ATIVIDADE A4 - LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

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27/05/2022 06:52 Anhembi Morumbi DL
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Atividade 4
Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço e é uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que identificam uma mesma medida de temperatura.
Considere o mapa do Rio Grande do Sul que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de previsão do tempo. Ele registra as isotermas, em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identificados de I a V, apresenta o maior gradiente de temperatura naquele momento? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. Justificativa: No trajeto I do território, a variação da temperatura é maior em uma distância linear relativamente pequena quando comparada aos demais trechos. Então, o gradiente de temperatura é o mais alto. 
No trajeto II, por exemplo, a variação de temperatura é a mesma que em I, mas a distância territorial é maior. Portanto, o gradiente em II é menor do que em I.
I.
Resposta correta
III.
IV.
V. 
 
II.
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Atividade 4
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto é definido em que é va-
lor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas seguintes em um sistema de eixos cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6). 
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo. 
PORQUE 
II. O produto escalar . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta correta. Justificativa: São três pontos distintos em R 3 
o que define os vértices de um triângulo. O produto escalar
= (0, -6, -6)
 (0, -3, 3) =
. Significa que os vetores
 e
 são ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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Atividade 4
Suponha que o vetor posição de uma partícula P em movimento no espaço ℝ3 seja dado, em função do tempo, pela expressão . Os vetores , e possuem módulo unitário
e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas. 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. O componente z da aceleração vetorial é zero. 
II. A velocidade vetorial é . 
III. A posição inicial da partícula é . 
IV. A trajetória da partícula é helicoidal. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta correta. Justificativa:
.
 ?
.
. Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.
V, V, F, F. 
  
 
V, V, V, F.
V, V, V, V.
Resposta correta
V, F, V, F.
V, V, F, V.
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Atividade 4
A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores e são vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário. 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente.
Resposta correta. Justificativa:
 e
. Sendo
, então o módulo da velocidade vetorial média é
m/s. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período
 = 1 s é
 = 4,7 m/s.
1,8 e 4,7 m/s.
3,7 m/s e 2,4 m/s.
4,7 m/s e 4,7 m/s.
3,7 m/s e 3,7 m/s.
3,7 m/s e 4,7 m/s.
Resposta correta
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Atividade 4
Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um
espaço euclidiano ℝ3: P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2,-2). Eles definem os vetores = (1, -1, 1), = (1, -3, -1), = (-2, 1, -3), dentre outros. 
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. Pertencem ao mesmo plano. 
PORQUE 
II. . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Pela propriedade da geometria vetorial de que um produto misto do tipo
 está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores, temos que, para
,
 e
conforme definidos no enunciado,
 X = 0. Como definem um volume que é nulo, os pontos P, Q, R e S necessitam pertencer ao mesmo plano.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
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Atividade 4
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por , em que é o ângulo subentendido entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0),
Q(10k -1, 20K, 20) e R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos. 
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. 
II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo. 
III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P. 
IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta correta. Justificativa: Não há valor de k para o qual
e
 e
 o que implica que os pontos P, Q e R são distintos e três pontos distintos em R 3 definem um triângulo. Se k = 1 ?
(-1, 10, 20)
 (0, 20, -10) = 0 cuja conclusão é a de que os vetores são ortogonais entre si e, portanto, o triângulo é retângulo em P, a sua área pode ser calculada: Área =
u.a.
V, V, V, V.
V, V, V, F.
Resposta correta
F, V, V, V.
V, V, F, V.
V, F, V, V.
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Atividade 4
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que
porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por . 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) . 
II. ( ) // 
III. ( ) . 
IV. ( ) . 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta correta. Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si, necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetores
  e
 possuem sentidos opostos, então são vetores distintos e a equivalência
 está incorreta.
V, V, V, F.
Resposta correta
V, F, V, V.
F, V, V, V.
V, V, F, V.
V, V, V, V.
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Atividade 4
Dados dois vetores, = (ax, ay, az) e = (bx, by, bz), define-se como produtor escalar, representado por , o número real axbx 
+ ayby + cxcy ou ao equivalente em que θ é o ângulo compreendido entre eles. Suponha, então, os vetores = (2, 1, m), = (m+2, -5, 2) e = (2m, 8, m). 
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações + e serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. Justificativa: Para serem ortogonais entre si, é condição necessária que o ângulo entre os vetores seja
. Assim
 e
 
 ou
.
m = -6 ou m = 3.
Resposta correta
m = 3 apenas.
Não existe m ∈ ℝ.
m = -6 apenas.
Qualquer m ∈ ℝ.
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Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo = 1 m/s, inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m de , horizontal, e a partícula 2
ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1. 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: 
II. ( ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: 
III. ( ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si. 
IV. ( ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes. 
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequênciacorreta.
Resposta correta. Justificativa: Para a partícula 1,
 com
 . Logo,
. Para a partícula 2,
 e
. Como não existe um momento t no qual
 as partículas nunca se chocam. Para 
 
 s. Para
?
s. Ou seja, a passagem da partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma coordenada.
V, V, V, F.
V, V, F, F.
V, F, F, F.
F, V, F, F.
V, V, F, V.
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Atividade 4
No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido por 
, em que , e são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x,
y e z. 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
1. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de uma grandeza vetorial. A função
 identifica o módulo, a direção e o sentido em que a função escalar 
apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em um dado ponto de coordenadas
.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições falsas. 
  
 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
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