lista 1 - P1 MAT 146 UFV

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
1a Lista - MAT 146 - Cálculo I - PHT
1) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
(a) |3x− 7| = x + 2
(b) |x− 5| = |3x− 1|
(c) x4 − 5x2 + 4 = 0
(d) x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
2) Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes inequações:
(a) |2x− 5| < 1
(b) |x− 2| ≥ |4x + 1|
(c) x2 ≤ 4
(d) 3 < 5x ≤ 2x + 11
(e) 2x ≥ 3x2 − 16
(f) 0 <
x− 1
2x− 1
< 2
(g)
2
x
− 4 < 3
x
− 8
(h)
5
3− x
≥ 2
(i)
x + 2
x− 1
≤ x
x + 4
(j)
x
3
− x + 1
2
<
1− x
4
(k) (x− 1)(2x− 3) ≥ 0
(l) −6 ≤ x2 − 5x < 6
(m) (x2 + 2x− 3)(3x2 − 4x + 8) < 0
(n) |x2 − x| > 2
(o) |x + 2| − |x− 3| > x
3) Simplifique as expressões:
(a)
x2 − 2x
x2 − x− 2
(b)
(5 + x)2 − 25
x
(c)
x2 − 3x
x2 − 9
(d)
2x2 + 11x− 21
x3 + 2x2 + 4x
· x
3 − 8
x2 + 5x− 14
(e)
x3 + 1
x2 − x− 2
÷ x
2 − x + 1
x2 − 4x + 4
4) Sejam f, g funções dadas por f(x) =
√
4− x2 e g(x) =
√
x2 − 3x. Determine:
(a) domı́nio de f ;
(b) domı́nio de g;
(c) domı́nio de f + g, f − g e f.g;
(d) domı́nio de
f
g
;
5) Simplifique a expressão
f(1 + h)− f(1)
h
, h 6= 0, para cada uma das seguintes funções
(a) f(x) = x2 + x
(b) f(x) = 3x + 5
(c) f(x) = x3
(d) f(x) =
√
x + 2
(e) f(x) =
1
x
6) Seja a função quadrática definida por f(x) = mx2 + 2x + 1, m 6= 0. Determine m para que a função admita um valor
máximo em x = 1.
7) Uma das dimensões de um piso retangular é 4 m e sua área é menor que 132 m2, sendo x a outra dimensão do piso
(a) Determine uma inequação que x deve satisfazer.
(b) Resolva a inequação obtida.
8) Um fabricante de latas deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 20 cm de altura e 3000 cm3 de
capacidade. Determine o raio interior r.
9) Seja f : [a, b]→ R uma função. Dê uma interpretação geométrica para o quociente f(x)− f(a)
x− a
, x ∈ (a, b].
10) Esboce o gráfico das funções abaixo, com cada transformação solicitada, sendo f(x) =
√
x.
1
(a) f(x) + 1;
(b) f(x + 1);
(c) f(2x)
(d) −1
2
f(x);
(e) f(|x|);
(f) |f(x)|.
11) Dadas as funções f e g, determine as compostas f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos domı́nios.
(a) f(x) = 3x e g(x) = 3x + 2;
(b) f(x) = x + 2 e g(x) = 4x2 − 1;
(c) f(x) =
√
x e g(x) = 3x2 + 2;
12) Dadas as funções
f(x) =
{
x2 + 2, se x ≤ 1
4− x2, se x > 1 e g(x) = 2− 3x,
determine as leis que definem f ◦ g e g ◦ f.
13) Considere as funções
f(x) =
 −2x− 1, se x ≤ 0x2 − 3, se 0 < x ≤ 3
x, e x > 3
e g(x) =
√
1− x.
(a) Faça o esboço do gráfico de f ;
(b) determine g ◦ f e seu respectivo domı́nio.
