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Cálculo numérico Aula 3: Solução de equações transcendentes e polinomiais – raízes de equações Apresentação Nesta aula, aplicaremos os métodos numéricos para a resolução de problemas em Engenharia. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura. Objetivos Identi�car os primeiros métodos numéricos. Comparar e aplicar os métodos para solução de equações transcendentais e polinomiais. Nesta aula, apresentaremos métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real. Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa c, tal que f(c) = 0, ou seja, consiste em “achar o zero da equação” ou achar a(s) raíz(es) da equação. Para determinar aproximadamente essa solução real c, são desenvolvidos métodos iterativos. Há métodos iterativos especí�cos para determinar a solução c quando este é um número complexo. Os métodos que veremos a seguir nos permitem obter, por processo iterativo, a solução de uma equação f(x) = 0, onde f(x): R → R, fornecendo uma aproximação inicial x . Dessa forma, obtém-se uma sucessão de pontos x , x ... x , tal que x → p quando n → +∞ e f(p) = 0. Diz-se que p é uma raiz da equação f(x) = 0, se f(p) = 0. Essa solução x, pode ser obtida através de recursos grá�cos. Assim, podemos de�nir um intervalo onde se encontra a solução c. o o 1 n n Métodos de intervalo 01 método da bisseção 02 método da falsa posição Método da bisseção O método da bisseção baseia-se no teorema do valor intermediário estudado na disciplina de Cálculo I. Esse teorema a�rma que se uma função contínua no intervalo [a,b] satisfaz a condição f(a) f(b) < 0, onde f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe c ∈ [a,b], tal que f(c) = 0. Isso signi�ca que existe pelo menos uma raiz no intervalo [a,b]. Ideia geral: Este método encontra por inspeção dois pontos, a e b, tais que f(a) e f(b) tenham sinais contrários. A partir de um intervalo [a,b] localizado inicialmente, onde se encontra a raiz c (de�nida anteriormente), determinamos uma sequência de intervalos. Estaremos sempre dividindo o intervalo [a,b] na metade para veri�car se a raiz ainda se encontra em uma dessas metades. Com esse procedimento, diminuiremos o intervalo e nos aproximaremos cada vez mais do valor da raiz da equação. Observe que, se f(a) = 0 ou f(b) =0, encontramos a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0 entre a e b. Para parar esse procedimento, utilizaremos uma tolerância 𝜀 pré-de�nida. Clique nos botões para ver as informações. Observe, na �gura a seguir, que f(-4) < 0, ou seja, quando x vale -4, o valor de y é negativo. Veja também que f (-2) > 0. Logo, existe um zero da função neste intervalo. exemplo 1 1ª iteração: dividir o intervalo [a,b] x = (a + b)/2 O que pode ocorrer: f(x2) = 0 → x2 é a raiz procurada. f(x2) e f(b) têm sinais contrários → a raiz está neste novo intervalo. f(x2) e f(a) têm sinais contrários → a raiz está neste novo intervalo. Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximação para a raiz da equação com a precisão desejada. Ou seja, de�ni-se 𝜀 como critério de parada e, a cada iteração, veri�ca-se se a solução está dentro desse limite desejado. 2 Seja a equação x² + In x = 0, com 𝜀 = 0.01. Observe que essa equação possui duas funções: f1(x) = x² e f2(x) = -In x, pois x² = -In x. Veja que a raiz da equação original estará na interseção das duas funções e que f (x) = 0 quando x = 0, e que f (x) = 0 quando x = 1. Suponha que x = 0.1 e x = 1, ou seja, intervalo inicial [0.1,1]. Podemos veri�car que f(0.1).f(1) < 0. Logo, temos uma raiz neste intervalo (condição do teorema do valor intermediário). No próximo passo, devemos calcular: x = (1 + 0.1)/2 = 0.5500. E, em seguida, fazer o teste para veri�car se estamos no intervalo correto. Veri�camos que f(x ). f(x ) > 0 e f(x ).f(x ) < 0. Logo, o novo intervalo será [x ,x ] = [0.5500, 1]. Passamos então a calcular x = 0.7750. Agora, devemos testar se já dividimos o bastante para estar dentro da precisão desejada, isto é, x − x / x = 0.2903 > 𝜀 Como ainda não alcançamos 𝜀 = 0.01, deveremos continuar com as iterações. exemplo 2 1 2 0 n 1 1 0 1 n 1 n 2 1 0 1 Atenção Quando dizemos f(x ) onde x = 0.5500, signi�ca que devemos colocar na função f(x ) = x² = (0.5500)². E, ao fazermos f(x ). f(x ) > 0, estamos fazendo o produto do resultado de f(x ) por f(x ) e veri�cando se o mesmo é positivo ou negativo para podermos aplicar o teorema do valor intermediário. 1 1 1 1 0 1 0 Método da falsa posição Seja f(x) contínua no intervalo [a,b], tal que f(a).f(b) < 0, o teorema do valor intermediário continuará sendo utilizado. Suponha que o intervalo contenha uma única raiz da equação f(x) =0. Temos como objetivo encontrar uma raiz aproximada usando as informações sobre os valores de f(x) a cada iteração. Ao invés de tomarmos a média aritmética, como no método da bisseção, para dividir o intervalo em busca da raiz aproximada ou mesmo a exata, no método da Falsa Posição, tomamos a média aritmética ponderada entre a e b com pesos | f(b) | e | f(a) | respectivamente. Visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos, então: Este valor de x é o ponto de interseção entre o eixo ox e a reta r(x) que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)) conforme o grá�co. Para provar esta conclusão basta usar semelhança de triângulos. x = = a|f(b)+b|f(a) |f(b)|+|f(a)| af(b)−bf(a) f(b)−f(a) Exemplo Seja a função: x log x - 1 em [a , b ] = [2,3], temos:0 0 1° passo Veri�car as condições do teorema do valor intermediário: f(a ) = -0.3979 < 0 f(b ) = 0.4314 > 0 Logo existe pelo menos uma raiz neste intervalo. 0 0 2° Passo af(b)−bf(a) f(b)−f(a) = af(b)−bf(a) f(b)−f(a) 2x 0.4314−3x( 0.4314−(−0 Ao voltar ao passo 1, testando f(x ) e comparando com f(a ) e f(b ), veri�ca-se que f(x ) = -0.0219 < 0. Logo, para que sejam satisfeitas as condições do teorema do valor intermediário, o novo intervalo será [x , b ]. Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] com f(a).f(b) < 0, então o método da falsa posição converge. O critério de parada será o mesmo utilizado no método da bisseção, ou seja, um valor 𝜀 dado. 0 0 0 0 0 0 Atividades Questão 1 Desenvolva o método da bisseção para a função x² + ln x = 0, com 𝜀 = 0.01. Questão 2 Desenvolva o método da falsa posição para a função f(x) = x³ - 9x + 3, no intervalo [0,1] para três iterações e de�na qual é o valor aproximado da raiz encontrada ao �nal das iterações. iteração x f(x) 1 2 3 NotasReferências ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Thomson Learning, 2008. BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2006. Próxima aula Outros métodos para solução de equações transcendentes e polinomiais – raízes de equações. Explore mais Pesquise na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu professor online, utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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