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Prefeitura de Ibirité- MG 
Técnico de Administração
Matemática/Raciocínio lógico
Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, representação fracio-
nária e decimal: operações e propriedades. Números reais: operações e propriedades 1
Razão e proporção. Regra de três simples ...................................................................... 14
Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum: propriedades e problemas. Múlti-
plos e divisores de um número......................................................................................... 18
Álgebra: expressões algébricas, frações algébricas ........................................................ 24
Monômios e polinômios: operações e propriedades. Produtos notáveis e fatoração ...... 30
Equação de 1° grau e do 2° grau. Inequações do 1° e 2° graus...................................... 37
Sistemas de equações do 1° e 2° graus .......................................................................... 46
Problemas que envolvem álgebra, equações, inequações e sistemas do 1° ou do 2° 
graus................................................................................................................................. 50
Leitura de gráficos e tabelas ............................................................................................ 53
Média Aritmética e Ponderada ......................................................................................... 60
Funções: função afim, quadrática, modular, exponencial e logarítmica. Gráficos, pro-
priedades e problemas envolvendo funções afim, modular, quadrática, exponencial e 
logarítmica ....................................................................................................................... 61
Sequências e Progressões: Progressão Aritmética e Geométrica. Propriedades e pro-
blemas envolvendo PA e PG. Soma dos termos de uma PA e uma PG .......................... 76
Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade ................. 80
Relação entre grandezas: tabelas e gráficos ................................................................... 85
Raciocínio lógico .............................................................................................................. 89
Resolução de situações problema ................................................................................... 93
Geometria Plana: Ângulos, retas paralelas, estudo dos polígonos e polígonos regula-
res. Triângulo: teoremas dos ângulos internos e externos. Estudo do triângulo retângu-
lo; relações métricas no triângulo retângulo; relações trigonométricas (seno, cosseno 
e tangente); Teorema de Pitágoras. Quadriláteros: propriedades dos trapézios e pa-
ralelogramos. Círculo e circunferência: ângulos e propriedades. Áreas e perímetros 
de figuras planas e volume de sólidos. Poliedros, prismas e pirâmides: propriedades, 
áreas laterais e totais, volume e problemas. Relação de Euler. Corpos redondos: pro-
priedades, áreas e volumes ............................................................................................. 99
Ciclo trigonométrico – trigonometria no círculo: funções trigonométricas ........................ 121
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Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes. Operações, propriedades e problemas 
envolvendo sistemas lineares, matrizes e determinantes ................................................ 124
Análise combinatória: princípio multiplicativo, permutações, arranjos e combinações. 
Problemas envolvendo análise combinatória. Probabilidade ........................................... 136
Estatística ......................................................................................................................... 142
Números Complexos: operações e propriedades ............................................................ 144
Matemática Financeira: Porcentagem, juros simples e compostos. Problemas envol-
vendo matemática financeira ........................................................................................... 147
Raciocínio lógico: diagramas lógicos. Conectivos e Tabelas verdade. Proposições e 
Silogismos. Correlacionamento de dados e informações ................................................ 151
Sequências não numéricas .............................................................................................. 162
Teoria dos Conjuntos ........................................................................................................ 165
Questões .......................................................................................................................... 171
Gabarito ............................................................................................................................ 181
1
Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, representação fra-
cionária e decimal: operações e propriedades. Números reais: operações e propriedades
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula Z e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero. 
Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
2
— Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 30 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Namultiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Divisão exata de números inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros Z, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
3
Regra de sinais
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
4
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
5
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c ∈Z
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
6
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 = 1/z 
em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos: 
1) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: Resposta: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
2) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
7
Solução: Resposta: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não 
nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
8
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3 .
2) Seja a dízima 1, 23434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
9
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inversode um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: 
b
a
e 
d
c , da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a - 
d
c = 
bd
bcad −
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
10
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a em Q, q diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b em Q: q × q-1 = 1 
b
a x 
a
b = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
11
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos 
conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma 
infinidade de outros números. 
R = Q U I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q, podemos construir o diagrama abaixo:
12
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
Valem todas as propriedades anteriormente discutidas nos conjuntos anteriores, incluindo os conceitos de 
módulo, números opostos e números inversos (quando aplicável).
A representação dos números reais permite estabelecer uma relação de ordem entre eles. Os números 
reais positivos são maiores que zero, enquanto os negativos são menores. Expressamos a relação de ordem 
da seguinte maneira: Dados dois números reais, a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Operações com números Reais
Operando com as aproximações, obtemos uma sequência de intervalos fixos que determinam um número 
real. Assim, vamos abordar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Intervalos reais
O conjunto dos números reais possui subconjuntos chamados intervalos, determinados por meio de 
desigualdades. Dados os números a e b, com a < b, temos os seguintes intervalos: 
– Bolinha aberta: representa o intervalo aberto (excluindo o número), utilizando os símbolos:
> ;< ; ] ; [
– Bolinha fechada: representa o intervalo fechado (incluindo o número), utilizando os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ]
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] para indicar as extremidades abertas dos intervalos:
[a, b[ = (a, b);
]a, b] = (a, b];
]a, b[ = (a, b).
13
a) Em algumas situações, é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, 
ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou valores em débito ou em 
haver, etc. Esses números, que se estendem indefinidamente tanto para o lado direito (positivos) quanto para 
o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos.
b) O valor absoluto de um número relativo é o valor numérico desse número sem levar em consideração o 
sinal.
c) O valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas no sinal.
— Operações com Números Relativos
Adição e Subtração de Números Relativos
a) Quando os numerais possuem o mesmo sinal, adicione os valores absolutos e conserve o sinal.
b) Se os numerais têm sinais diferentes, subtraia o numeral de menor valor e atribua o sinal do numeral de 
maior valor.
Multiplicação e Divisão de Números Relativos
a) Se dois números relativos têm o mesmo sinal, o produto e o quociente são sempre positivos.
b) Se os números relativos têm sinais diferentes, o produto e o quociente são sempre negativos.
Exemplos:
1) Na figura abaixo, o ponto que melhor representa a diferença na reta dos números reais é:
(A) P.
(B) Q.
(C) R.
(D) S.
Solução: Resposta: A.
14
2) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III:
I- (20 – m) é um número menor que 20.
II- (20 m) é um número maior que 20.
III- (20 m) é um número menor que 20.
É correto afirmar que:
A) I, II e III são verdadeiras.
B) apenas I e II são verdadeiras.
C) I, II e III são falsas.
D) apenas II e III são falsas.
Solução: Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo.
Razão e proporção. Regra de três simples
RAZÃO E PROPORÇÃO
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a 
razão de a para b por a/b ou a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e 
o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 
Proporção é a igualdade entreduas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a proprie-
dade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A x D = B x C
15
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou 
para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para 
o quarto termo. Então temos:
 
