02_Matematica

Prévia do material em texto

M
at
em
át
ic
a
Prefeitura Municipal de Novo Gama - GO
Comum aos Cargos de Ensino Superior
Matemática
Números e Operações: Problemas abertos e situações problemas relacionados à 
álgebra e aritmética. Resolução de problemas matemáticos aplicados em diversas 
áreas do conhecimento. ................................................................................................ 1
Frações e Dizimas periódica ......................................................................................... 3
Geometria plana: semelhança entre figuras planas, triângulos semelhantes, relações 
métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e teorema de Talles, circun-
ferência, polígonos regulares, elementos de um polígono regular, Medidas de Com-
primento e Superfície, áreas das principais figuras planas ........................................... 7
Geometria espacial: medidas de volume e capacidade, medida de massa ................. 18
Conjuntos: noções básicas de conjuntos, igualdade de conjuntos, subconjuntos, 
conjuntos numéricos...................................................................................................... 23
Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos númer-
os racionais, conjunto dos números irracionais, conjunto dos números reais, oper-
ação com números reais ............................................................................................... 25
Álgebra: polinômios, operações com polinômios, decomposição de polinômios, raíz-
es de um polinômio ....................................................................................................... 31
Expressão numérica ...................................................................................................... 34
MMC e MDC .................................................................................................................. 35
Razão, proporção .......................................................................................................... 37
Divisão em partes proporcionais ................................................................................... 39
Regra de três simples regra de três composta.............................................................. 43
Porcentagem ................................................................................................................. 46
Equação do 1º e 2º grau ............................................................................................... 49
Expressão algébrica ...................................................................................................... 55
Funções: o conceito matemático de função, função de 1º grau, função 2ª grau, gráfi-
cos de uma função de 1º grau, gráfico de uma função de 2º grau ............................... 58
Matemática financeira: taxa de porcentagem, lucro e prejuízo, acréscimos e descon-
tos, juros simples e juros compostos.............................................................................
Progressões: progressão aritmética, progressão geométrica ....................................... 84
Análise combinatória: Problemas que envolvem contagem, princípio multiplicativo, 
permutação, arranjos, combinação ............................................................................... 87
Probabilidade: espaço amostral, tipos de eventos, probabilidade de um evento em 
um espaço amostral finito, probabilidade com reunião e intersecção de eventos ........ 91
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
M
at
em
át
ic
a
Noções de estatística: média aritmética, media ponderada, mediana e moda, rep-
resentação da distribuição de frequências, gráficos de barras, gráficos de setores, 
gráfico poligonal ou de linha, análise e interpretação de gráficos ................................. 93
Sistema linear: resolução de um sistema linear por escalonamento, regra de 
Cramer ........................................................................................................................... 103
Raciocínio lógico ........................................................................................................... 107
Exercícios ...................................................................................................................... 142
Gabarito ......................................................................................................................... 150
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
1
Números e Operações: Problemas abertos e situações problemas relacionados à ál-
gebra e aritmética. Resolução de problemas matemáticos aplicados em diversas áreas 
do conhecimento
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre to-
dos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos 
conteúdos. A prática das questões é que faz com que se ganhe maior habilidade para resolver problemas dessa 
natureza.
Exemplos:
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Grá-
fico – VUNESP) Em um condomínio, a caixa d’água do bloco A contém 10 000 litros a mais de água do que a 
caixa d’água do bloco B. Foram transferidos 2 000 litros de água da caixa d’água do bloco A para a do bloco B, 
ficando o bloco A com o dobro de água armazenada em relação ao bloco B. Após a transferência, a diferença 
das reservas de água entre as caixas dos blocos A e B, em litros, vale
(A) 4 000.
(B) 4 500.
(C) 5 000.
(D) 5 500.
(E) 6 000.
Resolução:
A = B + 10000( I )
Transferidos: A – 2000 = 2.B , ou seja,A = 2.B + 2000( II )
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos:
2.B + 2000 = B + 10000
2.B – B = 10000 – 2000
B = 8000 litros (no início)
Assim, A = 8000 + 10000 = 18000 litros (no início)
Portanto, após a transferência, fica:
A’ = 18000 – 2000 = 16000 litros
B’ = 8000 + 2000 = 10000 litros
Por fim, a diferença é de : 16000 – 10000 = 6000 litros
Resposta: E.
02. (IFNMG – Matemática - Gestão de Concursos) Uma linha de produção monta um equipamento em oito 
etapas bem definidas, sendo que cada etapa gasta exatamente 5 minutos em sua tarefa. O supervisor percebe, 
cinco horas e trinta e cinco minutos depois do início do funcionamento, que a linha parou de funcionar. Como 
a linha monta apenas um equipamento em cada processo de oito etapas, podemos afirmar que o problema foi 
na etapa:
(A) 2
(B) 3 
(C) 5 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
2
(D) 7
Resolução:
Um equipamento leva 8.5 = 40 minutos para ser montado.
5h30 = 60.5 + 30 = 330 minutos
330min : 40min = 8 equipamentos + 20 minutos (resto)
20min : 5min = 4 etapas
Como as alternativas não apresentam a etapa 4, provavelmente, o problema ocorreu na etapa 3.
Resposta: B.
03. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado nú-
mero de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e 
que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui?
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28
Resolução:
Sabemos que 9 . 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28.
Resposta: E.
04. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Grá-
fico – VUNESP) Na biblioteca de um instituto de física, para cada 2 livros de matemática, existem 3 de física. 
Se o total de livros dessas duas disciplinas na biblioteca é igual a 1 095, o número de livros de física excede o 
número de livros de matemática em
(A) 219.
(B) 405.
(C) 622.
(D) 812.
(E) 1 015.
Resolução:
𝑀
𝐹 = 
2
3
, ou seja, 3.M = 2.F( I )
M + F = 1095 , ou seja, M = 1095 – F( II )
Vamos substituir a equação ( II ) na equação ( I ):
3 . (1095 – F) = 2.F
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
3
3285 – 3.F = 2.F
5.F = 3285
F = 3285 / 5
F = 657 (física)Assim: M = 1095 - 657 = 438 (matemática)
A diferença é: 657 – 438 = 219
Resposta: A.
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. Pedro 
é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre as alturas 
de Caio e de Felipe?
(A) 1
(B) 2
(C) 9
(D) 14
(E) 16
Resolução:
Caio = Pedro + 15cm
Pedro = João – 6cm
João = Felipe + 7cm, ou seja:Felipe = João – 7
Caio – Felipe = ?
Pedro + 15 – (João – 7) = 
João – 6 + 15 – João + 7 = 16
Resposta: E.
Frações e Dizimas periódica
Fração é todo número que pode ser escrito da seguinte forma a/b, com b≠0. Sendo a o numerador e b o 
denominador. Uma fração é uma divisão em partes iguais. Observe a figura:
O numerador indica quantas partes tomamos do total que foi dividida a unidade.
O denominador indica quantas partes iguais foi dividida a unidade.
Lê-se: um quarto.
Atenção:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
4
• Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos, nonos e 
décimos.
• Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, 
centésimos de milésimos etc.
• Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o denomi-
nador seguido da palavra “avos”.
Tipos de frações
– Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. Ex.: 7/15
– Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. Ex.: 7/6
– Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao grupo das 
frações impróprias. Ex.: 6/3
– Frações mistas: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos transformar uma 
fração imprópria na forma mista e vice e versa. Ex.: 1 1/12 (um inteiro e um doze avos)
– Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. Ex.: 2/4 = 1/2
– Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. Ex.: 5/11 ; 
Operações com frações
• Adição e Subtração 
Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores.
Com denominadores diferentes: é necessário reduzir ao mesmo denominador através do MMC entre os 
denominadores. Usamos tanto na adição quanto na subtração.
O MMC entre os denominadores (3,2) = 6
• Multiplicação e Divisão
Multiplicação: É produto dos numerados pelos denominadores dados. Ex.:
– Divisão: É igual a primeira fração multiplicada pelo inverso da segunda fração. Ex.:
Obs.: Sempre que possível podemos simplificar o resultado da fração resultante de forma a torna-la irredu-
tível.
Exemplo: 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
5
(EBSERH/HUPES – UFBA – TÉCNICO EM INFORMÁTICA – IADES) O suco de três garrafas iguais foi di-
vidido igualmente entre 5 pessoas. Cada uma recebeu 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
Se cada garrafa contém X litros de suco, e eu tenho 3 garrafas, então o total será de 3X litros de suco. Pre-
cisamos dividir essa quantidade de suco (em litros) para 5 pessoas, logo teremos:
Onde x é litros de suco, assim a fração que cada um recebeu de suco é de 3/5 de suco da garrafa.
Resposta: B
DÍZIMAS PERIÓDICAS 
As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número decimal terá um número finito de algarismos 
após a vírgula.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
6
2º) Terá um número infinito de algarismos após a vírgula, mas lembrando que a dízima deve ser periódica 
para ser número racional
OBS: período da dízima são os números que se repetem, se não repetir não é dízima periódica e assim 
números irracionais, que trataremos mais a frente.
Representação Fracionária dos Números Decimais
1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, um zero (10) para duas casas, dois ze-
ros(100) e assim por diante.
2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, então como podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízima dada de x, ou seja
X=0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplicamos por 10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período.
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
7
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Geometria plana: semelhança entre figuras planas, triângulos semelhantes, relações 
métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e teorema de Talles, circunferên-
cia, polígonos regulares, elementos de um polígono regular, Medidas de Comprimento e 
Superfície, áreas das principais figuras planas
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas re-
cebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
8
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
Triângulo
Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo intercepta o lado oposto
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo que liga um vértice 
a um ponto do lado oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
9
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é 
perpendicular a esse lado.
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos lados desse triân-
gulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
10
Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno: três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos
Triângulo retângulo: tem um ângulo reto
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
11
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, 
ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes(iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
12
Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura.
3 - Retângulo: A = b.h
4 - Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor.
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
Polígono
Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados lados do polígono, enquanto os pontos são 
chamados vértices do polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
13
Número de Diagonais
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, convenientemente escolhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das 
medidas dos ângulos internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos n-2 triângulos.
Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos quaisquer de uma 
transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são válidas as seguintes proporções:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
14
Exemplo
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as 
mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices correspondentes, então esses triângulos são 
congruentes.
2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles 
congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
15
3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcionais, então esses dois triângulos são seme-
lhantes.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC.
Temos:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
16
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de um ângulo. Considere o triângulo retângulo 
ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triangulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chamamos relações métricas as relações existentes entre os diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenu-
sa.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
17
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras).
Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. Nesse caso são chamadas retas coplanares. 
Podem também não estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas reversas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
18
b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coincidentes.
Geometria espacial: medidas de volume e capacidade, medida de massa
— Geometria Espacial 
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três 
dimensões: comprimento, largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma figura 
formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, parale-
lepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria espacial sobre prisma e esfera.
— Fórmulas de Geometria Espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V + F = A + 2
Fórmulas da Esfera
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
19
Fórmulas do Cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura.
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R²
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r².
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h.
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r² · h.
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
20
Fórmulas do Prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem 
base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Diagonal de um paralelepípedo: .
Área total de um paralelepípedo: 
.
Volume de um paralelepípedo: .
Prismas retos são sólidos cujas faces laterais são formadas por retângulos.
Volume de um prisma: 
 
Fórmulas da Pirâmide Regular
Para uma pirâmide regular reta, temos:
Área da Base (AB): área do polígono que serve de base para a pirâmide.
Área Lateral (AL): soma das áreas das faces laterais, todas triangulares.
Área Total (AT): soma das áreas de todas as faces: AT = AB + AL.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
21
Volume (V): V = . AB . h.
E sendo a (apótema da base), h (altura), g (apótema da pirâmide), r (raio da base), b (aresta da base) e t 
(aresta lateral), temos pela aplicação de Pitágoras nos triângulos retângulos.
h² + r² = t²
h² + a² = g²
Fórmulas do Tetraedro Regular
Para o tetraedro regular de aresta medindo a, temos:
Altura da face = 
Altura do tetraedro = 
Área da face: AF = 
Área total: AT = 
Volume do tetraedro: 
— Geometria Analítica
A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para solucionar perguntas matemáticas. 
É a área da matemática que relaciona a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para representar os 
números e u utiliza fórmulas matemáticas.
Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de Física. Por exemplo, 
o cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem 
a velocidade e o tempo.
O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta.
- Um ponto determina uma posição no espaço.
- Uma reta é um conjunto de pontos.
- Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
22
Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com coordenadas no plano 
cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa 
entreretas, reta e plano e planos.
Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você deve indicar a posição 
no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya).
— Equação Fundamental da Reta
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:
y – y0 = m . (x – x0)
Equação Reduzida e Equação Geral da Reta
• Equação reduzida: y = mx + q e m = tgα.
