Caderno de Física 1 - 1_semestre_2022-2

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Caderno de Atividades 
de Laboratório de Física 
 
 
 
 
 
 
DFQ – Departamento de Física e Química 
Belo Horizonte, 1º semestre de 2022 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Critério de avaliação da disciplina ..................................................................................... 3 
Determinação do tempo de reação de uma pessoa ........................................................... 4 
Medições e incertezas ....................................................................................................... 7 
Medições diretas, indiretas e propagação de erros ........................................................... 11 
Gráficos e ajustes .............................................................................................................. 21 
Movimento unidimensional ................................................................................................ 29 
Posição, deslocamento e velocidade ................................................................................ 34 
Movimento de projétil ....................................................................................................... . 39 
Composição de forças ....................................................................................................... 42 
Equilíbrio de um móvel em um plano inclinado .................................................................. 45 
Atrito estático ................................................................................................ .................... 49 
Atrito cinético ................................................................................................ ..................... 52 
Constante elástica de molas ............................................................................................. 54 
Deformação elástica de uma haste ................................................................................... 58 
Momento de inércia de um cilindro .................................................................................... 61 
Movimento combinado de rotação e translação ................................................................ 64 
Dinâmica de rotação ......................................................................................................... 67 
Oscilador harmônico simples: sistema massa-mola .......................................................... 72 
Oscilador harmônico simples: pêndulo simples ................................................................. 75 
Oscilador amortecido ........................................................................................................ 78 
Anexo I: Sistema Internacional de Unidades ..................................................................... 88 
Anexo II: Orientações gerais para redação dos relatórios técnicos ................................. 90 
Referências bibliográficas ……………………………………………………………………... 93 
 
 
 
 
 
3 
 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
Os critérios de avaliação das atividades realizadas nas disciplinas de laboratório de Física, 
ofertadas pelo Departamento de Física e Química nos diversos campi e unidades, são: 
 
1. DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: as disciplinas supracitadas deverão ter a pontuação 
distribuída em duas provas no valor de 30 (trinta) pontos e 40 (quarenta) pontos em 
atividades práticas. 
 
2. PROVAS: todas as provas devem ser individuais e com consulta apenas aos relatórios e 
cadernos de anotações. 
a. As provas devem conter questões relacionadas às atividades práticas realizadas em 
laboratório: metodologia, análise de dados, e interpretações teóricas. 
 
3. ATIVIDADES PRÁTICAS: os 40 (quarenta) pontos de atividades práticas devem ser 
distribuídos conforme a seguir: 
a. No mínimo 20 (vinte) pontos devem ser distribuídos em relatórios técnicos: 
i. Devem ser avaliados de 3 a 5 relatórios técnicos (individuais); 
ii. Todos os relatórios técnicos devem seguir o padrão indicado nas “Orientações 
Gerais” anexadas nos cadernos de roteiros; 
iii. Cada professor (a) deve expor claramente aos seus alunos, nos primeiros dias 
de aula, os critérios adotados nas correções de tais relatórios técnicos; 
iv. Os relatórios devem ser devidamente corrigidos e devolvidos aos alunos na 
aula seguinte à data da entrega. 
b. Os 20 pontos restantes podem ser distribuídos à critério do(a) professor(a); 
i. Exemplos: caderno de anotações, vídeos, testes, apresentações e etc. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
DETERMINAÇÃO DO TEMPO DE REAÇÃO DE UMA PESSOA 
 
Cada pessoa reage a um dado estímulo após um certo tempo (tempo de reflexo ou tempo 
de reação). Tais tempos são importantes em várias situações do dia a dia, por exemplo, no trânsito. 
É útil saber quanto tempo uma pessoa demora a reagir a uma situação inesperada. 
 
Fonte: Carlos Magno Sampaio – Curso de extensão no Ensino Fundamental, USP Leste (2008). 
 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de reação de um grupo de alunos. 
Material Utilizado: Uma régua milimetrada. 
 
 
 
 
5 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1) O aluno A segura uma régua milimetrada em posição vertical de tal maneira que o zero fique 
entre o indicador e o polegar do aluno B. 
 
2) O aluno A abandona inesperadamente a régua e o aluno B tenta pegá-la no menor tempo 
possível. Mede-se, então, a distância ℎ a partir do zero. 
 
3) Determine 10 vezes o tempo de reação do aluno B a partir da medida de ℎ e da equação de 
queda livre 
𝑡 = √2ℎ/𝑔 
onde 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠² é a aceleração da gravidade. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
4) Calcule o valor mais provável (ou valor médio) do tempo, 𝑡𝑚𝑒𝑑, através de uma média aritmética: 
 
𝑡𝑚𝑒𝑑 = 
1
𝑛
∑ 𝑡𝑖
𝑛
𝑖 = 1
 
 
onde 𝑡𝑖 assume o valor de cada uma das medidas realizadas e 𝑛 é o número de medidas 
realizadas. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
5) Determine a precisão das medições com o cálculo do desvio médio1: 
∆𝑡 = 
1
𝑛
∑ ∣ 𝑡med − 𝑡𝑖 ∣
𝑛
𝑖=1
 
Anote o resultado na Tabela 1. 
 
6) Repita os procedimentos anteriores para obter o tempo de reflexo dos outros alunos do grupo. 
 
 
 
 
1 Observação: Quando o número de medidas for muito grande (n > 100), a incerteza do resultado será determinada 
pelo desvio padrão da média. Segundo a teoria matemática dos erros, que consiste exatamente em associar a uma 
certa medida não o erro que se comete, mas um intervalo de valores dentro do qual o valor verdadeiro tem uma 
determinada probabilidade de estar, a incerteza padrão da medição é identificada com o desvio padrão da média, 
através da relação 
∆𝑡 = √(
1
𝑛(𝑛 − 1)
∑ |𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|2
𝑛
𝑖=1
) 
6 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Tempo de reação de cada aluno 
Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5 
h(m) t(s) h(m) t(s) h(m) t(s) h(m) t(s) h(m) t(s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(tmed ± Δt) (tmed ± Δt) (tmed ± Δt) (tmed ± Δt) (tmed ± Δt) 
 
Responda: 
a) Qual das medidas foi a mais precisa? 
Para responder essa questão, utilize o cálculo do desvio médio percentual, definido como 
𝜀 =
Δt
𝑡𝑚𝑒𝑑
× 100 
b) Qual aluno possui menor tempo médio de reação? A medida do tempo de reação desse aluno é 
a mesma que possui melhor precisão? Por quê? 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
Prática 2 – Medidas e erros. 
 
 
 
7 
 
MEDIÇÕES E INCERTEZAS 
INTRODUÇÃO 
 
 A Física – assim como todas as outras ciências – apoia-se na observação sistemática dos 
fenômenos naturais para sustentar as teorias que permitem abordar toda uma classe de fenômenos 
semelhantes com as mesmas regras. As regras gerais, ou leis da Física, são as ferramentas 
utilizadas para explicar a dinâmica das grandezas físicas e a relação entre elas (as grandezas 
físicas são as quantidades que podem ser mensuradas). Uma boa fundamentação das leis da 
Físicadepende de métodos de medição e de procedimentos rigorosos para que os resultados das 
medições tenham reprodutibilidade. 
O resultado de uma medição deve especificar o valor da grandeza, a incerteza e a unidade. 
No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI) e as regras para a expressão 
dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT (Associação Brasileira de 
Normas Técnicas) e pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial) [1]. 
Todas as medições de uma grandeza física são afetadas por uma incerteza, devido ao 
processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não são medidas 
e, também, ao operador. A incerteza pode ser minimizada pela perícia do operador, mas, jamais 
eliminada, e quanto menor o seu valor mais confiável ou mais preciso é o resultado. Os resultados 
das medições devem ser expressos de modo tal que se possa avaliar a precisão com que foram 
feitas. 
A forma mais comum de se expressar o resultado da medição de uma grandeza 𝑥 é 
(𝑥 ± ∆𝑥)[unidade] (1) 
em que ∆𝑥 é a incerteza, que deve ser escrita com, no máximo, dois algarismos 
significativos1.Existem métodos diferentes para se estimar o valor de ∆𝑥. A escolha do método 
depende dos procedimentos adotados para medição de 𝑥 e se a medição é direta ou indireta. Uma 
medição é direta quando o resultado é lido diretamente no instrumento utilizado e indireta quando 
o resultado é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional 
entre elas. 
 
1 Ao contar os algarismos significativos de uma medição, devemos observar que o algarismo 
zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim, 
• 0,00082 tem apenas dois algarismos significativos (8 e 2), pois os zeros não são 
significativos. 
• 80200 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos. 
8 
 
• 0,000802 tem três algarismos significativos, pois os zeros à esquerda do algarismo 8 não 
são significativos. 
Nas atividades I e II estudaremos algumas regras relativas à avaliação e à expressão dos 
resultados de uma medição. Optou-se pela apresentação de métodos simplificados, mas que, ainda 
assim, satisfazem os propósitos gerais das disciplinas de Laboratório de Física. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de queda de uma esfera com sua respectiva incerteza e avaliar a 
precisão e a acurácia do resultado. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e régua. 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1. Abandone a esfera de uma altura ℎ e meça o tempo 𝑡 de queda. Como o resultado 
depende muito do reflexo do operador, é aconselhável repetir este procedimento 10 vezes. 
Anote os resultados na Tabela 1. 
 
