aula6 Probabilidade

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Disciplina: Análise Estatística
Aula 6: Probabilidade
Apresentação
Nesta aula, abordaremos a definição de probabilidade, faremos a exposição de seus
principais teoremas e mostraremos o significado e aplicação dos eventos
complementares (p + q = 1 → q = 1 – p) dos eventos independentes, também
conhecido como regra do “e” (p = PA x PB); bem como os eventos mutuamente
exclusivos, também conhecidos como regra do “ou” (p = PA + PB). Definiremos,
ainda nesta aula, o conceito de experimento aleatório e do espaço amostral, sua
finalidade, utilização e aplicação no campo da teoria da probabilidade em Estatística.
Quando falamos de probabilidade, a ideia é identificar a possibilidade de ocorrência
de um determinado fato de interesse, em situações onde existem inúmeros casos
possíveis e quando não é possível determinar com precisão o real valor do evento.
Assim, trabalhamos com chances ou probabilidades.
Objetivos
Conhecer a definição de probabilidade e seus principais teoremas;
Aprender o significado e aplicação dos eventos complementares, dos eventos
independentes, bem como dos eventos mutuamente exclusivos;
Entender a definição dos conceitos de experimento aleatório e de espaço
amostral, assim como suas finalidades, utilizações e aplicações no campo da
teoria da probabilidade em Estatística.
Estatística
A maioria dos assuntos de que trata a Estatística tem uma natureza aleatória
ou probabilística. É esta a importância do estudo dos conhecimentos
fundamentais do cálculo da probabilidade, além de ser fundamental no estudo
da Estatística Inferencial ou Indutiva.
Experimento Aleatório
É qualquer processo aleatório capaz de produzir observações e que possa se
repetir indefinidamente no futuro sob as mesmas condições. Um experimento
aleatório apresenta variações nos resultados, o que faz com que seus
resultados a priori não sejam determinados antes que tenham sido realizados.
É possível, entretanto, indicar todos os seus resultados possíveis, ou seja, as
suas probabilidades. É na verdade qualquer processo capaz de gerar um
resultado incerto ou casual.
O experimento aleatório apresenta três características, que possibilitam
calcularmos uma probabilidade, são elas:
Característica 1
Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas
condições, n vezes (n ∞).
Característica 2
Embora não se possa prever a priori que resultados ocorrerão, pode-se
descrever o conjunto de resultados possíveis.
Característica 3
À medida que se aumenta o número de repetições, surgirá certa
regularidade dos resultados, isto é, haverá uma estabilidade na
ocorrência da frequência relativa de um particular resultado.

Comentário
Assim, observamos que todo experimento que apresentar resultados
diferentes quando repetido nas mesmas condições iniciais é considerado
um experimento aleatório, e a variabilidade dos seus resultados deve-
se ao acaso. A tudo isto liga-se a incerteza, que é a chance de ocorrência
do resultado de interesse.
Temos como exemplo os operários que trabalham no setor de produção
de determinada empresa. Sabe-se que neste setor trabalham oito
operários. Um experimento ao acaso seria escolher de forma aleatória
um dos operários. Pode-se considerar como evento de interesse o sexo
do operário escolhido.
Espaço Amostral
Cada experimento aleatório corresponde, normalmente, a inúmeros resultados
possíveis. Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo o seu
conjunto de possibilidades, isto é, o conjunto formado por todos os possíveis
resultados do experimento, geralmente denominado S ou Ω (letra grega que
se lê: “ômega”). Definimos por n(S) como sendo o número de elementos do
conjunto S, ou seja, o número de resultados possíveis do experimento.
1
Finito
Número limitado de elementos. 
Ex.: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
Infinito
Número ilimitado de elementos, e pode ser subdividido em: Finito e Infinito.
3
Enumerável
Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância
biunívoca com o conjunto dos números naturais (N) (caso das variáveis
aleatórias discretas).
4
Não Enumerável
Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em concordância
biunívoca com o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias
contínuas).

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/anexo/pdf1.pdf> .
Eventos
Seja um espaço amostral S de um experimento aleatório qualquer,
consideramos evento qualquer subconjunto desse espaço amostral S.
Logo, qualquer que seja E um conjunto de possíveis resultados do
experimento, se E ⊂ S, então E é um evento de S.
Se E = S, chamamos E de evento certo; se E é um conjunto unitário e E ⊂
S, chamamos E de evento elementar; quando E = ∅, chamamos de evento
impossível.