• Equação geral: ax + by + c = 0.
— Distância entre Dois Pontos
O ponto médio M do segmento de extremos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dado por:
A distância d entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dada por:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
23
Conjuntos: noções básicas de conjuntos, igualdade de conjuntos, subconjuntos, con-
juntos numéricos
 
A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz de agrupar elementos1.
Dessa forma, os elementos (que podem ser qualquer coisa: números, pessoas, frutas) são indicados por 
letra minúscula e definidos como um dos componentes do conjunto.
Exemplo: o elemento “a” ou a pessoa “x”
Assim, enquanto os elementos do conjunto são indicados pela letra minúscula, os conjuntos, são represen-
tados por letras maiúsculas e, normalmente, dentro de chaves ({ }).
Além disso, os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
— Diagrama de Euler-Venn
No modelo de Diagrama de Euler-Venn (Diagrama de Venn), os conjuntos são representados graficamente:
— Relação de Pertinência
A relação de pertinência é um conceito muito importante na “Teoria dos Conjuntos”.
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado conjunto, por exemplo:
D = {w,x,y,z}
Logo:
w e D (w pertence ao conjunto D);
j ɇ D (j não pertence ao conjunto D).
— Relação de Inclusão
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) ou se um conjunto con-
tém o outro (Ɔ), por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {a,e,i,o,u,m,n,o}
C = {p,q,r,s,t}
Logo:
A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos de A estão em B);
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os elementos do conjunto são diferentes);
B Ɔ A (B contém A, donde os elementos de A estão em B).
1 https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
24
— Conjunto Vazio
O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por duas chaves { } ou pelo símbolo 
Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os conjuntos.
— União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
A união dos conjuntos, representada pela letra (U), corresponde a união dos elementos de dois conjuntos, 
por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {1,2,3,4}
Logo:
AB = {a,e,i,o,u,1,2,3,4}.
A intersecção dos conjuntos, representada pelo símbolo (∩), corresponde aos elementos em comum de dois 
conjuntos, por exemplo:
C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d}
Logo:
CD = {b, c, d}
A diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de elementos que estão no primeiro conjunto, e não 
aparecem no segundo, por exemplo:
A = {a, b, c, d, e} – B = {b, c, d}
Logo:
A-B = {a,e}
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
25
— Igualdade dos Conjuntos
Na igualdade dos conjuntos, os elementos de dois conjuntos são idênticos, por exemplo nos conjuntos A e 
B:
A = {1,2,3,4,5}
B = {3,5,4,1,2}
Logo:
A = B (A igual a B).
— Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos são formados pelos:
- Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}.
- Números Inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}.
- Números Racionais: Q = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5,6...}.
- Números Irracionais: I = {..., √2, √3, √7, 3, 141592…}.
- Números Reais (R): N (números naturais) + Z (números inteiros) + Q (números racionais) + I (números 
irracionais).
conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos núme-
ros racionais, conjunto dos números irracionais, conjunto dos números reais, operação 
com números reais
— Conjuntos Numéricos
O grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua nature-
za, são chamados de conjuntos. Quando estudamos matemática, se os elementos parecidos ou com as mes-
mas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos2.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em 
se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre 
chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências 
depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões 
no estudo da Matemática. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para con-
tar (incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
2 https://matematicario.com.br/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
26
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros ne-
gativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o deno-
minador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser 
zero, pois não existe divisão por zero.
O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos 
dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma 
fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, 1/8, 2, 10/4}
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não 
nulos.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao 
conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois 
conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos nú-meros racionais dentro do universo dos números reais.
Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irra-
cionais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes 
não exatas.
Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como 
exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
27
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos 
conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
— Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números in-
teiros3. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem 
algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são 
números divisíveis por um certo número.
Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múl-
tiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é 
necessário compreender o conceito de divisores.
Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um nú-
mero inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 
primeiros números inteiros, assim:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
3 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
28
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem ne-
cessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o 
conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que 
a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
• Múltiplos de 4
Como vimos, para determinar os múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números intei-
ros. Assim:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
29
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior 
valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 
30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múl-
tiplo de outro, é também divisível por esse outro número.
Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
30
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor 
de (N – r).
– Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).
Veja o exemplo:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e:
528 = 8 · 66
— Números Primos
Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número4. Eles fazem 
parte do conjunto dos números naturais.
Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
Quando um número apresenta mais de dois divisores eles são chamados de números compostos e podem 
ser escritos como um produto de números primos.
Por exemplo, 6 não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 
3) e é escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
Algumas considerações sobre os números primos:
– O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
– O número 2 é o menor número primo e, também, o único que é par;
– O número 5 é o único número primo terminado em 5;
– Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.
Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando divisões com o número investigado. Para faci-
litar o processo, veja alguns critérios de divisibilidade:
– Divisibilidade por 2: todo número cujo algarismo da unidade é par é divisível por 2;
– Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é um número divisível 
por 3;
– Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as divisões com os próximos números primos me-
nores que o número até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for menor que o divisor, então o nú-
mero é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for igual ao divisor, então o número 
é primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
4 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
31Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber se é divisível pelos números primos meno-
res que ele utilizando a operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
Divisão pelo número primo 11:
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que 
o número 113 é primo.
Álgebra: polinômios, operações com polinômios, decomposição de polinômios, raí-
zes de um polinômio
Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais)5. As 
letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Exemplos:
a) 3ab + 5
b) x³ + 4xy - 2x²y³
c) 25x² - 9y²
— Monômio, Binômino e Trinômio
Os polinômios são formados por termos. A única operação entre os elementos de um termo é a multiplica-
ção.
Quando um polinômio possui apenas um termo, ele é chamado de monômio.
Exemplos:
a) 3x
b) 5abc
c) x²y³z4
Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios (dois termos), separados por 
uma operação de soma ou subtração.
Exemplos:
a) a² – b²
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd²
5 https://www.todamateria.com.br/polinomios/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
32
Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios (três termos), separados por operações de 
soma ou subtração.
Exemplos:
a) x² + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10y
c) m³n + m² + n4
— Grau dos Polinômios
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal.
Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. 
A maior soma será o grau do polinômio.
Exemplos:
a) 2x³ + y
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3.
b) 4 x²y + 8x³y³ - xy4
Vamos somar os expoentes de cada termo:
4x²y => 2 + 1 = 3
8x³y³ => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6.
Obs.: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau 
do polinômio não é definido.
— Operações com Polinômios
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios.
Adição de Polinômios
Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal).
(- 7x³ + 5 x²y - xy + 4y) + (- 2x²y + 8xy - 7y)
- 7x³ + 5x²y - 2x²y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x³ + 3x²y + 7xy - 3y
Subtração de Polinômios
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após eliminar os 
parênteses, devemos juntar os termos semelhantes.
(4x² - 5xk + 6k) - (3xk - 8k)
4x² - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x² - 8xk + 14k
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
33
Multiplicação de Polinômios
Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se e soma-se 
os expoentes.
(3x² - 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x³ + 3x² + 10x² - 5x - 16x + 8
-6x³ + 13x² - 21x + 8
Divisão de Polinômios
Obs.: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os co-
eficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia 
os expoentes.
— Fatoração de Polinômios
Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos:
Fator Comum em Evidência
ax + bx = x (a + b)
Exemplo:
4x + 20 = 4 (x + 5)
Agrupamento
ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
Exemplo:
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Exemplo:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)
a² - 2ab + b² = (a - b)²
Exemplo:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
34
x² - 2x + 1 = (x - 1)²
Diferença de Dois Quadrados
(a + b) . (a - b) = a² - b²
Exemplo:
x² - 25 = (x + 5) . (x - 5)
Cubo Perfeito (Adição)
a³ + 3ª²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
Exemplo:
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)³
Cubo Perfeito (Diferença)
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
Exemplo:
y³ - 9y² + 27y - 27 = y³ - 3 . y² . 3 + 3 . y . 32 - 33 = (y - 3)³
Expressão numérica
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, multiplicações e divisões. Todas as operações 
podem acontecer em uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utilizamos alguns proce-
dimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, devemos resolver a multiplicação ou a divi-
são primeiramente, na ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a subtração, também na 
ordem em que aparecerem e os parênteses são resolvidos primeiro.
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
35
27
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
MMC e MDC
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns 
desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:
• Decompor o número em fatores primos
• Tomar o fatores comuns com o menor expoente
• Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
15 = 3.5 24 = 23.3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
(15,24) = 3
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
• Decompor os números em fatores primos
• Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
15,24 2
15,12 2
15,6 2
15,3 3
5,1 5
1
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
36
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário 
que os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 23.3.5 = 120
Exemplo
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mes-
ma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão esco-
lhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Exemplo
(MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões 
de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 
minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três compa-
nhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às:
(A) 16h 30min.
(B) 17h 30min.
(C) 18h 30min.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas.
Resposta: E.
20,30,44 2
10,15,22 2
5,15,11 3
5,5,11 5
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
37
1,1,11 11
1,1,1
Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660
1h---60minutos
x-----660
x=660/60=11
Então será depois de 11horas que se encontrarão
7+11=18h
Razão, proporção
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números6.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são pro-
porcionais quando formam uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. 
Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionaisentre os ingredientes.
Para encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
A partir das grandezas A e B temos:
Razão
ou A : B, onde b ≠ 0.
Proporção
onde todos os coeficientes são ≠ 0.
Exemplo: Qual a razão entre 40 e 20?
6 https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
38
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão cen-
tesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto 
o de baixo é chamado de consequente (B).
Qual o valor de x na proporção abaixo?
x = 12 . 3
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta 
proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros ter-
mos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para 
encontrar o valor procurado.
— Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:
Logo: A · D = B · C.
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
39
é equivalente
Logo, D. A = C . B.
Divisão em partes proporcionais
Quando realizamos uma divisão diretamente proporcional estamos dividindo um número de maneira propor-
cional a uma sequência de outros números. A divisão pode ser de diferentes tipos, vejamos:
Divisão Diretamente Proporcional
• Divisão em duas partes diretamente proporcionais: para decompor um número M em duas partes A e 
B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo 
que a soma das partes seja A + B = M: 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q
• Divisão em várias partes diretamente proporcionais: para decompor um número M em partes x1, x2, 
..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, 
sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... + pn = P:
Divisão Inversamente Proporcional
• Divisão em duas partes inversamente proporcionais: para decompor um número M em duas partes A 
e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q. Assim basta montar o sistema com 
duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M:
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
40
• Divisão em várias partes inversamente proporcionais: para decompor um número M em n partes x1, 
x2, ..., xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn 
diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume 
que x1 + x2 + ... + xn= M:
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais
• Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais: para decompor um número M em duas 
partes A e B diretamente proporcionais a, c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este 
número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas 
equações e duas incógnitas de forma que A + B = M
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q.
• Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais: para decompor um número M em n partes x1, 
x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor 
este número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + ... + xn = M:
Exemplos:
(PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 deve 
ser repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O mais 
velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
Resolução:
5x + 8x + 12x = 750.000
25x = 750.000
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
41
x = 30.000
O mais velho receberá: 12.30000=360000
Resposta: C
(TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcio-
nais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcio-
nários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados 
e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados 
para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a
(A) 5.
(B) 7.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
Resposta: D
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Uma prefeitura destinou a quantia 
de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser construída em cada 
escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é diretamente 
proporcional a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
42
Resposta: D
(SABESP – ATENDENTE A CLIENTES 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus de 
R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes trabalhou 
durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou durante 
3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
Resolução:
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M.
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam:
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00
Resposta: A
(SESP/MT – PERITO OFICIAL CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL/ENGENHARIA ELÉTRICA/FÍSICA/MA-
TEMÁTICA – FUNCAB/2014) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamente proporcio-
nais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem 
ficar com a maior parte da divisão.
(A) R$ 36.000,00
(B) R$ 60.000,00
(C) R$ 48.000,00
(D) R$ 24.000,00
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
43
(E) R$ 30.000,00
Resolução:
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional).
Assim:
8.M = 288 000 
M = 288 000 / 8 
M = R$ 36 000,00
M + J + C = 72000
Resposta: A
Regra de três simples regra de três composta
— Regra de três simples e composta
A regra de três é a proporção entre duas ou mais grandezas, que podem ser velocidades, tempos, áreas, 
distâncias, cumprimentos,entre outros7.
É o método para determinar o valor de uma incógnita quando são apresentados duas ou mais razões, sejam 
elas diretamente ou inversamente proporcionais.
As Grandezas
Dentro da regra de três simples e composta existem grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Caracteriza-se por grandezas diretas aquelas em que o acréscimo ou decréscimo de uma equivale ao 
mesmo processo na outra. Por exemplo, ao triplicarmos uma razão, a outra também será triplicada, e assim 
sucessivamente. 
