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Cálculo 1
Professor: Josimar Ramirez Aguirre
Números Reais e Funções
1. A função módulo é definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o módulo de x é exatamente a distância desse
ponto até o ponto 0. Determine para quais valores de x as igualdades abaixo são
satisfeitas.
(a) |x| = 4 (b) |2− x| = −1 (c) |x| = −|x|
(d) |2x+ 5| = 4 (e) |x− 3| = |2x+ 1|
2. Considere a função f(x) = 2x+1 de δ um número real positivo. Prove que |x−1| < δ
implica que |f(x)− f(1)| < 2δ.
3. Determine para quais valores de x as desigualdades abaixo são satisfeitas.
(a) |x| < 2 (b) |5x| ≥ 20 (c) |x| > 0
(d) |x+ 3| ≥ 2 (e) |3x− 8| < 4
4. Determine o domı́nio de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2
(b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√
|x| − x
ex − 1
(d) r(x) =
x√
|x| − 1
(e) p(x) =
√
1−
√
1− x2 (f) f(x) = ln(−x2 + 4x− 3)
5. Faça o gráfico as seguintes funções:
(a) y = 5− 2x (b) y = 1− 2x− x2 (c) y =
√
|x|
(d) y = |2x+ 5| (e) y = x/|x|
6. Definimos a soma de duas funções f e g como sendo a função
(f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀x ∈ dom(f + g) := dom(f) ∩ dom(g).
Observe que o domı́nio da função soma é a intersecção dos domı́nio de f e g, pois
para somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f : R→ R e g : R \ {7} → R são dadas por
f(x) = 2x2 − 8, g(x) = 2
x− 7
,
então (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 2x2−8+ 2
x− 7
, para todo x ∈ dom(f+g) = R\{7}.
De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções.
Neste último caso é importante excluir do domı́nio os pontos que anulam o de-
nominador.
Para f e g como acima, determine a expressão e domı́nio de
(a) (f − g)(x) := f(x)− g(x) (b) (f · g)(x) := f(x)g(x)
(c)
(
f
g
)
(x) :=
f(x)
g(x)
(d)
(
g
f
)
(x) :=
g(x)
f(x)
7. Definimos a composição de duas funções f e g como sendo a função
(f ◦ g)(x) := f(g(x)), ∀x ∈ dom(f ◦ g) := {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)}.
Para o cálculo de (f ◦ g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que
y = g(x) esteja no domı́nio de f , dáı a explicação do domı́nio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exerćıcio anterior, temos que
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2
f(x)− 7
=
2
(2x2 − 8)− 7
=
2
2x2 − 15
, ∀x 6= ±
√
15
2
.
Veja que, no domı́nio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) 6∈ dom(g) =
R\{7}. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x2− 8 = 7.
Ainda considerando as funções f e g como no exerćıcio anterior, determine a ex-
pressão e domı́nio de cada uma das composições abaixo.
(a) (f ◦ g) = f(g(x)) (b) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) (c) (g ◦ g)(x) = g(g(x))
8. Considerando f(x) = (4 − x)/x, determine a expressão e o domı́nio de cada uma
das funções abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
9. Expresse a função F (x) = 1/
√
x+
√
x como a composição de três funções.
10. Em cada um dos itens abaixo, encontre a equação da reta que satisfaz as exigências
apresentadas
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinação igual a −1
2
(c) passa pelo ponto (5,−1) e é paralela à reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e é perpendicular à reta 8x− 13y = 13
11. Denotando por x e y os lados de um retângulo cujo peŕımetro é igual a 100, determine
o domı́nio e a expressão da função d(x) que fornece o comprimento da diagonal do
retângulo em função de x.
12. A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa
como segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos vértices da cartolina
e dobramos as abas. Determine a expressão e o domı́nio da função V (x) que fornece
o volume da caixa em função de x.
13. Sejam x, y e z os lados de um triângulo retângulo, onde x é a hipotenusa. Suponha
que o triângulo tem peŕımetro igual a 6. Determine a expressão da função A(x) que
fornece a área do triângulo em função de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
14. Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, é posto em uma fonte de calor. Neste
experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias,
para que a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo
aumenta sua temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, são necessárias mais 80
cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de
liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressão de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
15. Responda as seguintes perguntas, justificando suas respostas
a) Se f, g são funções pares. A função f + g é par? O que acontece se f, g são
impares ou se uma é impar e a outra par.
b) Se f, g são funções pares. A função fg é par? O que acontece se f, g são
impares ou se uma é impar e a outra par.