Ou 
Ou
Ou 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença 
dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
Ou
Ou
Ou
Grandezas Diretamente Proporcionais
16
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira mais informal, se eu 
pergunto:
Quanto mais.....mais....
Exemplo
Distância percorrida e combustível gasto
DISTÂNCIA (KM) COMBUSTÍVEL (LI-
TROS)
13 1
26 2
39 3
52 4
Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível?
Diretamente proporcionais
Se eu dobro a distância, dobra o combustível
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Quanto mais....menos...
Exemplo
Velocidade x Tempo a tabela abaixo:
VELOCIDADE (M/S) TEMPO (S)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo??
Inversamente proporcional
Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade.
Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se 
montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo 
17
Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. 
Caso ganhem o prêmio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de 
dividirem o prêmio de forma diretamente proporcional?
Carlos ganhará R$210000,00 e João R$315000,00.
Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta 
decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem 
do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ---
-- 3
480 ---
-- X
2) Identificação do tipo de relação:
18
VELOCIDA-
DE Tempo
400 ↓ ---
-- 3 ↓
480 ↓ ---
-- X ↓
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
VELOCIDA-
DE Tempo
400 ↓ ---
-- 3 ↓
480 ↓ ---
-- X ↓
480x=1200
X=25
Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum: propriedades e problemas. Múlti-
plos e divisores de um número
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural podem ser estendidos para o conjunto 
dos números inteiros1. Ao abordar múltiplos e divisores, estamos nos referindo a conjuntos numéricos que 
satisfazem certas condições. Múltiplos são obtidos pela multiplicação por números inteiros, enquanto divisores 
são números pelos quais um determinado número é divisível.
Esses conceitos conduzem a subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos de 
múltiplos e divisores pertencem ao conjunto dos números inteiros. Para compreender o que são números 
primos, é fundamental ter uma compreensão sólida do conceito de divisores.
Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um 
número inteiro k tal que a=b⋅k. Portanto, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, e os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, podemos listar os 12 primeiros múltiplos de 2 da seguinte maneira, multiplicando o número 2 
pelos 12 primeiros números inteiros: 2⋅1,2⋅2,2⋅3,…,2⋅12
Isso resulta nos seguintes múltiplos de 2: 2,4,6,…,24
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
1 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
19
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem 
necessários, pois a lista de múltiplos é gerada pela multiplicação do número por todos os inteiros. Assim, o 
conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é múltiplo de outro, é necessário encontrar um número inteiro de forma que a 
multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Em outras palavras, a é múltiplo de b se existir um número 
inteiro k tal que a=b⋅k. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49. 49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
– Múltiplos de 4
Como observamos, para identificar os múltiplos do número 4, é necessário multiplicar o 4 por números 
inteiros. Portanto: 
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
20
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade são diretrizes práticas que permitem determinar se um número é divisível por outro 
sem realizar a operação de divisão.
– Divisibilidade por 2 ocorre quando um número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando é um número 
par.
– A divisibilidade por 3 ocorre quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de um número é 
divisível por 3.
– Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
– Divisibilidade por 5: Um número édivisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
– Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
– Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o dobro do seu último algarismo, subtraído do 
número sem esse algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Esse processo é repetido até verificar a 
divisibilidade.
– Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número 
divisível por 8.
– Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
é divisível por 9.
– Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o algarismo da unidade termina em zero.
– Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de 
posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11, ou quando essas 
somas são iguais.
– Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 simultaneamente.
– Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 simultaneamente.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
21
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão associadas à divisão entre dois inteiros. É importante notar que quando um 
inteiro é múltiplo de outro, ele é também divisível por esse outro número.
Vamos considerar o algoritmo da divisão para uma melhor compreensão das propriedades:
N=d⋅q+r, onde q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N−r) é um múltiplo do divisor, ou seja, o número d 
é um divisor de N−r.
– Propriedade 2: A soma entre o dividendo e o resto, acrescida do divisor (N−r+d), é um múltiplo de d, 
indicando que d é um divisor de (N−r+d).
Alguns exemplos:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e: 528 = 8 · 66
Exemplos:
1) O número de divisores positivos do número 40 é:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 20
Solução: Resposta: A.
Vamos decompor o número 40 em fatores primos.
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente:
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40.
2) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao conjunto 
A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é:
(A) 6
(B) 7
22
(C) 9
(D) 8
(E) 10
Solução: Resposta: D.
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par também, 
e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.
Logo os finais devem ser 4 e 6:
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns 
desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:
• Decompor o número em fatores primos
• Tomar o fatores comuns com o menor expoente
• Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
15 = 3.5 24 = 23.3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
(15,24) = 3
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
• Decompor os números em fatores primos
• Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
15,24 2
15,12 2
15,6 2
15,3 3
5,1 5
1
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
23
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário 
que os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 23.3.5 = 120
Exemplo
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mes-
ma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão esco-
lhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Exemplo
(MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões 
de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 
minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três compa-
nhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às:
(A) 16h 30min.
(B) 17h 30min.
(C) 18h 30min.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas.
Resposta: E.
20,30,44 2
10,15,22 2
5,15,11 3
5,5,11 5
1,1,11 11
24
1,1,1
Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660
1h---60minutos
x-----660
x=660/60=11
Então será depois de 11horas que se encontrarão
7+11=18h
Álgebra: expressões algébricas, frações algébricas
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. As ex-
pressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor 
desconhecido.
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos 
valores atribuídos as letras.
Exemplo: 
(PREFEITURA MUNICIPAL DE RIBEIRÃO PRETO/SP – AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO – VUNESP) Uma 
loja de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de lâmpa-
das queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas boas 
quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a razão entre o número 
de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou a ser de
(A) 1 / 4.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 5.
(D) 1 / 2.
(E) 2 / 3.
Resolução:
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de ( Q ) e o número de lâmpadas boas de ( B ). Assim:
B + Q = 360 , ou seja, B = 360 – Q ( I )
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos:
7.Q = 2. (360 – Q)
7.Q = 720 – 2.Q
25
7.Q + 2.Q = 720
9.Q = 720
Q = 720 / 9
Q = 80 (queimadas)
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos:
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270
Resposta: B
Simplificação de expressões algébricas
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes 
(mesma parte literal). Basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal. 
Exemplos:
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab
Fatoração de expressões algébricas
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. Para fatorar uma expressão algébrica 
podemos usar os seguintes casos:
• Fator comum em evidência: ax + bx = x . (a + b)
• Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
• Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
• Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
• Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
• Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
• Cubo Perfeito(Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Exemplo: 
(PREF. MOGEIRO/PB - PROFESSOR – MATEMÁTICA – EXAMES) Simplificando a expressão,
Obtemos:
(A) a + b.
(B) a² + b².
(C) ab.
(D) a² + ab + b².
(E) b – a.
Resolução:
26
Resposta: D
Monômios
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte 
literal), ela é chamada de monômio. Exemplos: 3ab ; 15xyz3
Propriedades importantes 
– Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. 
– Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por (x – b) . Esta propriedade é muito importante para abai-
xar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini.
– Se o número complexo (a + bi) for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado (a – bi) também será raiz . 
– Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplici-
dade k. 
– Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da 
– Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente 
da variável. 
Relações de Girard
São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. 
Sendo V= {r1, r2, r3,...,rn-1,rn} o conjunto verdade da equação P(x) = a0xn + a1xn-1 +a2xn-2+ ... + an-1x+an=0, com 
a0≠ 0, valem as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes:
Atenção
As relações de Girard só são úteis na resolução de equações quando temos alguma informação so-
bre as raízes. Sozinhas, elas não são suficientes para resolver as equações.
27
Exemplo: 
(UFSCAR-SP) Sabendo-se que a soma de duas das raízes da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5, 
pode-se afirmar a respeito das raízes que:
(A) são todas iguais e não nulas.
(B) somente uma raiz é nula.
(C) as raízes constituem uma progressão geométrica.
(D) as raízes constituem uma progressão aritmética.
(E) nenhuma raiz é real.
Resolução:
x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0
Raízes: x1, x2 e x3
Informação: x1 + x2 = 5
Girard: x1 + x2 + x3 = 7 ⇛ 5 + x3 = 7 ⇛ x3 = 2
Como 2 é raiz, por Briot-Ruffini, temos
x2 – 5x + 4 = 0
x = 1 ou x = 4
S = {1, 2, 4}
Resposta: C
Teorema das Raízes Racionais
É um recurso para a determinação de raízes de equações algébricas. Segundo o teorema, se o número 
racional, com e primos entre si (ou seja, é uma fração irredutível), é uma raiz da equação polinomial com coe-
ficientes inteiros então é divisor de e é divisor de. 
Exemplo: 
Verifique se a equação x3 – x2 + x – 6 = 0 possui raízes racionais.
Resolução:
p deve ser divisor de 6, portanto: ±6, ±3, ±2, ±1; q deve ser divisor de 1, portanto: ±1; Portanto, os possíveis 
valores da fração são p/q: ±6, ±3, ±2 e ±1. Substituindo-se esses valores na equação, descobrimos que 2 é uma 
de suas raízes. Como esse polinômio é de grau 3 (x3 ) é necessário descobrir apenas uma raiz para determinar 
as demais. Se fosse de grau 4 (x4 ) precisaríamos descobrir duas raízes. As demais raízes podem facilmente 
ser encontradas utilizando-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e a fórmula de Bhaskara.
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Frações algébricas são expressões algébricas que possuem pelo menos uma incógnita (número desconhecido 
representado por letra) no denominador2.
Em Matemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e operações numéricas que possuem 
pelo menos um número desconhecido, chamado de incógnita. As expressões algébricas que possuem uma 
incógnita no denominador são chamadas de frações algébricas.
Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de fração, possua uma letra no 
denominador é uma fração algébrica. Como ela é formada por números (alguns conhecidos, outros não), valem 
as propriedades das operações de números reais para elas. Veja:
2 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracoes-algebricas.htm
28
— Adição e Subtração de Fração Algébrica
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as operações de soma e 
subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em conta as regras de sinais para números 
inteiros, que também valem para os números reais.
A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo modo que a adição 
de frações numéricas.
1º caso: Quando os denominadores são iguais
Se os denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma ou subtração) apenas com os 
numeradores e repita o denominador no resultado:
2º caso: Quando os denominadores são diferentes
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de frações com 
denominadores diferentes:
1) Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações algébricas, eles podem ser monômios ou 
polinômios. Exemplo3:
mmc entre 10x e 5x² – 15x
10x = 2 * 5 * x
5x² – 15x = 5x * (x – 3)
mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x
2) Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como denominador das frações e encontrar os 
respectivos numeradores da seguinte maneira:
- Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o resultado por seu numerador;
- Repetir o último procedimento para todas as frações.
Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores diferentes a seguir:
O MMC entre 3y e 2y² é 6y², logo:
Para preencher as lacunas, basta dividir 6y² pelo denominador da primeira fração e multiplicar o resultado 
pelo seu numerador. Isso dará o numerador para a primeira lacuna. Para a segunda, repita o procedimento com 
a segunda fração.
— Multiplicação de Fração Algébrica
3 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-polinomios.htm
29
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: multiplique numerador 
por numerador e denominador por denominador. De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, 
coloque o resultado numérico e parta para a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por 
meio das propriedades de potência.
Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um fator, não devem ser multiplicadas 
entre si, mas apenas repetidas.
Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e incógnitas nas frações acima, 
portanto: 4xy = 4·x·y.
— Divisão de Fração Algébrica
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique a primeira 
fração algébrica pelo inverso da segunda. Observe:
— Potenciação de Fração Algébrica
A potenciação de frações é uma extensão da multiplicação de frações. A solução do problema é dada 
da mesma maneira, contudo, com fatores iguais sempre. Como a multiplicação é feita de numerador para 
numerador e de denominador para denominador, as potências de frações algébricas são calculadas para 
numerador e depois para denominador separadamente. Observe:
— Radiciação de Fração Algébrica
A radiciação segue o mesmo padrão da potenciação. Quando houver raiz de uma fração algébrica, calcule 
a raiz do numerador e do denominador separadamente. Veja:
— Simplificando Frações Algébricas
Simplificar uma fração algébrica segue o mesmo fundamento de simplificar uma fração numérica. É preciso 
dividir numerador e denominador por um mesmo número. Observe um exemplo de simplificação de fração:
A fração acima foi simplificada por 2, depois por 3 e depois por 5. Para fundamentar o procedimento de 
simplificação de frações algébricas, reescreveremos a primeira fração acima em sua forma fatorada:
Perceba que os números 2, 3 e 5 repetem-se no numerador e no denominador e que eles foram exatamente 
os mesmos números pelos quais a fração foi simplificada. No contexto das frações algébricas, o procedimento 
é parecido, pois é necessário fatorar os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, 
devemos avaliar se é possível simplificar alguns deles. Exemplo:
Simplifique a fração algébrica seguinte:
30
Fatore cada umadas incógnitas e números presentes na fração:
Agora realize as divisões que forem possíveis, conforme feito anteriormente para a fração numérica: Os 
números que aparecem tanto no numerador quanto no denominador desaparecem, isto é, são “cortados”. 
Também é possível escrever que o resultado de cada uma dessas simplificações é 1. Observe:
Monômios e polinômios: operações e propriedades. Produtos notáveis e fatoração
POLINÔMIOS
Denomina-se polinômio a função:
Grau de um polinômio
Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos: gr(P)=n
Exemplo
P(x)=7 gr(P)=0
P(x)=7x+1 gr(P)=1
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando 
todas as operações.
Exemplo
P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:
P(2)=2³+2²+1=13
O número a é denominado raiz de P(x).
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P(x), definidos por:
P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
31
ak = bk
Redução de Termos Semelhantes
Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da 
adição algébrica dos seus termos semelhantes.
No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o 
quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.
3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a²
Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos de três 
termos, também são denominados trinômios.
Ordenação de um polinômio
A ordem de um polinômio deve ser do maior para o menor expoente.
4x4+2x³-x²+5x-1
Este polinômio não está ordenado:
3x³+4x5-x²
OPERAÇÕES
Adição e Subtração de Polinômios
Para somar dois polinômios, adicionamos os termos com expoentes de mesmo grau. Da mesma forma, para 
obter a diferença de dois polinômios, subtraímos os termos com expoentes de mesmo grau.
Exemplo
Multiplicação de Polinômios
Para obter o produto de dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do 
outro, somando os coeficientes.
Exemplo
Divisão de Polinômios
32
Considere P(x) e D(x), não nulos, tais que o grau de P(x) seja maior ou igual ao grau de D(x). Nessas con-
dições, podemos efetuar a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x):
P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)
P(x)=dividendo
Q(x)=quociente
D(x)=divisor
R(x)=resto
Método da Chave
Passos
1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decrescentes de x.
2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).
3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos de P(x).
4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de D(x), ou resto nulo.
Exemplo
Divida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Vamos analisar os graus:
Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1
33
Para que haja igualdade:
Algoritmo de Briot-Ruffini
Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a
Exemplo
Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2
Solução
Passos
– Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave
– Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. 
– Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo 
coeficiente de P(x), obtendo o segundo coeficiente. E assim sucessivamente.
Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. O quadrado da soma de dois termos.
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
34
Exemplos
2. O quadrado da diferença de dois termos.
Seguindo o critério do item anterior, temos:
(a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
Exemplos:
3. O produto da soma pela diferença de dois termos.
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de 
quadrados.
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos.
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
35
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplos:
(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
(a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplos
(2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2 + 12y – 8
(2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3
(c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3
FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples. 
Casos de fatoração 
Fator Comum: 
Ex.: ax + bx + cx = x (a + b + c) 
O fator comum é x. 
Ex.: 12x³ - 6x²+ 3x = 3x (4x² - 2x + 1) 
O fator comum é 3x 
Agrupamento: 
Ex.: ax + ay + bx + by 
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. 
(ax + ay) + (bx + by) 
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo 
a(x + y) + b(x + y) 
Colocar o fator comum (x + y) em evidência (x + y) (a + b) Este produto é a forma fatorada da expressão 
dada 
Diferença de Dois Quadrados: a² − b² = (a + b) (a − b) 
Trinômio Quadrado Perfeito: a²± 2ab + b² = (a ± b)²
Trinômio do 2º Grau: Supondo x1 e x2 raízes reais do trinômio, temos: ax² + bx + c = a (x - x1) (x - x2), a≠0
MDC e MMC de polinômios
Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios, é formado pelo produto dos fatores com os maiores expoentes.
Máximo Divisor Comum é o produto dos fatores primos com o menor expoente.
36
Exemplo
X²+7x+10 e 3x²+12x+12
Primeiro passo é fatorar as expressões:
X²+7x+10=(x+2)(x+5)
3x²+12x+12=3(x²+4x+4)=3(x+2)²
Mmc=3(x+2)²(x+5)
Mdc=x+2
Operação com frações algébricas
Adição e subtração de frações algébricas
Da mesma forma que ocorre com as frações numéricas, as frações algébricas são somadas ou subtraídas 
obedecendo dois casos diferentes.
Caso 1: denominadores iguais.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominadores iguais, as mesmas regras aplicadas às 
frações numéricas aqui são aplicadas também.
(2x2-5)/x2 -(x2+3)/x2 +(9-x2)/x2 
(2x2-5-x2-3+9-x2)/x2 =1/x2 
Caso 2: denominadores diferentes.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, siga as mesmas orientações 
dadas na resolução de frações numéricas de denominadores diferentes.
(3x+1)/(2x-2)-(x+1)/(x-1)
(3x+1)/2(x-1) -2(x+1)/2(x-1) 
(3x+1-2x-2)/(2(x-1))=(x-1)/2(x-1) =1/2
Multiplicação de frações algébricas
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando 
os termos da fração e simplificar os fatores comuns.
2x/(x-4)∙3x/(x+5)
Multiplica-se os denominadores e os numeradores.
(6x2)/((x-4)(x+5))=(6x2)/(x2+x-20)
Divisão de frações algébricas
Multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda.
7x/(3-4x) ∶x/(x+1)
7x/(3-4x)∙((x+1))/x
7x(x+1)/(3-4x)x=(7x2+7x)/(3x-4x²)
37
Equação de 1° grau e do 2° grau. Inequaçõesdo 1° e 2° graus
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. Quem determina o “grau” 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o 
expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x 
pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado 
para o resultado da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, 
e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar 
de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em 
um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e 
“jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, 
ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
2° exemplo:
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro 
lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:
3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando 
e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado 
dividindo.
38
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre 
deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada 
no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro 
da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o 
resultado. Veja a demonstração nesse exemplo:
Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos 
dois membros da equação:
Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da 
equação:
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor desconhecido (incógnita) e 
representa uma desigualdade4.
Nas inequações usamos os símbolos:
> maior que
< menor que
≥ maior que ou igual
≤ menor que ou igual
Exemplos:
4 https://www.todamateria.com.br/inequacao/
39
a) 3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax + b >0
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Sendo a e b números reais e a ≠ 0.
— Resolução de uma inequação do primeiro grau.
Para resolver uma inequação desse tipo, podemos fazer da mesma forma que fazemos nas equações.
Contudo, devemos ter cuidado quando a incógnita ficar negativa.
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e inverter o símbolo da desigualdade.
Exemplos:
a) Resolvendo a inequação 3x + 19 < 40.
Para resolver a inequação devemos isolar o x, passando o 19 e o 3 para o outro lado da desigualdade.
Lembrando que ao mudar de lado devemos trocar a operação. Assim, o 19 que estava somando, passará 
diminuindo e o 3 que estava multiplicando passará dividindo.
3x < 40 -19
x < 21/3
x < 7
b) Como resolver a inequação 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Quando há termos algébricos (x) dos dois lados da desigualdade, devemos juntá-los no mesmo lado.
Ao fazer isso, os números que mudam de lado têm o sinal alterado.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2 x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45
Agora, vamos multiplicar toda a inequação por (-1). Para tanto, trocamos o sinal de todos os termos:
9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ para ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5
Portanto, a solução dessa inequação é x ≤ 5.
— Resolução usando o gráfico da inequação
Outra forma de resolver uma inequação é fazer um gráfico no plano cartesiano.
No gráfico, fazemos o estudo do sinal da inequação identificando que valores de x transformam a desigualdade 
em uma sentença verdadeira.
Para resolver uma inequação usando esse método devemos seguir os passos:
1º) Colocar todos os termos da inequação em um mesmo lado.
40
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade.
3º) Resolver a equação, ou seja, encontrar sua raiz.
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, identificando os valores de x que representam a solução da 
inequação.
Exemplo: Resolvendo a inequação 3x + 19 < 40.
Primeiro, vamos escrever a inequação com todos os termos de um lado da desigualdade:
3x + 19 - 40 < 0
3x - 21 < 0
Essa expressão indica que a solução da inequação são os valores de x que tornam a inequação negativa 
(< 0).
Encontrar a raiz da equação 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (raiz da equação)
Representar no plano cartesiano os pares de pontos encontrados ao substituir valores no x na equação. O 
gráfico deste tipo de equação é uma reta.
Identificamos que os valores < 0 (valores negativos) são os valores de x < 7. O valor encontrado coincide 
com o valor que encontramos ao resolver diretamente (exemplo a, anterior).
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau5. O 
único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma.
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números 
desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as 
propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles 
são representados pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode 
assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira.
5 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.htm#:~:text=Toda%20equa%C3%A7%C3%A3o%20
que%20puder%20ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
41
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa 
equação seja verdadeira6. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes 
dela. Para resolver equações do 2º grau completas, existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é 
necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números 
quebrados, soma e produto não é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam 
eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do 
segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica x, 
e o coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminantede uma equação do segundo grau é representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado 
pela seguinte fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, por 
exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discriminante, 
teremos:
Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais7. Por meio do discriminante, é possível 
descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais 
as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
Se Δ < 0, a equação não possui soluções reais.
Se Δ = 0, a equação possui apenas uma solução real.
6 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.htm
7 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-uma-equacao-segundo-grau.htm
42
Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é 
impossível calcular essas raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir 
coeficientes e discriminante na seguinte expressão:
Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um 
cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus 
coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interessante quando as 
raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante 
complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar 
quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
43
2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.
Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui 
soma igual a 5, logo as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero. Existem três tipos dessas 
equações, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a 
zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por 
mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação 
incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta 
é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de 
Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir 
veremos cada um deles.
Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu 
conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação 
produto. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
44
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, 
temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja 
igual a zero, então, temos que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a 
variável x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao 
elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.
x = ±√4
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá 
sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
45
Exemplo:
3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
Podemos resolver esse tipo de inequação usando o gráfico que representa a equação do 2º grau para fazer 
o estudo do sinal, da mesma forma que fizemos no da inequação do 1º grau.
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será uma parábola.
Exemplo: Resolvendo a inequação x² - x - 6 < 0.
Para resolver uma inequação do segundo grau é preciso encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo 
do sinal < dê uma solução menor do que 0 (valores negativos).
Primeiro, identifique os coeficientes:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b² - 4ac) e substituímos pelos valores dos coeficientes:
Δ = (- 1)² - 4 . 1 . (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
46
Continuando na fórmula de Bhaskara, substituímos novamente pelos valores dos nossos coeficientes:
As raízes da equação são -2 e 3. Como o coeficiente a da equação do 2º grau é positivo, seu gráfico terá a 
concavidade voltada para cima.
Pelo gráfico, observamos que os valores que satisfazem a inequação são: - 2 < x < 3.
Podemos indicar a solução usando a seguinte notação: 
.
Um número x que pertence ao conjunto dos números Reais, tal que, x seja maior que -2 e menor que 3.
Sistemas de equações do 1° e 2° graus
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas 
incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
• Resolução de sistemas
Existem dois métodos de resolução dos sistemas. Vejamos:
• Método da substituição
47
Consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja 
como:
Dado o siste-
ma
, enumeramos as equa-
ções.
Escolhemos a equação 1 (pelo valor da incógnita de x ser 1) e isolamos x. Teremos: x = 20 – y e substituí-
mos na equação 2.
3 (20 – y) + 4y = 72, com isso teremos apenas 1 incógnita. Resolvendo:
60 – 3y + 4y = 72→ -3y + 4y = 72 -60 → y = 12
Para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 20 – y. Logo:
x = 20 – y → x = 20 – 12 →x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja 
zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas 
uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a 
primeira equação por – 3.
Teremos:
Adicionando as duas equações:
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 → x + 12 = 20 → x = 20 – 12 → x = 8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Exemplos:
(SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, vermelha 
e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 quilogramas a 
mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe branca. A quantidade de 
alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
48
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370
Resolução:
Amarela: x
Vermelha: y
Branca: z
x = y + 50
y = z - 30
z = y + 30
Substituindo a II e a III equação na I:
Substituindo na equação II
x = 320 + 50 = 370
z=320+30=350
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg
Resposta: E
(SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) Em um campeonato de futebol, as equi-
pes recebem, em cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem 
derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
Resolução:
Vitórias: x
Empate: y
Derrotas: 2
Pelo método da adição temos:
49
Resposta: E
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc. A dife-
rença é que teremos como solução um sistema de pares ordenados.
Sequência prática
– Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática;
– Resolver o sistema de equações;
– Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Exemplos:
(CPTM - MÉDICO DO TRABALHO – MAKIYAMA) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade de 
Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40.
(B) 55.
(C) 65.
(D) 50.
(E) 45.
Resolução:
Sendo Miguel M e Lucas L:
M.L = 500 (I)
M = L + 5 (II)
substituindo II em I, temos:
(L + 5).L = 500
L2 + 5L – 500 = 0, a = 1, b = 5 e c = - 500
∆ = b² - 4.a.c 
∆ = 5² - 4.1.(-500)
∆ = 25 + 2000
∆ = 2025
x = (-b ± √∆)/2a 
x’ = (-5 + 45) / 2.1 → x’ = 40/2 → x’ = 20 
x’’ = (-5 - 45) / 2.1 → x’’ = -50/2 → x’’ = -25 (não serve)
Então L = 20
M.20 = 500 
m = 500 : 20 = 25
50
M + L = 25 + 20 = 45 
Resposta: E
(TJ- FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto é igual a 20, a soma de seus qua-
drados é igual a:
(A) 30
(B) 40
(C) 50
(D) 60
(E) 80
Resolução:
Eu quero saber a soma de seus quadrados x2 + y2
Vamos elevar o x + y ao quadrado:
(x + y)2 = (10)2 
x2 + 2xy + y2 = 100 , como x . y=20 substituímos o valor :
x2 + 2.20 + y2 = 100 
x2 + 40 + y2 = 100 
x2 + y2 = 100 – 40 
x2 + y2 = 60
Resposta: D
Problemas que envolvem álgebra, equações, inequações e sistemas do 1° ou do 2° 
graus
A resolução de problemas matemáticos envolve a aplicação de uma variedade de recursos, sendo que os 
princípios algébricos se destacam como uma parte fundamental desse processo. Esses princípios são classifi-
cados de acordo com a complexidade e a abordagem dos conteúdos. 
A prática constante na resolução de questões desse tipo é o que proporciona o desenvolvimento de habili-
dades cada vez maiores para enfrentar problemas dessa natureza.
Exemplos:
01. (CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) O produto das raízes da equação de 2º grau 
 é
Alternativas
(A) 3 / 2.
(B) 2 / 3.
(C) 9.
(D) 6.
51
(E) 3.
Resolução:
Uma equação de 2º tem a seguinte forma ax² + bx + c = 0.
O produto das raízes é dado por:
x1 . x2 = c/a = 18/3 = 6
Resposta: D.
02. (AGIRH - 2018 - Câmara de Areias - SP ) Qual das respostas a seguir satisfaz a inequação: 4x < 3x + 
1 ≤ 3x + 1
Alternativas
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
Resolução:
4x < 3x + 1 ≤ 3x + 1
4.0 < 3.0 + 1 ≤ 3.0 + 1
0 < 0 + 1 ≤ 0 + 1
0 < 1 ≤ 1
Resposta: D.
03. (GUALIMP - 2020 - Prefeitura de Areal - RJ) Observe o sistema de equações do 1º grau abaixo
Qual é o conjunto solução desse sistema de equações?
Alternativas
(A) (6, 6).
(B) (- 5, 4).
(C) (5, - 4)
(D) (5, 4)
Resolução:
Temos as equações :
I - 2x - y = 6
II - 4x + 3y = 32
Pelo Método da Adição: ( usando a I equação)
I - 2x - y = 6 . (3)
52
I - 6x - 3y = 18
II - 4x + 3y = 32
____________
10x = 50
X = 5
Substituindo o valor encontrado de X na equação II
II - 2. ( 5 ) - y = 6
10 - y = 6
- y = 6 - 10
- y = - 4
-y = - 4 (-1)
Y = 4
S: ( 5, 4)
Resposta: D.
04. ( Dédalus Concursos - 2019 - SAAE-SP) Considere a seguinte equação: 5x + 3(x – 1) = – 5.
I- Trata-se de uma equação do 1º grau
II- O valor de x que satisfaz a equação é x = - 0,25 
III- A equação não possui solução.
Dos itens acima
(A) Apenas o item I está correto.
(B) Apenas o item II está correto.
(C) Apenas o item III está correto.
(D) Apenas itens I e II estão corretos.
(E) Apenas itens I e III estão corretas.
Resolução:
(I) Trata-se de uma equação de primeiro grau, pois ao desenvolvê-la teremos 5x+3x-3= -5, onde o maior 
expoente é 1.
(II) Substituindo o x por -0,25 teremos:
5*(-0,25)+3*(-0,25-1) = -5
-1,25 - 0,75 - 3 = -5
-5 = -5
(III) Já sabemos que -0,25 é uma solução da equação
Resposta: D.
53
Leitura de gráficos e tabelas
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em formas 
de tabelas e gráficos8, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, entre outros. 
Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão desses elementos é 
fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões é 
chamada de Estatística.
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor leitura e 
interpretação. Exemplo:
Fonte: SEBRAE
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado para 
evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos.
Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo perío-
do de tempo.
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por segmen-
tos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a linha oferecem 
informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo:
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há uma 
grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem ser coloca-
dos acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e horizontais.
8 https://www.infoenem.com.br
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br
54
Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos de-
terminados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de barras 
verticais. Exemplo:Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por meio de barras 
horizontais. Exemplo:
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela represen-
tada.
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo.
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências de 
classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é dada por:
Onde:
Ft = frequência total
55
Exemplo
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente.
Aplicando a fórmula teremos:
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção da 
área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico será de-
marcada da seguinte maneira:
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico:
56
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, revistas e 
outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são desenhos ilustrativos. 
Exemplo:
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área 
igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densida-
de de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns 
autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar 
distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. 
Exemplo:
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das clas-
ses. Exemplo:
57
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascenden-
te utilizando os pontos extremos.
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando 
o objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou 
políticas.
Interpretação de tabelas e gráficos
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações:
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, para 
então fazer a leitura adequada do gráfico;
- Fazer a leitura isolada dos pontos.
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado.
58
Exemplos
(Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a 
essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comer-
cialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agrone-
gócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.
 
