AULA 25 01 SOMATÓRIO

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Notação SIGMA (SOMATÓRIO) 
Aula 1 – 25/01/2022
∑ -
Notação Sigma (Somatório)
Muitos dos processos estatísticos – na realidade, a maioria – exigem o cálculo da soma de um conjunto de números. Usa-se a letra
maiúscula grega ∑ (sigma) para denotar um soma. Assim, se uma variável x tiver os valores 1, 5, 6 e 9, então ∑ x = 1 + 5 + 6 + 9 = 21. Analogamente, se as
despesas y com armazém numa semana foram R$120,00, R$70,00, R$30,00, R$45,00, então ∑ Y = 120 + 70 + 30 + 45 = R$ 265,00.
Exemplo 1. Se os valores de x são, 2, 4, 5 e 9 calcule ∑x, ∑X2, (∑X)2
∑x = 2 + 4 + 5 + 9 = 20
∑X2 = 22 + 42 + 52 + 92 = 4 + 16 + 25 + 81 = 126
(∑X)2 = (2 + 4 + 5 + 9 )2 = (20)2 = 400
Se apenas uma parte dos valores é que ser somada, usam-se índices (i) para indica-los. Assim,
෍
i=1
5
xi
Significa a soma dos valores da variável x começando com o primeiro ( i = 1) e terminando com o quinto (i = 5):
σi=1
5 xi = x1 + x2 + x3 + X4 + x5
σi=1
n xi significa que devemos somar n (todas) observações; costuma-se escrever abreviadamente como ∑xi ou ∑x.
Exemplo 2. Utilizando os dados apresentados, calcule:
a) σi=1
2 xi , b) σi=2
4 xi, c) σi=7
11 xi e d) σxi
a) σ𝐢=𝟏
𝟐 𝐱𝐢 = x1 + x2 = 8 + 2 = 10
b) σ𝐢=𝟐
𝟒 𝐱𝐢 = x2 + x3 + X4 = 2 + 3 + 6 = 11
c) σ𝐢=𝟕
𝟏𝟏 𝐱𝐢 = x7 + x8 + x9 + X10 + x11 = 9 + 4 + 5 + 4 + 1 = 23
d) σ𝐱𝐢 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 = 8 + 2 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9 + 4 + 5 + 4 + 1 = 57
Trabalhando em sentido inverso, podemos utilizar esse método para abreviar a soma de um conjunto de dados:
1. x1 + x2 + x3 se escreve σ𝐢=𝟏
𝟑 𝐗𝐢
2. x8 + x9 + x10 + x11 = se escreve σ𝐢= 𝟖
𝟏𝟏 𝐗𝐢
Dados
i x xi
1 8 X1 = 8
2 2 X2 = 2
3 3 X3 = 3
4 6 X4= 6
5 7 X5= 7
6 8 X6 = 8
7 9 X7 = 9
8 4 X8 = 4
9 5 X9 = 5
10 4 X10 = 4
11 1 X11= 1
Às vezes é possível simplificar uma soma, levando em conta uma ou mais dentre as propriedades seguintes:
1. Quando cada valor de uma variável deve ser multiplicado ou dividido por uma constante (c), essa constante pode ser aplicada após os valores serem
somados.
∑ c x = c ∑ x
Assim
σi=1
4 2xi= 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4
= 2 (x1 + x2 + x3 + x4) = 2 σi=1
4 xi
Por exemplo,
X = {2, 8, 4}
σi=1
3 3xi= 3(2) + 3(8) + 3(4) = 3(2 + 8 + 4) = 42
2. A soma de uma constante (isto é, uma constante somada n vezes) é igual ao produto da constante pelo número n vezes que ela ocorre.
σi=1
n ci= n c
Por exemplo,
σi=1
6 5i= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30
ou
6(5) = 30
3. A soma de uma soma ( ou a diferença de uma soma) de duas variáveis é igual à soma (ou diferença) das somas individuais das duas variáveis.
