Anotações Conformação Mecânica - lei da constância de volume

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LEI DA CONSTÂNCIA DE VOLUME
Considere como exemplo o forjamento em matriz fechada, que é um processo de
fabricação por conformação mecânica. Na conformação da peça não há adição e nem
remoção de material, sendo o volume do billet (matéria prima) igual ao volume da peça final
(removida da matriz após ser forjada).
A figura abaixo representa o estado inicial e final de uma peça conformada (a
geometria está simplificada para facilitar o entendimento):
Podemos calcular a deformação verdadeira nos três sentidos (a, b e h), que são
mutuamente ortogonais (deformações verdadeira principais):
φ
𝑎
= 𝑙𝑛
𝑎
𝑓
𝑎
0
( )
φ
𝑏
= 𝑙𝑛
𝑏
𝑓
𝑏
0
( )
φ
ℎ
= 𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( )
Como volume da peça inicial e final são iguais:
𝑉
0
= 𝑎
0
· 𝑏
0
· ℎ
0
= 𝑉
𝑓
= 𝑎
𝑓
· 𝑏
𝑓
· ℎ
𝑓
É possível rearranjar da seguinte forma:
1
𝑉
𝑓
𝑉
0
=
𝑎
𝑓
·𝑏
𝑓
·ℎ
𝑓
𝑎
0
·𝑏
0
·ℎ
0
= 1
𝑙𝑛
𝑎
𝑓
·𝑏
𝑓
·ℎ
𝑓
𝑎
0
·𝑏
0
·ℎ
0
( ) = 𝑙𝑛 1( )
𝑙𝑛
𝑎
𝑓
𝑎
0
( ) + 𝑙𝑛 𝑏𝑓𝑏
0
( ) + 𝑙𝑛 ℎ𝑓ℎ
0
( ) = 0
O que resulta na Lei da Constância de Volume:
φ
𝑎
+ φ
𝑏
+ φ
ℎ
= 0
Pela Lei da Constância de Volume a soma das três deformações verdadeiras
principais (deformações verdadeiras em sentidos mutuamente ortogonais) é igual à zero. A
equação acima é um dos conceitos básicos e muito usados na análise de processos de
conformação mecânica.
Como um exemplo de aplicação da Lei da Constância de Volume considere a
conformação de um cilindro (peça com simetria axial) representado pela figura abaixo:
A soma das três deformações verdadeiras principais é:
φ
𝑙
+ φ
𝑟
+ φ
𝑝
= 0
2
𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( ) + 𝑙𝑛 𝑟𝑓𝑟
0
( ) + 𝑙𝑛 𝑟𝑓𝑟
0
( ) = 0
Como a deformação verdadeira radial é igual à deformação verdadeira
circunferencial :φ
𝑟
= φ
𝑝
φ
𝑙
+ 2 · φ
𝑟
= 0
𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( ) + 2 · 𝑙𝑛 𝑟𝑓𝑟
0
( ) = 0
𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( ) + 𝑙𝑛 𝑟𝑓𝑟
0
( )2 = 0
𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( ) =− 𝑙𝑛 𝑟𝑓𝑟
0
( )2
A equação resultante indica que a deformação verdadeira no comprimento e a
deformação verdadeira na área da seção transversal são numericamente iguais porém com
sinais opostos.
φ
𝑙
=− φ
𝐴
Esta característica decorrente da Lei da Constância de Volume é aplicada na análise
do processo de trefilação.
Exemplo:
Considere a peça de formato cilíndrico que é deformada por compressão
longitudinal. Suas dimensões iniciais são d0=10mm e h0=20mm, conforme mostrado na
figura abaixo. Sabe-se que a peça é comprimida até que a deformação relativa na altura εh
seja igual -0,25. Determine as dimensões finais da peça, as três deformações verdadeiras
principais e verifique se a lei da constância de volume é respeitada.