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑡 (s) 
Tabela 1: Tempo de queda de uma esfera medido 10 vezes. 
 
2. Determine o valor mais provável para o tempo de queda através de uma média 
aritmética. 
 
3. A incerteza ∆𝑡 da medição é identificada com o desvio padrão definido como 
∆𝑡 = 
1
𝑛
. ∑ |𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|
𝑛
𝑖=1
 , (2) 
em que 𝑡𝑚𝑒𝑑 é o tempo médio, 𝑛 é o número de medidas e 𝑡𝑖 é a medida de ordem 𝑖. Calcule o 
desvio médio, expresse o resultado como em (1) e anote-o no retângulo abaixo. 
 
 
 
Se o resultado encontrado é, por exemplo, 𝑡 = (0,62 ± 0,11) 𝑠, seria incorreto expressar 
esse resultado em qualquer das formas seguintes: 
9 
 
 
• (0,62 ± 0,1128) 𝑠 - Nas normas da ABNT, recomenda-se que a incerteza da medição seja 
fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos. Assim, mesmo que o processo de 
cálculo do desvio médio tenha fornecido o valor 0,1128, a norma recomenda que ele seja 
escrito como 0,1 ou 0,11. Se o algarismo abandonado for igual ou maior que 5, acrescenta-
se uma unidade ao algarismo que permaneceu. Caso se faça a opção por escrever a 
incerteza com um algarismo significativo, o resultado deve ser escrito na forma 𝑡 =
(0,6 ± 0,1)𝑠. 
 
• (0,6185 ± 0,11) 𝑠 - Mesmo que o processo de cálculo do valor médio tenha fornecido o valor 
0,6185, como a incerteza é de centésimos de segundo, não faz sentido indicar o resultado 
com precisão maior que centésimos de segundo, ou seja, os algarismos 8 e 5 não são 
significativos e não devem ser escritos. 
 
4. Anote, na Tabela 2, os resultados para 𝑡𝑚𝑒𝑑 e ∆𝑡 encontrados pelos grupos. Qual é o 
resultado mais preciso? 
A resposta desta questão é obtida a partir do cálculo do desvio médio percentual, definido 
como 
𝜀 =
∆𝑡
𝑡𝑚𝑒𝑑
 × 100. 
O resultado com menor desvio médio percentual é o mais preciso. 
 
Grupo tmed (s) ∆t (s) 𝜀 (%) 𝑔 (m/s2) ∆𝑔(%) 
1 
2 
3 
4 
Tabela 2: Tempo médio, tmed, de cada grupo, com os respectivos valores do desvio médio, ∆t e desvio médio 
percentual, ∆t (%). Gravidade, g, obtida com o tempo médio e seu desvio percentual com relação ao valor 
esperado, ∆𝒈 (%). 
 
5. Qual é o resultado mais acurado, isto é, mais próximo do valor verdadeiro? 
A resposta desta questão pode ser obtida utilizando a expressão matemática que relaciona 
a posição de um corpo em movimento uniformemente acelerado e o tempo, 
10 
 
ℎ = 
𝑔𝑡2
2
. 
Uma vez que temos ℎ e t podemos determinar a aceleração da gravidade 𝑔 e o quanto se 
desvia do valor verdadeiro ou convencional (9,81m/s2) e, assim, verificar qual grupo realizou as 
medidas que fornecem um valor do tempo de queda - consequentemente 𝑔 - de forma mais 
acurada. 
Calcule o valor de 𝑔 e o desvio percentual com relação ao valor esperado, definido como 
∆𝑔 =
|𝑔 − 9,81|
9,81
 𝑥 100 % 
Anote os resultados na Tabela 2. O resultado com menor desvio percentual com relação ao valor 
esperado é o mais acurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
MEDIÇÕES DIRETAS, INDIRETAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
• Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida do 
comprimento de uma barra, figura 1. Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1mm. 
Ao tentar expressar o resultado dessa medida, você percebe que ela está compreendida entre 143 
mm e 144 mm. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 143 mm terá de ser avaliada, 
pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1mm. 
Para fazer essa avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 143 mm e 144 mm 
subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada 
a 143 mm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na Figura 1 podemos avaliar a fração 
mencionada como sendo 5 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso 
como 143,5 mm. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 e 3, pois eles foram obtidos 
através de divisões inteiras da régua, ou seja, você tem certeza deles. Entretanto, o algarismo 5 foi 
avaliado, isto é, você não tem certeza sobre seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 
4 ou 6, por exemplo. Por isto, esse algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
 
Figura 1: Comprimento 𝑙 de uma barra medido com uma régua milimetrada. O resultado é 𝑙 = (143,5 ± 0,5)𝑚𝑚. Os 
algarismos 1, 4 e 3 são certos e o algarismo 5 é duvidoso. A incerteza avaliada nesta medição é 0,5 mm, metade da 
menor divisão da escala da régua. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por exemplo, 
como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o algarismo 2 
foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é certo, sendo o 
zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, por exemplo, não 
são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
12 
 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontradausando-se diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra 
amplamente difundida é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a 
metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o 
comprimento da barra da Figura 1, alguém poderia considerar como incerteza a metade de uma 
unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim, a medida do comprimento 
da barra seria escrita como l = (143,5 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira indica que há 
uma incerteza de 0,5 mm na determinação do comprimento da barra. Entretanto, se essa régua for 
usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que a incerteza não mais poderá ser de 
0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito 
a incerteza que poderá ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão difundida de que a 
incerteza é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito cuidado. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com ponteiro, 
tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um valor. Se 
o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão do 
instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da 
escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais razoável calcular a incerteza a partir dos limites 
desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação. 
Como exemplo, considere que a única informação que um operador tem sobre uma medição de 
uma grandeza é que seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥. Assim, é aceitável supor que 𝑦 
pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade (distribuição 
retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
, 
e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
. 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso anterior, 
através dos limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do 
instrumento, se não houver oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do 
instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de y, 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
13 
 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas, 
 
• Medições Indiretas 
 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza y. Nesses casos, o valor da 
grandeza é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional𝑦 =
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑁) . Ao se expressar o resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é 
importante apresentar qual é a incerteza associada a esse resultado, ou seja, qual é a 
consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um resumo de algumas regras úteis 
para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
 
(i) Se y é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
(ii) Se y é a multiplicação de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 = 𝑘 ∆𝑎. 
(iii) Se y é a divisão de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 =
∆𝑎
𝑘
. 
(iv) Se y é a multiplicação ou divisão de grandezas a, b, c, … então: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑎
𝑎
+ 
∆𝑏
𝑏
+ 
∆𝑐
𝑐
+ … 
(v) Se y é a potência n de uma grandeza a, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivo:(i) Realizar medidas diretas e indiretas, (ii) expressar os resultados com suas respectivas 
incertezas e (iii) conhecer o paquímetro, micrômetro, dinamômetro e o transferidor. 
Material Utilizado: Paquímetro, micrômetro, dinamômetro e transferidor. 
Paquímetro: Frequentemente utilizam-se para a medição de comprimento na indústria o 
paquímetro, algumas vezes chamado de calibre, e o micrômetro também chamado de Palmer ou 
parafuso micrométrico. 
14 
 
 
 
Figura 2: (a) Paquímetro de precisão 0,05 mm. (b) Estimativa de um comprimento 𝑙 = 24,85 mm. (Fonte: 
http://pt.wikipedia.org). 
O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier, cujo comprimento 
é de 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. A Figura 2(a) mostra 
as partes principais de um paquímetro. Ao fazer uma estimativa de um dado comprimento 𝑙 lê-se a 
quantidade de milímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual subdivisão do nônio 
coincide exatamente ao número de décimos de milímetro do comprimento medido. Examine a 
Figura 2(b). O comprimento 𝑙 medido é 24,85 mm. A precisão do paquímetro é 0,05 mm. 
Micrômetro: A Figura 3 mostra as partes principais de um micrômetro. Para cada avanço 
de 1 mm do deslocamento axial do tambor na escala da bainha, o tambor gira 1 volta. Dividindo-se 
a circunferência 2𝜋𝑅 do tambor em 100 partes, cada divisão da escala do tambor será de 0,01 mm. 
Portanto, a sensibilidade do micrômetro da Figura 3 é de 0,01 mm e a precisão é de 0,005 mm. 
15 
 
 
Figura 3: Micrômetro de sensibilidade 0,01 mm.(Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
A Figura 4 mostra um micrômetro com precisão de 0,001 mm. Os passos para uma leitura 
correta são: 
1º - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. 
2º - leitura dos meios milímetros na mesma escala. 
3º - leitura dos centésimos na escala do tambor. 
4º - leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha, verificando qual dos traços do nônio 
coincide com o traço do tambor. 
A leitura final será a soma dessas quatro leituras parciais. 
16 
 
 
Figura 4: Micrômetro de precisão 0,001 mm. (Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
O dinamômetro é um instrumento usado para medir forças. Os modelos mais usuais 
apresentam uma estrutura tubular, chamados dinamômetros tubulares, como o exemplo da Figura 
5. Esses dinamômetros possuem escalas com divisões de 1/100 de sua capacidade máxima de 
carga (geralmente indicada no início do tubo da escala). Antes da utilização do dinamômetro é 
necessário ajustá-lo através do parafuso liberador da capa, de modo a nivelar o referencial 
(extremidade da capa) com a primeira marcação da escala. 
 