Exemplo: Supondo que cada funcionário de uma microempresa com 35 integrantes gasta 10 folhas de papel 
diariamente. Quantas folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de colaboradores aumentar 
para 50?
Ao analisarmos o caso percebemos que o aumento de colaboradores provocará também um aumento no 
gasto de papel. Logo, essa é uma razão do tipo direta, que deve ser resolvida através da multiplicação cruzada:
7 https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
44
35x = 50 . 10
35x = 500
x = 500/35
x = 14,3
Portanto, serão necessários 14,3 papéis para suprir as demandas da microempresa com 50 funcionários.
Por outro lado, as grandezas inversas ocorrem quando o aumento ou diminuição de uma resultam em gran-
dezas opostas. Ou seja, se uma é quadruplicada, a outra é reduzida pela metade, e assim por diante. 
Exemplo: Se 7 pedreiros constroem uma casa grande em 80 dias, apenas 5 deles construirão a mesma 
casa em quanto tempo?
Nesta situação, é preciso inverter uma das grandezas, pois a relação é inversamente proporcional. Isso 
acontece porque a diminuição de pedreiros provoca o aumento no tempo de construção.
5x = 80 . 7
5x = 560
x = 560/5
x = 112 
Sendo assim, serão 112 dias para a construção da casa com 5 pedreiros.
Regra de Três Simples
A regra de três simples funciona na relação de apenas duas grandezas, que podem ser diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Exemplo 1: Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do suco da fruta. Porém, foi feito uma encomenda 
de 6 bolos. Quantos limões serão necessários?
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já que o aumento no pedido de bolos pede uma 
maior quantidade de limões. Logo, o valor desconhecido é determinado pela multiplicação cruzada:
x = 250 . 6
x = 1500 ml de suco
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
45
Exemplo 2: Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um trajeto em 2 horas. Se a velocidade for re-
duzida para 70 km/h, em quanto tempo o veículo fará o mesmo percurso?
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três simples inversa, uma vez que ao diminuirmos 
a velocidade do carro, o tempo de deslocamento irá aumentar. Então, pela regra, uma das razões deverá ser 
invertida e transformada em direta.
70x = 120 . 2
70x = 240
x = 240/70 
x = 3,4 h
Regra de Três Composta
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais, ou seja, as relações que aparecem em mais de duas colunas.
Exemplo: Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 costureiras. Caso 6 funcionárias 
estiverem trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças?
Inicialmente, deve-se analisar cada grandeza em relação ao valor desconhecido, isto é:
- Relacionando os dias de produção com a quantidade de peças, percebe-se que essas grandezas são di-
retamente proporcionais, pois aumentando o número de peças cresce a necessidade de mais dias de trabalho. 
- Relacionando a demanda de costureiras com os dias de produção, observa-se que aumentando a quan-
tidade de peças o quadro de funcionárias também deveria aumentar. Ou seja, as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
Após análises, organiza-se as informações em novas colunas:
4/x = 160/300 . 6/8
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
46
4/x = 960/2400
960x = 2400 . 4
960x = 9600
 x = 9600/960 
x = 10 dias
Porcentagem
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa razão 
também é chamada de razão centesimal ou percentual8.
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na matemá-
tica financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
— Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à porcentagem 
pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem:
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
8 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
47
Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma prova. Pensando nisso, trouxemos dois 
métodos que te ajudarão a fazer porcentagem de maneira mais rápida.
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagem rapidamente utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para aprender essa técnica.
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que representa 1%.
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o nume-
rador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como 
fazer:
— Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator de multiplicação ou fator multi-
plicativo.
Fator espaço de espaço multiplicação espaço igual a espaço 1 espaço mais ou menos espaço i, onde i 
corresponde à taxa de variação.
Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço de um produto, ou seja, o resultado será 
fatores diferentes.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
48
Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria que custava R$ 100. O valor final da mercadoria 
pode ser calculado da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
Fator de multiplicação = 1,25.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria seja R$ 125.
Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmula do fator multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100, qual o valor final da mer-
cadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
49
Equação do 1º e 2º grau
— Equação do 1° Grau
Na Matemática, a equação é uma igualdadeque envolve uma ou mais incógnitas9. Quem determina o “grau” 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o 
expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. 
Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x 
pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado 
para o resultado da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, 
e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar 
de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em 
um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e “jo-
gar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, 
ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
2° exemplo:
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro 
lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:
9 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacao-primeiro-grau.htm#:~:text=Na%20Matem%C3%A-
1tica%2C%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9,equa%C3%A7%C3%A3o%20ser%C3%A1%20
de%203%C2%BA%20grau.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
50
3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando 
e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado 
dividindo.
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre 
deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada 
no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro da 
equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o resul-
tado. Veja a demonstração nesse exemplo:
Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos 
dois membros da equação:
Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da equa-
ção:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
51
— Equação do 2° Grau
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau10. 
O único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma.
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números 
desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as proprie-
dades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles são re-
presentados pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode assumir, 
fazendo com que a igualdade seja verdadeira.
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa 
equação seja verdadeira11. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes 
dela. Para resolver equações do 2º grau completas, existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é 
necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números 
quebrados, soma e produto não é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam 
eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do 
segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica 
x, e o coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminante de uma equação do segundo grau é representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado 
pela seguinte fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, 
por exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discrimi-
nante, teremos:
Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
10 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.htm#:~:text=Toda%20equa%-
C3%A7%C3%A3o%20que%20puder%20ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
11 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.htm
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
52
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais12. Por meio do discriminante, é possível 
descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais 
as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
Se Δ < 0, a equação não possui soluções reais.
Se Δ = 0, a equação possui apenas uma solução real.
Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é 
impossível calcular essas raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir 
coeficientes e discriminante na seguinte expressão:
Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um 
cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus 
coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interessante quando as 
raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante 
complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar 
quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
12 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-uma-equacao-segundo-grau.htm
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
53
Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui 
soma igual a 5, logo as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero4. Existem três tipos dessas equa-
ções, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a 
zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por 
mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação 
incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta 
é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de 
Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir 
veremos cada um deles.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
54
Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar 
seu conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equa-
ção produto. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, 
temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja 
igual a zero, então, temos que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a vari-
ável x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao 
elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.
x = ±√4
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
55
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá 
sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo:
3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
Expressão algébrica
Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e letras.
Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não 
possuem um valor definido. 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por núme-
ros e efetuamos suas operações. 
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
x² + y »1²+ 2 =3Portando o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex : 4x 
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 
Ex: 4x+2y 
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) 
Ex: 2 x³ y² ze 3 x³ y² z» são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. 
Adição e Subtração de expressões algébricas 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos 
semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z -3x³ y² z = -x³ y² z 
Convém lembrar dos jogos de sinais. 
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3 
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
56
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay 
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy 
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
Exemplos:
1) 4x² :2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3) (x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2) :(x2 - 2x + 1) = x2 - 3x +2
Resolução:
x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2x2 - 2x + 1
-x4 + 2x3 - x2 x2 - 3x + 2
 -3x3 + 8x2 -7x
 3x3 - 6x2 -3x
2x2 - 4x + 2
 -2x2 + 4x - 2
 0
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes. 
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas.
Veja:
5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as letras são iguais, mas o expoente não, então 
esses termos não são semelhantes.
7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas são idênticas, então 
podemos dizer que são semelhantes. 
Adição e subtração de monômios 
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos en-
volvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada. 
Veja: 
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração 
deles. 
5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 
25 xy2
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
57
5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
- 15 xy2 
Veja alguns exemplos: 
- x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9. 
3x2 - 4 x2 + 18 x2
 18
17x2 
18
- 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes. 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos 
a soma e a subtração. 
-5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação 
dos monômios. 
Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da 
expressão. 4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x 
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão. 
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do 
exercício é a letra x. 
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos: 
6x2 - 8x 
6 . (-2)2 – 8 . (-2) = 
6 . 4 + 16 = 
24 + 16 
40 
Multiplicação de monômios 
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coefi-
ciente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais deve-
mos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e 
somamos os expoentes). 
(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte 
literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3-15 a3b4 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
58
Divisão de monômios
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente 
com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar 
a propriedade da potência que diz: am : an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os 
expoentes), sendo que a ≠ 0. 
(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal 
dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = am – n. 
-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3 
5 x2 – 1 y3 – 3 
5x1y0 
5x 
Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação:
(I) (a . b)m = am . bm 
(II) (am)n = am . n 
Veja alguns exemplos:
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
(I). (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade
(II) 25 . x4 . b12 25x4b12
Importante: Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar 
mais simples a expressão somando algebricamente os coeficientes numéricos e mantendo a parte literal.
Funções: o conceito matemático de função, função de 1º grau, função 2ª grau, gráficos 
de uma função de 1º grau, gráfico de uma função de 2º grau
Na Matemática, função corresponde a uma associação dos elementos de dois conjuntos, ou seja, a função 
indica como os elementos estão relacionados13.
Por exemplo, uma função de A em B significa associar cada elemento pertencente ao conjunto A a um único 
elemento que compõe o conjunto B, sendo assim, um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A em B).
13 https://www.todamateria.com.br/funcao/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
59
— Representação das Funções
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de domínio (D) e o conjunto B recebe o nome de contra-
domínio (CD).
Um elemento de B relacionado a um elemento de A recebe o nome de imagem pela função. Agrupando 
todas as imagens de B temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a 
relação entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado 
em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 
6, 8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída.
Portanto, para essa função:
- O domínio é {1, 2, 3, 4};
- O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
- O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
Tipos de Funções
As funções recebem classificações de acordo com suas propriedades. Confira a seguir os principais tipos.
Função Sobrejetora
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Portanto, todo elemento de B é imagem 
de pelo menos um elemento de A.
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-4, -2, 2, 3};
- O contradomínio é {12, 4, 6};
- O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
60
Função Injetora
Na função injetora todos os elementos de A possuem correspondentes distintos em B e nenhum dos ele-
mentos de A compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem existir elementos em B que não 
estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {0, 3, 5};
- O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
- O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
Função Bijetora
Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número de elementos relacionados. Essa função 
recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-1, 1, 2, 4};
- O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
- O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
Função Afim
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais14. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
14 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
61
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e cal-
cular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente an-
gular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b ⇒ y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
62
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo:
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
63
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se 
a for negativo, a função será decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é decres-
cente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
64
Função 1º grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), 
constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Estudo dos Sinais
Definimos funçãocomo relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 
1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a 
e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura 
de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo 
com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal 
negativo, a função é decrescente.
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfico que os valores de y vão crescendo.
Função Decrescente: a < 0
Nesse caso, os valores de y, caem.
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos 
o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação 
gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma 
generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz 
da função).
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
65
X=-b/a
Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas equações para acharmos o valor de a e b.
Exemplo:
Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função.
F(1)=1a+b
3=a+b
F(3)=3a+b
5=3a+b
Isolando a em I
a=3-b
Substituindo em II
3(3-b)+b=5
9-3b+b=5
-2b=-4
b=2
Portanto,
a=3-b
a=3-2=1
Assim, f(x)=x+2
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma:
f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e deve ser o maior termo.
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0
Discriminante(∆)
∆ = b²-4ac
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
66
∆ > 0
A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes 
da equação ax²+bx+c=0
∆ = 0
Quando ∆=0 , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante ∆ = 0, as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais 
∆<0
A função não tem raízes reais
Matemática financeira: taxa de porcentagem, lucro e prejuízo, acréscimos e descon-
tos, juros simples e juros compostos
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo15.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros com-
postos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
15 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
67
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
68
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
Taxas de juros
Índices fundamentais no estudo da matemática financeira, sendo incorporadas sempre ao capital. São 
elas:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
69
Taxa efetiva: são aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período 
de capitalização(valorização). Exemplo: Uma taxa de 13% ao trimestre com capitalização trimestral.
ATENÇÃO: Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir 
com unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!!
Taxa nominal: são aquelas cujas unidade de tempo NÂO coincide com as unidades de tempo do período 
de capitalização. 
Exemplo: 
(TJ/PE- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTADOR-FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, com 
juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, aproximadamente,
(A) 21,7%.
(B) 22,5%.
(C) 24,8%.
(D) 32,4%.
(E) 33,7%.
Resolução:
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% a.m(taxa 
efetiva).
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre.
(1+im)3 = (1+it) • (1+0,07)3 = 1+it • (1,07)3 = 1+it • 1,225043 = 1+it • it= 1,225043-1 • it = 0,225043 x 100 • it= 
22,5043%
Resposta: B
ATENÇÃO: Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobri a taxa efeti-
va (multiplicando ou dividindo a taxa)
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente.