Resolução
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no PIB 
brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: 
em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 
2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar.
Resposta: C
(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros qua-
drados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de 
junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo 
do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. 
Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionan-
do derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em
59
(A)1995. 
(B)1998. 
(C) 2000.
(D)2005.
(E)2007.
Resolução
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a resolução 
da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao res-
friamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor será o resfriamento e portanto 
maior será o aquecimento global.
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007.
Resposta: E
Mais alguns exemplos:
01. Todos os objetos estão cheios de água.
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no caso, o 
litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
02. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos federais 
no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
60
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.
Média Aritmética e Ponderada
Média aritmética
Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo 
número de elementos do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido 
calcular a média aritmética para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, 
ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:
1,85 + 1,85 + 1,95 + 1,98 + 1,98 + 1,98 + 2,01 + 2,01+2,07+2,07+2,07+2,07+2,10+2,13+2,18 = 30,0
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determi-
nado peso” é chamada média aritmética ponderada.
Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol: x1 , x2 , x3 , ... xn
61
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo xi tal que o número de termos da sequência que precedem xi é 
igual ao número de termos que o sucedem, isto é, xi é termo médio da sequência (xn) em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos xj e xj +1, tais que o 
número de termos que precedem xj é igual ao número de termos que sucedem xj +1, isto é, a mediana é a média 
aritmética entre os termos centrais da sequência (xn) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio 
desse rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a medianado conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
Moda (Mo)
Num conjunto de números: x1 , x2 , x3 , ... xn, chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
Funções: função afim, quadrática, modular, exponencial e logarítmica. Gráficos, pro-
priedades e problemas envolvendo funções afim, modular, quadrática, exponencial e lo-
garítmica
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas. Assim, o valor 
a ser pago na conta de luz depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de automóvel 
depende da velocidade no trajeto.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e 
podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B.
62
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e ape-
nas um elemento y do conjunto B, sendo assim, um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A em B).
— Representação das Funções
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de domínio (D) e o conjunto B recebe o nome de 
contradomínio (CD).
Um elemento de B relacionado a um elemento de A recebe o nome de imagem pela função. Agrupando 
todas as imagens de B temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a 
relação entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado 
em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 
6, 8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída.
Portanto, para essa função:
- O domínio é {1, 2, 3, 4};
- O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
- O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
Tipos de Funções
As funções recebem classificações de acordo com suas propriedades. Confira a seguir os principais tipos.
Função Sobrejetora
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Portanto, todo elemento de B é imagem 
de pelo menos um elemento de A.
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B
63
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-4, -2, 2, 3};
- O contradomínio é {12, 4, 6};
- O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
Função Injetora
Na função injetora todos os elementos de A possuem correspondentes distintos em B e nenhum dos 
elementos de A compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem existir elementos em B que 
não estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {0, 3, 5};
- O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
- O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
Função Bijetora
Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número de elementos relacionados. Essa função 
recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo:
64
Para a função acima:
- O domínio é {-1, 1, 2, 4};
- O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
- O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
Função Inversa
A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. 
Vejamos a figura abaixo:
Destacamos que:
– A função f “leva” o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, “traz de volta” o valor - 16 até o 
valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2.
– Outra maneira de entender essa ideia é a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, 
f-1, associa o valor -2 ao valor -16.
– Dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo 
as colunas x e y.
– Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. 
Seja uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f-1 é a função , 
com domínio B e imagem A tal que: 
f-1(f(a)) = a para a A e f(f-1(b)) = b para b B
 