 
Figura 5: Dinamômetro tubular. Figura adaptada de [4]. 
 
Atenção: seguem algumas recomendações importantes para manutenção e conservação 
do dinamômetro: 
➢ Nunca utilize o dinamômetro além da capacidade máxima indicada! 
➢ Nunca solte o dinamômetro bruscamente quando ele estiver distendido! 
 
A Figura 6 mostra um diagrama de um transferidor semicircular (de 180º), que é um 
instrumento usado para medir ou construir um ângulo de uma dada medida. Existem transferidores 
circulares, de 360º. Observe que em geral esses instrumentos possuem duas escalas de ângulos 
que são crescentes no sentido anti-horário e decrescentes no sentido horário; assim pode-se medir 
17 
 
ângulos em qualquer direção. 
 
Figura 6: Esquema de um transferidor de 180º. Figura adaptada de [5]. 
 
 Para medir um ângulo entre duas retas deve-se posicionar a base (linha do 0º) sobre uma 
das retas (“A”, no exemplo da Figura 6), de modo que o centro do transferidor fique no vértice entre 
as retas. O valor da escala na qual coincide com a outra reta (“B”) indica o ângulo formado entre 
as retas. Tendo em vista que a menor divisão desse transferidor da figura acima é de 1 de grau, 
então a leitura indicada será 𝜃 = (120,0 ± 0,5)°. 
 
Procedimento 1: 
 
1) Com a régua meça o comprimento (A) e a largura (B) de uma folha de papel A4. Para medir a 
espessura (C) da folha utilize o paquímetro. Como é impossívelmedir diretamente a espessura de 
uma única folha com o paquímetro, meça inicialmente a espessura de diversas folhas e divida o 
resultado pelo número de folhas. 
Escreva os resultados com as incertezas. 
 
A = ________________________ 
 
B = ________________________ 
 
C = ________________________ 
 
2) Tente medir diretamente a espessura da folha com o micrômetro. Compare o resultado com 
aquele encontrado com o paquímetro. 
3) Determine o volume da folha e escreva o resultado com a incerteza. 
 
 
 
 
18 
 
Procedimento 2: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do dinamômetro e determine sua incerteza. 
2) Fixe o bloco de madeira na extremidade do dinamômetro (suspenso verticalmente no tripé) e 
determine o valor do peso do bloco. 
 
Procedimento 3: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do transferidor e determine sua incerteza. 
2) Determine o valor do ângulo 𝜃 da figura abaixo: 
 
 
Procedimento 4 (opcional) 
 
1) Meça as dimensões A, B e C da caixa, conforme ilustrado na Figura 1. Utilize primeiro a régua 
graduada em decímetro, depois em centímetro e finalmente em milímetro. Anote os resultados na 
Tabela 1. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Caixa de dimensões A, B e C. 
 A B C 
dm 
cm 
mm 
Tabela 1: Dimensões A, B e C da caixa. 
Questões: 
a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos significativos? 
19 
 
b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? Em caso afirmativo, isto 
ocorreu com todas as réguas? 
 
No presente caso, é permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza ou que nos 
informa a régua, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa visão. 
Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a nossa 
aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar, então, o valor de nossas 
medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas acrescentando-
se ao valor encontrado ± a metade da menor divisão do aparelho (desvio avaliado). Exemplo: 
(48,6 ± 0,5) cm. 
 
c) Qual das réguas mediu com maior precisão? Por quê? 
d) Qual das grandezas (A, B ou C) está expressa com maior precisão, se medidas em 
milímetros? Para respondermos esta questão é importante entendermos o conceito de 
desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais 
clara o quanto se “erra” ao especificar o valor medido de uma grandeza e de certa forma 
especificar a qualidade de um produto. O desvio relativo é o desvio avaliado dividido pelo 
valor medido (∆x/x) e o desvio percentual é o desvio relativo vezes cem [(∆x/x). 100]. Sendo 
assim, determine o desvio percentual das grandezas A, B e C, medidas na escala milímetros, 
e escreva a medida ± o desvio percentual. 
e) Calcule o volume da caixa e determine o desvio percentual e absoluto. Faça isso para as 
três escalas e anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
Volume ∆V/V (%) ∆V 
dm3 dm3 
cm3 cm3 
mm3 mm3 
Tabela 2: Volume da caixa e seu desvio percentual e absoluto. 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
20 
 
[4] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
[5] Measuring an angle by a protractor. Disponível em <http://www.math-only-math.com/measuring-
an-angle-by-a-protractor.html>. Acesso em 24 de junho de 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.math-only-math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html
http://www.math-only-math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html
21 
 
GRÁFICOS E AJUSTES 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 Tabelas 
O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um experimento é através 
de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de obtenção de dados. Embora em cada 
experimento se deva decidir pela forma de tabela mais conveniente, é mostrado a seguir um padrão de 
tabela que se adapta à maioria dos experimentos que serão feitos nas disciplinas experimentais de Física. 
Considere um experimento onde se aplica tensão elétrica V entre 10 e 50 V em um resistor e mede-se a 
corrente I gerada. A Tabela 1 mostra uma forma conveniente de apresentar os valores obtidos: 
 
Tabela 1: Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente. 
Tensão (𝑽 ± 𝟏%) Corrente (10-3 A) (𝑰 ± 𝟏%) 
11,3 22,5 
19,5 40,0 
22,7 44,4 
29,1 59,2 
38,4 76,1 
42,3 83,8 
50,0 99,3 
 
Deve-se observar que: 
• toda tabela deve ter uma legenda; 
• no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que foram medidas com suas 
unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou relativos, a elas associados; se cada medida 
apresentar um erro diferente, deve-se especificá-lo após cada uma; 
• número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os erros especificados. 
 
1.2 Gráficos 
 
A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento é bastante 
interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência existente entre as grandezas 
estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se adequando melhor às grandezas medidas e ao tipo 
de relações que se deseja fazer entre elas. Uma forma de gráfico bastante comum em experimentos de 
Física é aquele relacionando duas grandezas onde cada valor de uma está associado a um valor 
correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a relação entre as grandezas tensão e corrente 
representadas na tabela anterior, ilustra uma forma comumente utilizada. 
 
22 
 
 
Figura 1: Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor. 
 
Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter: 
• título e/ou legenda; 
• nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade; 
• dimensionamento correto da escala. 
 
Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear entre as duas 
grandezas analisadas. 
 
 Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear 
 
O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear entre a tensão elétrica 
aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-se uma relação matemática que associe a 
corrente I no resistor sujeito a uma tensão V, deve-se encontrar a equação de uma reta, ou seja, uma 
equação do tipo: 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 
onde a constante A representa a inclinação da reta e a constante B o valor da grandeza y quando x = 0. 
Para o caso do resistor podemos escrever especificamente 
𝑉 = 𝐴𝐼 + 𝐵 
É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos e, então, 
determinar os valores de A e B (faça isso). Entretanto, existem processos matemáticos objetivos que 
estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos medidos. O processo mais utilizado com esse intuito 
é chamado regressão linear. 
Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, de obtenção das constantes A e B que 
definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No entanto é interessante que se tenha 
conhecimento da origem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvido. 
 
Regressão Linear: 
 
Pode-se dizer que regressão linear é a: 
 
“determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de medidas 
relacionando grandezas linearmente dependentes.” 
 
Considere a série de pontos experimentais genéricos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) colocados no gráfico da Figura 2. 
 
23 
 
 
Figura 2: Pontos experimentais definindouma reta; 𝛿𝑖 é a diferença entre a ordenada 𝑦𝑖 
medida para e 𝑥𝑖 o correspondente valor calculado pela equação da reta. 
 
Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua equação 
na forma 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, onde B é o ponto onde a reta corta o eixo vertical, em x = 0, e A é a inclinação da reta 
escolhida. 
Observando o gráfico da Figura 2 notamos que para o ponto xi, o valor experimental corresponde é 
, mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a 𝑥𝑖 será A𝑥𝑖 + B. Desta forma, para cada ponto 
𝑥𝑖 existe uma diferença 𝛿𝑖, ou resíduo, entre o valor experimental medido e o valor de y calculado pela reta: 
𝛿𝑖 = 𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵) 
Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão de “quão boa” é a reta 
calculada, seria: 
𝐷 = ∑(𝛿𝑖)
2 = ∑[𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵)]
2 𝑒𝑞. 1 
a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. 
 
A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza D, ou seja, deve-se 
achar os valores de A e B tais que D seja mínimo. 
 
Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= 0 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= 0 
 
Derivando a equação 1 tem-se: 
 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= −2 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= −2 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] 
 
Assim, para que D seja mínimo, devemos ter: 
 
∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 = 0 𝑒 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] = 0 𝑒𝑞. 2 
 
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a melhor reta 𝑦 = 𝐴𝑥 +
24 
 
𝐵, que passa pelos pontos experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
 
A solução do sistema de equações 2 é simples e dá como resultado os seguintes valores para A e B: 
𝐴 =
𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
2 − (∑ 𝑥𝑖)
2 
𝐵 =
1
𝑛
[∑ 𝑦𝑖 − 𝐴 ∑ 𝑥𝑖] 
Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até N, onde N é o número de pares de valores 
experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar estatisticamente os desvios 
(incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. Aqui serão dados apenas os resultados dos cálculos 
destes desvios: 
∆𝐴 =
𝐷
(𝑛 − 2)√𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖)
2
 𝑒 ∆𝐵 =
𝐷
(𝑛 − 2)
√
∑ 𝑥𝑖 2
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
2 − (∑ 𝑥𝑖)
2 
 
Observações 
1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite avaliar a qualidade 
do ajuste. Para os propósitos das atividades deste curso esse parâmetro tem pouca relevância e, portanto, 
não será tratado. 
2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. Em alguns casos, 
condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais importância que outros (muitas vezes, por 
exemplo, a reta deve passar pela origem). Neste caso, você pode entrar com os correspondentes pares de 
valores várias vezes para aumentar sua importância nos cálculos. A reta tenderá a passar mais próxima 
deste ponto. 
 
Considerações gerais 
 
O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de pontos experimentais 
não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é linear. Sempre que existir algum modelo ou 
previsão teórica para a relação matemática entre as grandezas, é possível encontrar os parâmetros que 
ajustem a curva correspondente com os resultados experimentais. O método matemático genérico que 
permite esse tipo de ajuste é chamado de “Método de Mínimos Quadrados”, pois, como foi exemplificado 
no caso particular do ajuste da reta, são procurados os parâmetros que minimizem o quadrado das 
diferenças 𝛿𝑖 (eq.1) entre o valor medido e o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de 
tratamento de dados permitem fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo 
usuário. Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através da linearização de 
um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção 3-1. 
 
Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos 
 
É muito frequente em Física se lidar com fenômenos onde duas grandezas x e y se relacionam 
linearmente, ou seja, 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. Nesses casos, a partir da regressão linear dos pares de resultados 
obtidos (𝑥, 𝑦) , é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se ajusta aos pontos 
experimentais, conforme descrito na seção anterior. Usando os valores dessas constantes é possível tirar 
informações importantes relativas ao experimento. 
Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é linear, o que 
25 
 
significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma equação de reta. Em situações como 
esta, a obtenção de informações relevantes ao experimento pode ser feita de mais de uma maneira. 
Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a Lei de Coulomb como exemplo. 
 
Linearização 
Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas positivamente com cargas 𝑞1 e 
𝑞2 estão separadas de uma distância 𝑟; existe uma repulsão elétrica mútua entre elas com forças iguais e 
opostas �⃗�1 e �⃗�2, como indicado na figura abaixo. 
 
Figura 3: Duas cargas positivas 𝑞1 e 𝑞2 separadas por uma distância 𝑟, se repelem com forças 
�⃗�1 e �⃗�2. Figura adaptada de [3]. 
 
Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, onde se variou a 
distância 𝑟 entre as cargas e mediu-se o valor do módulo 𝐹 da força de repulsão. Os resultados encontram-
se na Tabela 3. 
 
Tabela 3: Força de repulsão entre duas cargas. 
F(N) r (cm) 
2,93 1,0 
2,50 1,2 
1,41 1,5 
0,96 1,8 
0,78 2,0 
0,51 2,5 
0,36 3,0 
0,20 4,0 
0,13 5,0 
0,09 6,0 
0,07 7,0 
0,05 8,0 
0,04 9,0 
0,03 10,0 
 
 
26 
 
O gráfico do experimento está representado na figura 4. 
 
 
Figura 4: Módulo da força de repulsão elétrica entre duas pequenas cargas carregadas em função 
da distância de separação entre elas. 
 
A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia com o inverso do 
quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se escrever a lei física, 
que deve corresponder ao presente experimento, na forma: 
𝐹 = 𝐶 (
1
𝑟2
) 
onde 𝐶 é uma constante. 
 
Definindo-se uma outra variável 𝑋 igual ao inverso do quadrado de 𝑟, tem-se uma relação entre 𝐹 e 
𝑋 que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza 𝑋 ≡ 1/𝑟2, tem-se 𝐹 = 𝐶. 𝑋. 
Plotando o gráfico de 𝐹 (ordenada) em função de 𝑋 (abscissa), e faça uma regressão linear para 
encontrar os parâmetros da reta do tipo 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 que melhor se ajustam aos pontos. Sendo assim, pode-
se fazer uma regressão linear considerando as novas grandezas: 
𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑌 = 𝐹
𝑋 = 1 𝑟2⁄
𝐴 = 𝐶; 𝐵 ≈ 0
 
 
 
Esses resultados são apresentados na Figura 5. 
 
 
27 
 
 
 
Figura 5: A força entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do quadrado da distância 
entre elas. 
 
O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação, pois as equações envolvidas 
na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve ser feito para se encontrarem novas variáveis, 
que serão funções das anteriores, de maneira que elas tenham relação linear entre si. No caso aqui 
apresentado, o procedimento foi simplesmente representar a força e o inverso do quadrado da distância. 
 
 
2. ATIVIDADES 
 
1) A tabela abaixo mostra o deslocamento 𝑥 em função do tempo t de uma partícula, em movimento uniforme, 
sobre uma superfície horizontal. 
 
(𝑥 ± 0,001)𝑚 0 0,340 0,670 0,980 1,380 1,630 
(𝑡(𝑠) ± 3%) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 
 
(a) Construa o gráfico 𝑥 versus t usando o software SciDavis. 
 
(b) Faça um ajuste linear e determinar os valores dos coeficientes angular A e linear B da reta do tipo 
Y=AX+B que melhor se ajusta aos dados.O valor de B é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y e 
o valor de A é a inclinação da reta. 
 
(c) Qual é o significado físico das constantes A e B? 
 
 
2) Uma partícula, em um plano horizontal, parte do repouso em um movimento com aceleração constante. 
A tabela abaixo mostra o deslocamento 𝑥 em função do tempo 𝑡. 
 
(𝑥 ± 0,001)𝑚 0 0,210 0,440 0,830 1,230 1,810 2,420 3,170 
𝑡(𝑠) ± 3% 0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
 
(a) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico 𝑥 versus 𝑡. Esse gráfico é linear? 
 
28 
 
Em um movimento com aceleração constante, a posição varia no tempo através da relação: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 
Como, inicialmente, a partícula estava em repouso (𝑣0 = 0), podemos escrever: 
 𝑥 = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑡2 
 
(b) Faça uma linearização da função anterior e construa um gráfico linear com os novos dados. Qual é o 
significado físico dos coeficientes angular A e linear B? Determine-os através de uma regressão linear. 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[2] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[3] CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos 
e Científicos, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 
 
1. INTRODUÇÃO: 
 
Tudo se move. Mesmo as coisas que parecem estar em repouso. Elas se movem em relação 
ao Sol e às estrelas. Enquanto você está lendo isto, está se movendo a aproximadamente 107 000 
quilômetros por hora em relação ao Sol [1]. Se uma pessoa caminha no interior de um trem em 
movimento, sua velocidade em relação ao piso do trem é diferente de sua velocidade relativa aos 
trilhos. O movimento é relativo. Quando dizemos que a velocidade de um carro é 60 km/h, 
queremos dizer que tal velocidade é relativa a um ponto fixo na estrada. A menos que seja dito 
outra coisa, sempre que nos referirmos à velocidade com que um objeto se move em nosso 
ambiente, estaremos supondo-a relativa a um ponto estacionário em relação à superfície da Terra. 
Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto em movimento unidimensional é 
construir um gráfico da posição 𝑥 em função do tempo 𝑡, ou seja, um gráfico de 𝑥(𝑡). A partir dos 
dados de posição e tempo, podemos determinar a velocidade média, , do objeto entre dois 
instantes 𝑡1 e 𝑡2 como: 
 (1) 
em que 𝑥1 e 𝑥2 são as posições nos instantes 𝑡1 e 𝑡2, respectivamente. Em um gráfico de 𝑥(𝑡), 
é a inclinação da reta secante que liga os pontos de coordenadas (𝑡1,, 𝑥1) e (𝑡2, 𝑥2). 
Objetos em movimento frequentemente sofrem variações em sua velocidade. Neste caso, a 
velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de 
tempo ∆𝑡 até torná-lo próximo de zero. Quando ∆𝑡 diminui, a velocidade média se aproxima cada 
vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea: 
 (2) 
Em um gráfico de 𝑥(𝑡) a velocidade instantânea 𝑣, em qualquer instante, é a inclinação da curva 
secante que representa a posição em função do tempo no instante considerado. 
Quando a velocidade do objeto varia, diz-se que o objeto sofreu uma aceleração. Para 
movimentos unidimensionais a aceleração média em um intervalo de tempo ∆t é: 
 
 (3) 
medv
t
x
tt
xx
vmed


=
−
−
=
12
12
medv
dt
dx
t
x
v
t
=


=
→
lim
0
t
v
tt
vv
amed


=
−
−
=
12
12
30 
 
onde a partícula tem velocidade 𝑣1, no instante 𝑡1 e velocidade 𝑣2, no instante 𝑡2. A aceleração 
instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por: 
 
Graficamente, a aceleração instantânea em qualquer instante é a inclinação da curva tangente em 
um gráfico 𝑣(𝑡). 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivos: Aprender a construir e interpretar gráficos dos movimentos uniformes e variados 
unidimensionais. 
 