14) Determine o domı́nio das seguintes funções:
(a) f(x) =
√
−bx, b ∈ R
(b) f(x) = ln
(x
a
)
, a ∈ R+
(c) f(x) = ln(1 + ex)
(d) f(x) =
√
3− x
(e) f(x) =
√
6 + x− x2
(f) f(x) =
√
x2 − 1
x− 2
(g) f(x) =
1
x2 − 6x + 5
+
1
x + 4
(h) f(x) =
√
x− 2√
x + 2
(i) f(x) =
√
|2x− 1| − 4
(j) f(x) =
5x− 7
x2 − 4x− 5
(k) f(x) = 6
√
x2 + 3x− 4
(l) f(x) = 3
√
x2 + 3x− 4
(m) f(x) = ln(x2 + x− 2)
(n) f(x) =
1
1−
√
x
(o) f(x) =
√
x
x2 − 1
(p) f(x) =
√
1
x + 1
− 2
x− 3
(q) f(x) =
√
1− x2 +
√
x2 − 1
15) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0) das seguintes funções:
(a) f(x) = −3x + 9
(b) f(x) = x2 − 5x + 6
(c) f(x) =
x2 − 3x− 4
x− 2
(d) f(x) = (x2 − 2x− 3)(−x2 − 3x + 4)
(e) f(x) =
x2 − 5x + 6
x2 − 16
(f) f(x) = x2 − 2x + 1
(g) f(x) = (2x− 3)(x + 1)(x− 2)
(h) f(x) =
x(2x− 1)
x + 1
16) Considere f uma função dada por f(x) =
(x− 3)(x + 4)
(x + 2)(x2 + 4x− 5)
. Determine:
(a) domı́nio de f ;
(b) f(0);
(c) valores de x tais que f(x) = 0;
17) Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções.
(a) f(x) = 1 +
√
1 + x (n = 2)
(b) f(x) = sen2(2x + 1) (n = 3)
(c) f(x) = cos
(
1
x2 + 1
)
(n = 3)
18) Com base no domı́nio e no sinal das funções abaixo relacionadas, associe cada uma delas ao seu respectivo gráfico:
2
(a) p(x) = x2 − 4
(b) g(x) =
√
(x2 − 4)2
(c) h(x) =
1
x2 − 4
(d) k(x) =
√
x2 − 4
(e) f(x) =
1√
x2 − 4
(f) r(x) =
√
x2 − 2
√
x2 + 2
I
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
II
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
III
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
IV
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
V
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
VI
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
19) Obter a equação da reta que satisfaz as condições indicadas:
(a) passa por (3, 5) e coeficiente angular m = −2;
(b) passa pelos pontos (1, 6) e (2, 6);
(c) passa pelos pontos (1, 6) e (1,−3);
(d) passa pelos pontos (1, 2) e (4, 4);
(e) passa pelo ponto (−2, 1) e tem coeficiente linear b = 4;
(f) passa pelo ponto (1, 6) e é paralela ao eixo x;
(g) passa pelo ponto (5, 3) e é perpendicular a y = 2x− 7;
(h) passa por (−4, 3) e é paralela à reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).
20) Encontre o ponto de interseção de cada um dos seguintes pares de retas:
(a) 2x + 2y = 2 e y = x + 1
(b) 2x− 3y = 7 e 6y = −14 + 4x
(c) x− y = −3 e 2x + 3y = 4
21) Verdadeiro ou falso, justifique:
3
(a) Se x < y, então −5x < −5y.
(b) Se x2 ≤ 16, então x ≤ 4.
(c) Se x2 ≤ 16, então x ≤ −4.
(d) Se x2 ≥ 16, então x ≤ −4.
(e) Se x 6= 0, y 6= 0 e x < y, então 1
x
>
1
y
.
(f) Se x < y, então x2 < y2.
(g) Se 0 < x < y, então x2 < y2.
(h) Se x < 1, então x3 < x.
22) Determine as ráızes reais das seguintes equações:
(a) x2 − 3x + 2 = 0
(b) x2 − 25 = 0
(c) x3 + 4x2 + 4x = 0
(d) 4x4 − x2 = 0
(e) x3 − x2 + x− 1 = 0
23) Simplifique as expressões:
(a) (1 + cosx)(1− cosx)
(b)
1 + cotg2 x
sec2 x
(c)
cosx− 1
secx− 1
(d)
sen2 (2x)
(1 + cos (2x))2
+ 1
(e) cos2 (2x)− sen2 x
(f) tg x− cossecx(1− 2 cos2 x) secx
24) Faça a divisão do polinômio p(x) pelo polinômio q(x), nos seguintes casos.
(a) p(x) = 10x2 − 43x + 40 e q(x) = 2x− 5
(b) p(x) = 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x + 5
4