Assim, podemos definir a função inversa f-1 por: , para y em B.
Fonte: https://lh3.googleusercontent.com
65
Função Par
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos f(x)=f(-x), ∀ x ∈ D(f). Ou seja, os valores simé-
tricos devem possuir a mesma imagem. 
Função ímpar
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є D(f). Ou seja, os elementos 
simétricos do domínio terão imagens simétricas.
FUNÇÃO AFIM
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais9. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
9 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
66
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b ⇒ y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo:
67
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se umafunção afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se 
a for negativo, a função será decrescente.
68
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela 
seguinte expressão10:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 2x² + 3x + 5,
sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.
— Como resolver uma função quadrática
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:
Exemplo: Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax² + bx + c, sendo:
f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:
f (-1) = 8
a (-1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 0² + b . 0 + c = 4
10 https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
69
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 2² + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e 
b):
(Equação I)
a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:
a = 1
b = - 3
c = 4
— Raízes da Função
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da 
função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:
f(x) = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é 
aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:
70
Exemplo: Encontre os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6.
Sendo:
a = 1
b = – 5
c = 6
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
Portanto, as raízes são 2 e 3.
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: 
Δ = b² – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.
Assim,
- Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
- Se Δ < 0, a função não terá uma raiz real;
- Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2).
— Gráfico da Função Quadrática
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 
1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários 
conhecer vários pontos.
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos 
dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos:
- Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
- Se Δ < 0, o gráfico não cortará o eixo x;
- Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. 
Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula:
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e 
o valor mínimo quando estiver para cima.
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o 
coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja:
71
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os 
zeros da função, seu vértice e o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0.
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da 
ligação entre os pontos encontrados.
FUNÇÃO MODULAR
Chama-se função modular a função f: R  R, definida por: f(x) = |x|.
Por definição:
A função modular é definida por duas sentenças: f(x) = x, se x≥0 e f(x) = -x, se x<0.
Módulo de um número
– O módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;
– O módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número;
– O módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero: |x|≥0, para todo x.
Construção do Gráfico da f(x) = |x|
f (x) = x , se x ≥ 0 f (x) = - x , se x < 0 f (x) = |x|
O gráfico é uma semir-
reta fechada com origem 
no ponto O (0,0). Ela é 
bissetriz do 1º quadrante.
O gráfico é uma semir-
reta aberta com origem no 
ponto O (0,0). Ela é bissetriz 
do 2º quadrante.
O gráfico é a reunião das 
duas semirretas.
72
Imagem de uma função modular
O conjunto imagem da função Modular é R+, isto é, a função assume valores reais não negativos.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e 
diferente de um11.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de 
exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não 
estaria definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe 
raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
— Gráfico da Função Exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a 
curva exponencial não toca no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto, a função terá sempre imagem positiva. 
Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.
— Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos 
a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
11 https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/
73
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta. 
Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por 
exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens 
diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
74
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais 
perto do zero a curva exponencial fica.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com a real, positivo e a ≠ 112. A função inversa 
da função logarítmica é a função exponencial.
O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número 
x, ou seja:
Exemplos:
f (x) = log3 x
g (x) = 
h (x) = log10 x = log x
— Gráfico da Função Logarítmica
De umaforma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é 
definida para x > 0.
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, 
pois y = loga 1 = 0, para qualquer valor de a.
12 https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
75
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.
— Função Crescente e Decrescente
Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x1 < x2 ⇔ loga x1 < loga x2. 
Por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.
Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem. 
Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, 
representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou 
seja, x1 < x2 ⇔ loga x1 > loga x2. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a .
Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo:
76
Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta 
forma, constatamos que a função é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de 
x, mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem, contudo, cortar o eixo y.
Sequências e Progressões: Progressão Aritmética e Geométrica. Propriedades e pro-
blemas envolvendo PA e PG. Soma dos termos de uma PA e uma PG
SEQUÊNCIAS
Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento 
seja associado a uma posição, temos uma sequência.
O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o segundo por a2, e o n-ésimo por an.
Termo Geral de uma Sequência
Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos obter 
um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo com sua posição.
Para a posição n(n ϵ N*), podemos escrever an=f(n)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicio-
nando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.
an = an-1 + r(n ≥ 2)
77
Exemplo
A sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5:
a1 = 2
a2 = 2 + 5 = 7
a3 = 7 + 5 = 12
Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
r < 0, PA decrescente
r > 0, PA crescente
r = 0, PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo 
menos uma unidade.
an = a1 + (n - 1)r
Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).
6 e 34 são extremos, cuja soma é 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética.
78
Sn - Soma dos primeiros termos
a1 - primeiro termo
an - enésimo termo
n - número de termos
Exemplo
Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o 
primeiro termo?
Solução
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua 
esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma 
dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o 
valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, 
multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.
Exemplo
Dada a sequência: (4, 8, 16)
a1 = 4
a2 = 4 . 2 = 8
a3 = 8 . 2 = 16
79
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 
e 0 < q < 1.
- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando 
a1 < 0 e q > 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também 
uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Termo Geral da PG
Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma 
potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.
a2 = a1 . q2-1
a3 = a1 . q3-1
Portanto, o termo geral é:
an = a1 . qn-1
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Finita
Seja a PG finita (a1, a1q, a1q2, ...)de razão q e de soma dos termos Sn:
1º Caso: q=1
Sn = n . a1
2º Caso: q≠1
Exemplo
Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:
a) A soma dos 6 primeiros termos
b) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29524
Solução:
a1 = 1; q = 3; n = 6
80
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita
1º Caso:-1 < q < 1
Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a série é convergente.
2º Caso: |q| > 1
A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é divergente
3º Caso: |q| = 1
Também não possui soma finita, portanto divergente
Produto dos termos de uma PG finita
Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade
O sistema de medidas é um conjunto de unidades de quantificação padronizadas que são utilizadas para 
expressar a magnitude de grandezas físicas como comprimento, massa, volume, temperatura, entre outras. 
Essas unidades permitem que as pessoas comuniquem e compreendam quantidades de maneira clara e 
consistente em diferentes contextos e aplicações. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão mais amplamente adotado no mundo, que surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
COMPRIMENTO
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
81
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Exemplo:
(CETRO- 2012 - TJ-RS - Oficial de Transportes) João tem 1,72m de altura e Marcos tem 1,89m. Dessa 
forma, é correto afirmar que Marcos tem
Alternativas
(A) 0,17cm a mais do que João.
(B) 0,17cm a menos do que João.
(C) 1,7cm a mais do que João.
(D) 17cm a mais do que João.
(E) 17cm a menos do que João.
Resolução: Marcos = 1,89m = 189cm
João = 1,72m = 172cm
189-172=17cm
Resposta:D
SUPERFÍCIE
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
82
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
Exemplo:
(CESGRANRIO - 2005 - INSS - Técnico - Previdenciário) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2 , será de:
Alternativas
(A) 1 000
(B) 2 000
(C) 20 000
(D) 100 000
(E) 200 000
Resolução: Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado.
1 KM = 1000m
1km² = 1000m x 1000m = 1000000m²
Como sao 5 lotes, todos de mesma area
1.000.000/5 = 200.000m
Resposta:E
CAPACIDADE
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
83
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml = 0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
-------------------------------------------
-------
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
-------------------------------------------
-------
84
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
---------------------------------------------
-----
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos 
OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
Alternativas
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. Matemática
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
85
Relação entre grandezas: tabelas e gráficos
A relação entre grandezas pode ser mais bem compreendida por meio do uso de tabelas e gráficos, que 
são ferramentas essenciais na representação e análise de dados. Tabelas e gráficos são amplamente utili-
zados em diversas áreas, como ciência, economia, estatística, educação e muitas outras, para apresentar 
informações de forma organizada e visualmente acessível.
As tabelas podem mostrar a relação entre duas ou mais grandezas de forma direta. Por exemplo, em 
uma tabela de vendas, as colunas podem representar o tempo (mês), a quantidade de produtos vendidos e a 
receita gerada. Ao analisar a tabela, é possível identificar como a quantidade de produtos vendidos e a receita 
estão relacionadas ao longo do tempo.
Os gráficos são especialmente úteis para representar a relação entre grandezas. Gráficos de dispersão, 
por exemplo, mostram como duas grandezas estão relacionadas, geralmente exibindo pontos no plano car-
tesiano. Gráficos de barras e de linhas podem mostrar como as grandezas variam em relação a uma terceira 
variável, como o tempo.
— Tabelas
As tabelas são uma representação não textual de informações, onde os dados numéricos ocupam um 
papel central. Seu propósito é organizar informações de maneira ordenada, clara e concisa, permitindo a fácil 
interpretação dos dados em um espaço mínimo.
Componentes de uma tabela
Uma tabela estatística consiste em elementos essenciais e elementos complementares. Os elementos 
essenciais incluem:
Título: uma descrição que precede a tabela, fornecendo informações sobre o que está sendo observado, 
bem como o local e a data da pesquisa.
Corpo: a parte principal da tabela, composta por linhas e colunas que contêm os dados.
Cabeçalho: a seção superior da tabela que identifica o conteúdo das colunas.
Coluna indicadora: a parte da tabela que descreve o conteúdo das linhas.
Os elementos complementares podem incluir:
Fonte: a entidade responsável por fornecer os dados ou criar a tabela.
Notas: informações gerais destinadas a esclarecer o conteúdo da tabela.
86
Chamadas: informações específicas usadas para explicar ou definir dados em uma parte da tabela. As 
chamadas são numeradas com algarismos arábicos, posicionados à esquerda nas células e à direita na colu-
na indicadora. Esses elementos complementares geralmente são encontrados no rodapé da tabela, na ordem 
em que foram mencionados
.
Gráficos
Uma maneira alternativa de apresentar informações estatísticas é por meio de gráficos, que são represen-
tações visuais. Os gráficos são altamente eficazes na apresentação de dados, proporcionando uma com-
preensão mais rápida e facilitada do comportamento dos fenômenos em estudo.
Um gráfico é, fundamentalmente, uma representação gráfica de dados que é derivada de uma tabela. 
Embora as tabelas ofereçam uma representação precisa e permitam uma análise detalhada dos dados, os 
gráficos são mais adequados para situações em que se deseja fornecer uma impressão rápida e fácil do fenô-
meno em questão.
É importante ressaltar que tanto os gráficos quanto as tabelas têm finalidades distintas, e a escolha entre 
eles depende do objetivo da apresentação. Frequentemente, a utilização de um não exclui o uso do outro, e 
ambos podem ser empregados complementarmente.
Ao criar um gráfico, é necessário observar algumas diretrizes gerais:
1) Os gráficos geralmente são criados em um sistema de eixos chamado sistema cartesiano ortogonal.A 
variável independente é representada no eixo horizontal (abscissas), enquanto a variável dependente é colo-
cada no eixo vertical (ordenadas). O ponto de partida no eixo vertical deve ser sempre zero, que é o ponto de 
encontro dos eixos.
2) Intervalos iguais de medidas devem corresponder a intervalos iguais nas escalas. Por exemplo, se o 
intervalo de 10-15 kg corresponder a 2 cm na escala, o intervalo de 40-45 kg também deverá corresponder a 
2 cm, enquanto o intervalo de 40-50 kg corresponderá a 4 cm.
3) O gráfico deve conter um título, indicar a fonte dos dados, apresentar notas e legendas. Todas essas 
informações são essenciais para que o gráfico seja compreensível por si só, sem depender de um texto expli-
cativo.
4) O formato do gráfico deve ser aproximadamente quadrado, evitando problemas de escala que possam 
interferir na interpretação correta dos dados.
87
Tipos de Gráficos
Estereogramas: são representações gráficas em que as grandezas são indicadas por meio de volumes. 
Normalmente, esses gráficos são elaborados em um sistema de coordenadas bidimensional, embora também 
possam ser criados em um sistema tridimensional para destacar a relação entre três variáveis.
Cartogramas: são representações em cartas geográficas (mapas).
88
Pictogramas ou gráficos pictóricos: são representações visuais compostas principalmente por 
ilustrações, projetadas para serem visualmente atrativas e direcionadas a um público amplo e diversificado. 
No entanto, eles não são adequados para situações que demandam precisão detalhada.
Diagramas 
São representações gráficas bidimensionais que são amplavmente utilizadas devido à sua simplicidade e 
facilidade de criação. Eles podem ser categorizados em vários tipos, incluindo gráficos de colunas, gráficos de 
barras, gráficos de linhas ou curvas, e gráficos de setores.
a) Gráfico de colunas: neste tipo de gráfico, as grandezas são comparadas por meio de retângulos de 
largura igual, dispostos verticalmente, com alturas proporcionais às grandezas. A distância entre os retângulos 
deve ser, no mínimo, igual a 1/2 e, no máximo, 2/3 da largura da base dos retângulos.
b) Gráfico de barras: este tipo de gráfico segue as mesmas orientações do gráfico de colunas, com a 
única diferença sendo a disposição horizontal dos retângulos. É preferido quando as etiquetas nos retângulos 
são mais extensas que suas bases.
89
c) Gráfico de linhas ou curvas: neste tipo de gráfico, os pontos são posicionados em um plano de 
acordo com suas coordenadas e, em seguida, conectados por segmentos de linha ou curvas. É amplamente 
empregado em séries temporais e séries mistas quando uma das variáveis em consideração é o tempo, faci-
litando a análise comparativa.
d) Gráfico em setores: este tipo de gráfico é apropriado para destacar a proporção de cada informação 
em relação ao todo. O gráfico é representado por um círculo em que o total (100%) equivale a 360°, dividido 
em segmentos proporcionais à representação. Essa divisão é realizada por meio de regra de três simples. Um 
transferidor é frequentemente utilizado para marcar os ângulos correspondentes a cada divisão.
Raciocínio lógico
Este é um assunto muito cobrado em concursos e exige que o candidato (a) tenha domínio de habilidades 
e conteúdos matemáticos (aritméticos, algébricos e geométricos) para sua resolução e também noções sobre 
deduzir informações de relações arbitrárias entre objetos, lugares, pessoas e/ou eventos fictícios dados. Exer-
citar faz com que se ganhe gradativamente essas habilidades e o domínio dos conteúdos. Vejamos algumas 
questões que abordam o assunto. 
90
Questões
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Em um prédio há três caixas d’água chamadas 
de A, B e C e, em certo momento, as quantidades de água, em litros, que cada uma contém aparecem na figura 
a seguir.
Abrindo as torneiras marcadas com x no desenho, as caixas foram interligadas e os níveis da água se igua-
laram.
Considere as seguintes possibilidades:
1. A caixa A perdeu 300 litros.
2. A caixa B ganhou 350 litros.
3. A caixa C ganhou 50 litros.
É verdadeiro o que se afirma em:
(A) somente 1;
(B) somente 2;
(C) somente 1 e 3;
(D) somente 2 e 3;
(E) 1, 2 e 3.
Resposta: C.
Somando os valores contidos nas 3 caixas temos: 700 + 150 + 350 = 1200, como o valor da caixa será 
igualado temos: 1200/3 = 400l. Logo cada caixa deve ter 400 l. 
Então de A: 700 – 400 = 300 l devem sair
De B: 400 – 150 = 250 l devem ser recebidos
De C: Somente mais 50l devem ser recebidos para ficar com 400 (400 – 350 = 50). Logo As possibilidades 
corretas são: 1 e 3
02. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Cada um dos 160 funcionários da prefeitura 
de certo município possui nível de escolaridade: fundamental, médio ou superior. O quadro a seguir fornece 
algumas informações sobre a quantidade de funcionários em cada nível: 
Sabe-se também que, desses funcionários, exatamente 64 têm nível médio. Desses funcionários, o número 
de homens com nível superior é:
(A) 30;
(B) 32;
91
(C) 34;
(D) 36;
(E) 38.
Resposta: B. 
São 160 funcionários
No nível médio temos 64, como 30 são homens, logo 64 – 30 = 34 mulheres
Somando todos os valores fornecidos temos: 15 + 13 + 30 + 34 + 36 = 128
160 – 128 = 32, que é o valor de homens com nível superior.
03. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV) Abel, Bruno, Caio, Diogo e Elias ocupam, respectivamente, 
os bancos 1, 2, 3, 4 e 5, em volta da mesa redonda representada abaixo.
 