σ𝑖=1
𝑛 (xi
2+ yi ) = σ𝑖=1
𝑛 xi
2 + σ𝑖=1
𝑛 yi
σ𝑖=1
𝑛 (xi - yi) = σ𝑖=1
𝑛 xi - σ𝑖=1
𝑛 yi
Por exemplo,
∑ (x – y) = ∑ x - ∑ y = (8 + 3 + 4 + 5) – (5 + 2 + 0 + 4)
∑ x - ∑ y = 20 – 11 = 9
i x y (x – y)
1 8 5 (8 - 5) = 3
2 3 2 (3 - 1) = 1
3 4 0 (4 - 0) = 4
4 5 4 (5 - 1) = 1
∑ 20 11 9
Sejam agora dois conjuntos de números, tais como salários horários para vários empregados e o número de horas que cada um trabalhou.
Suponha que queiramos: ∑ fi, ∑ xi, ∑ xi
2, ∑ fi xi, ∑ fi xi
2 e (∑ fi xi)
2
∑ fi = 1 + 5 + 7 + 3 + 3 = 19
∑ xi= 20 + 30 + 20 + 40 + 30 = 140
∑ xi
2 = 202 + 302 + 202 + 402 + 302 = 400 + 900 + 400 + 1600 + 900 = 4200
∑ fi xi = (1 x 20) + (5 x 30) + (7 x 20) + (3 x 40) + (3 x 30) = 20 + 150 + 140 + 120 + 90 = 520
∑ fi xi
2 = (1 x 202) + (5 x 302) + (7 x 202) + (3 x 402) + (3 x 302) 
= (1 x 400) + (5 x 900) + (7 x 400) + (3 x 1600) + (3 x 900) 
= 400 + 4500 + 2800 + 4800 + 2700 = 15200
Novamente, quando o somatório se estende a todos os valores de um conjunto, costuma-se omitir os índices (i’s).
I
Indivíduo
fi
Horas trabalhadas
xi
Salário horário (R$)
1 1 20
2 5 30
3 7 20
4 3 40
5 3 30
Atividades de fixação de aprendizagem
1. Desenvolva cada uma das expressões seguintes:
a. σ𝑖=1
5 xi
b. σ𝑖=1
5 yi ∙ xi
c. σ𝑖=1
6 fi ∙ xi
2
d. σ𝑖=1
𝑛 xi/n 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 8
e. σ𝑖=1
5 3i
2. Calcule cada uma das quantidades seguintes para os dados abaixo:
a. ∑y d. ∑ (y – 12)
b. ∑y2 e. ∑ (y -12)2
c. (∑ y)2 f. (∑ y -12)2
Valores da variável Y = { 15, 10, 5, 9, 14, 20, 6, 17}
3. Calcular as seguintes quantidades para os dados abaixo:
a. ∑x b. ∑ f c. ∑ f2 d. ∑ x2 e. ∑ f ∙ x f. ∑ f ∙ x2 g. (∑ x)2 h. (∑ f)2
f x
3 10
5 11
9 15
10 19
2 21
1 26
Respostas:
1)
a. x1 + x2 + x3 + x4 + x5
b. (y1 . x1) + (y2 . x2) + (y3 . x3) + (y4 . x4) +(y5 . x5)
c. (f1 . x1
2) + (f2 . x2
2) + (f3 . x3
2) + (f4 . x4
2) +(f5 . x5
2) + (f6 . x6
2)
d. σ𝑖=1
8 xi/8 = x1/8 + x2/8 + x3/8 + x4/8 + x5/8 + x6/8 + x7/8 + x8/8 = (x1 + x2 + x3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8)/8
e. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 3 x 5 = 15 
2)
a. 96
b. 1352
c. 9216
d. 0 (zero)
e. 200
f. 0 (zero)
Respostas:
3)
a.30
b. 102
c. 220
d. 1924
e. 478
f. 8098
g. 10404
h. 900
Referências
STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper, 1981.
Curso superior de Bacharelado em Administração
Componente curricular: Estatística aplicada
Carga horária: 80 horas 
Prof. Robson José Esteves Peluzio
e-mail – robsonpeluzio@ifto.edu.br
celular – (63) 99991-2468