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/anexo/pdf2.pdf> .
Probabilidade
Seja S o espaço amostral de um experimento aleatório, se todos os elementos
de S possuem a mesma chance de acontecer, então S é um conjunto
equiprovável.
Definimos como sendo a probabilidade de um evento A (A ⊂ S) o valor
real P(A), tal que:
Onde:
n(A) = número de elementos de A;
n(S) = número de elementos de S.
A probabilidade de um evento certo é igual a 1: P(S) = 1;
A probabilidade de um evento impossível é igual a 0: P(∅) = 0;
A probabilidade de um evento A qualquer (A ⊂ S) é o valor real P(A), tal
que: 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Seja n(S) = n e A um evento elementar qualquer, onde n(A) = 1, logo a
probabilidade de A será:
O valor de uma probabilidade está dentro do intervalo fechado de números
reais que vai de 0 a 1, incluindo as extremidades desse intervalo. A
probabilidade pode ser da forma decimal do tipo 0,70, ou representada na
forma de percentagem onde o mesmo número é multiplicado por 100. Ficando
na forma 70%.

Saiba mais
Quanto mais a probabilidade se aproxima de 1, maior é sua possibilidade
de ocorrer. Quanto mais se aproxima de 0, o evento se torna mais
improvável de ocorrer.
Há três maneiras de estimar ou calcular probabilidades, são elas:
P(A) = n(A)
n(S)
P(A) = 1
n
Método Subjetivo
O método subjetivo, que se baseia em estimativas pessoais de
probabilidade ou algum tipo de crença.
Método Empírico
O método empírico, que leva em consideração a frequência relativa de
um determinado evento em cima de um grande número de fatos
repetidos.
Método Clássico
No método clássico, o espaço amostral tem resultados igualmente
prováveis. Em geral, utiliza-se este último método para o cálculo de
probabilidades.
O que não pode acontecer é confundir “chance” com “probabilidade”, pois
existe certa diferença entre eles. A chance compara a quantidade de
resultados possíveis de A com os resultados possíveis de outro evento (B ou
C), enquanto que a probabilidade faz relação entre os resultados possíveis de
A com a quantidade total dos resultados possíveis do experimento aleatório.
Em uma caixa com 7 bolas brancas, 3 azuis e 4 pretas, a probabilidade de
retirar uma bola branca é:
P (branca) = 𝟕/𝟏𝟒 = 0,5 ou 50%
Enquanto que a chance de retirar uma bola branca é 7:7, ou seja, a chance de
retirar uma bola branca é a mesma de retirar uma bola de outra cor.

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/anexo/pdf3.pdf> .
Eventos Complementares
Todo evento pode ocorrer ou não. Se um evento possui uma probabilidade p
de sucesso e uma probabilidade de insucesso q, então para esse mesmo
evento existe a relação:
Se P(A) é a probabilidade do evento A, então 𝑃(𝐴 ̅) é a probabilidade do
evento não A (complemento de A), tal que:

Exemplo
p + q = 1  →  q = 1 − P
P(A) + P( ) = 1  →  P( ) = 1 − P(A)Ā̄̄ Ā̄̄
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/anexo/pdf4.pdf> .
Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando o sucesso ou o insucesso de um
dos eventos não afeta a probabilidade de sucesso do outro evento e vice-
versa. O resultado obtido por um evento independe do resultado obtido no
outro evento. Neste caso de eventos independentes, a probabilidade de que
os dois eventos se realizem simultaneamente é igual ao produto das
probabilidades de sucesso de cada evento.
Sejam doiseventos A e B, onde P(A) = p e P(B) = p , logo um terceiro
evento C, definido pela ocorrência simultânea dos eventos A e B, terá
probabilidade P(C) = p. E a probabilidade do evento C será função das
probabilidades individuais de A e B, dada por:
Outra forma de representar a ocorrência simultânea de dois eventos A e B é
P(A ∩ B).

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/anexo/pdf5.pdf> .
Eventos Mutuamente Exclusivos
1 2
p = ×p1 p2
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Dois ou mais eventos são mutuamente
exclusivos quando o sucesso de um evento
exclui a realização do(s) outro(s).
Desta forma, no experimento aleatório de lançamento de um dado, o evento
tirar o número 3 e o evento tirar o número 6 são mutuamente exclusivos,
uma vez que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Quando se deseja calcular a probabilidade de que um evento ou outro se
realize, sendo estes eventos mutuamente exclusivos, determinamos a
soma das probabilidades de sucesso de cada evento separadamente.
Ou seja:
No caso do dado a probabilidade do evento de tirar 3 ou 6 é:
Referências
BRUNI, Adriano Leal; PAIXÃO, Roberto Brazileiro. Excel aplicado à gestão
empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração. 4.ed.
Porto Alegre: Artmed, 2007
Próximos Passos
Formas de Distribuição Binomial, bem como as condições a serem satisfeitas
para que ela seja aplicada;
Conceito de variável e suas espécies (qualitativas e quantitativas);
Conceito de variável aleatória e as espécies de distribuição de probabilidade.
p = +p1 p2
p = + = + = =p1 p2
1
6
1
6
2
6
1
3