São feitas então três trocas de lugares: Abel e Bruno trocam de lugar entre si, em seguida Caio e Elias tro-
cam de lugar entre si e, finalmente, Diogo e Abel trocam de lugar entre si. 
Considere as afirmativas ao final dessas trocas:
- Diogo é o vizinho à direita de Bruno. 
- Abel e Bruno permaneceram vizinhos. 
- Caio é o vizinho à esquerda de Abel. 
- Elias e Abel não são vizinhos. 
É/são verdadeira(s): 
(A) nenhuma afirmativa;
(B) apenas uma;
(C) apenas duas;
(D) apenas três;
(E) todas as afirmativas.
Resposta: B.
Imaginem que isso é o círculo antes e depois:
Dessa forma podemos dizer que:
- Diogo é o vizinho à direita de Bruno. ERRADO: Diogo é o vizinho à direita de Elias
- Abel e Bruno permaneceram vizinhos. ERRADO: Abel e Bruno não são vizinhos
- Caio é o vizinho à esquerda de Abel. CERTO:
- Elias e Abel não são vizinhos. ERRADO: Elias e Abel são vizinhos
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04. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Francisca tem um saco com moedas de 1 
real. Ela percebeu que, fazendo grupos de 4 moedas, sobrava uma moeda, e, fazendo grupos de 3 moedas, 
ela conseguia 4 grupos a mais e sobravam 2 moedas.
O número de moedas no saco de Francisca é:
(A) 49;
(B) 53;
(C) 57;
(D) 61;
(E) 65.
Resposta: B.
Fazendo m = número de moedas e g = número de grupos temos:
Primeiramente temos: m = 4g + 1
Logo após ele informa: m = 3(g +4) + 2
Igualando m, temos: 4g + 1 = 3(g + 4) + 2 → 4g + 1 = 3g + 12 + 2 → 4g – 3g = 14 -1 → g = 13
Para sabermos a quantidade de moedas temos: m = 4.13 + 1 = 52 + 1 = 53.
05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos 30 
bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bombom e
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache;
- quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja;
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
É possível que um mesmo convidado tenha comido todos os 10 bombons de pistache.
( ) CERTO
( ) ERRADO
Resposta: Errado.
Vamos partir da 2ª informação, utilizando a afirmação do enunciado que ele comeu 10 bombons de pistache:
- quem comeu dois ou mais bombons (10 bombons) de pistache comeu também bombom de cereja; - CER-
TA.
Sabemos que quem come pistache come morango, logo:
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache; - CERTA
Analisandoa última temos:
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. – ERRADA, pois esta contradizendo a informa-
ção anterior.
06. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos 30 
bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bombom e
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache;
- quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja;
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
93
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Quem comeu bombom de morango comeu somente um bombom de pistache.
( ) CERTO
( ) ERRADO
Resposta: Certo.
Se a pessoa comer mais de um bombom de pistache ela obrigatoriamente comerá bombom de cereja, e 
como quem come bombom de cereja NÃO come morango.
Resolução de situações problema
A resolução de problemas na matemática é um processo que envolve a aplicação de conceitos matemáticos 
para solucionar questões ou situações que requerem raciocínio lógico e análise quantitativa. É um processo 
criativo que requer habilidades de pensamento crítico e estratégias específicas para chegar a uma solução.
Aqui estão algumas etapas comuns que podem ajudar a resolver problemas matemáticos:
– Compreensão do problema: Leia cuidadosamente o enunciado do problema e certifique-se de entendê-
lo completamente. Identifique os dados fornecidos, as incógnitas a serem encontradas e as restrições dadas.
– Planejamento: Desenvolva um plano ou estratégia para resolver o problema. Isso pode envolver a 
identificação de fórmulas ou conceitos matemáticos relevantes, a criação de diagramas ou representações 
visuais, a divisão do problema em etapas menores ou a consideração de casos específicos.
– Execução: Implemente o plano que você desenvolveu, realizando os cálculos e aplicando as estratégias 
escolhidas. Organize suas informações e seja cuidadoso com os cálculos para evitar erros.
– Verificação: Após chegar a uma solução, verifique se ela faz sentido e está de acordo com as restrições 
do problema. Faça uma revisão dos cálculos e verifique se a resposta obtida é razoável.
– Comunicação: Expresse sua solução de forma clara e coerente, utilizando termos matemáticos apropriados 
e explicando o raciocínio utilizado. Se necessário, apresente sua solução em um formato compreensível para 
outras pessoas.
Dentro deste prisma vamos elencar a técnica abaixo:
Técnica para interpretar problemas de Matemática
A linguagem matemática para algebrizar problemas:
Linguagem da questão Linguagem Matemática
Preposição da, de, do Multiplicação
Preposição por divisão
Verbos Equivale, será, tem, e, etc. igualdade
Pronomes interrogativos qual, quanto x ?
Um número x
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
A metade de um número x/2
A terça parte de um número x/3
Dois números consecutivos x, x + 1
Três números consecutivos x, x + 1, x + 2
94
Um número Par 2x
Um número Ímpar 2x - 1
Dois números pares consecutivos 2x, 2x + 2
Dois números ímpares consecutivos 2x -1, 2x -1 + 2 (2x + 1)
O oposto de X ( na adição ) -x
O inverso de X ( na multiplicação) 1/x
Soma Aumentar, maior que, mais, ganhar, adicionar
Subtração menos, menor que, diferença, diminuir, perder, tirar
Divisão Razão
Exemplos de aplicação da técnica para a resolução de problemas:
1 – O dobro de um número somado ao triplo do mesmo número é igual a 7. Qual é esse número?
Vamos verificar a tabela para algebrizar este problema:
Solução:
2x + 3x = 7
5x =7
x = 
x = 1,4
Resposta: x = 1,4
2 – Um relatório contém as seguintes informações sobre as turmas A, B e C: 
– As três turmas possuem, juntas, 96 alunos; 
– A turma A e a turma B possuem a mesma quantidade de alunos; 
– A turma C possui o dobro de alunos da turma A. 
Estas informações permitem concluir que a turma C possui a seguinte quantidade de alunos: 
A) 48 
B) 42 
C) 28 
D) 24
Solução:
A + B + C = 96
A = x
B = x
C = 2x
C = ?
Continuando...
A + B + C = 96
x + x + 2x = 96
95
4x = 96
x = 
x = 24
Continuando
C = 2x
C= 2 . 24
C=48
Resposta: Alternativa A
3 – Uma urna contém bolas azuis, vermelhas e brancas. Ao todo são 108 bolas. O número de bolas azuis 
é o dobro do de vermelhas, e o número de bolas brancas é o triplo do de azuis. Então, o número de bolas 
vermelhas é: 
(A)10 
(B) 12 
(C) 20 
(D) 24 
(E) 36
Solução:
A + V + B = 108
A = 2x
V = x
B = 3 . 2x = 6x
V = ?
Continuando...
A + V + B = 108
2x + x + 6x = 108
9x = 108
x = 
x = 12
V = x = 12
Resposta: Alternativa B
96
4 – Um fazendeiro dividirá seu terreno de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte correspondente à 
soja terá o dobro da área da parte em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o dobro da área da parte 
correspondente às hortaliças. Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha, assim a área em que se irá 
plantar trigo é de: 
(A) 6 ha
(B) 12 ha 
(C) 14 ha
(D) 18 ha
(E) 24 ha
Solução:
S + T + H = 4 2
S = 2 . 2x = 4x
T = 2x
H = x
T = ?
Continuando...
S + T + H = 42
4x + 2x + x = 42
7x = 42
x = 
x = 6
Continuando…
T = 2x
T = 2,6
T = 12
Resposta: Alternativa B
5 – Maria e Ana se encontram de três em três dias, Maria e Joana se encontram de cinco em cinco dias e 
Maria e Carla se encontram de dez em dez dias. Hoje as quatro amigas se encontraram. A próxima vez que 
todas irão se encontrar novamente será daqui a: 
(A) 15 dias 
(B) 18 dias 
(C) 28 dias 
(D) 30 dias 
(E) 50 dias 
Conforme mencionado a resolução de problemas é a aplicação de vários conceitos de matemática. Aqui 
uma questão onde envolve o MMC.
Solução:
97
Calculando o MMC de 3 – 5 - 10 :
3 – 5 – 10 | 2
3 – 5 – 5 | 3
1 – 5 – 5 | 5 
1 – 1 – 1 | 30 dias. 
Resposta: Alternativa D
6 – Uma doceria vendeu 153 doces dos tipos casadinho e brigadeiro. Se a razão entre brigadeiros e 
casadinhos foi de 2/7, determine o número de casadinhos vendidos.
(A) 139 
(B) 119 
(C) 94 
(D) 34 
Solução:
Razão é a mesma coisa que divisão
Total = 153
 = 
C = ?
Continuando...
Colocando o K (constante de proporcionalidade) para descobrir seu valor.
 = 
2K + 7K = 153
9K = 153
K = 
K = 17
Continuando...
C= 7K
C= 7 . 17 = 119
Resposta: Alternativa B
7 – Na venda de um automóvel, a comissão referente a essa venda foi dividida entre dois corretores, A e B, 
em partes diretamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente. Se B recebeu R$ 500,00 a mais que A, então 
o valor total recebido por A foi: 
(A) R$ 550,00. 
(B) R$ 650,00. 
98
(C) R$ 750,00. 
(D) R$ 850,00.
Solução:
Colocando a proporcionalidade
A= 3K
B = 5K
B – A = 500
A = ?
Continuando
B - A = 500
5K – 3K = 500
2K = 500
K = 
K = 250
Continuando...
A = 3K
A = 3 . 250
A = 750
Resposta: Alternativa C
8 – Uma pessoa possui o triplo da idade de uma outra. Daqui a 11 anos terá o dobro. Qual é a soma das 
idades atuais dessas pessoas? 
(A) 22 
(B) 33 
(C) 44 
(D) 55 
(E) 66
Solução:
Presente:
A = x
B = 3x
Futuro: ( + 11 anos)
B = 2A
3x + 11 = 2 (x + 11)
Continuando...
3x + 11 = 2 (x + 11)
99
3 x + 11 = 2x + 22
3x – 2x = 22 -11
x = 11
Continuando...
Soando as idades.
A + B = ?
A = x = 11
B = 3x = 3 . 11 = 33
A + B = 11+ 33 = 44
Resposta: Alternativa C
Geometria Plana: Ângulos, retas paralelas, estudo dos polígonos e polígonos regula-
res. Triângulo: teoremas dos ângulos internos e externos. Estudo do triângulo retângu-
lo; relações métricas no triângulo retângulo; relações trigonométricas (seno, cosseno e 
tangente); Teorema de Pitágoras. Quadriláteros: propriedades dos trapézios e paralelo-
gramos. Círculo e circunferência: ângulos e propriedades. Áreas e perímetros de figuras 
planas e volume de sólidos. Poliedros, prismas e pirâmides: propriedades, áreas laterais 
e totais, volume e problemas. Relação de Euler. Corpos redondos: propriedades, áreas e 
volumes
ÂNGULOS
Define-se como a área delimitada por duas semirretas que compartilham uma origem comum.
Componentes de um ângulo– Lados: referem-se às semirretas OA e OB.
– Vértice: corresponde ao ponto onde as semirretas se encontram, neste caso, o ponto O.
Ângulo Agudo
Define-se como um ângulo cuja amplitude é inferior a 90 graus.
100
Ângulo Central
– Na circunferência: refere-se ao ângulo que tem seu vértice localizado no centro da circunferência;
– No polígono: descreve-se como o ângulo formado com vértice no centro de um polígono regular, 
estendendo-se seus lados até alcançar vértices consecutivos do polígono.
Ângulo Circunscrito: é um ângulo formado por lados que são tangentes à circunferência, com o vértice 
localizado fora da mesma.
Ângulo Inscrito: trata-se de um ângulo cujo vértice se encontra sobre a circunferência.
Ângulo Obtuso: refere-se a um ângulo cuja medida excede 90 graus.
Ângulo Raso
Este é um ângulo que mede exatamente 180 graus;
Caracteriza-se por ter lados que são semirretas opostas entre si.
101
Ângulo Reto
É um ângulo que possui uma medida de 90 graus;
É formado por lados que se intersectam em ângulos perpendiculares.
Ângulos Complementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é de 90 graus.
Ângulos Replementares: dois ângulos são considerados replementares quando a soma de suas medidas 
é de 360 graus.
Ângulos Suplementares: são dois ângulos cuja soma das suas medidas é de 180 graus.
Portanto, se x e y representam dois ângulos, então:
– Se x + y = 90°, x e y são Complementares;
– Se x + y = 180°, x e y são Suplementares;
– Se x + y = 360°, x e y são Replementares.
102
Ângulos Congruentes: são ângulos que têm a mesma medida.
Ângulos Opostos pelo Vértice: são aqueles cujos lados formam duas linhas que se cruzam, sendo os 
ângulos opostos iguais.
– Ângulos Consecutivos: são aqueles que compartilham um lado comum.
– Ângulos Adjacentes: são ângulos consecutivos que, além de compartilhar um lado comum, não possuem 
pontos internos em comum.
Por exemplo, os ângulos AOB e BOC, AOB e AOC, bem como BOC e AOC, formam pares de ângulos 
consecutivos.
Os ângulos AOB e BOC exemplificam ângulos adjacentes.
TRIÂNGULOS
– Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo intercepta o lado oposto
103
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo que liga um vértice 
a um ponto do lado oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é 
perpendicular a esse lado.
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
104
Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos lados desse triân-
gulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
– Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno: três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos
105
Triângulo retângulo: tem um ângulo reto
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, 
ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as 
mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices correspondentes, então esses triângulos são 
congruentes.
2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
106
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles 
congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcionais, então esses dois triângulos são seme-
lhantes.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo ABC.
Temos:
107
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de um ângulo. Considere o triângulo retângulo 
ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triangulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
108
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Chamamos relações métricas as relações existentes entre os diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenu-
sa.
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras).
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os catetos. 
Deste triângulo tiramos a seguinte relação:
“Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
a2 = b2 + c2
Exemplo:
Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas 
para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas 
para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida?
(A) 3 milhas a sudoeste.
(B) 3 milhas a sudeste.
(C) 4 milhas ao sul.
(D) 5 milhas ao norte.
(E) 5 milhas a nordeste.
109
Resolução:
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16
x2 = 25
x = 5
Como temos duas alternativas com a resposta 5, vamos analisar a direção final do barco em relação ao pon-
to A. A opção (D) 5 milhas ao norte não é correta porque ignora o movimento para o leste que o barco também 
fez. Portanto, a direção é nordeste.
Resposta: E
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. Nesse caso são chamadas retas coplanares. 
Podem também não estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas reversas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
110
b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coincidentes.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
111
Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura.
3 - Retângulo: A = b.h
4 - Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor.
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
POLÍGONOS
Polígonos são linhas fechadasformadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Ou seja, são 
figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.
Elementos de um polígono
• Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos.
• Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos.
• Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos
• Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos
• Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo.
Classificação 
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela.
112
Fórmulas
Diagonais de um vértice: dv = n – 3.
Total de diagonais: 
Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°.
Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma constan-
te, isto é, Se = 360°.
Polígonos Regulares
Um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes (iguais) e todos os ângulos 
congruentes. Para os polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das quatro acima:
Ângulo interno: 
Ângulo externo: 
Semelhança de Polígonos
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corres-
pondentes são proporcionais. 
Exemplo:
Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número de diago-
nais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia:
(A) Triangular
(B) Quadrangular
(C) Pentagonal
(D) Hexagonal
(E) Decagonal
Resolução:
Sendo d o número de diagonais e n o número de lados, devemos ter:
Resposta: C
113
TEOREMA DE TALES
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos quaisquer de uma 
transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são válidas as seguintes proporções:
Exemplo
PERÍMETROS E ÁREAS
- Área: Medida da superfície interna de uma figura geométrica, indicando seu tamanho.
- Perímetro: Medida total do contorno de uma figura geométrica, somando o comprimento de todos os seus 
lados.
114
POLIEDROS
São sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, 
arestas e vértices. Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes 
a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do 
poliedro.
Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, 
dois pontos. Ele não possuí “reentrâncias”. E caso contrário é dito não convexo.
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces, 
valem as seguintes relações de Euler:
Poliedro Fechado: V – A + F = 2
Poliedro Aberto: V – A + F = 1
Para calcular o número de arestas de um poliedro temos que multiplicar o número de faces F pelo número 
de lados de cada face n e dividir por dois. Quando temos mais de um tipo de face, basta somar os resultados.
A = n.F/2
Poliedros de Platão
Eles satisfazem as seguintes condições:
- todas as faces têm o mesmo número n de arestas;
- todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas;
- for válida a relação de Euler (V – A + F = 2).
115
Poliedros Regulares
Um poliedro e dito regular quando:
- suas faces são polígonos regulares congruentes;
- seus ângulos poliédricos são congruentes;
Por essas condições e observações podemos afirmar que todos os poliedros de Platão são ditos Poliedros 
Regulares.
Exemplo: 
(PUC/RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o 
número de vértices deste poliedro são, respectivamente:
(A) 30 e 40
(B) 30 e 24
(C) 30 e 8
(D) 15 e 25
(E) 15 e 9
Resolução:
O poliedro tem 5 faces triangulares e 3 faces pentagonais, logo, tem um total de 8 faces (F = 8). Como cada 
triângulo tem 3 lados e o pentágono 5 lados. Temos:
Resposta: E
Não Poliedros
Os sólidos acima são. São considerados não planos pois possuem suas superfícies curvas.
Cilindro: tem duas bases geometricamente iguais definidas por curvas fechadas em superfície lateral curva.
Cone: tem uma só base definida por uma linha curva fechada e uma superfície lateral curva.
Esfera: é formada por uma única superfície curva.
116
Planificações de alguns Sólidos Geométricos
Fonte: https://1.bp.blogspot.com/-WWDbQ-Gh5zU/Wb7iCjR42BI/AAAAAAAAIR0/kfRXIcIYLu4Iqf7ueIYKl-
39DU-9Zw24lgCLcBGAs/s1600/revis%25C3%25A3o%2Bfiguras%2Bgeom%25C3%25A9tricas-page-001.jpg
Sólidos geométricos
O cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura:
 
