ótima: Z=54400 
(X1, X2, X3, X4, X5 X6 X7 X8 X9) = (0,320,320,544/3,0,0,0,0,64) 
 
 Interpretação económica 
 Análise da atividade no ponto ótimo: 
Analisando os valores das variáveis originais do problema principal (X1;X2;X3): 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X6 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 0 
-Z 0 0 0 -30 0 0 360 0 44800 
X4 1 0 0 -1/30 1 0 -4/5 0 512/3 
X1 2 1 0 0 0 0 -8 0 0 
X2 3 0 1 1 0 0 12 0 640 
X6 4 0 0 1/10 0 1 6/5 0 32 
X9 5 0 0 0 0 0 -3/5 1 64 
Sendo estes os dois menores 
números positivos, optou-se pela 
saída de X8, visto que X1 entrou 
para a base anteriormente. Por 
sua vez entra na base X6. 
Sendo o menor dos valores 
positivos, excluindo o 0, o X6 
sai da base, por sua vez entra 
na base o X3. 
 X1=0, no ponto ótimo de exploração a empresa deverá optar por não produzir 
nenhum blazer do tipo Dutti 
 X2=320, deverão ser produzidos 320 blazers Penny 
 X3=320, deverão ser produzidos 320 blazers Tommy, 
 Lucro = 54400 
Análise das restrições: 
Analisando os valores das variáveis introduzidas nas restrições do problema principal 
(X4, X8 X9): 
 X4= (544/3), ou seja, indica que sobraram, aproximadamente, 181 horas da 
secção do corte; 
 X8=0, ou seja, foram utilizadas todas as horas no processo de engomar; 
 X9=64, ou seja, indica que sobraram, 64 horas da secção do embalamento. 
 
 Análise dos coeficientes da função objetivo 
 
Na produção de X1, X2 e X3, vemos que estes apresentam valores nulos, pois são 
variáveis básicas, ou seja, não há custos reduzidos o que significa que estão a ser 
produzidos na totalidade. 
Nas restantes variáveis X4, X8 e X9, que nos indicam os preços de sombra associados a 
cada variável é possível verificar que as variáveis X4 e X9 são recursos abundantes, 
pois tem um valor nulo, enquanto que a variável X8 é um recurso escasso em que o 
seu valor de preço de sombra é de 720, isto significa que o aumento de uma hora na 
secção de engomar provoca um aumento no lucro de 720 unidades monetárias. 
Análise Pós-Otimização 
 
Através da análise de pós-otimização iremos analisar 3 cenários diferentes sendo eles: 
alteração dos termos independentes, alteração do coeficiente da função objetivo e a 
introdução de uma nova restrição. Esta análise deve-se ao facto de detetarmos 
recursos escassos na secção de controlo e de engomar. 
 
Alteração dos termos Independentes 
 
A empresa pretende analisar as consequências, do aumento das horas da secção de 
engomar de 160 horas para 200 horas, na produção e a nível económico. 
 
Com esta alteração, através do solver do Excel, foi possível verificar que não 
aconteceu mudanças nos valores, porque, tal como nos mostra o relatório de 
sensibilidade podemos aumentar esse valor infinitamente, que não afetará os valores 
da produção e do lucro. 
 
Alteração dos coeficientes da função objetivo 
 
A empresa pretende verificar as alterações no ciclo de produção que decorrem da 
mudança de um valor na função objetivo, neste caso a mudança é do lucro do blazer 
Tommy de 100 para 150 unidades monetárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o aumento de lucro unitário de 50 unidades monetárias do blazer Tommy 
verificou-se um aumento de 54400 para 70400 no lucro total, o que é vantajoso para a 
empresa. 
 
Introdução de novas restrições 
 
A empresa
pretende analisar as consequências económicas se introduzir uma nova 
restrição, neste caso foi imposta uma restrição de encomenda do blazer Tommy de 50 
unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através do solver do Excel obtemos os resultados apresentados na tabela. Quanto ao 
lucro verificou-se uma diminuição de 54400 para 46300, quanto às quantidades 
produzidas do blazer Penny aumentaram de 320 para 590. Mais uma vez, não é uma 
alteração rentável, visto que, provoca uma diminuição no lucro. 
Análise de Sensibilidade 
 
It VB Eq X1 X2 X3 X4 X6 X8 X9 2ºM 
 
 
 
 
 0 
-Z 0 0 0 0 0 300 720 0 54400 
X4 1 0 0 0 1 1/3 -2/5 0 544/3 
X1 2 1 0 0 0 0 -8 0 0 
X2 3 0 1 0 0 -10 0 0 320 
X3 4 0 0 1 0 10 12 0 320 
X9 5 0 0 0 0 0 -3/5 1 64 
 
 
O preço de sombra de um recurso é o valor de uma unidade adicional de recurso, 
medida pela função objetivo e aplicam-se somente a variáveis de folga. 
Podemos verificar, através do quadro acima que o preço de sombra associado às 
variáveis X4 e X9 é nulo, ou seja, é um recurso abundante. Já a variável X8 apresenta 
um preço de sombra de 720, ou seja, é um recurso escasso, o que significa que este 
recurso está a ser totalmente utilizado, se houver um aumento de uma hora na secção 
de engomar, significa que o lucro irá aumentar 720 unidades monetárias. 
O custo reduzido refere-se às variáveis iniciais do problema. Neste caso, os custos 
reduzidos das variáveis (X1, X2 e X3) são nulos, visto que são variáveis básicas (pois, 
encontram-se na base). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
O problema proposto tem como propósito a maximização dos lucros da empresa 
“Vestir Bem” com uma produção de três tipos de Blazers, sendo eles: Dutti, Penny e 
Tommy. 
Após, a resolução do Método das Duas Fases, concluiu-se que no ponto ótimo 
de exploração, não deverá ser produzida nenhuma unidade do Blazer Dutti (X1) e 
deverão ser produzidas 320 unidades do Blazer Penny e 320 do Blazer Tommy (X2 e 
X3, respetivamente). Tudo isto proporcionará à empresa um lucro de 54400 unidades 
monetárias. 
Na análise de Pós-Otimização conseguiu-se obter novas soluções admissíveis 
para o problema proposto, nomeadamente: 
 Com a alteração dos termos independentes na secção de controlo e 
engomar, aumentando as horas de 160 para 180. Verificou-se diversas 
mudanças, nomeadamente, a diminuição do lucro, o aumento de 
produção do Blazer Penny e, consequentemente, a diminuição do Blazer 
Tommy. 
 Com a alteração dos coeficientes da função objetivo com a alteração do 
lucro do Blazer Tommy de 100 para 150 unidades monetárias, verificou-
se um aumento do lucro de 16000 unidades monetárias 
 Com a introdução de uma nova restrição, nomeadamente, a restrição de 
encomenda do Blazer Tommy de 50 unidades, sucedeu-se uma 
diminuição do lucro de 54400 para 46300 e um aumento das quantidades 
produzidas do Blazer Penny. 
Relativamente à sensibilidade, concluímos que não existem custos reduzidos, 
uma vez que as variáveis são básicas e existe um preço de sombra associado à 
variável X8. 
Em suma, concluiu-se que os métodos utilizados ao longo deste trabalho são 
facilmente aplicáveis em problemas da vida real, visto que permitem facilmente a 
tomada de decisões racionais. 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo-Solver do Excel