16. Encontre uma fórmula para a inversa da função.
(a) f(x) = 1 +
√
2 + 3x (b) f(x) = 4x−1
2x+3
(c) f(x) = e2x−1
(d) y = x2 − x, x > 1/2 (e) y = ln(x+ 3) y = ex
1+2ex
17. Resolva cada uma das seguintes equações:
(a) e7−4x = 6 (b) ln(x2 − 1) = 3 (c) e2x − 3ex + 2 = 0
(d) lnx+ ln(x− 1) = 1 (e) ln(lnx) = 1 (f) eax = Cebx, a 6= b
18. Mostre que cos(sin−1 x) =
√
1− x2.
19. Encontre o domı́nio e o contra-domı́nio da função
g(x) = sin−1(3x+ 1)
3
20. Determine se as seguintes funções são par, impar ou nenhuma das duas.
a) 2x5 − 3x2 + 2
b) x3 − x7
c) e−x
2
d) 1 + sinx.
4
Gabarito:
1. a) x = 4, 4
b) x ∈ {∅}
c) x = 0
d) x = −1/2, −9/2
e) x = −4, 2/3
2. |f(x)− f(1)| = |2x+ 1− 3| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ
3. a) x ∈ (−2, 2)
b) x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞)
c) x 6= 0
d) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,∞)
e) x ∈ (4/3, 4)
4. a) Df = R \ {2,−1}
b) Dg = R \ {−1}
c) Dh = R \ {0}
d) Dr = (−∞,−1) ∪ (1,∞)
e) Dp = [−1, 1]
f) Df = (1, 3)
6. a) (f − g)(x) = 2x2 − 8− 2
x− 7
, Df−g = R \ {7}
b) (f.g)(x) = (2x2 − 8)
(
2
x− 7
)
, Df.g = R \ {7}
c)
(
f
g
)
(x) =
(x− 7)(2x2 − 8)
2
, Df/g = R
d)
(
g
f
)
(x) =
2
(x− 7)(2x2 − 8)
, Dg/fR \ {7, 2,−2}.
5
7. a) (f ◦ g)(x) = 8
(x− 7)2
− 8, Df◦g = R \ {7}
b) (f ◦ f)(x) = 8x4 − 64x2 + 120, Df◦f = R
c) (g ◦ g)(x) = 2x− 14
51− 7x
, Dg◦g = R \ {7, 51/7}
8. a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
=
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x
, D = R \ {0, 4}
b) f(x2)− f(x)2 = −2x
2 + 8x− 12
x2
, D = R \ {0}
c) f(f(x)) =
5x− 4
4− x
, D = R \ {0, 4}
9. Considere as funções f(x) = 1/x, g(x) =
√
x, h(x) = x+
√
x.
Logo F (x) = (f ◦ g ◦ h)(x)
10. a) 5y + x− 23 = 0
b) y + x− 2 = 0
c) 5y + 2x− 5 = 0
d) 13x+ 8y − 8 = 0
11. d(x) =
√
x2 + (50− x)2, Dd = (0, 50)
12. V (x) = 4x3 − 72x2 + 308x, x ∈ (0, 7)
13. A(x) = 9− 3x
14. a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
b) Q(T ) =

20 + T/2, −40 6 T 6 0
T + 100, 0 < T < 80
16. a) f(y) =
y2 − 2y − 1
3
b) f(y) =
1− 3y
2y − 4
c) f(y) =
ln y + 1
2
d) f(y) =
1 +
√
1− 4y
2
dado que x > 1/2
e) f(y) = ey − 3
f) f(y) = − ln
(
1− 2y
y
)
17. a) x = (7− ln 6)/4
b) x = ±
√
e3 + 1
c) x = 0, ln 2
6
d) x =
1±
√
1 + 4e
2
e) x = ee
f) x =
eC
a− b
19. Dg = [−1, 1], Rg =
[
−1
3
− π
6
,−1
3
+
π
6
]
20. a) Nenhuma b) Impar c) Par d) Nenhuma
7