a) A figura representa a planificação de um prisma reto;
b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é: 
V = Ab. a
Onde a é igual a h (altura do sólido)
c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;
d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto.
117
ÁREA E VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Cilindros
Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de centro O contido num deles, e uma reta s concorrente 
com os dois.
Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a s, com extremida-
des no círculo e no outro plano.
Classificação
Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando as geratrizes são perpendiculares às bases. 
Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é equilátero.
Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.
Área
Área da base: Sb=πr²
Volume
118
Cones
Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, um ponto V que não pertence ao plano.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade no pon-
to V e a outra num ponto do círculo denomina-se cone circular.
Classificação
-Reto: eixo VO perpendicular à base;
Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone 
reto é também chamado de cone de revolução.
Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é denominado cone equilátero.
g2 = h2 + r2
-Oblíquo: eixo não é perpendicular
Área
Volume
119
Pirâmides
As pirâmides são também classificadas quanto ao número de lados da base. 
Área e Volume 
Área lateral: Sl = n. área de um triângulo
Onde n = quantidade de lados
Stotal = Sb + Sl
Prismas
Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R contido em α e uma reta r concorrente aos dois.
Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremida-
des no polígono R e no plano β.
Assim, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas cujas outras faces são paralelo-
gramos obtidos ligando-se os vértices correspondentes das duas faces paralelas.
120
Classificação
Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases
Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.
PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO
Classificação pelo polígono da base
TRIANGULAR QUADRANGULAR
E assim por diante...
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se paralelepípedos.
PARALELEPÍPEDO RETO PARALELEPÍPEDO OBLÍ-
QUO
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces quadradas.
Prisma Regular
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular.
As faces laterais são retângulos congruentes e as bases são congruentes (triângulo equilátero, hexágono 
regular,...)
121
Área
Área cubo: St = 6a2
Área paralelepípedo: St = 2(ab + ac + bc)
A área de um prisma: St = 2Sb + St
Onde: St = área total
Sb = área da base
Sl = área lateral, soma-se todas as áreas das faces laterais.
Volume
Paralelepípedo: V = a . b . c
Cubo: V = a³
Demais: V = Sb . hCiclo trigonométrico – trigonometria no círculo: funções trigonométricas
Considere um arco , contido numa circunferência de raio r, tal que o comprimento do arco seja igual 
a r.
Dizemos que a medida do arco é 1 radiano(1rad)
Transformação de arcos e ângulos
Determinar em radianos a medida de 120°
!"#$ = 180°!
π ---- 180
X ---- 120
! =
120!
180 =
2!
3 !"# 
!
122
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Redução ao Primeiro quadrante
Sen (π - x) = senx
Cos (π - x) = -cos x
Tg (π - x) = -tg x
Sen (π + x) = -sen x
Cos (π + x) = -cos x
Tg (π + x) = tg x
Sen (2π - x) = -sen x
Cos (2π - x) = cos x
Tg (2π - x) = -tg x
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função seno
A função seno é uma função !:! → !! que a todo arco de medida x ϵ R associa a ordenada y’ do ponto 
M.
! ! = !"#!!!
D=R e Im=[-1,1]
Exemplo
Sem construir o gráfico, determine o conjunto imagem da função f(x)=2sen x.
Solução
-1 ≤ sen x ≤ 1
-2 ≤ 2 sen x ≤ 2
-2 ≤ f (x) ≤ 2
123
Im = [-2,2]
Função Cosseno
A função cosseno é uma função !:! → !! que a todo arco de medida x ϵ R associa a abscissa x do ponto M.
D = R
Im = [-1,1]
Exemplo
Determine o conjunto imagem da função f (x) = 2 + cos x.
Solução
-1 ≤ cos x ≤ 1
-1 + 2 ≤ 2 + cos x ≤ 1 + 2
1 ≤ f (x) ≤ 3
Logo, Im = [1,3]
Função Tangente
A todo arco de medida x associa a ordenada yT do pontoT. O ponto T é a interseção da reta com o 
eixo das tangentes.
! ! = !"!!!
! = ! ∈ ! ! ≠
!
2 + !", ! ∈ ! !
Im = R
Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, as operações da soma e da diferença entre esses 
arcos será dada pelas seguintes identidades: 
 
!"# ! + ! = !"#!! ∙ cos ! + cos! ∙ !"#!! 
 
cos ! + ! = cos! ∙ cos ! − !"#!! ∙ !"#!! 
 
!" ! + ! =
!"!! + !"!!
1− !"!! ∙ !"!! 
!
124
Duplicação de arcos
 
!"#2! = 2!"#$! ∙ !"#$ 
 
!"#2! = !"!!! − !"!!! 
 