Material Utilizado: Plano inclinado com sensores e cronômetro. 
Procedimentos 1: Movimento Retilíneo Uniforme 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 1 (a), com uma inclinação de 150. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1: Esfera em um tubo inclinado com fluido viscoso (fonte: www.cidepe.com.br). 
 
2. Com auxílio do imã posicione a esfera, que está no interior do tubo com meio viscoso, a 20 
mm antes da marca 0 mm da escala – Figura 1 (b). 
3. Libere a esfera e meça o intervalo de tempo transcorrido desde a passagem da esfera pela 
posição 𝑥0 = 0 m até a posição 𝑥0 = 0,100 m. Repita o procedimento para as posições 
especificadas na Tabela 1. 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,100 0,200 0,300 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 1: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do tubo é 150. 
4. Com os dados da Tabela 1 e com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
dt
dv
t
v
a
t
=


=
→
lim
0
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_001.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/arquitetura/todos/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=331&w=640&tbnid=A0OPf0cQN7f9mM:&zoom=1&docid=Z8lpsILIKwOmsM&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCgQMygLMAs
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_004.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/engenharia/fenomenos-de-transporte/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=450&w=640&tbnid=1DI6xGY5a7DifM:&zoom=1&docid=3fO-ccZAq0IPgM&itg=1&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCwQMygPMA8
31 
 
5. Este gráfico é linear? Qual o significado físico da inclinação da reta (coeficiente angular)? 
6. Determine, através do gráfico de 𝑥(𝑡), o módulo da velocidade da esfera. 
7. No movimento retilíneo uniforme a velocidade é constante e a função posição em função do 
tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡 . Então, escreva esta função para o movimento da esfera e 
determine a posição que a esfera deveria ocupar após 10 s de movimento. 
 
Procedimentos 2: Movimento Retilíneo Acelerado (Apenas para os laboratórios do Coração 
Eucarístico) 
1. Monte o equipamento, conforme a Figura 3, com uma inclinação de 20. 
 
Figura 3 Esfera metálica no Plano inclinado (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
2. Libere a esfera do repouso, na calha lateral do plano inclinado, em 𝑥0 = 0 mm e meça o 
intervalo de tempo transcorrido até a esfera chegar à posição 𝑥 = 0,050 m. Repita o 
procedimento para as posições especificadas na Tabela 3 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 3: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do plano é 20. 
 
3. Com os dados da Tabela 3 construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
4. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
5. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida que 
o tempo passa? 
6. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função posição em 
função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a função resume-se a 
 𝑥(𝑡) =
1
2
𝑎𝑡2 
Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor procedimentos simples para determinar 
experimentalmente a aceleração do objeto a partir dos dados da Tabela 3. 
 
32 
 
Procedimentos 3: Movimento Retilíneo Acelerado (Atividade para os laboratórios das 
unidades Contagem, Praça da Liberdade e São Gabriel) 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 2, com uma inclinação de 50. 
 
Figura 2- Plano Inclinado CIDEPE com sensor (fonte:www.cidepe.com.br) 
 
2. A primeira faixa azul da régua sobre o objeto móvel deve tangenciar a abertura do sensor. 
Esta será a posição 𝑥0 = 0. 
3. Meça a posição do objeto móvel em função do tempo. Consulte as instruções de manuseio 
do multicronômetro. Anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
(𝑡 ± 3%) s (𝑥 ± 0,001) m 
0 0 
 0,018 
 0,036 
 0,054 
 0,072 
 0,090 
 0,108 
 0,126 
 0,144 
 0,162 
 0,180 
Tabela 2: Posição x do objeto móvel em função do tempo t. 
 
4. Com os dados da Tabela 2, construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
5. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
6. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida que 
o tempo passa? 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_sensores_multicronometro_eq001p_1.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/conjuntos/conjuntos-de-fisica/plano-inclinado-com-sensores-e-multicronometro-de-rolagem-de-dados-eq001p&h=450&w=640&tbnid=oZQnkG-veteSfM:&zoom=1&docid=cve4ULf1V2wrPM&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCoQMygNMA0
33 
 
7. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
8. No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função posição 
em função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a função 
resume-se em 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡2 2⁄ . Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor 
procedimentos simples para determinar experimentalmente a aceleração do objeto a partir 
dos dados da Tabela 2. 
 
Bibliografia: 
[1] HEWITT, Paul G. Física Conceitual. 11ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
[2] CIDEPE Livro de atividades experimentais – Física Experimental Mecânica – Plano inclinado. 
[3] www.cidepe.com.br (consultado em 13 de fevereiro de 2015) 
[4] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
mecânica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.cidepe.com.br/
34 
 
 
POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em Física é fundamental estudar o movimento de uma partícula e o estudo do movimento 
só é possível a partir do conceito de localização da partícula em relação a um ponto considerado 
como origem de um sistema de coordenadas escolhido por nós. No nosso caso iremos trabalhar 
com o sistema de coordenadas cartesianas, mas poderíamos trabalhar com outro sistema de 
coordenadas se achássemos mais interessante. A partir da localização da posição da partícula em 
relação à origem do sistema de coordenadas, podemos dizer se sua posição se mantém fixa e a 
partícula está em repouso ou se a posição varia ao longo do tempo, indicando que a partícula está 
em movimento. Como a posição pode variar ao longo do tempo, para estudar o movimento 
precisamos também de um ou mais cronômetros para medir intervalos de tempo. Em uma trajetória 
retilínea a localização da partícula é feita com apenas uma coordenada, normalmente a coordenada 
𝑥 ( no movimento de queda livre normalmente usamos a coordenada 𝑦. Quando a trajetória da 
partícula ocorre no espaço de três dimensões precisamos das coordenadas cartesianas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, 
como foi estudado na disciplina Geometria Analítica. Cada ponto 𝑃 do espaço onde a partícula está, 
num determinado instante t, é representado através das 𝑥, 𝑦 e 𝑧 . Assim criamos uma associação 
biunívoca entre pontos do espaço e números reais. O ponto 𝑃 está associado ao trio de números 
reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e vice-versa, sendo essa associação representada como 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) . Quando a 
partícula se move ao longo do tempo podemos escrever as coordenadas como funções do tempo, 
𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡), sendo o instante de tempo t uma variável comum a todas as coordenadas, sendo 
chamado de parâmetro. O conjunto de pontos do espaço tridimensional por onde a partícula passa 
determina a trajetória da partícula, sendo que a cada ponto da trajetória localizamos a posição da 
partícula através de um vetor posição 
 
𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂� 
 
Para dois pontos quaisquer A e B da trajetória a localização desses pontos é feita através dos 
vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴 �̂� + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂� e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵 �̂� + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂�. Para estudar o quando a partícula se 
desloca entre A e B, definimos o vetor deslocamento da partícula entre esses pontos como sendo 
 
∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ ou ∆𝑟 = (∆𝑥)�̂� + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
35 
 
 
A partir do conceito de deslocamento e do intervalo de tempo para ocorrer o deslocamento, 
podemos definir o vetor velocidade média da partícula entre os pontos A e B. O vetor velocidade 
média é definido como 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆�⃗⃗�
∆𝒕
 
 
mas também pode ser escrito como 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆𝒙
∆𝒕
�̂� +
∆𝒚
∆𝒕
�̂� +
∆𝒛
∆𝒕
�̂� 
 
De acordo com essa definição, o vetor �⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 possui a mesma direção e sentido do vetor 
deslocamento ∆𝑟. Há também o conceito de velocidade escalar média, definida como a razão entre 
a distância percorrida pela partícula e o intervalo de tempo necessário para percorrer essa distância 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
O velocímetro dos carros e motos medem a velocidade escalar média, que é a velocidade 
independente da direção e do sentido. Embora os dois conceitos sejam úteis, o vetor velocidade 
média é mais utilizado na teoria. A partir de sua definição podemos definir o vetor velocidade 
instantânea e também trabalhar com os conceitos de vetores aceleração média e aceleração 
instantânea, assim como trabalhar com forças que atuam sobre uma ou mais partícula que são 
grandezas vetoriais. Nesta prática vamos aprender a trabalhar com os dois conceitos de 
velocidade, a vetorial e escalar. 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivo: Aprender a construir os vetores posição de uma partícula como uma combinação linear 
de vetores unitários, calcular os vetores deslocamento e velocidade média e calcular a velocidade 
escalar media. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e trena. 
 