Taxas proporcionais (regime de juros simples): são taxas em unidade de tempo diferente que aplica-
das sobre o mesmo capital ao mesmo período de tempo irão gerar o mesmo montante. 
Exemplo:
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de:
(A) 12,5% trimestral.
(B) 16% quadrimestral.
(C) 25,5% semestral.
(D) 36,0% anual.
(E) 52% anual.
Resolução:
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxasproporcionais ou lineares. Para resolução das questões 
vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
70
4,25% a.m
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada)
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta)
Anual = 4,25.12 = 51% (errada)
Resposta: C
Taxas equivalentes (regime de juros compostos): as taxas de juros se expressam também em função do 
tempo da operação, porém não de forma proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas 
equivalentes. 
Exemplo:
Taxa Real, Aparente e Inflação
– Taxa real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos.
– Taxa aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais).
– Taxa de inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra.
Escrevendo todas as taxas em função uma das outras, temos: 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)
Onde: , independe da quantidade de períodos e do regime de juros.
Descontos
É a diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual).
D = N – A
Onde:
D = desconto
N = valor nominal
A = valor atual
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
71
ATENÇÃO: Comparando com o regime de juros, observamos que:
– o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante;
– o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital;
– e o Desconto nos dá ideia de Juros.
Os descontos podem ser:
Desconto racional simples (por dentro): nos passa a ideia de “honesto”, pois todas a taxas são cobradas 
em cima do valor atual (A) do título. Associando com os juros simples teremos:
Também podemos escrever a seguinte fórmula:
Exemplo: 
(ASSAF NETO) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liqui-
dado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular 
o desconto e o valor descontado desta operação.
N = 4 000
t = 3 meses
i = 42% a.a = 42 / 12 = 3,5% a.m = 0,035
D = ?
Vd = ?
Vd = 4 000 – 380,10 = 3 619,90
Desconto comercial simples ou bancário (por fora): nos passa a ideia de que alguém está “levando” um 
por fora, pois, todas as taxas são cobradas em cima do valor nominal (N) do título. O valor nominal é sempre 
maior e é justamente onde eles querem ganhar.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
72
• Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada: quando se utiliza taxas pré-fixadas 
aos títulos, que são as taxas de despesas bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobra-
das sobre o valor nominal (N). Fazemos uso da seguinte formula:
Dc = N. (i.t + h)
Onde:
Dc = desconto comercial ou bancário
N = valor nominal
i = taxa de juros cobrada
t = tempo ou período
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias.
Exemplo:
Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 
12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um 
cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor 
da comissão é de:
Resolução:
h = 0,04
t = 3
iB = 0,12 . 3
AB = N . [1 - (iB + h)]
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)]
300 000 = N . [1 – 0,4]
N = 500 000
Vc = 0,04 . N
Vc = 0,04 . 500 000
Vc = 20 000
Resposta: 200 000
– Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr): para sabermos o valor do desconto 
caso fosse utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa, utilizamos 
a seguinte relação: Dc = Dr . (1 + i.t)
Desconto Racional Composto (por dentro): as fórmulas estão associando com os juros compostos, as-
sim teremos:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
73
Desconto Comercial Composto (por fora): como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor), troca-
mos na fórmula o N pelo A e vice-versa, mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo).
Exemplo: 
(PREFEITURA DE SÃO PAULO/SP - AUDITOR FISCAL MUNICIPAL – CETRO) Com adiantamento de 
dois meses do vencimento, um título de valor nominal de R$30.000,00 é descontado a uma taxa composta de 
10% a.m.. A diferença entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto será de:
(A) R$246,59.
(B) R$366,89.
(C) R$493,39.
(D) R$576,29.
(E) R$606,49.
Resolução:
N = 30000
t = 2 meses
i = 10% am = 0,10
Vamos utilizar a formula do Drc:
N = A(1 + i)t • 30.000= A (1+ 0,1)2 • 30000 = A (1,1)2 • 30000 = A.1,21 
A = 30000 / 1,21 = 24793,39
Como D = N – A 
D = 30000 – 24793,39
Drc = 30.000 - 24.793,39 = 5206,61
Para o desconto comercial composto (lembre-se que a taxa recaí sobre o nominal, então trocamos na for-
mula o A pelo N e vice e versa e mudamos o sinal), temos:
A = N.(1 - i)t 
A = 30000 . (1 - 0,1)2 
A = 30000 . 0,81 
A = 24300
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
74
Como D = N – A 
D = 30000 – 24300 = 5700, que é o desconto comercial composto
A diferença será dada pelo módulo, uma vez que sabemos que o Desconto Comercial é maior que o racio-
nal: |Drc - Dcc| 
|5.206,61 - 5.700 | = 493,39
Resposta: C
Equivalência de capitais
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, leva-
dos para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data.
• Equação de Valor
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …
• Resolução de Problemas de Equivalência
1. leia o problema todo;
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemático, colocando na 
parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando todos 
os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante 
porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a equação de valor para 
resolução do problema;
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromissos estão na mesma unidade de medida de 
tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expressa a taxa 
na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação 
que torne os cálculos mais simples);
4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que ca-
pitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 + in), 
dependendo da modalidade de desconto utilizada;
5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que você 
esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (transportados 
para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos 
(transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa;
6. resolva a equação de valor;
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que você encontrou corresponde ao que o pro-
blema está pedindo (às vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resultado in-
termediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário 
ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).
Exemplo: 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
75
A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além 
dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a 
taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, 
em R$:
Resolução:
Inicialmente, precisamoscalcular o valor nominal da primeira aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 
anos, temos que:
N = C (1 + in)
N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420
Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o título de 
2.420 terá que ser capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitalizado de 
6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 
0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:
2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x
2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x
2.528,9 + 6.422,02 = x
x = 8.950,92
Anuidades
Séries Financeiras também conhecidas como Rendas Certas ou Anuidades. São séries de depósitos ou 
prestações periódicas ou não periódicas, em datas de previamente estabelecidas, por um determinado período 
de tempo. Os depósitos ou prestações podem ser uniformes quando todos são iguais ou variáveis quando os 
valores são diferentes.
Quando as séries financeiras que tem como objetivo de acumular capital ou produzir certo montante temos 
uma Capitalização e quando as séries financeiras têm como objetivo pagar ou amortizar uma dívida temos uma 
Amortização.
Elementos das séries financeiras
– Valor presente (VP) = Numa série de pagamentos, definimos VALOR ATUAL como sendo a parcela única 
que equivale (ou que substitui) a todos os termos (devidamente descapitalizados) até o início do fluxo. É a soma 
dos valores atuais de todos os termos que compõe a série. 
– Valor futuro (VF) = Numa série de pagamentos, definimos MONTANTE como sendo a parcela única, que 
equivale (ou substitui) a todos os termos (devidamente capitalizados) até o final do fluxo. É a soma dos mon-
tantes de todos os termos que compõe a série.
– Prestações (P) = Numa série de pagamentos, definimos Prestações como sendo o valor que é pago (ou 
recebido) a cada período de capitalização de uma Série Pagamentos.
– Número de prestações (n) = número de Parcelas, Depósitos ou Pagamentos.
– Taxa efetiva de juro (i)= com capitalização na periodicidade das Prestações.
Séries financeiras postecipadas
São aquelas em que as prestações, pagamentos ou depósitos são efetuados no final de cada período.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
76
Valor Futuro Postecipado (VFp)
O Valor Futuro (VF) produzido por uma série de n prestações P postecipadas, iguais e periódicas, aplicadas 
a uma taxa de juros i, na forma unitária, no mesmo período das prestações, será igual à soma de todos esses 
depósitos capitalizados para uma mesma data focal, coincidindo com o último depósito.
Fazemos uso da seguinte fórmula:
O valor capitalizado de cada um dos termos da Série de Pagamentos forma uma Progressão Geométrica 
(PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Capitalização Postecipado
Valor Presente postecipado (VPp)
O Valor Presente (VP) produzido por uma série de n prestações P, iguais e periódicas, aplicadas a uma taxa 
de juros i, na forma unitária, no mesmo período das prestações, será igual à soma de todos esses depósitos 
descapitalizados para uma mesma data focal 0.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
77
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira postecipada forma uma Pro-
gressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Descapitalização Postecipado
Séries financeiras antecipadas
São aquelas em que o depósito ou pagamento é efetuado no início de cada período e o valor futuro é obtido 
em um período de tempo após o último depósito ou pagamento da última prestação.
Valor Futuro antecipado (VFa)
O Valor Futuro de uma série financeira é obtido fazendo-se a capitalização da entrada e de cada um dos 
pagamentos, realizando-se a soma destes valores no final, conforme a seguir:
O valor capitalizado de cada uma das prestações de uma Série de Pagamentos forma uma Progressão 
Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
78
Fator de Capitalização Antecipado
O valor da prestação é obtido isolando-se a P na equação anterior.
Valor Presente antecipado (VPa)
O Valor Presente de uma série financeira antecipada é obtido fazendo-se a descapitalização de cada uma 
das prestações, somando-se no final a entrada e cada um destes valores, conforme a seguir:
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira forma uma Progressão Geomé-
trica cuja soma resulta na seguinte expressão:
O Fator de Descapitalização Antecipado
Séries financeiras diferidas ou com carência
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO INICIAL quando ANTES do início do primeiro pagamento, 
é dado um prazo de dois ou mais períodos, nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à série. 
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO FINAL quando APÓS o último pagamento, é dado um 
prazo de dois ou mais períodos, nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à série. 
Valor Presente com diferimento inicial
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
79
Podemos calcular o Valor Presente de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Presente postecipado com diferimento inicial (VPpdi)
Numa série de pagamentos com diferimento inicial, vamos primeiro calcular o valor presente da série finan-
ceira postecipada, em seguida, vamos efetuar a descapitalização deste valor a juros compostos até o início do 
prazo da contratação (data focal 0).
CÁLCULO DO VP 
DA SÉRIE 
ANTECIPADA:
CÁLCULO DA DESCA-
PITALIZAÇÃO 
DO PERÍODO DE DI-
FERIMENTO: D
CÁLCULO DIRETO DO VPA COM 
DIFERIMENTO INICIAL:
Valor futuro com diferimento final
Podemos calcular o Valor Futuro de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Futuro postecipado com diferimento final (VFpdf)
Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financeira 
postecipada, onde esse valor futuro é obtido logo após o último pagamento.
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, até o 
prazo final do período de carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não seja a mesma 
da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE 
DE 
PAGAMENTOS POSTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PERÍO-
DO DE CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFP 
COM 
DIFERIMENTO FINAL
Cálculo do Valor Futuro antecipado com diferimento final (VFadf)
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
80
Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financeira 
antecipada, onde esse valor futuro é obtido um período após o último pagamento. 
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, até o 
prazo final do período de carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não seja a mesma 
da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE 
DE 
PAGAMENTOS ANTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PE-
RÍODO DE CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFA 
COM 
DIFERIMENTO FINAL
Exemplo: 
Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de $4.000,00 sendo que o primeiro 
pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Determine o preço à vista, dada uma taxa de 5% ao mês.
Resolução:
R = $4.000,00
i = 5% a.m.
n = 8 meses
m = 2 meses
Pd = $23.449,30
Sistema de amortização
Visam liquidar uma dívida mediante de pagamentos periódicos e sucessivos.
Principais conceitos
Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativo aos juros, que são calcula-
dos sobre o saldo devedor e outra parte chamada de amortização, que faz com que o saldo devedor diminua. 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
81
– Saldo devedor: é o valor nominal do empréstimo ou financiamento ou simplesmente o Valor Presente 
(VP) na data focal 0, que é diminuído da parcela de amortizaçãoa cada período. 
– Amortização: é a parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. 
– Juros: é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de amortização. 
– Prestação: é o pagamento efetuado a cada período, composto pela parcela de juros mais a amortização: 
PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO
Existem diversos sistemas de amortização de financiamentos e empréstimos, dos quais os mais usados 
são:
– Sistema de Amortização Francês (Tabela Price):
– Sistema de Amortização Constante (SAC):
– Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM).
Sistema de Amortização Francês (SAF)
Este sistema utiliza a chamada TABELA PRICE que consiste no cálculo do fator de descapitalização poste-
cipado representado por fdp(i%,n) e é normalmente usada para financiamento em geral de bens de consumo, 
tipo: carros, eletrodomésticos, empréstimos bancários de curto prazo, etc. 
O SAF caracteriza-se por PRESTAÇÕES CONSTANTES E IGUAIS, normalmente mensais e decrescentes, 
com isso, as parcelas de amortizações são crescentes. Isto é, o valor amortizado é crescente ao longo do tem-
po, ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente ao saldo devedor.