!"2! =
2!"#
1− !!!! 
!
Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes. Operações, propriedades e problemas 
envolvendo sistemas lineares, matrizes e determinantes
MATRIZES
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela, é denominado matriz, e cada número pertencente 
a ela é chamado de elemento da matriz.
Tipo ou ordem de uma matriz
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz repre-
sentada a seguir é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (lê-se três por quatro), pois tem três linhas e 
quatro colunas. Exemplo:
Representação genérica de uma matriz
Costumamos representar uma matriz por uma letra maiúscula (A, B, C...), indicando sua ordem no lado in-
ferior direito da letra. Quando desejamos indicar a ordem de modo genérico, fazemos uso de letras minúsculas. 
Exemplo: Am x n.
Da mesma maneira, indicamos os elementos de uma matriz pela mesma letra que a denomina, mas em 
minúscula. A linha e a coluna em que se encontra tal elemento é indicada também no lado inferior direito do 
elemento. Exemplo: a11.
125
Exemplo
(PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das 
regiões da cidade durante uma semana.
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da semana.
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do 
7º dia será:
(A) 61
(B) 59
(C) 58
(D) 60
(E) 62
Resolução:
Turno i –linha da matriz
Turno j- coluna da matriz
2º turno do 2º dia – a22=18
3º turno do 6º dia-a36=25
1º turno do 7º dia-a17=19
Somando:18+25+19=62
Resposta: E.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais quando apresentam a mesma ordem e seus elementos correspondentes 
forem iguais.
Operações com matrizes
Adição: somamos os elementos correspondentes das matrizes, por isso, é necessário que as matrizes 
sejam de mesma ordem. A=[aij]m x n; B = [bij]m x n, portanto C = A + B ⇔ cij = aij + bij.
126
Exemplo
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
Resolução:
y=10
Resposta: D.
Multiplicação por um número real: sendo k ∈ R e A uma matriz de ordem m x n, a matriz k . A é obtida 
multiplicando-se todos os elementos de A por k.
Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem) é obtida por meio da soma da matriz 
A com a oposta de B.
Multiplicação entre matrizes: consideremos o produto A . B = C. Para efetuarmos a multiplicação entre A 
e B, é necessário, antes de mais nada, determinar se a multiplicação é possível, isto é, se o número de colunas 
de A é igual ao número de linhas de B, determinando a ordem de C: Am x n x Bn x p = Cm x p, como o número de 
colunas de A coincide com o de linhas de B(n) então torna-se possível o produto, e a matriz C terá o número de 
linhas de A(m) e o número de colunas de B(p)
De modo geral, temos:
127
Exemplo: 
(CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação 
das matrizes A e B abaixo:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Resolução: 
Resposta: B.
Casos particulares
Matriz identidade ou unidade: é a matriz quadrada que possui os elementos de sua diagonal principal 
iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0. Indicamos a matriz identidade de Ιn, onde n é a ordem da matriz.
Matriz transposta: é a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas de uma matriz. Dada uma 
matriz A de ordem m x n, obtém-se uma outra matriz de ordem n x m, chamada de transposta de A. Indica-se 
por At.
Exemplo: 
(CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma matriz e sua 
respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem cumpridas:
(A) a=0 e d=0
(B) c=1 e b=1
128
(C) a=1/c e b=1/d
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1
(E) b=-c e a=d=1/2
Resolução:
2a=1
a=1/2
b+c=0
b=-c
2d=1
D=1/2
Resposta: E.
Matriz inversa: dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, admite inversa se existe uma matriz A-1, 
tal que:
DETERMINANTES
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Para indicar o determinante, usamos 
barras. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, indicamos o determinante de A por:
Determinante de uma matriz de 1ª- ordem
A matriz de ordem 1 só possui um elemento. Por isso, o determinante de uma matriz de 1ª ordem é o próprio 
elemento.
Determinante de uma matriz de 2ª- ordem
Em uma matriz de 2ª ordem, obtém-se o determinante por meio da diferença do produto dos elementos da 
diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: 
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que o determinante é igual a zero para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
129
(D) -1. 
Resolução:
D = 4 - (-2x)
0 = 4 + 2x
x = - 2
Resposta: C.
Regra de Sarrus
Esta técnica é utilizada para obtermos o determinante de matrizes de 3ª ordem. Utilizaremos um exemplo 
para mostrar como aplicar a regra de Sarrus. A regra de Sarrus consiste em:
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante.
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os elementos que estiverem nas duas paralelas a essa 
diagonal, conservando os sinais desses produtos.
c) Efetuar o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos que estiverem nas duas pa-
ralelas à diagonal e multiplicá-los por -1.
d) Somar os resultados dos itens b e c. E assim encontraremos o resultado do determinante.
Simplificando temos:
Exemplo: 
(PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE SANEAMENTO – CE-
TRO) 
Dada a matriz , onde , assinale a alternativa que apresenta o valor do determi-
nante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4.
Resolução:
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9
130
Resposta: A.
Teorema de Laplace
Para matrizes quadradas de ordem n ≥ 2, o teorema de Laplace oferece uma solução prática no cálculo dos 
determinantes. Pelo teorema,o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos 
produtos dos elementos de uma linha ou de uma coluna qualquer, pelos respectivos co-fatores. 
Exemplo:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, , vamos calcular det A usando o teorema de Laplace.
Podemos calcular o determinante da matriz A, escolhendo qualquer linha ou coluna. Por exemplo, escolhen-
do a 1ª linha, teremos:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13
Portanto, temos que:
det A = 3. (-21) + 2. 6 + 1. (-12) ⇒ det A = -63 + 12 – 12 ⇒ det A = -63
Exemplo: 
(TRANSPETRO – ENGENHEIRO JÚNIOR – AUTOMAÇÃO – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utili-
zado para controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permiti-
ram a construção do quadro abaixo.
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor do 
determinante associado à matriz M é
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
(E) 50
Resolução:
131
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso precisamos, 
calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna.
A13=2.23=46
A43=1.2=2
D = 46 + 2 = 48
Resposta: D.
Determinante de uma matriz de ordem n > 3
Para obtermos o determinante de matrizes de ordem n > 3, utilizamos o teorema de Laplace e a regra de 
Sarrus. Exemplo:
Escolhendo a 1ª linha para o desenvolvimento do teorema de Laplace. Temos então:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13 + a14. A14
Como os determinantes são, agora, de 3ª ordem, podemos aplicar a regra de Sarrus em cada um deles. 
Assim:
det A= 3. (188) - 1. (121) + 2. (61) ⇒ det A = 564 - 121 + 122 ⇒ det A = 565
132
Propriedades dos determinantes
a) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna são nulos, o determinante é nulo.
b) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então o determinante é nulo.
c) Em uma matriz cuja linha ou coluna foi multiplicada por um número k real, o determinante também fica 
multiplicado pelo mesmo número k.
d) Para duas matrizes quadradas de mesma ordem, vale a seguinte propriedade:
det (A. B) = det A + det B.
e) Uma matriz quadrada A será inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
SISTEMA LINEARES
Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n in-
cógnitas.
Em que:
133
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simul-
taneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Sistema Linear 3x3
Sistemas Lineares equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes. Por exemplo:
São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto solução S={(1,2)}
Denominamos solução do sistema linear toda sequência ordenada de números reais que verifica, simulta-
neamente, todas as equações do sistema.
Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar todas as sequências ordenadas de números reais que 
satisfaçam as equações do sistema.
Matriz Associada a um Sistema Linear
Dado o seguinte sistema:
Matriz incompleta
Classificação
1. Sistema Possível e Determinado
O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois
134
Como não existe outro par que satisfaça simultaneamente as duas equações, dizemos que esse sistema é 
SPD(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única solução.
2. Sistema Possível e Indeterminado
Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o 
sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. 
3. Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas equações. Logo o sistema não tem solução, 
portanto é impossível.
Sistema Escalonado
Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as incógnitas das equações lineares estão escritas em 
uma mesma ordem e o 1º coeficiente não-nulo de cada equação está à direita do 1º coeficiente não-nulo da 
equação anterior.
Exemplo
Sistema 2x2 escalonado.
Sistema 3x3
A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Podemos transformar qualquer sistema linear em um outro equivalente pelas seguintes transformações 
elementares, realizadas com suas equações:
– Trocas as posições de duas equações
– Multiplicar uma das equações por um número real diferente de 0.
– Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a outra equação.
Exemplo
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira 
equação.
135
Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação
Multiplicando a equação por -2:
Somando as duas equações:
Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, 
inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
– Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
– Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou impossível, devemos conseguir um sistema 
escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
D
Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~2162
53
yx
yx
yx
yx
Que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
136
Regra de Cramer
Consideramos os sistema . 
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta desse sistema é , cujo determinante é 
indicado por D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, obte-
remos ,cujo determinante é indicado por Dy = af – ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz , cujo determinante é indicado 
por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
Análise combinatória: princípio multiplicativo, permutações, arranjos e combinações. 
Problemas envolvendo análise combinatória. Probabilidade
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com contagem13.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações 
possíveis entre um conjunto de elementos.
— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, 
cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado,construindo uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
13 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
137
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes 
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
138
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
139
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer14.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
14 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
140
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair umnúmero menor que 3 é de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos 
amostrais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
141
— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
142
— Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher 
(evento A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
Estatística
O objetivo da Estatística Descritiva é resumir as principais características de um conjunto de dados por meio 
de tabelas, gráficos e resumos numéricos. 
Noções de estatística
A estatística torna-se a cada dia uma importante ferramenta de apoio à decisão. Resumindo: é um conjunto 
de métodos e técnicas que auxiliam a tomada de decisão sob a presença de incerteza.
Estatística descritiva (Dedutiva)
O objetivo da Estatística Descritiva é resumir as principais características de um conjunto de dados por meio 
de tabelas, gráficos e resumos numéricos. Fazemos uso de:
Tabelas de frequência 
Ao dispor de uma lista volumosa de dados, as tabelas de frequência servem para agrupar informações de 
modo que estas possam ser analisadas. As tabelas podem ser de frequência simples ou de frequência em faixa 
de valores.
Gráficos
O objetivo da representação gráfica é dirigir a atenção do analista para alguns aspectos de um conjunto 
de dados. Alguns exemplos de gráficos são: diagrama de barras, diagrama em setores, histograma, boxplot, 
ramo-e-folhas, diagrama de dispersão, gráfico sequencial.
Resumos numéricos
Por meio de medidas ou resumos numéricos podemos levantar importantes informações sobre o conjunto 
de dados tais como: a tendência central, variabilidade, simetria, valores extremos, valores discrepantes, etc.
143
Estatística inferencial (Indutiva)
Utiliza informações incompletas para tomar decisões e tirar conclusões satisfatórias. O alicerce das técnicas 
de estatística inferencial está no cálculo de probabilidades. Fazemos uso de:
Estimação
A técnica de estimação consiste em utilizar um conjunto de dados incompletos, ao qual iremos chamar de 
amostra, e nele calcular estimativas de quantidades de interesse. Estas estimativas podem ser pontuais (repre-
sentadas por um único valor) ou intervalares.
Teste de Hipóteses
O fundamento do teste estatístico de hipóteses é levantar suposições acerca de uma quantidade não co-
nhecida e utilizar, também, dados incompletos para criar uma regra de escolha.
População e amostra
É o conjunto de todas as unidades sobre as quais há o interesse de investigar uma ou mais características.
Variáveis e suas classificações
Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor da pele, 
entre outros. Dizemos que estamos qualificando.
Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos, 
etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável 
contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome 
de variável discreta.
Fases do método estatístico
— Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensurá-
veis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários à sua descri-
ção. A coleta pode ser direta e indireta.
— Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados, à 
procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que 
possam influir sensivelmente nos resultados. A crítica pode ser externa e interna.
— Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de 
classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
— Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabe-
las ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico.
— Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos resul-
tados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução ou infe-
rência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
144
Censo
É uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população.
Principais propriedades:- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade;
- É caro;
- É lento;
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos);
- Nem sempre é viável.
Dados brutos: é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente da observa-
ção de um fenômeno coletivo.
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos.
Números Complexos: operações e propriedades
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos depa-
ramos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo con-
siderado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, 
sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto 
de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou 
seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma 
algébrica, onde temos: 
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
145
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a 
parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias 
desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias 
desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 
4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observan-
do os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
146
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjuga-
do do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2
-] / [z2z2
-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro 
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o 
seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
b) Divisão
c) Potenciação
d) Radiciação 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
147
Matemática Financeira: Porcentagem, juros simples e compostos. Problemas envol-
vendo matemática financeira
PORCENTAGEM 
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada 
que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc. 
Os acréscimos e os descontos é importante saber porque ajuda muito na resolução do exercício.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 
1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LU-
CRO
FATOR DE MULTIPLICA-
ÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 x 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação =1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLI-
CAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 X 0,90 = R$ 9,00
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro=preço de venda -preço de custo
148
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações es-
tão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, 
compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, 
entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de 
juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença 
damos o nome de juros.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, 
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas cal-
culadoras financeiras).
Taxa de juros e Tempo
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. 
Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que 
se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
149
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, 
sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Montante
Também conhecido como valor acumulado é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determi-
nado tempo.
Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões.
M = C + J
M = montante
C = capital inicial
J = juros
M=C+C.i.n
M=C(1+i.n)
JUROS SIMPLES
Chama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, a uma taxa 
combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.
Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C i n, onde:J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação devem ser referentes a um mesmo período. 
Ou seja, os dois devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é 
um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinação de períodos.
Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JUROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.
Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser trabalhada de várias maneiras para se obter 
cada um de seus valores, ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exem-
plo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso 
vale para qualquer combinação.
Exemplo
Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e 
não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato 
da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
150
(D) 10,0%
(E) 12,5%
Resposta Letra “e”. 
O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi à vista. Sendo assim, o valor devido 
seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45.
Aplicando a fórmula M = C + J:
45 = 40 + J
J = 5
Aplicando a outra fórmula J = C i n:
5 = 40 X i X 1
i = 0,125 = 12,5%
JUROS COMPOSTOS
o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou 
seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utilizajuros compostos. Estão incluídas: compras a médio e 
longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como 
Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime 
de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplica-
tas.
O cálculo do montante é dado por:
M = C (1 + i)t
Exemplo
Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$25000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses
C = 25000
i = 25%aa = 0,25
i = 72 meses = 6 anos
M = C (1 + i)t
M = 25000 (1 + 0,25)6
M = 25000 (1,25)6
M = 95367,50
M = C + J
J = 95367,50 - 25000 = 70367,50
151
Raciocínio lógico: diagramas lógicos. Conectivos e Tabelas verdade. Proposições e 
Silogismos. Correlacionamento de dados e informações
PROPOSIÇÃO
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas 
transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados 
conceitos ou entes.
Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e 
uma falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns axiomas da lógica:
– Princípio Da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
– Princípio Do Terceiro Excluído: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um 
desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso.
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V 
ou F.”
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a 
proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão 
paradoxal) – O cachorro do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, 
nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte 
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., cha-
madas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas 
P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplo
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
152
Exemplos: 
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma 
sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do 
resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos 
considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interroga-
tiva.
Resposta: B.
153
CONECTIVOS (CONECTORES LÓGICOS) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se 
os conectivos. São eles:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
154
Exemplo: 
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lingua-
gem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras 
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, 
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbo-
lo ∧. A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por 
exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta do tipo condicional (Se, então) é 
representada pelo símbolo (→).
Resposta: B.
TABELA VERDADE 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das propo-
sições simples que a compõe. O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos 
valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
• Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do número de proposições simples que a integram, 
sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes contém 
2n linhas.”Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
155
SILOGISMO
Silogismo é uma palavra cujo significado é o de cálculo. Etimologicamente, silogismo significa “reunir com 
o pensamento” e foi empregado pela primeira vez por Platão (429-348 a. C.). Aqui o sentido adotado é o de 
um raciocínio no qual, a partir de proposições iniciais, conclui-se uma proposição final. Aristóteles (384-346 a. 
C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma conclusão. Exemplo:
Jogamos futebol no sábado ou no domingo. Não jogamos futebol no sábado.
╞ Jogamos futebol no domingo.
Observação: o símbolo “╞” é chamado de traço de asserção; É usado entre as premissas e a conclusão. 
Esse silogismo também pode ser representado como:
Jogamos futebol no sábado ou no domingo.
Não jogamos futebol no sábado.
Logo, jogamos futebol no domingo.
Chamado de P a proposição: “Jogamos futebol no sábado”, escreve-se: P: Jogamos futebol no sábado.
Chamado de C a proposição: “Jogamos futebol no domingo”, escreve-se: C: Jogamos futebol no domingo.
Das proposições P e C resulta a proposição “Jogamos futebol no sábado ou no domingo”. Denotamos: P + 
C: Jogamos futebol no sábado ou no domingo.
Com a negativa da proposição P, tem-se a premissa “Não jogamos futebol no sábado”. Escreve-se: ~P: Não 
jogamos futebol no sábado. Reescrevendo o argumento, obteremos:
P + C, ~P ╞ C
ou
P + C
~P
Logo, C
Silogismo Categórico de Forma Típica
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica ao argumento formado por duas premissas e uma 
conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica (A, E, I, O). Teremos 
também três termos:
- Termo menor: sujeito da conclusão.
- Termo maior: predicado da conclusão.
- Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão.
Exemplos:
Todos os artistas são vaidosos
Alguns artistas são pobres
Logo, todos os pobres são vaidosos.
Todos os gregos são humanos
Todos os atenienses são gregos
Logo, todos os atenienses são humanos.
Todos os coelhos são velozes
Alguns cavalos não são velozes
Logo, alguns cavalos não são coelhos.
Alguns políticos são honestos
156
Nenhum estudante é político
Logo, nenhum estudante é honesto.
Regras do Silogismo
Para que um silogismo seja válido, sua estrutura deve respeitar regras. Tais regras, em número de oito, 
permitem verificar a correção ou incorreção do silogismo. As quatro primeiras regras são relativas aos termos e 
as quatro últimas são relativas às premissas. São elas:
- Todo silogismo contém somente 3 termos: maior, médio e menor;
- Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas;
- O termo médio não pode entrar na conclusão;
- O termo médio deve ser universal ao menos uma vez;
- De duas premissas negativas, nada se conclui;
- De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa;
- A conclusão segue sempre a premissa mais fraca;
- De duas premissas particulares, nada se conclui.
Estas regras reduzem-se às três regras que Aristóteles definiu. O que se entende por “parte mais fraca” são 
as seguintes situações: entre uma premissa universal e uma particular, a “parte mais fraca” é a particular; entre 
uma premissa afirmativa e outra negativa, a “parte mais fraca” é a negativa. Atenção: Para determinar se um 
argumento é uma falácia ou silogismo, deve-se analisar o resultado, ou argumento final: quando se chega a 
um argumento falso, tem-se uma falácia; quando se chega a um argumento verdadeiro, tem-se um silogismo.
Silogismos Derivados
Silogismos derivados são estruturas argumentativas que não seguem a forma rigorosa do silogismo típico, 
mas que mesmo assim são formas válidas.
Entimema: trata-se de um argumento em que uma ou mais proposições estão subentendidas. Por exemplo: 
todo metal é corpo, logo o chumbo é corpo. Neste caso, fica subentendida a premissa “todo chumbo é metal”. 
Passando para a forma silogística:
Todo metal é corpo. 
Todo chumbo é metal.
___________________
Todo chumbo é corpo. 
Mais um exemplo: Todo quadrúpede tem 4 patas. Logo, um cavalo é um quadrúpede. No dia a dia, usamos 
muitas formas como essa, pois as premissas faltantes são óbvias ou implícitas e repeti-las pode cansar os ou-
vintes. Contudo, é comum haver confusão justamente por causa de premissas faltantes.
Epiquerema: o epiquerema é um argumento onde uma ou ambas as premissas apresentam a prova ou 
razão de ser do sujeito. Geralmente é acompanhada do termo porque ou algum equivalente. Por exemplo: 
O demente é irresponsável, porque não é livre. 
Ora, Pedro é demente, porque o exame médico revelou ser portador de paralisia geral progressiva. 
Logo, Pedro é irresponsável. 
No epiquerema sempre existe, pelo menos, uma proposição composta, sendo que uma das proposições 
simples é razão ou explicação da outra.
157
Polissilogismo: O polissilogismo é uma espécie de argumento que contempla vários silogismos, onde a 
conclusão de um serve de premissa menor para o próximo. Por exemplo: 
Quem age de acordo com sua vontade é livre. 
Ora, o racional age de acordo com sua vontade. 
Logo, o racional é livre. 
Ora, quem é livre é responsável. 
Logo, o racional é responsável. 
Ora, quem é responsável é capaz de direitos. 
Logo, o racional é capaz de direitos. 
Silogismo Expositório: o silogismo expositório não é propriamente um silogismo, mas um esclarecimento 
ou exposição da ligação entre dois termos, caracteriza-se por apresentar, como termo médio, um termo singu-
lar. Por exemplo: 
Aristóteles é discípulo de Platão. 
Ora, Aristóteles é filósofo. 
Logo, algum filósofo é discípulo de Platão. 
Silogismo Informe: o silogismo informe caracteriza-se pela possibilidade de sua estrutura expositiva poder 
ser transformada na forma silogística típica. Por exemplo: “a defesa pretende provar que o réu não é respon-
sável do crime por ele cometido. Esta alegação é gratuita. Acabamos de provar, por testemunhos irrecusáveis, 
que, ao perpetrar o crime, o réu tinha o uso perfeito da razão e nem podia fugir às graves responsabilidades 
deste ato”. Este argumento pode ser formalizado assim:
Todo aquele que perpetra um crime quando no uso da razão é responsável por seus atos. 
Ora, o réu perpetrou um crime no uso da razão. 
Logo, o réu é responsável por seus atos. 
Sorites: é semelhante ao polissilogismo, mas neste caso ocorre que o predicado da primeira proposição 
se torna sujeito na proposição seguinte, seguindo assim até que na conclusão se unem o sujeito da primeira 
proposição com o predicado da última. Por exemplo: 
A Grécia é governada por Atenas.
Atenas é governada por mim.
Eu sou governado por minha mulher.
Minha mulher é governada por meu filho, criança de 10 anos.
Logo, a Grécia é governada por esta criança de 10 anos.
Silogismo Hipotético: um silogismo hipotético contém proposições hipotéticas ou compostas, isto é, apre-
sentam duas ou mais proposições simples unidas entre si por uma cópula não verbal, isto é, por partículas. As 
proposições compostas podem ser divididas em:
Claramente Compostas: são aquelas proposições em que a composição entre duas ou mais proposições 
simples são indicadas pelas partículas: e, ou, se ... então.
Copulativa ou Conjuntiva: “a lua se move e a terra não se move”. Nesse exemplo, duas proposições simples 
são unidas pela partícula e ou qualquer elemento equivalente a essa conjunção. Dentro do cálculo proposi-
cional será considerada verdadeira a proposição que tiver as duas proposições simples verdadeiras e será 
simbolizada como: p ∧ q.
Disjuntivas: “a sociedade tem um chefe ou tem desordem”. Caracteriza-se por duas proposições simples 
unidas pela partícula“ou” ou equivalente. Dentro do cálculo proposicional, a proposição composta será consi-
derada verdadeira se uma ou as duas proposições simples forem verdadeiras e será simbolizada como: p ∨ q.
158
Condicional: “se vinte é número ímpar, então vinte não é divisível por dois”. Aqui, duas proposições simples 
são unidas pela partícula se... então. Dentro do cálculo proposicional, essa proposição, será considerada ver-
dadeira se sua consequência for boa ou verdadeira, simbolicamente: p → q.
Ocultamente Compostas: são duas ou mais proposições simples que formam uma proposição composta 
com as partículas de ligação: salvo, enquanto, só.
Exceptiva: “todos corpos, salvo o éter, são ponderáveis”. A proposição composta é formada por três propo-
sições simples, sendo que a partícula salvo oculta as suas composições. As três proposições simples compo-
nentes são: “todos os corpos são ponderáveis”, “o éter é um corpo” e “o éter não é ponderável”. Também são 
exceptivos termos como fora, exceto, etc. Essa proposição composta será verdadeira se todas as proposições 
simples forem verdadeiras.
Reduplicativa: “a arte, enquanto arte, é infalível”. Nessa proposição temos duas proposições simples ocul-
tas pela partícula enquanto. As duas proposições simples componentes da composta são: “a arte possui uma 
indeterminação X” e “tudo aquilo que cai sobre essa indeterminação X é infalível”. O termo realmente também 
é considerado reduplicativo. A proposição composta será considerada verdadeira se as duas proposições sim-
ples forem verdadeiras.
 