Procedimentos: 
1. Escolha de um sistema de coordenadas cartesianas: Usando uma das extremidades da 
mesa como origem de um sistema de coordenadas cartesianas, estabeleça o sentido para os 
eixos coordenados 𝑥, 𝑦 e 𝑧. É a partir da escolha de um ponto de referência como sendo a 
36 
 
origem e da orientação dos eixos que as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da 
trajetória são encontradas. Como sugestão, veja a figura abaixo. 
 
2. Encontrando as coordenadas: Utilizando uma trena meça os valores das coordenadas 
𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴 e 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 para dois pontos A e B da rampa, como sugerido na figura acima. Os 
valores medidos serão as coordenadas dos pontos A e B, 
3. Construção dos vetores posição: Os vetores posição associados aos pontos A e B são, 
respectivamente, 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑖̂ + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂� e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵 �̂� + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂� . Substitua as coordenadas 
encontradas acima e encontre os vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ . 
4. Verificação dos valores das coordenadas encontradas: Com as coordenadas dos pontos A 
e B podemos encontrar o módulo dos vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ através do cálculo 
|𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ | = √𝑥𝐴2 + 𝑦𝐴2 + 𝑧𝐴2 e |𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ | = √𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 + 𝑧𝐵2 
 
Calcule os módulos dos vetores posição acima e verifique, usando a trena, se os resultados obtidos 
são coincidentes com as distâncias entre a origem e o ponto A e entre a origem e o ponto B. 
5. Construção do Vetor deslocamento: Com os vetores 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ podemos construir o vetor 
deslocamento ∆𝑟 , com origem no ponto A e extremidade no ponto B, como mostra a figura 
abaixo. Como ∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗, construa o vetor 
∆𝑟 = (∆𝑥)�̂� + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
6. Verificação do vetor deslocamento obtido: Calcule o módulo do vetor deslocamento |∆ 𝑟 | =
√∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2. O resultado do módulo deve ser igual ao comprimento do segmento de reta 
que liga os pontos A e B, como mostra a figura abaixo. Usando a trena, verifique essa igualdade. 
 
7. Medida do intervalo de tempo: Um dos nossos objetivos é determinar o vetor velocidade 
média da esfera entre os pontos A e B. Para isso precisamos medir o intervalo de tempo 
necessário para que a esfera percorra a trajetória entre esses pontos. Para medir esse intervalo 
37 
 
de tempo libere a esfera do ponto A e simultaneamente, acione o cronômetro. Quando a esfera 
passar pelo ponto B, pare o cronômetro. A leitura no cronômetro será o valor de t. O intervalo 
de tempo t é uma medida que não se reproduz se a medida for feita mais de uma vez (iremos 
ver esse tipo de medida e como trabalhar com ela na prática da próxima semana). Pelo fato de 
haver um valor diferente para cada medida do intervalo de tempo, iremos repetir a medida 10 
vezes e escolher o valor de t como sendo o valor médio. Preencha a tabela abaixo e na última 
coluna complete com o valor 
∆𝒕 =
𝟏
𝟏𝟎
∑ ∆𝒕𝒊
𝟏𝟎
𝒊=𝟏
 
∆𝑡1 ∆𝑡2 ∆𝑡3 ∆𝑡4 ∆𝑡5 ∆𝑡6 ∆𝑡7 ∆𝑡8 ∆𝑡9 ∆𝑡10 t 
 
 
8. Vetor velocidade média: Conhecendo o vetor deslocamento ∆𝑟 e o intervalo de t, que 
calculamos no item anterior, podemos calcular o vetor velocidade média a partir da equação 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆�⃗⃗�
∆𝒕
=
∆𝒙
∆𝒕
�̂� +
∆𝒚
∆𝒕
�̂� +
∆𝒛
∆𝒕
�̂� 
Faça os cálculos e escreva o vetor �⃗�𝑚𝑒𝑑 em termos dos vetores unitários �̂�, 𝑗̂ 𝑒 �̂� 
9. Módulo da velocidade média: Agora que temos o vetor velocidade média podemos encontrar 
o módulo desse vetor, ou seja o valor da velocidade média através da equação 
|�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| = √(
∆𝒙
∆𝒕
)
𝟐
+ (
∆𝒚
∆𝒕
)
𝟐
+ (
∆𝒛
∆𝒕
)
𝟐
 
 
10. Velocidade escalar média: Podemos agora calcular a velocidade escalar média e comparar o 
resultado com o valor obtido com o módulo da velocidade média calculado acima. Com a trena 
meça o comprimento 𝑠𝐴𝐵 da curva entre os pontos A e B. O valor da velocidade escalar média 
é calculado por 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑠𝐴𝐵
∆𝑡
 
Compare os resultados de |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| e de 𝑣𝑒𝑚 
 
11. Questões: 
a. Compare o valor do módulo da velocidade média |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| calculado acima com o resultado da 
fração |∆�⃗⃗�|/∆𝒕 , sendo que o valor de |∆�⃗⃗�| foi calculado no item 6 e t no item 7. Os valores 
de |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| e |∆�⃗⃗�|/∆𝒕 são iguais ou diferentes? O que você esperava obter e por quê? 
38 
 
b. Mostre que a igualdade ∆𝑟 = 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ é obtida a partir da regra do paralelogramo que foi 
estudada em Geometria Analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
MOVIMENTO DE PROJÉTIL 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Um projétil é um corpo que se move em um plano vertical com velocidade inicial �⃗� e com 
uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre �⃗�, dirigida para baixo. A Figura 1 
mostra a trajetória de um projétil após abandonar uma superfície horizontal com velocidade 
horizontal �⃗� e onde o efeito do arraste do ar pode ser ignorado. Durante esse movimento 
bidimensional deste projétil a velocidade �⃗� aumenta continuamente. Como o vetor aceleração da 
gravidade �⃗� só possui componente vertical, o projétil não possui aceleração horizontal. Portanto de 
acordo com a figura 1, a componente horizontal da velocidade permanece constante e a 
componente vertical aumenta continuamente. 
O movimento de projéteis parece complicado, mas temos a seguinte propriedade 
simplificadora (demonstrada experimentalmente): 
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são 
independentes, ou seja, um não afeta o outro e ocorrem ao mesmo tempo. 
 
 
Figura 1: Trajetória de um projétil ao abandonar uma superfície horizontal com velocidade �⃗⃗⃗�. São mostradas 
as velocidades em alguns pontos ao longo da trajetória, juntamente com suas componentes. Observe que a 
componente horizontal da velocidade permanece constante, mas a componente vertical aumenta 
continuamente. 
 
Esta propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento bidimensional 
em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o 
movimento horizontal (com aceleração nula), no qual 
 (1)
 
e outro para o movimento vertical (com aceleração constante igual a �⃗� para baixo), no qual 
tvx x=
40 
 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 
𝑔𝑡2
2
 (2) 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
Objetivo: Comparar as características dos movimentos ao longo dos eixos x e y, ou seja, verificar 
se o movimento do projétil é descrito pelas equações (1) e (2). 
 
Material Utilizado: Uma esfera de metal, uma rampa de altura ajustável, uma régua e um 
cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 
 
Figura 2: Uma esfera parte do repouso no ponto A e abandona uma superfície horizontal ao passar pelo ponto 
B. A esfera percorre uma distância horizontal x, com velocidade horizontal constante, até chocar-se com um 
anteparo. 
 
1. Abandone a esfera no topo da rampa, a uma altura h em relação à mesa. 
2. Posicione o anteparo a uma distância horizontal 𝑥 da rampa. 
3. Meça o tempo do movimento da esfera, a partir do momento em que deixa a rampa até se 
chocar com o anteparo. 
4. Meça a distância vertical 𝑦 que a esfera percorre da posição B até se chocar com o 
anteparo. Varie a distância 𝑥 e repita os procedimentos anteriores. Anote todos os 
resultados na Tabela 1. 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
𝒙 (m) 𝒚 (m) 𝒕(s) 
0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
0,500 
0,600 
0,700 
0,800 
Tabela 1: Distância horizontal x e distância vertical y que o projétil percorre em um intervalo de tempo t. 
 
 
3. ANÁLISE DOS DADOS 
a) Construa o gráfico 𝑥 em função de 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e determine a componente horizontal 𝑣0𝑥 da velocidade de 
lançamento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação empírica obtida 
com a equação (1). 
b) Construa o gráfico 𝑦 em função de 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Utilizando 
um ajuste polinomial de grau 2, determine os valores de 𝑦0, 𝑣0𝑦 e de 𝑔, com suas 
respectivas incertezas, comparando a equação empírica obtida com a equação (2). 
c) Construa o gráfico 𝑦 em função de 𝑡2, com auxílio do programa Scidavis. Faça a 
regressão linear e, considerando que 𝑣𝑜𝑦 = 0, determine novamente os valores de 
𝑦0 e 𝑔. 
d) Com os resultados obtidos de 𝑣0𝑥 , 𝑣0𝑦 e 𝑔 , escreva as equações para as 
componentes 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 da esfera em função do tempo. 
e) Calcule o módulo da velocidade e a direção (o ângulo) da velocidade, medido em 
relação ao eixo 𝑥, no instante 𝑡 = 0,5 𝑠. 
f) Escreva a equação para a trajetória da esfera, que deve ser uma parábola (quando 
se despreza a resistência do ar). 
 