Logo, as principais características do SAF são:
a) A prestação é constante durante todo o período de financiamento;
b) A parcela de amortização aumenta a cada período;
c) Os juros diminuem a cada período;
d) O percentual de prestações pagas não é igual ao percentual de quitação da dívida, pois no início das 
prestações os juros são maiores que as amortizações, sendo que do meio para o final das prestações esta 
situação é invertida.
e) Nos juros, temos uma PG (Progressão geométrica) de razão descrente.
Utilizamos as seguintes fórmulas:
Com isso podemos reescrever da seguinte forma, sabendo que : 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O SAC foi bastante usado pelo Sistema Financeiro de Habitação no início dos anos 70 e, atualmente, é 
amplamente utilizado para financiamentos bancários de longo prazo de imóveis.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
82
O tomador do empréstimo pagará uma prestação decrescente em cada período, a qual é composta por 
duas parcelas: a amortização e os juros.
As principais características do SAC são:
a) A parcela de amortização é constante em todo período de financiamento;
b) A prestação é decrescente durante todo o período;
c) Os juros diminuem uniformemente a cada período;
d) O percentual de prestações pagas é igual ao percentual de quitação da dívida.
e) Nos Juros e nas Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão decrescente.
Fórmulas do Cálculo da Prestação (Séries Postecipadas)
Utilizando o Capital Utilizando o Montante
Caso o expoente seja negativo, utiliza-se: 
Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM) 
No Sistema de Amortização Crescente ou Sistema de Amortização Misto, cada prestação é a média aritmé-
tica das prestações nos sistemas Francês (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC), quando 
a proporção for de 50% para o Sistema de Amortização Frances (SAF) e 50% para o Sistema de Amortização 
Constante (SAC), com isto as primeiras prestações são maiores que no SAF e menores que no SAC, sendo que 
a partir da metade do período do financiamento a situação é invertida. As parcelas de juros, das amortizações 
e dos saldos devedores de cada período também são obtidas pela média aritmética dos dois sistemas.
Exemplos:
(UFGD – ANALISTA ADMINISTRATIVO – ECONOMIA – AOCP) O sistema que consiste no plano de amor-
tização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética, deno-
mina-se:
(A) Sistema de Amortização Misto.
(B) Sistema Price.
(C) Sistema de Amortização Constante.
(D) Sistema Americano com fundo de amortização.
(E) Sistema Alemão.
Resolução:
Como vimos no estudo dos tipos de Amortização, a única que apresenta esta característica é o Sistema de 
Amortização Constante (SAC).
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
83
Resposta: C
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS MUNICIPAIS – FEPESE) Uma pessoa 
financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 216.000,00 em 9 anos. O pagamento será em prestações mensais 
e o sistema de amortização é o sistema de amortização constante (SAC).
Sabendo que o valor da terceira prestação é de R$2.848,00, a taxa de juros mensal cobrada é de:
(A) 0,2%.
(B) 0,4%.
(C) 0,5%.
(D) 0,6%.
(E) 0,8%.
Resolução:
Sabemos que no SAC Amortizações são constantes:
Sabemos que E = 216.000
n = 9 anos x 12(mensal) = 108 parcelas
A = ?
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos:
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 216.000 - - -
1 216.000 – 2.000 = 
214.000
2.000
2 214.000 – 2.000 = 
212.000
2.000
3 212.000 – 2.000 = 
210.000
2.000
...
Sabemos a prestação do período 3 que é R$ 2.848,00. Lembrando que P = A + J, temos que para o período 
3:
P = A + J • 2 848 = 2 000 + J • J = 2 848 – 2 000 = 848. Os juros incidem sobre o capital do período anterior 
que neste caso é o 2.O tempo é 1
J = C.i.t • 848 = 212 000.i.1 • i = 848 / 212 000 • i = 0,004 x 100% • i = 0,4%
Resposta: B
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
84
Progressões: progressão aritmética, progressão geométrica
— Progressão Aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um 
valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por16:
r = a2 – a1
Onde:
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:
Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:
an = a1 + (n – 1) . r
Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos 
tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
Tipos de PA
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:
1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0
2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2
3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.
Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2
As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado 
número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.
Soma dos Termos de uma PA
A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:
Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil 
para resolver questões em que são dados o primeiro e o último termo.
Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:
16 https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
85
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média 
aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):
Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde à média aritmética do anteces-
sor e do sucessor. 
Exemplo: Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) vamos determinar a razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PA
2. Termo médio
3. Soma dos termos
— Progressão Geométrica (PG)
Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divi-
são de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:
Onde,
q é a razãoda PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
86
Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:
Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).
Tipos de PG
De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:
1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos;
Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3.
2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0 < q < 1 e os termos positivos;
Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3.
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3.
3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2.
4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1.
Soma dos Termos de uma PG
A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos ter-
mos.
Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0 < q < 
1, a fórmula utilizada é:
Termo Médio da PG
Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média 
geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
87
Exemplo: Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) vamos determinar a razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PG
2. Termo médio
Soma dos termos
Análise combinatória: Problemas que envolvem contagem, princípio multiplicativo, 
permutação, arranjos, combinação
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permi-
tem resolver problemas relacionados com contagem17.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações pos-
síveis entre um conjunto de elementos.
— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
17 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
88
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de 
maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cup-
cake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um 
cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilida-
des, conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possi-
bilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basi-
camente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
89
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são carac-
terizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão or-
ganizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
90
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um expe-
rimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade 
de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possí-
veis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sortea-
dos.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
91
Probabilidade: espaço amostral, tipos de eventos, probabilidade de um evento em um 
espaço amostral finito, probabilidade com reunião e intersecção de eventos
— Probabilidade
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer18.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a me-
dida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Va-
mos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
18 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
92
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amos-
trais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do sím-
bolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são verme-
lhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o even-
to “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
93
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (even-
to A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
Noções de estatística: média aritmética, media ponderada, mediana e moda, repre-
sentação da distribuição de frequências, gráficos de barras, gráficos de setores, gráfico 
poligonal ou de linha, análise e interpretação de gráficos
Estatística descritiva
O objetivo da Estatística Descritiva é resumir as principais características de um conjunto de dados por meio 
de tabelas, gráficos e resumos numéricos. 
Noções de estatística
A estatística torna-se a cada dia uma importante ferramenta de apoio à decisão. Resumindo: é um conjuntode métodos e técnicas que auxiliam a tomada de decisão sob a presença de incerteza.
Estatística descritiva (Dedutiva)
O objetivo da Estatística Descritiva é resumir as principais características de um conjunto de dados por meio 
de tabelas, gráficos e resumos numéricos. Fazemos uso de:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
94
Tabelas de frequência 
Ao dispor de uma lista volumosa de dados, as tabelas de frequência servem para agrupar informações de 
modo que estas possam ser analisadas. As tabelas podem ser de frequência simples ou de frequência em faixa 
de valores.
Gráficos
O objetivo da representação gráfica é dirigir a atenção do analista para alguns aspectos de um conjunto 
de dados. Alguns exemplos de gráficos são: diagrama de barras, diagrama em setores, histograma, boxplot, 
ramo-e-folhas, diagrama de dispersão, gráfico sequencial.
Resumos numéricos
Por meio de medidas ou resumos numéricos podemos levantar importantes informações sobre o conjunto 
de dados tais como: a tendência central, variabilidade, simetria, valores extremos, valores discrepantes, etc.
Estatística inferencial (Indutiva)
Utiliza informações incompletas para tomar decisões e tirar conclusões satisfatórias. O alicerce das técnicas 
de estatística inferencial está no cálculo de probabilidades. Fazemos uso de:
Estimação
A técnica de estimação consiste em utilizar um conjunto de dados incompletos, ao qual iremos chamar de 
amostra, e nele calcular estimativas de quantidades de interesse. Estas estimativas podem ser pontuais (repre-
sentadas por um único valor) ou intervalares.
Teste de Hipóteses
O fundamento do teste estatístico de hipóteses é levantar suposições acerca de uma quantidade não co-
nhecida e utilizar, também, dados incompletos para criar uma regra de escolha.
População e amostra
É o conjunto de todas as unidades sobre as quais há o interesse de investigar uma ou mais características.
Variáveis e suas classificações
Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor da pele, 
entre outros. Dizemos que estamos qualificando.
Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos, 
etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável 
contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome 
de variável discreta.
Fases do método estatístico
— Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensurá-
veis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários à sua descri-
ção. A coleta pode ser direta e indireta.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
95
— Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados, à 
procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que 
possam influir sensivelmente nos resultados. A crítica pode ser externa e interna.
— Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de 
classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
— Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabe-
las ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico.
— Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos resul-
tados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução ou infe-
rência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
Censo
É uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população.
Principais propriedades:
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade;
- É caro;
- É lento;
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos);
- Nem sempre é viável.
Dados brutos: é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente da observa-
ção de um fenômeno coletivo.
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos.
Média aritmética 
Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo 
número de elementos do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido 
calcular a média aritmética para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, 
ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:
1,85 + 1,85 + 1,95 + 1,98 + 1,98 + 1,98 + 2,01 + 2,01+2,07+2,07+2,07+2,07+2,10+2,13+2,18 = 30,0
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determi-
nado peso” é chamada média aritmética ponderada.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
96
Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol: x1 , x2 , x3 , ... xn
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo xi tal que o número de termos da sequência que precedem xi é 
igual ao número de termos que o sucedem, isto é, xi é termo médio da sequência (xn) em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos xj e xj +1, tais que 
o número de termos que precedem xj é igual ao número de termos que sucedem xj +1, isto é, a mediana é a 
média aritmética entre os termos centrais da sequência (xn) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio 
desse rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
Moda (Mo)
Num conjunto de números: x1 , x2 , x3 , ... xn, chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
Medidas de dispersão
Duas distribuições de frequência com medidas de tendência central semelhantes podem apresentar carac-
terísticas diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o grau de dispersão ou va-
riação dos dados em torno da média ou de qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados 
medidas de dispersão.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
97
Variância 
Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um conjunto de números em relação à sua média 
aritmética, e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido:
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua média aritmética. Chama-se variância desse 
conjunto, e indica-se por , o número:
Isto é:
E para amostra
Exemplo 1:
Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:
Jogo Número de pontos
1 22
2 18
3 13
4 24
5 26
6 20
7 19
8 18
a) Qual a média de pontos por jogo?
b) Qual a variância do conjunto de pontos?
Solução:
a) A média de pontos por jogo é:
b) A variância é:
Desvio médio
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
98
Definição
Medida dadispersão dos dados em relação à média de uma sequência. Esta medida representa a média 
das distâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio.
Desvio padrão
Definição
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua média aritmética. Chama-se desvio padrão 
desse conjunto, e indica-se por , o número:
Isto é:
Exemplo:
As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. 
Calcular:
a) A estatura média desses jogadores.
b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.
Solução:
Sendo a estatura média, temos:
Sendo o desvio padrão, tem-se:
— Gráficos
Os gráficos são representações que facilitam a análise de dados, os quais costumam ser dispostos em 
tabelas quando se realiza pesquisas estatísticas19. Eles trazem muito mais praticidade, principalmente quando 
os dados não são discretos, ou seja, quando são números consideravelmente grandes. Além disso, os gráficos 
também apresentam de maneira evidente os dados em seu aspecto temporal.
19 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/graficos.htm
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
99
Elementos do Gráfico
Ao construirmos um gráfico em estatística, devemos levar em consideração alguns elementos que são 
essenciais para sua melhor compreensão. Um gráfico deve ser simples devido à necessidade de passar uma 
informação de maneira mais rápida e coesa, ou seja, em um gráfico estatístico, não deve haver muitas informa-
ções, devemos colocar nele somente o necessário.
As informações em um gráfico devem estar dispostas de maneira clara e verídica para que os resultados 
sejam dados de modo coeso com a finalidade da pesquisa.”
Tipos de Gráficos
Em estatística é muito comum a utilização de diagramas para representar dados, diagramas são gráficos 
construídos em duas dimensões, isto é, no plano. Existem vários modos de representá-los. A seguir, listamos 
alguns.
• Gráfico de Pontos
Também conhecido como Dotplot, é utilizado quando possuímos uma tabela de distribuição de frequência, 
sendo ela absoluta ou relativa. O gráfico de pontos tem por objetivo apresentar os dados das tabelas de forma 
resumida e que possibilite a análise das distribuições desses dados.
Exemplo: Suponha uma pesquisa, realizada em uma escola de educação infantil, na qual foram coletadas 
as idades das crianças. Nessa coleta foi organizado o seguinte rol:
Rol: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6}
Podemos organizar esses dados utilizando um Dotplot.
Observe que a quantidade de pontos corresponde à frequência de cada idade e o somatório de todos os 
pontos fornece-nos a quantidade total de dados coletados.
• Gráfico de linha
É utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo, esse tipo de gráfico é 
muito presente em análises financeiras. O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo, que pode ser dado 
em anos, meses, dias, horas etc., enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão.