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Resolução:
Pode-se iniciar com a determinação das dimensões finais:
ε
ℎ
= ∆ℎℎ
0
=
ℎ
𝑓
−ℎ
0
ℎ
0
ℎ
𝑓
= ε
ℎ
· ℎ
0
+ ℎ
0
= ℎ
0
· ε
ℎ
+ 1( )
ℎ
𝑓
= 20𝑚𝑚 · − 0, 25 + 1( ) = 15𝑚𝑚
Como o volume da peça se mantém constante:
𝑉
0
= 𝑉
𝑓
π
4( ) · 𝑑02 · ℎ0 = π4( ) · 𝑑𝑓2 · ℎ𝑓
𝑑
𝑓
=
𝑑
0
2·ℎ
0
ℎ
𝑓
4
𝑑
𝑓
= 10𝑚𝑚( )
2·20𝑚𝑚
15𝑚𝑚 ≃ 11, 547𝑚𝑚
Pode-se calcular as três deformações verdadeiras principais conforme:
φ
𝑙
= 𝑙𝑛
ℎ
𝑓
ℎ
0
( ) = 𝑙𝑛 15𝑚𝑚20𝑚𝑚( ) =− 0, 28768
φ
𝑟
= 𝑙𝑛
𝑟
𝑓
𝑟
0
( ) = 𝑙𝑛 11,547𝑚𝑚210𝑚𝑚
2
( ) = 𝑙𝑛 11,547𝑚𝑚10𝑚𝑚( ) = 0, 14384
φ
𝑝
= 𝑙𝑛
𝑟
𝑓
𝑟
0
( ) = 𝑙𝑛 11,547𝑚𝑚210𝑚𝑚
2
( ) = 𝑙𝑛 11,547𝑚𝑚10𝑚𝑚( ) = 0, 14384
Para verificar se a lei da constância de volume é respeitada deve-se somar o valor
das três deformações verdadeiras principais:
φ
𝑙
+ φ
𝑟
+ φ
𝑝
=− 0, 28768 + 0, 14384 + 0, 14384 = 0
A soma é sempre igual à zero.
Obs.: Os arredondamentos aplicados às dimensões finais da peça podem interferir na
verificação da lei da constância de volume. Mas a soma sempre será muito próxima à zero,
onde a diferença é resultante dos arredondamentos aplicados em etapas anteriores de
cálculo.
De maneira alternativa, pode-se determinar a deformação verdadeira na altura φh
pela seguinte relação:
φ
ℎ
= 𝑙𝑛 1 + ε
ℎ( )
φ
ℎ
= 𝑙𝑛 1 − 0, 25( ) =− 0, 28768
Obs.: Esta relação será estudada adiante.
Lista de exercícios aplicação da lei da constância de volume:
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(1) Considere a peça com formato de paralelepípedo com as dimensões iniciais mostradas.
Após ser deformada a peça mantém o formato de paralelepípedo. Sabendo que a
deformação relativa na altura é εh=−0,4 e que a relação b/a da sua base permanece
constante, determine a deformação verdadeira nas três dimensões da peça e verifique se a
lei da constância de volume e aplica.
Resp�st�: φa=0,255; φb=0,255; φh=−0,510; φa+φb+φh=0.
(2) Considere a compressão de uma peça cilíndrica com as dimensões mostradas.
Determine a deformação verdadeira na altura no instante em que o diâmetro se igualar à
altura. Desconsidere os efeitos do atrito e admita que a peça permanece cilíndrica.
Resp�st�: φh≃−0,192.
(3) É apresentada uma peça com formato de paralelepípedo e com base quadrada. A peça
é comprimida no sentido vertical até a altura final hf=8,7mm e a sua base permanece
quadrada. Determine as suas três deformações verdadeiras principais e verifique se a lei da
constância de volume se aplica.
Resp�st�: φa=0,070; φb=0,070; φh=−0,140; φa+φb+φh=0.
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(4) É apresentada uma peça com formato de paralelepípedo. A peça foi deformada e suas
dimensões finais estão indicadas. Sabendo que as três deformações verdadeiras principais
são: φa=0,12; φb=0,09; φh=−0,21. Determine as dimensões iniciais da peça antes da
deformação plástica. Por simplificação admita que o formato inicial também era de um
paralelepípedo.
Resp�st�: �0=13,57m�; �0=13,25m�; �0=15,67m�.
(5) Para um processo de extrusão de uma peça com simetria axial (peça cilíndrica), qual
das deformações verdadeiras principais possui o maior valor (considerar o módulo do
valor)? Qual das deformações verdadeiras principais é equivalente a deformação verdadeira
em área da seção transversal? (Questão 1.2.1. Livro: Conformação Mecânica - Cálculos
Aplicados em Processos de Conformação Mecânica. Schaeffer, L.; Rocha, A.).
Resp�st�: A maio� deformaçã� verdadeir� principa� � φ� (deformaçã� n� sentid� d� compriment�
o� longitudina�), qu� e� módul� p�ssu� � mesm� valo� d� deformaçã� verdadeir� e� áre� d� seçã�
transve�sa� φA.
Fontes consultadas:
SCHAEFFER, L. Conformação Mecânica. Editora Imprensa Livre. 1. ed. 1999.
SCHAEFFER, L. Conformação de Chapas Metálicas. Editora Imprensa Livre. 1. ed. 2005.
SCHAEFFER, L.; ROCHA, A. S. Conformação Mecânica – Cálculos Aplicados em
Processos de Fabricação. Editora Imprensa Livre. 1. ed. 2007.
SCHAEFFER, L. Manufatura por Conformação Mecânica - Projetar - Fabricar - Utilizar.
Editora Imprensa Livre. 2016.
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