 
42 
 
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A mecânica estuda as interações entre os corpos e seus movimentos; trata, especialmente, das 
relações entre essas interações e os movimentos que daí resultam. Estuda, portanto, relações de 
causa e efeito. A causa ou a fonte do movimento é uma força ou um torque. Força é um conceito 
fundamental na mecânica. É entendida como a interação entre duas partículas, entre dois corpos 
(ou objetos), entre dois sistemas físicos.. É uma grandeza vetorial, portanto com modulo, direção e 
sentido. Entre partículas, a única interação possível é dada por uma força. 
São dois os tipos de forças; forças de contato e forças de campo também chamadas de forças de 
ação à distância. Forças de contato são aquelas presentes em uma interação em que há contato 
entre os objetos físicos (partículas, corpos); podem produzir movimento e/ou deformação; ex: atrito, 
impactos (colisões), forças de apoio, tração, tensão, etc. Forçasde campo desenvolvem-se entre 
objetos sem que haja contato mutuo entre eles; ex; forças gravitacionais, elétricas, magnéticas. 
De acordo com a segunda lei de Newton �⃗� = 𝑚�⃗�, uma força pode produzir translação. Veremos 
nas próximas práticas que uma força também pode gerar torque e produzir rotação. 
Quando várias forças atuam sobre um corpo, mesmo em pontos diferentes dele, podem ser 
substituídas por uma única força (e seu torque, se for o caso de rotação), cujo efeito é o mesmo de 
todas as outras. Essa é a força resultante que se obtém pela adição vetorial de todas as forças 
atuando no corpo. Isto é as forças obedecem ao princípio da superposição. Se a força resultante 
está aplicada em um ponto do corpo e se aplicarmos neste ponto outra força, de mesmo módulo, 
direção, mas de sentido oposto, a força resultante será nula. Nesse caso diz-se que o corpo está 
em equilíbrio de translação (poderá estar em repouso relativo ou em movimento sem aceleração). 
Essa última força, que anulou a primeira, é chamada algumas vezes de força equilibrante. Temos 
ainda as forças concorrentes que são aquelas aplicadas ao mesmo ponto de um corpo (ou objeto). 
Em uma partícula, todas as forças que atuam são concorrentes. 
Assim: 
�⃗⃗⃗�𝑹 = �⃗⃗⃗�𝟏 + �⃗⃗⃗�𝟐 + �⃗⃗⃗�𝟑 + ⋯ + �⃗⃗⃗�𝒏 
Sendo �⃗⃗⃗�𝑹 a força resultante de 𝑛 forças sobre a partícula. Nesse caso, �⃗⃗⃗�𝒆𝒒 = −�⃗⃗⃗�𝑹 é a força 
equilibrante, ou seja, 
�⃗⃗⃗�𝒆𝒒 + �⃗⃗⃗�𝑹 = 𝟎 
43 
 
Forças são vetores aplicados; podem ser graficamente representados por segmentos 
orientados (setas). A adição de forças, ou sua composição, pode ser feita representando os vetores 
como segmentos orientados em uma escala e compondo-os graficamente. Também podem ser 
adicionadas por métodos analíticos. 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
Objetivos: (i) Determinar a força equilibrante de um sistema de duas forças coplanares. (ii) 
Calcular a resultante de duas forças coplanares quaisquer e comprovar o caráter vetorial das 
forças. 
 
Material Utilizado: Painel de forças CIDEPE [1], Dinamômetros de fixação magnética de 0 a 2N 
com divisão de 0,02N, Conjunto de massas de 0,5N, Escala de ângulos de fixação magnética 
(transferidor), Acessórios diversos (Figura 1). 
 
Figura 1-Painel de forças e acessórios CIDEPE. [1] 
 
Procedimentos: 
1. Monte o conjunto conforme a figura 2 com os dinamômetros 
2. Coloque 3 massas no suporte 
44 
 
3. Posicione os dinamômetros de modo a formarem um ângulo de 120ºentre si. Movimente o 
gancho com as massas até conseguir o seu alinhamento vertical ao ponto do transferidor 
(ponto de aplicação das forças). 
4. O ângulo  entre as forças 𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗⃗ e 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗⃗ medidas pelos dinamômetros é lido na escala do 
transferidor. 
5. Meça os valores de 𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗⃗ e 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗⃗. Qual o modulo da força equilibrante 𝑭𝟑⃗⃗ ⃗⃗⃗ ? A força resultante 
tem sentido contrário à equilibrante. Faça um diagrama (em escala) das forças envolvidas, 
representando 𝐹3⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ . 
6. Conhecendo as forças componentes e o ângulo entre elas, determine o vetor força 
resultante utilizando os métodos analítico e geométrico. 
7. Compare o valor medido com o valor calculado. 
8. Repita o procedimento para outras combinações de massas nos suportes e outros ângulos 
entre as forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Painel de estática 
 
Bibliografia: [1] CIDEPE Livro de atividades experimentais- Física Experimental-Mecânica- 
Painel de Forças 
 
 
45 
 
EQUILÍBRIO DE UM MÓVEL EM UM PLANO INCLINADO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Você já deve ter observado que comumente uma rampa é usada quando uma pessoa pretende elevar 
uma carga a uma altura ℎ, seja para carregar um refrigerador em uma caminhonete, como na Figura 1, por 
exemplo; pedreiros usam tábuas para fazer rampas para levar um carrinho cheio de areia à um local mais 
elevado, etc. Uma rampa, que possui uma inclinação 𝜃 em relação à horizontal, é comumentes chamada de 
plano inclinado – um tipo de máquina simples amplamente utilizada, que em geral facilita o esforço 
necessário para elevar uma carga. Acredita-se, inclusive, que os egípcios tenham construído suas pirâmides 
usando recursos de planos inclinados para levar os grandes blocos de pedra aos pontos mais altos; mas 
isso é um mistério. 
 
Figura 1: Carga sendo elevada a uma altura 𝒉 através de um plano inclinado. Figura adaptada de [1]. 
 
 
 Há uma razão para o fato de planos inclinados serem vastamente utilizados. Os planos inclinados 
possuem um fator chamado “vantagem mecânica”, que é definido como a razão entre a força motora (força 
que o carregador exerce sobre o refrigerador da Figura 1, por exemplo) e a força resistente (peso do 
refrigerador): 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
Essa vantagem mecânica depende basicamente do ângulo de inclinação da rampa. Se o carregador da 
Figura 1 quisesse suspender verticalmente o refrigerador, ele teria que exercer uma força motora no mínimo 
igual ao peso do refrigerador. Porém, lançando mão de uma rampa com inclinação 𝜃, ele poderá exercer 
uma força mínima (força motora) menor que o peso da carga. 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
Objetivos: identificar as forças que atuam sobre um móvel em um plano inclinado, representando-as através 
de um diagrama de forças; calcular a vantagem mecânica de um plano inclinado; estudar como a força 
motora varia com a inclinação do plano. 
 
Material necessário: 
 
- 01 carro com pêndulo orientador de força acoplado; 
- 02 massas acopláveis de 50g; 
- 01 dinamômetro de 2N; 
- 01 transferidor 180º e régua. 
 
46 
 
 
 
Montagem: 
 
Usando o dinamômetro, determine o peso do móvel formado pelo conjunto carro mais duas massas de 50 
g acopladas. 
 
 
Prenda a cabeceira do dinamômetro entre os dois fixadores, de modo que o dinamômetro fique 
paralelo à rampa. Atenção para verificar o “zero” no dinamômetro antes de prendê-lo ao carro. Coloque o 
móvel sobre o plano e conecte-o ao dinamômetro, de modo que o pêndulo de orientação fique na vertical, 
como na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Esquema de montagem da prática. Retirado de [2]. 
 
Procedimento 1: 
 
1) Ajuste o manípulo do fuso de modo a inclinar o plano com ângulo de θ=30º. 
2) Prenda o móvel pela conexão flexível ao dinamômetro. Atenção para que o indicador de orientação da 
força peso atuando no carrinho não toque na base do conjunto. 
3) Usando o transferidor e régua, desenhe um esquema do plano inclinado com o objeto, como indicado na 
figura abaixo. Atenção para desenhar o esquema do plano com mesmo ângulo da montagem da prática. 
 
 
 
4) Usando a régua, faça o diagrama de forças que atuam sobre o móvel. 
5) Usando o transferidor, anote o ângulo 𝜃′ que a força peso faz com a reta normal ao plano inclinado. 
6) Considerando o eixo 𝑥 paralelo ao plano inclinado e o 𝑦 perpendicular ao mesmo, calcule o valor da 
componente da força peso paralela ao plano: 
47 
 
 
 
Anote o valor da força, 𝐹𝐷, que o dinamômetro exerce sobre o móvel: 
 
- Calcule o erro relativo percentual entre a força exercida pelo dinamômetro, 𝐹𝐷, e a componente 𝑃𝑥 da 
força peso: 
 
- Considerando uma tolerância de 5%, é possível dizer as duas forças são iguais? Isso era esperado? 
Justifique! 
 