Uma das vantagens desse tipo de gráfico é a possibilidade de realizar a análise de mais de uma tabela, por 
exemplo.
Exemplo: Uma empresa deseja verificar seu faturamento em determinado ano, os dados foram dispostos 
em uma tabela.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
100
Veja que nesse tipo de gráfico é possível ter uma melhor noção a respeito do crescimento ou do decresci-
mento dos rendimentos da empresa.
• Gráfico de Barras
Tem como objetivo comparar os dados de determinada amostra utilizando retângulos de mesma largura e 
altura. Altura essa que deve ser proporcional ao dado envolvido, isto é, quanto maior a frequência do dado, 
maior deve ser a altura do retângulo.
Exemplo: Imagine que determinada pesquisa tem por objetivo analisar o percentual de determinada popula-
ção que acesse ou tenha: internet, energia elétrica, rede celular, aparelho celular ou tablet. Os resultados dessa 
pesquisa podem ser dispostos em um gráfico como este:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
101
• Gráfico de Colunas
Seu estilo é semelhante ao do gráfico de barras, sendo utilizado para a mesma finalidade. O gráfico de 
colunas então é usado quando as legendas forem curtas, a fim de não deixar muitos espaços em branco no 
gráfico de barra.
Exemplo: Este gráfico está, de forma genérica, quantificando e comparando determinada grandeza ao longo 
de alguns anos.
• Gráfico de Setor
É utilizado para representar dados estatísticos com um círculo dividido em setores, as áreas dos setores 
são proporcionais às frequências dos dados, ou seja, quanto maior a frequência, maior a área do setor circular.
Exemplo: Este exemplo, de forma genérica, está apresentando diferentes variáveis com frequências diver-
sas para determinada grandeza, a qual pode ser, por exemplo, a porcentagem de votação em candidatos em 
uma eleição.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
102
• Histograma
O Histograma é uma ferramenta de análise de dados que apresenta diversos retângulos justapostos (barras 
verticais)20.
Por esse motivo, ele se assemelha ao gráfico de colunas, entretanto, o histograma não apresenta espaço 
entre as barras.
• Infográficos
Os infográficos representam a união de uma imagem com um texto informativo. As imagens podem conter 
alguns tipos de gráficos.
20 https://www.todamateria.com.br/tipos-de-graficos/
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
103
— Tabelas
As tabelas são usadas para organizar algumas informações ou dados. Da mesma forma que os gráficos, 
elas facilitam o entendimento, por meio de linhas e colunas que separam os dados.
Sendo assim, são usadas para melhor visualização de informações em diversas áreas do conhecimento. 
Também são muito frequentes em concursos e vestibulares.
Sistema linear: resolução de um sistema linear por escalonamento, regra de Cramer
Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n in-
cógnitas.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
104
Em que:
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simul-
taneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Sistema Linear 3x3
Sistemas Lineares equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes. Por exemplo:
São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto solução S={(1,2)}
Denominamos solução do sistema linear toda sequência ordenada de números reais que verifica, simulta-
neamente, todas as equações do sistema.
Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar todas as sequências ordenadas de números reais que 
satisfaçam as equações do sistema.
Matriz Associada a um Sistema Linear
Dado o seguinte sistema:
 
Matriz incompleta
 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
105
Classificação
Sistema Possível e Determinado
O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois
Como não existe outro par que satisfaça simultaneamente as duas equações, dizemos que esse sistema é 
SPD(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única solução.
Sistema Possível e Indeterminado
esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o 
sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. 
Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas equações. Logo o sistema não tem solução, 
portanto é impossível.
Sistema Escalonado
Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as incógnitas das equações lineares estão escritas em 
uma mesma ordem e o 1º coeficiente não-nulo de cada equação está à direita do 1º coeficiente não-nulo da 
equação anterior.
Exemplo
Sistema 2x2 escalonado.
Sistema 3x3A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Podemos transformar qualquer sistema linear em um outro equivalente pelas seguintes transformações 
elementares, realizadas com suas equações:
-trocas as posições de duas equações
-Multiplicar uma das equações por um número real diferente de 0.
-Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a outra equação.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
106
Exemplo
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira 
equação.
Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação
Multiplicando a equação por -2:
Somando as duas equações:
Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, 
inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
- Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
- Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou impossível, devemos conseguir um sistema 
escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:



=+
=+
12
53
ayx
yx
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
DAssim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~2162
53
yx
yx
yx
yx
Que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
107
Regra de Cramer
Consideramos os sistema . 
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz in
completa desse sistema é , cujo determinante é indicado por D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos ,cujo determinante é indicado por Dy = af – ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e 
considerando a matriz , cujo determinante é 
indicado por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
Raciocínio lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
Este tipo de raciocínio testa sua habilidade de resolver problemas matemáticos, e é uma forma de medir 
seu domínio das diferentes áreas do estudo da Matemática: Aritmética, Álgebra, leitura de tabelas e gráficos, 
Probabilidade e Geometria etc. Essa parte consiste nos seguintes conteúdos:
- Operação com conjuntos.
- Cálculos com porcentagens.
- Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
- Geometria básica.
- Álgebra básica e sistemas lineares.
- Calendários.
- Numeração.
- Razões Especiais.
- Análise Combinatória e Probabilidade.
- Progressões Aritmética e Geométrica.
RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO 
Este tipo de raciocínio está relacionado ao conteúdo Lógica de Argumentação.
ORIENTAÇÕES ESPACIAL E TEMPORAL 
O raciocínio lógico espacial ou orientação espacial envolvem figuras, dados e palitos. O raciocínio lógico 
temporal ou orientação temporal envolve datas, calendário, ou seja, envolve o tempo.
O mais importante é praticar o máximo de questões que envolvam os conteúdos:
- Lógica sequencial
- Calendários
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
108
RACIOCÍNIO VERBAL
Avalia a capacidade de interpretar informação escrita e tirar conclusões lógicas.
Uma avaliação de raciocínio verbal é um tipo de análise de habilidade ou aptidão, que pode ser aplicada ao 
se candidatar a uma vaga. Raciocínio verbal é parte da capacidade cognitiva ou inteligência geral; é a percep-
ção, aquisição, organização e aplicação do conhecimento por meio da linguagem.
Nos testes de raciocínio verbal, geralmente você recebe um trecho com informações e precisa avaliar um 
conjunto de afirmações, selecionando uma das possíveis respostas:
A – Verdadeiro (A afirmação é uma consequência lógica das informações ou opiniões contidas no trecho)
B – Falso (A afirmação é logicamente falsa, consideradas as informações ou opiniões contidas no trecho)
C – Impossível dizer (Impossível determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa sem mais informações)
ESTRUTURAS LÓGICAS
Precisamos antes de tudo compreender o que são proposições. Chama-se proposição toda sentença de-
clarativa à qual podemos atribuir um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca ambos. Trata-se, portanto, 
de uma sentença fechada.
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a 
proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão 
paradoxal) – O cachorro do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, 
nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte 
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., cha-
madas letras proposicionais.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas 
P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Proposições Compostas – Conectivos
As proposições compostas são formadas por proposições simples ligadas por conectivos, aos quais formam 
um valor lógico, que podemos vê na tabela a seguir:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
109
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusi-
va v p ou q
Disjunção Exclu-
siva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
110
Exemplo: 
(MEC – CONHECIMENTOS BÁSICOS PARA OS POSTOS 9,10,11 E 16 – CESPE)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposi-
ções lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posi-
ção horizontal é igual a
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos:
R Q P [ P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
Resposta: Certo
Proposição
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas 
transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados 
conceitos ou entes.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
111
Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e 
uma falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns aximosda lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tem-
po.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre 
um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso.
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.”
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a 
proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão 
paradoxal) – O cachorro do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, 
nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte 
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., cha-
madas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas 
P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplo
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Exemplos: 
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
112
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma 
sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do 
resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos 
considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interroga-
tiva.
Resposta: B.
Conectivos (conectores lógicos) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se 
os conectivos. São eles:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclu-
siva v p ou q
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
113
Disjunção Exclu-
siva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Exemplo: 
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lingua-
gem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras 
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, 
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbo-
lo ∧. A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por 
exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta do tipo condicional (Se, então) é 
representada pelo símbolo (→).
Resposta: B.
Tabela Verdade 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das propo-
sições simples que a compõe. O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos 
valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
• Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do número de proposições simples que a integram, 
sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes contém 2n li-
nhas.”
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
114
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência 
• Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma tautologia, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma tauto-
logia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). A contra-
dição é a negação da Tautologia e vice versa. 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma contradição, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma 
contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contingência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna). Em outros termos a con-
tingência é uma proposição composta que não é tautologia e nem contradição.
Exemplos: 
4. (DPU – ANALISTA – CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou 
sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estuda-
da e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era ina-
fiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q 
como verdadeiras ou falsas.
( ) Certo 
( ) Errado
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
115
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalência
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas dife-
rentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, 
então são EQUIVALENTES.
Exemplo:
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para 
tal,trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
116
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo 
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são 
falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que 
NEGAÇÃO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
CONECTIVOS
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se 
os conectivos. 
OPERAÇÃO CONECTI-VO
ESTRUTURA 
LÓGICA EXEMPLOS
Negação ~ Não p A cadeira não é azul.
Conjunção ^ p e q Fernando é médico e Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Inclu-
siva v p ou q Fernando é médico ou Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Exclu-
siva v Ou p ou q Ou Fernando é médico ou João é Engenheiro.
Condicional → Se p então q Se Fernando é médico então Nicolas é Engenheiro.
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Fernando é médico se e somente se Nicolas é En-
genheiro.
Conectivo “não” (~)
Chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quan-
do p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. Pela 
tabela verdade temos:
Conectivo “e” (˄)
Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Para a conjunção, tem-se 
a seguinte tabela-verdade:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
117
ATENÇÃO: Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas 
as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.
Conectivo “ou” (v)
Este inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inte-
ligente).
Conectivo “ou” (v)
Este exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vi-
ce-versa).
• Mais sobre o Conectivo “ou”
– “inclusivo”(considera os dois casos) 
– “exclusivo”(considera apenas um dos casos)
Exemplos:
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das proposições é verdadeira, podendo ser am-
bas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser verdadeira
Ele pode ser “inclusivo”(considera os dois casos) ou “exclusivo”(considera apenas um dos casos)
Exemplo: 
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa 
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das proposições é verdadeira, podendo ser am-
bas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser verdadeiro
Conectivo “Se... então” (→)
Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a se-
guinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia”.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
118
1. Podem ocorrer as situações:
2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)
5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, 
poderia ir ou não ir à praia). Temos então sua tabela verdade:
Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a 
segunda, q, for falsa. 
Conectivo “Se e somente se” (↔)
Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode 
ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente 
para p”.
Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:
1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade). Sua tabela verdade:
Observe que uma bicondicional só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou 
ambas verdadeiras.
ATENÇÃO: O importante sobre os conectivos é ter em mente a tabela de cada um deles, para que assim 
você possa resolver qualquer questão referente ao assunto.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
119
Ordem de precedência dos conectivos:
O critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão 
qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas:
Em resumo:
Exemplo: 
(PC/SP - DELEGADO DE POLÍCIA - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lin-
guagem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras 
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, 
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbo-
lo ∧. A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por 
exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta do tipo condicional (Se, então) é 
representada pelo símbolo (→).
Resposta: B
CONTRADIÇÕES
São proposições compostas formadas por duas ou mais proposições onde seu valor lógico é sempre FAL-
SO, independentemente do valor lógico das proposições simples que a compõem. Vejamos:
A proposição: p ^ ~p é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Exemplo: 
(PEC-FAZ) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P ∧ P é:
(A) uma tautologia.
(B) equivalente à proposição ~p ∨ p.
(C) uma contradição.
(D) uma contingência.
(E) uma disjunção. 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
120
Resolução:
Montando a tabela teremos que:
P ~p ~p ^p
V F F
V F F
F V F
F V F
Como todos os valores são Falsidades (F) logo estamos diante de uma CONTRADIÇÃO.
Resposta: C
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes 
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a con-
dicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
121
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamen-
te verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já 
existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
• Modus Tollens
Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
122
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das proposições p e q, dá-se a nova proposição 
p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → Q é tautológica.
Inferências
• Regra do SilogismoHipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Lógica de primeira ordem
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposições com quantificadores. Numa proposição 
categórica, é importante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coerente e que a proposição 
faça sentido, não importando se é verdadeira ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas proposições categóricas.
• Classificação de uma proposição categórica de acordo com o tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quan-
tidade.
– Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa.
– Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou 
particular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição. 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
123
Entre elas existem tipos e relações de acordo com a qualidade e a extensão, classificam-se em quatro tipos, 
representados pelas letras A, E, I e O.
• Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”
Teremos duas possibilidades.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no conjunto “B”, ou seja, que todo e qualquer 
elemento de “A” é também elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo B é A”.
• Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “ne-
nhum A é B” é o mesmo que dizer “nenhum B é A”.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B = ø):
• Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
Podemos ter 4 diferentes situações para representar esta proposição:
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em comum 
com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é B. Observe 
“Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
• Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
124
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
Proposições nessa forma: Algum A não é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento 
que não pertence ao conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A.
• Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as seguintes convenções de equivalência:
– Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos uma proposição categórica particular.
– Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição categórica particular geramos uma propo-
sição categórica universal.
– Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, sempre, uma proposição de natureza nega-
tiva; e, pela recíproca, negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, uma proposição de 
natureza afirmativa.
Em síntese:
Exemplos: 
(DESENVOLVE/SP - CONTADOR - VUNESP) Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos 
miam alto. 
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é pardo.
Resolução:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
125
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a 
sua negação. 
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo o esquema, pelos quantificadores universais 
(todos ou nenhum). 
Logo, podemos descartar as alternativas A e E.
A negação de uma conjunção se faz através de uma disjunção, em que trocaremos o conectivo “e” pelo 
conectivo “ou”. Descartamos a alternativa B.
Vamos, então, fazer a negação da frase, não esquecendo de que a relação que existe é: Algum A é B, deve 
ser trocado por: Todo A é não B.
Todos os gatos que são pardos ou os gatos (aqueles) que não são pardos NÃO miam alto.
Resposta: C
(CBM/RJ - CABO TÉCNICO EM ENFERMAGEM - ND) Dizer que a afirmação “todos os professores é psi-
cólogos” e falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira
(A) Todos os não psicólogos são professores.
(B) Nenhum professor é psicólogo.
(C) Nenhum psicólogo é professor.
(D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
(E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
Resolução:
Se a afirmação é falsa a negação será verdadeira. Logo, a negação de um quantificador universal categóri-
co afirmativo se faz através de um quantificador existencial negativo. Logo teremos: Pelo menos um professor 
não é psicólogo.
Resposta: E
• Equivalência entre as proposições
Basta usar o triângulo a seguir e economizar um bom tempo na resolução de questões.
Exemplo: 
(PC/PI - ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL - UESPI) Qual a negação lógica da sentença “Todo número natural 
é maior do que ou igual a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
126
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-se a sua negação. 
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o esquema abaixo, pelo quantificador algum, 
pelo menos um, existe ao menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com Todos e Nenhum, que 
também são universais.
Portanto, já podemos descartar as alternativas que trazem quantificadores universais (todo e nenhum). 
Descartamos as alternativas A, B e C. 
Seguindo, devemos negar o termo: “maior do que ou igual a cinco”. Negaremos usando o termo “MENOR 
do que cinco”.
Obs.: maior ou igual a cinco (compreende o 5, 6, 7...) ao ser negado passa a ser menor do que cinco (4, 3, 
2,...).
Resposta: D
Diagramas lógicos
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que envolvam 
os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
Tipo Preposição Diagramas
A TODO A é B
Se um elemento pertence ao 
conjunto A, então pertence 
também a B.
E NENHUMA é B
Existe pelo menos um elemento que 
pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
127
I ALGUM A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está so-
bre o(s) elemento (s) de A que não são B (enquanto 
que, no “Algum A é B”, a atenção estava sobre os 
que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença 
entre conjuntos, que forma o conjunto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existemcinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
128
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
129
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra proposição 
final, que será consequência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa um conjunto de pro-
posições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do 
argumento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo dado pode ser chamado de Silogismo (argumento formado por duas premissas e a conclusão).
A respeito dos argumentos lógicos, estamos interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! En-
tão, passemos a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
130
Argumentos Válidos 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma 
consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Exemplo: 
O silogismo...
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
Q: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a veracidade 
das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.
ATENÇÃO: O que vale é a CONSTRUÇÃO, E NÃO O SEU CONTEÚDO! Se a construção está perfeita, 
então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!
• Como saber se um determinado argumento é mesmo válido? 
Para se comprovar a validade de um argumento é utilizando diagramas de conjuntos (diagramas de Venn). 
Trata-se de um método muito útil e que será usado com frequência em questões que pedem a verificação da 
validade de um argumento. Vejamos como funciona, usando o exemplo acima. Quando se afirma, na premissa 
P1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao 
conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, 
um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO. 
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave desta sentença é NENHUM. E a 
ideia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, 
sem nenhum ponto em comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. 
Teremos:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
131
Comparando a conclusão do nosso argumento, temos:
NENHUM homem é animal – com o desenho das premissas será que podemos dizer que esta conclusão é 
uma consequência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está 
totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido!
Argumentos Inválidos
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma 
– quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. 
Exemplo:
P1: Todas as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança.
Q: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a 
verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa 
não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
Utilizando os diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-
-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Comecemos pela primeira premissa: “Todas as 
crianças gostam de chocolate”. 
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer aqui é 
pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, obede-
cendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro 
do círculo das crianças. É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que Patrícia 
poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
132
2º) Dentro do conjunto maior. Vejamos:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, res-
pondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também pode 
ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram 
a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido 
ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada quando nas premissas do argumento apare-
cem as palavras TODO, ALGUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada quando não for possível resolver pelo primeiro 
método, o que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os co-
nectivos “ou” , “e”, “•” e “↔”. Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada 
premissa e outra para a conclusão. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente 
quando envolve várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos 
utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os 
conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o 
argumento seja considerado válido.
4º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão 
falsa.
É indicado este caminhoquando notarmos que a aplicação do terceiro método não possibilitará a descober-
ta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas.
Em síntese:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
133
Exemplo: 
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 2º método. 
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! 
Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
- 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma con-
dicional? A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos 
utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos.
Resolução pelo 3º Método
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos:
- 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
134
- 1ª Premissa) (p ∧ q)•r é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p ∧ q) tem que ser também falsa. 
E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando uma das premissas for falsa ou ambas forem falsas. Logo, não é 
possível determinamos os valores lógicos de p e q. Apesar de inicialmente o 3º método se mostrar adequado, por 
meio do mesmo, não poderemos determinar se o argumento é ou NÃO VÁLIDO.
Resolução pelo 4º Método
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
- Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:
- 1ª Premissa) (p∧q)•r é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional 
acima também é verdadeira. Daí resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro.
- 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, 
e não foi!
Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não 
havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é vá-
lido! Conclusão: o argumento é válido!
Exemplos: 
(DPU – AGENTE ADMINISTRATIVO – CESPE) Considere que as seguintes proposições sejam verdadei-
ras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. Enume-
rando as premissas: 
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudio fica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
135
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido temos 
que Quando chove tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento seja 
válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido temos 
que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando Fernan-
do está estudando pode ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava estu-
dando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
Resposta: Errado
(PETROBRAS – TÉCNICO (A) DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO JÚNIOR – INFORMÁTICA – CES-
GRANRIO) Se Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um 
centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa.
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
Resolução:
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V), precisa-
mos ter como conclusão o valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
136
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
Resposta: B
LÓGICA MATEMÁTICA QUALITATIVA 
Aqui veremos questões que envolvem correlação de elementos, pessoas e objetos fictícios, através de da-
dos fornecidos. Vejamos o passo a passo:
01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem 
ê casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem 
faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um e o 
nome de suas esposas.
a) O médico é casado com Maria.
b) Paulo é advogado.
c) Patrícia não é casada com Paulo.
d) Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da questão.
1º passo – vamos montar uma tabela para facilitar a visualização da resolução, a mesma deve conter as 
informações prestadas no enunciado, nas quais podem ser divididas em três grupos: homens, esposas e pro-
fissões.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
2º passo – construir a tabela gabarito.
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você en-
xergue informações que ficam meio escondidas na tabela principal. Uma tabela complementa a outra, podendo 
até mesmo que você chegue a conclusões acerca dos grupos e elementos.
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos
Luís
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
137
Paulo
3º passo preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não 
deixam margem a nenhuma dúvida. Em nosso exemplo:
- O médico é casado com Maria: marque um “S” na tabela principal na célula comum a “Médico” e “Maria”, 
e um “N” nas demais células referentes a esse “S”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
ATENÇÃO: se o médico é casado com Maria, eleNÃO PODE ser casado com Lúcia e Patrícia, então co-
locamos “N” no cruzamento de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico, logo ela NÃO PODE ser 
casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo colocamos “N” no cruzamento do nome de Maria com 
essas profissões). 
– Paulo é advogado: Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
– Patrícia não é casada com Paulo: Vamos preencher com “N” na tabela principal
– Carlos não é médico: preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco. Podemos também completar 
a tabela gabarito.
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um “S” 
nesta célula. E preenchemos sua tabela gabarito.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
HOMENS PROFIS-SÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
138
Luís Médico
Paulo Advogado
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar informações 
que levem a novas conclusões, que serão marcadas nessas tabelas.
Observe que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, fato que poderia ser registrado na tabe-
la-gabarito. Mas não vamos fazer agora, pois essa conclusão só foi facilmente encontrada porque o problema 
que está sendo analisado é muito simples. Vamos continuar o raciocínio e fazer as marcações mais tarde. Além 
disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, podemos concluir que Patrí-
cia não é casada com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N N
Maria S N N
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada 
com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o enge-
nheiro (que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
Exemplo: 
(TRT-9ª REGIÃO/PR – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana 
e Paulo viajaram em janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. 
Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
139
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
Resolução:
Vamos preencher a tabela:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N
Arnaldo N
Mariana
Paulo
− Mariana viajou para Curitiba;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N
− Paulo não viajou para Goiânia;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
− Luiz não viajou para Fortaleza.
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
Agora, completando o restante:
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. Então, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz para 
Goiânia
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N S N N
Arnaldo S N N N
Mariana N N S N
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
140
Paulo N N N S
Resposta: B
Quantificador 
É um termo utilizado para quantificar uma expressão. Os quantificadores são utilizados para transformar 
uma sentença aberta ou proposição aberta em uma proposição lógica.
QUANTIFICADOR + SENTENÇA ABERTA = 
SENTENÇA FECHADA
Tipos de quantificadores
• Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo: 
Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
ATENÇÃO: Todo homem é mortal, mas nem todo mortal é homem.
A frase “todo homem é mortal” possui as seguintes conclusões:
1ª) Algum mortal é homem ou algum homem é mortal.
2ª) Se José é homem, então José é mortal.
A forma “Todo A é B” pode ser escrita na forma: Se A então B.
A forma simbólica da expressão “Todo A é B” é a expressão (∀ (x) (A (x) → B).
Observe que a palavra todo representa uma relação de inclusão de conjuntos, por isso está associada ao 
operador da condicional.
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora, se escrevermos da forma ∀ (x) ∈ N / x + 2 = 5 ( lê-se: para todo 
pertencente a N temos x + 2 = 5), atribuindo qualquer valor a x a sentença será verdadeira? 
A resposta é NÃO, pois depois de colocarmos o quantificador, a frase passa a possuir sujeito e predicado 
definidos e podemos julgar, logo, é uma proposição lógica.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
141
• Quantificador existencial (∃)
O símbolo ∃ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo:
“Algum matemático é filósofo.” O diagrama lógico dessa frase é:
O quantificador existencial tem a função de elemento comum. A palavra algum, do ponto de vista lógico, 
representa termos comuns, por isso “Algum A é B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Escrevendo da forma (∃ x) ∈ N / x + 2 = 5 (lê-se: existe pelo menos um x 
pertencente a N tal que x + 2 = 5), atribuindo um valor que, colocado no lugar de x, a sentença será verdadeira? 
A resposta é SIM, pois depois de colocarmos o quantificador, a frase passou a possuir sujeito e predicado 
definidos e podemos julgar, logo, é uma proposição lógica.
ATENÇÃO: 
– A palavra todo não permite inversão dos termos: “Todo A é B” é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra algum permite a inversão dos termos: “Algum A é B” é a mesma coisa que “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplos:
Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclusões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça de animal, pois mantém a relação de “está 
contido” (segunda forma de conclusão).
Resposta: B
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
142
(CESPE) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀ x) (x ∈ R) (∃ y) (y ∈ R) (x + y = x) é 
valorada como V.
Resolução:
Lemos: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais (R) existe um y pertencente ao conjunto dos 
números dos reais (R) tal que x + y = x.
– 1º passo: observar os quantificadores.
X está relacionado com o quantificador universal, logo, todos os valores de x devem satisfazer a proprieda-
de.
Y está relacionado com o quantificador existencial, logo, é necessário pelo menos um valor de x para satis-
fazer a propriedade.
– 2º passo: observar os conjuntos dos números dos elementos x e y.