7) Calcule o valor da componente da força peso perpendicular ao plano: 
 
 
- Determine o valor da força normal atuando sobre o móvel: 
 
 
8) Tendo em vista a segunda lei de Newton, se o móvel fosse solto do dinamômetro, qual seria o valor de 
sua aceleração ao longo do plano (desconsiderando qualquer atrito)? Esse valor depende da massa do 
móvel? 
 
9) A força que o dinamômetro exerce, 𝐹𝐷, para deixar o móvel em equilíbrio é o valor mínimo necessário 
para movimentá-lo para cima ao longo do plano. Essa força é chamada de força motora, 𝐹𝑀; já o peso é a 
força resistente, 𝐹𝑅. Define-se como vantagem mecânica do plano inclinado, 𝑉𝑀, a razão entre a forçamotora e a força resistente: 
 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
- Calcule a vantagem mecânica do plano inclinado. 
 
Procedimento 2: 
 
1) Meça a massa do móvel com as duas massas acopladas: 
 
 
2) Tendo em vista que, pelo equilíbrio de forças, a força exercida pelo dinamômetro é igual à componente 
𝑃𝑥 da força peso, ou seja, 
 
𝐹𝐷 = 𝑃𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
varie o ângulo do plano e anote os valores correspondentes da força exercida pelo dinamômetro, por 
leitura direta no aparelho, preenchendo a Tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
θ (º) 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑭𝑫(𝑵) 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
Tabela 1: Força exercida pelo dinamômetro em função da inclinação do plano. 
 
3) Plote um gráfico de 𝐹𝐷 vs. 𝑠𝑒𝑛𝜃 e faça uma regressão linear. Qual o significado físico do parâmetros 𝐴 
(coeficiente linear) fornecido pela regressão linear? 
 
4) Estime o valor da aceleração da gravidade. Calcule o erro relativo entre essa estimativa e o valor exato, 
𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠². 
 
 
5) Qual seria o valor da força exercida pelo dinamômetro caso o plano fosse inclinado em 90º? 
6) Mostre que a vantagem mecânica do plano inclinado é 
 
𝑉𝑀 =
𝐹𝑀
𝐹𝑅
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Plano 
inclinado com sensores e multicronômetro de rolagem de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
ATRITO ESTÁTICO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A força de atrito estático, 𝑓𝑒, atua em um corpo em repouso em relação a uma superfície, sempre que 
o mesmo tende a deslizar sobre esta superfície. Essa força varia desde zero, quando não há tendência de 
movimento do corpo relativo à superfície, até o valor máximo, quando o corpo estiver na iminência de se 
mover relativamente à superfície, ou seja: 
 
0 ≤ 𝑓𝑒 ≤ 𝜇𝑒𝑁 
 
onde 𝜇𝑒 é o coeficiente de atrito estático (depende basicamente da natureza das superfícies e é 
praticamente independente da área de contato entre elas) e 𝑁 a força que a superfície exerce sobre o corpo, 
sempre normal ao ponto ou região de contato. Daí a força de atrito estático máxima é 
 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒𝑁 
 
 Nessa prática serão estudadas duas maneiras simples de se determinar o coeficiente de atrito 
estático entre duas superfícies. 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
Objetivo: Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. 
 
Material necessário: 
- 01 plano inclinado com escala de 0 a 45º; 
- 01 rampa auxiliar; 
- 01 corpo de prova de madeira com uma face esponjosa; 
- 01 cilindro maciço; 
- 01 dinamômetro; 
- 01 balança digital. 
 
Procedimento 1: determinação de µe usando dinamômetro 
 
- Determine a massa do corpo de prova: 
1) Com o plano inclinado na horizontal, coloque o bloco sem carga com a face de madeira sobre a rampa 
auxiliar, conectado ao dinamômetro paralelo à superfície, conforme a Figura 1. 
 
 
Figura 1: montagem da prática. 
 
Aumente gradativamente a força aplicada através do dinamômetro. 
2) Registre o valor aproximado da menor força aplicada capaz de iniciar o movimento entre as superfícies 
50 
 
(não se esqueça da incerteza): 
- Desenhe um diagrama de forças atuando sobre o bloco. Determine o valor da força normal, 𝑁, entre a 
mesa e o bloco. 
- Como 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
determine o valor do coeficiente de atrito estático entre as duas superfícies. 
 
 
3) Repita todo o procedimento colocando uma carga (cilindro maciço) de massa 𝑚 = ___________𝑘𝑔 sobre o 
bloco. 
 
Responda e justifique as questões abaixo: 
 
- Por que as forças externas aplicadas inicialmente, dentro de um certo limite, não foram suficientes para 
movimentar o bloco? 
 
- Há diferença na estimativa da força mínima para iniciar o movimento nos dois casos (com e sem carga 
sobre o bloco)? E em relação à força normal agindo sobre o bloco nos dois casos? 
 
- Houve diferença na estimativa do coeficiente de atrito estático entre as superfícies nos dois casos? 
 - Haveria alguma diferença se a face esponjosa do bloco estivesse em contato com a rampa auxiliar? 
 
Procedimento 2: determinação de µe usando plano inclinado 
 
- Monte o plano inclinado com a rampa auxiliar (que deve estar limpa antes de começar o experimento). 
Coloque o corpo de prova com a face de madeira em contato com a rampa auxiliar, com pequeno ângulo de 
inclinação, de modo que o bloco fique estático. 
- Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco na rampa. 
- Demonstre que quando o objeto está na iminência de se mover, na inclinação crítica θc, o coeficiente de 
atrito estático é dado por 
𝜇𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑐 
1) Eleve com a mão a inclinação da rampa lentamente, até que o objeto esteja prestes a se mover. Anote o 
valor desse ângulo crítico na Tabela 2, e estime o correspondente valor de µe; 
 
2) Diminua a inclinação da rampa, e repita o procedimento (1) por cinco vezes. 
 
3) Calcule o valor médio e o desvio médio de θc. e µe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
i 
Face de madeira 
θ µe 
1 
2 
3 
4 
5 
Média 
Desvio médio 
Tabela 2: medidas do ângulo crítico e coeficiente de atrito estático 
 
- Considerando uma tolerância de 10%, as estimativas de µe entre os procedimentos 1 (sem carga) e 2 são 
diferentes? Se sim, explique porque, já que as superfícies são as mesmas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
ATRITO CINÉTICO 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A força de atrito cinético é aquela que age sobre um corpo quando em movimento relativo à superfície 
de apoio. Em se tratando de superfícies sólidas, a experiência tem mostrado que a força de atrito é 
praticamente constante e depende apenas das superfícies e da força normal que uma superfície exerce 
sobre a outra. A força de atrito cinético é dada por: 
 
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁 
 
onde 𝜇𝑐 é o coeficiente de atrito cinético e 𝑁 é a força normal que a superfície exerce sobre o corpo, sempre 
normal ao ponto ou região de contato. O coeficiente de atrito é uma quantidade adimensional e deve ser 
determinado experimentalmente. Seu valor depende das propriedades do corpo e da superfície em que este 
está em contato. Em geral, o coeficiente de atrito cinético é menor que o coeficiente de atrito estático. 
Portanto, a intensidade da força de atrito cinético é menor do que a intensidade máxima da força de atrito 
estático que age sobre o corpo em repouso. 
 
2. PARTE EXPERIMENTAL 
1. Abandone o objeto sobre uma superfície inclinada, em relação à horizontal, conforme Figura 1, 
para que o objeto desça em movimento acelerado. 
2. Meça o tempo para o objeto percorrer as distâncias 𝑑1 = 0,10 m, 𝑑2 = 0,20 m, etc.. Anote os 
resultados na Tabela1. 
 
Figura 1: Um objeto é abandonado sobre uma superfície inclinada para descer em movimento acelerado. 
 
𝑑 (m) 0 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 
𝑡 (s) 0 
𝑡2(s2) 0 
Tabela1: distância 𝒅(m) percorrida pelo objeto, sobre um plano inclinado, em um tempo t(s). 
 
53 
 
O movimento do objeto sobre o plano inclinado é acelerado, com aceleração 𝑎 constante. 
Portanto, seu movimento é descrito pela equação. 
𝑑 = 
𝑎
2
𝑡2, (3) 
Considerando que o objeto parte do repouso, isto é, com velocidade inicial igual a zero. 
3.Construa o gráfico 𝑑 em função de 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. O resultado está de 
acordo com o esperado? 
4.Construa o gráfico 𝑑 em função de 𝑡2, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e determine a aceleração do movimento, com sua respectiva incerteza, comparando a 
equação empírica obtida com a equação (3). 
5. Meça a massa do objeto e determine a força resultante que atua sobre ele. 
6. Faça um desenho, mostrando todas as forças