O elemento x pertence ao conjunto dos números reais.
O elemento y pertence ao conjunto os números reais.– 3º passo: resolver a propriedade (x+ y = x).
A pergunta: existe algum valor real para y tal que x + y = x?
Existe sim! y = 0.
X + 0 = X.
Como existe pelo menos um valor para y e qualquer valor de x somado a 0 será igual a x, podemos concluir 
que o item está correto.
Resposta: CERTO
Exercícios
1. PREFEITURA DE GUZOLÂNDIA/SP - ESCRITURÁRIO - OMNI/2021
Podemos definir um número primo, como um número natural, que é divisível por exatamente dois números 
naturais. Como os números racionais são números escritos como a fração entre dois números inteiros, assinale 
a opção CORRETA em relação aos números primos e racionais. 
(A) Os números primos não são racionais, já que não podemos escrevê-los na forma de uma fração.
(B) O único número primo e racional é o número 1.
(C) Todos os números primos também são racionais.
(D) Não existe número primo que seja par.
2. PREFEITURA DE PAULÍNIA/SP - CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL - FGV/2021
Observe o exemplo seguinte.
O número 10 possui 4 divisores, pois os únicos números que dividem 10 exatamente são: 1, 2, 5 e 10.
O número de divisores de 48 é
(A) 6. 
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
143
(E) 10.
3. PREFEITURA DE ITATIBA/SP - PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA - AVANÇA SP/2020
No que se refere aos Conjuntos Numéricos, julgue os itens a seguir e, ao final, assinale a alternativa correta:
I – Reúnem diversos conjuntos cujos elementos são quase todos números.
II – São formados por números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
III – O ramo da Matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Sistemas.
(A) Apenas o item I é verdadeiro.
(B) Apenas o item II é verdadeiro.
(C) Apenas o item III é verdadeiro.
(D) Apenas os itens I e III são verdadeiros.
(E) Todos os itens são verdadeiros.
4. PREFEITURA DE ARAPONGAS/PR - FISCAL AMBIENTAL - FAFIPA/2020
O conjunto dos números reais (R) é formado pela união de outros conjuntos numéricos: naturais (N), intei-
ros (Z), racionais (Q) e irracionais. Das alternativas a seguir, qual representa um conjunto de múltiplos de um 
número real e, ao mesmo tempo, um subconjunto dos números naturais?
(A) {1, 5, 7, 9, 11, 13}.
(B) {−1, 5, −7, 9, −11, 13}.
(C) {1, −5, 7, −9, 11, −13}.
(D) {⋯ , 27, 36, 45, 54, 63, 72, ⋯ }.
(E) {1, 5, 7, −9, −11, −13}.
5. CRMV/AM - SERVIÇOS GERAIS – QUADRIX/2020
A partir dos números escritos no quadro acima, julgue o item.
Os números 13 e 17 são primos.
( ) CERTO
( ) ERRADO
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
144
6. PREFEITURA DE TAUBATÉ/SP - ESCRITURÁRIO - VUNESP/2022
Um mestre de obras precisa de um pedaço de madeira cortada em formato de triângulo retângulo, com o 
maior lado medindo 37 cm, e o menor lado medindo 12 cm. O perímetro desse pedaço de madeira triangular 
deve ser de:
(A) 81 cm.
(B) 82 cm.
(C) 83 cm.
(D) 84 cm.
(E) 85 cm.
7. CÂMARA DE IPIRANGA DO NORTE/MT - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - OBJETIVA/2022
Um terreno retangular com comprimento de 16m e largura de 12m será dividido ao meio por uma de suas 
diagonais. Supondo-se que será utilizado uma cerca para fazer essa divisão, ao todo, quantos metros de cerca 
serão necessários?
(A) 18m
(B) 20m
(C) 22m
(D) 24m
8. PREFEITURA DE BOMBINHAS/SC - PROFESSOR DE ENSINO FUNDAMENTAL II - EDUCAÇÃO FÍSI-
CA - PREFEITURA DE BOMBINHAS/SC/2021
Considerando um triângulo retângulo com hipotenusa de 8 cm e um ângulo interno de 30º, qual será a medida 
do cateto oposto a 30º? 
Tabela de valores trigonométricos
(A) 2cm;
(B) 7cm;
(C) 5cm;
(D) 4 cm.
9. CREF - 21ª REGIÃO (MA) - AUXILIAR ADMINISTRATIVO - QUADRIX/2021
O ser humano pode carregar, no máximo, 10% do seu peso, sem prejudicar sua coluna. Em uma loja, um 
funcionário que pesa 80 kg transportou 1.000 pacotes de folhas de papel de uma estante A para uma estante 
B. Cada pacote contém 100 folhas de papel e cada folha pesa 5 g.
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que o funcionário não prejudicou sua coluna, é correto 
afirmar que o número mínimo de vezes que ele se deslocou da estante A para a estante B é igual a:
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
145
(A) 61.
(B) 62.
(C) 63.
(D) 64.
(E) 65.
10. PREFEITURA DE BOA VISTA/RR - NUTRICIONISTA - SELECON/2020
Para calcular a capacidade de um caldeirão, usa-se a fórmula V = π x R² x h (altura). Considerando-se que o 
caldeirão possui 1 metro de diâmetro e 0,50 cm de altura, a capacidade média em litros é (considere π = 3,14):
(A) 252,5
(B) 302,6
(C) 337,5
(D) 392,5
11. GASBRASILIANO - ECONOMISTA JÚNIOR - IESES
Assinale a alternativa INCORRETA sobre a Teoria dos Conjuntos
(A) O conjunto vazio pertence a todos os conjuntos. 
(B) Um conjunto pode ser representado pelo Diagrama de Venn.
(C) Uma amostra é um subconjunto da população.
(D) Chama-se intersecção ao conjunto formado pelos elementos comuns a dois conjuntos.
12. PREFEITURA DE PIRACICABA/SP - PROFESSOR - VUNESP/2020
Uma escola tem aulas nos períodos matutino e vespertino. Nessa escola, estudam 400 alunos, sendo o 
número de alunos do período vespertino igual a 2/3 do número de alunos do período matutino. A razão entre o 
número de alunos do período vespertino e o número total de alunos dessa escola é:
(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 2/5
(D) 3/5
(E) 2/3
13. UEPA - TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR - FADESP/2020
Doze funcionários de um escritório de contabilidade trabalham 8 horas por dia, durante 25 dias, para aten-
der a um certo número de clientes. Se dois funcionários adoecem e precisam ser afastados por tempo inde-
terminado, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender ao mesmo número de pessoas, 
trabalhando 2 horas a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será de:
(A) 23 dias.
(B) 24 dias.
(C) 25 dias.
(D) 26 dias.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
146
14. PREFEITURA DE MINISTRO ANDREAZZA/RO - AGENTE ADMINISTRATIVO - IBADE/2020
Em uma determinada loja de departamentos, o fogão custava R$ 400,00. Após negociação o vendedor apli-
cou um desconto de R$ 25,00. O valor percentual de desconto foi de:
(A) 5,57%
(B) 8,75%
(C) 12,15%
(D) 6,25%
(E) 6,05%
15. COMUR DE NOVO HAMBURGO/RS - AGENTE DE ATENDIMENTO E VENDAS - FUNDATEC/2021 
Qual o resultado da equação de primeiro grau 2x - 7 = 28 - 5x?
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) -4,6.
(E) Não é possível resolver essa equação.
16. PREFEITURA DE IRATI/SC - PROFESSOR DE EDUCAÇÃO FÍSICA - GS ASSESSORIA E CONCUR-
SOS/2021 
Analisando a equação do segundo grau x2 − 5x − 6 = 0, podemos afirmar que ela possui:
(A) nenhuma solução.
(B) um número inteiro como solução.
(C) dois números inteiros como solução.
(D) três números inteiros com solução.
(E) nenhuma das respostas anterior.
17. PREFEITURA DE ICAPUÍ/CE - AGENTE ADMINISTRATIVO - CETREDE/2021
Se tenho R$150,00 em julho e aplico essa quantia a juros simples de 3% ao mês, qual o valor que terei em 
outubro?
(A) R$133,50.
(B) R$163,50.
(C) R$173,00. 
(D) R$183,50.
(E) R$193,00.
18. CÂMARA DE IPIRANGA DO NORTE/MT - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - OBJETIVA/2022
Considerando-se que a razão de certa progressão aritmética é igual a 12, e que o seu primeiro termo é igual 
a 9, assinalar a alternativa que apresenta o valor da soma dos 8 primeiros termos dessa progressão:
(A) 396
(B) 400
(C) 404
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
147
(D) 408
19. PREFEITURA DE BAURU/SP - PROFESSOR SUBSTITUTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA - PREFEITURA 
DE BAURU/SP/2021
Na Escola Municipal Cinderela 8 alunos ganharam um prêmio, por participarem de uma gincana. Havia um 
fotógrafo para registrar o momento. De quantas maneiras diferentes os 8 alunos podem tirar a foto sentados no 
banco da praça?
(A) 40.320 fotos
(B) 64.000 fotos
(C) 30 fotos
(D) 67.349 fotos
20. PREFEITURA DE HORIZONTINA/RS - ANALISTA DE SUPORTE DE INFORMÁTICA - OBJETIVA/2021
 Para finalizar sua fantasia, Pedro precisa escolher uma peruca e uma máscara.Ao chegar à loja, ele po-
deria comprar 5 tipos de perucas diferentes e 7 máscaras diferentes. Sabendo‐se que ele pretende comprar 
apenas uma peruca e uma máscara, ao todo, de quantos modos distintos ele pode fazer essa escolha? 
(A) 35
(B) 30
(C) 25
(D) 20
(E) 10
21. (CRBIO – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – VUNESP/2017) Uma empresa tem 120 funcionários no 
total: 70 possuem curso superior e 50 não possuem curso superior. Sabe-se que a média salarial de toda a 
empresa é de R$ 5.000,00, e que a média salarial somente dos funcionários que possuem curso superior é 
de R$ 6.000,00. Desse modo, é correto afirmar que a média salarial dos funcionários dessa empresa que não 
possuem curso superior é de
(A) R$ 4.000,00.
(B) R$ 3.900,00.
(C) R$ 3.800,00.
(D) R$ 3.700,00.
(E) R$ 3.600,00.
22. (TJM/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2017) Leia o enunciado a seguir para 
responder a questão.
A tabela apresenta o número de acertos dos 600 candidatos que realizaram a prova da segunda fase de um 
concurso, que continha 5 questões de múltipla escolha
NÚMERO DE ACERTOS NÚMERO DE CANDIDATOS
5 204
4 132
3 96
2 78
1 66
0 24
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
148
A média de acertos por prova foi de
(A) 3,57.
(B) 3,43
(C) 3,32.
(D) 3,25.
(E) 3,19.
23. PREFEITURA DE JAGUARIÚNA/SP - DENTISTA - VUNESP/2021
O gráfico representa a distribuição da quantidade de pessoas que responderam “sim” a quatro perguntas 
apresentadas em uma pesquisa.
Sabendo que o ângulo central do setor que representa a pergunta 4 mede 135º, é correto afirmar que o 
número de pessoas que respondeu a essa pergunta foi:
(A) 70.
(B) 75.
(C) 80.
(D) 85.
(E) 90.
24. PREFEITURA DE SÃO ROQUE/SP - INSPETOR DE ALUNOS - VUNESP/2020
Uma faculdade realizará a Semana da Educação. Veja no gráfico as inscrições que foram realizadas para 
cada modalidade oferecida na Semana da Educação.
As modalidades que tiveram menos e mais inscrições, respectivamente, foram
(A) Sarau e Palestra.
(B) Sarau e Apresentações de trabalho.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
149
(C) Oficinas e Palestra.
(D) Oficinas e Minicursos.
(E) Minicursos e Apresentações de trabalho.
25. PREFEITURA DE SÃO ROQUE/SP - INSPETOR DE ALUNOS - VUNESP/2020
No município de Linda Flor há cinco escolas de Ensino Fundamental. Veja na tabela a seguir a quantidade 
de alunos matriculados em cada etapa do Ensino Fundamental nessas escolas.
De acordo com a tabela, a escola de Ensino Fundamental do município de Linda Flor que possui a maior 
quantidade de alunos matriculados é:
(A) Carlos Silva.
(B) Dulce da Costa.
(C) Mário Gomes.
(D) Nilce Modesto.
(E) Osvaldo Bastos.
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO
150
Gabarito
1 C
2 E
3 B
4 D
5 CERTO
6 D
7 B
8 D
9 C
10 D
11 A
12 C
13 B
14 D
15 B
16 C
17 B
18 D
19 A
20 A
21 E
22 B
23 E
24 D
25 B
1802215 E-book gerado especialmente para CASSIANO BASTOS CHAVEIRO