Exclusiva: “só a espécie humana é racional”. A partícula “só” oculta as duas proposições simples que com-
põem a composta, são elas: “a espécie humana é racional” e “nenhuma outra espécie é racional”. O termo 
apenas também é considerado exclusivo. A proposição será considerada verdadeira se as duas proposições 
simples forem verdadeiras.
 
O silogismo hipotético apresenta três variações, conforme o conetivo utilizado na premissa maior:
 
Condicional: a partícula de ligação das proposições simples é se... então.
 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve.
A temperatura da água é de 100°C.
Logo, a água ferve.
Esse silogismo apresenta duas figuras legítimas:
 
- Ponendo Ponens (do latim afirmando o afirmado): ao afirmar a condição (antecedente), prova-se o condi-
cionado (consequência). 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve.
A temperatura da água é de 100°C.
Logo, a água ferve.
 
- Tollendo Tollens (do latim negando o negado): ao destruir o condicionado (consequência), destrói-se a 
condição (antecedente).
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve.
Ora, a água não ferve.
Logo, a água não atingiu a temperatura de 100°C.
Disjuntivo: a premissa maior, do silogismo hipotético, possui a partícula de ligação “ou”.
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem.
159
Ora, a sociedade não tem chefe.
Logo, a sociedade tem desordem.
Esse silogismo também apresenta duas figuras legítimas:
 
- Ponendo Tollens: afirmando uma das proposições simples da premissa maior na premissa menor, nega-se 
a conclusão.
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem.
Ora, a sociedade tem um chefe.
Logo, a sociedade não tem desordem.
- Tollendo Ponens: negando uma das proposições simples da premissa maior na premissa menor, afirma a 
conclusão.
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem.
Ora, a sociedade não tem um chefe.
Logo, a sociedade tem desordem.
Conjuntivo: a partícula de ligação das proposições simples, na proposição composta, é “e”. Nesse silogis-
mo, a premissa maior deve ser composta por duas proposições simples que possuem o mesmo sujeito e não 
podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, ou seja, os predicados devem ser contraditórios. Possui somente 
uma figura legítima, o Ponendo Tollens, afirmando uma das proposições simples da premissa maior na premis-
sa menor, nega-se a outra proposição na conclusão.
Ninguém pode ser, simultaneamente, mestre e discípulo.
Ora, Pedro é mestre.
Logo, Pedro não é discípulo.
Dilema: o dilema é um conjunto de proposições onde, a primeira, é uma disjunção tal que, afirmando qual-
quer uma das proposições simples na premissa menor, resulta sempre a mesma conclusão. Por exemplo:
Se dizes o que é justo, os homens te odiarão.
Se dizes o que é injusto, os deuses te odiarão.
Portanto, de qualquer modo, serás odiado.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
160
TIPO PREPOSI-
ÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B.
E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa.
I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemento (s) de A que não 
são B (enquanto que, no “Algum A é B”, a atenção estava sobre os que eram B, ou seja, 
na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que forma o conjunto 
A - B
161
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
162
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
Sequências não numéricas
A lógica sequencial envolve a percepção e interpretação de objetos que induzem a uma sequência, buscando 
reconhecer essa sequência e estabelecer sucessores a este objeto.
Muitas vezes essas questões vêm atreladas com aspectos aritméticos (sequências numéricas) ou geometria 
(construção de certas figuras).
Não há como sistematizar este assunto, então iremos ver alguns exemplos para nos inspirar para que 
busquemos resolver demais questões.
163
Exemplos:
1 – A sequência de números a seguir foi construída com um padrão lógico e é uma sequência ilimitada:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, …
A partir dessas informações, identifique o termo da posição 74 e o termo da posição 95. Qual a soma destes 
dois termos?
Vamos analisar esta sequência dada:
1º) Vemos que a sequência vai de 6 em 6 termos e pula para a dezena seguinte
Os primeiros 6 termos vão de 0 a 5
Do 7º termo ao 12º termo: 10 a 15
13º termo ao 18ºtermo: 20 a 25
2º) Vemos que o padrão segue a tabuada do 6
6 x 1 = 6 (0 até 5)
6 x 2 = 12 (10 até 15)
6 x 3 = 18 (20 até 25)
3º) O número que está multiplicando o 6 menos uma unidade representa a dezena que estamos começando 
a contar:
6 x 1 1 - 1 = 0 (0 até 5)
6 x 2 2 - 1 = 1 (10 até 15)
6 x 3 3 - 1 = 2 (20 até 25)
4º) Se dividirmos 74 por 6 e 95 por 6 descobriremos seus valores
74 : 6 = 12 (sobra 2)
95 : 6 = 15 (sobra 5)
5º) O termo 74 então está dois termos após 6 x 12
6 x 12 12 - 1 = 11 (110 até 115)
Então o termo 74 está no intervalo entre 120 até 125
O 74º termo é o número 121
6º) Da mesma forma, 95 está 5 após 6 x 15
6 x 15 15 - 1 = 14 (140 até 145)
164
O termo 95 está no intervalo entre 150 até 155
O 95º termo é o número 154
7º) Somando 121 + 154 = 275
2. Analise a sequência a seguir:
4; 7; 13; 25; 49
Admitindo-se que a regularidade dessa sequência permaneça a mesma para os números seguintes, é 
correto afirmar que o sétimo termo será igual a?
1º) Do primeiro termo para o segundo, estamos somando 3.
2º) Do segundo termo para o terceiro, estamos somando 6.
3º) Do terceiro termo para o quarto, estamos somando 12.
4º) Do quarto termo para o quinto, estamos somando 24.
5º) Podemos estabelecer o padrão que estamos multiplicando a soma anterior por 2.
6º) Assim, do quinto termo para o sexto, estaríamos somando 48. E do sexto para o sétimo estaríamos 
somando 96
7º) Dessa forma, basta somarmos 49 com 48 e 96: 49 + 48 + 96 = 193
3 – Observe a sequência:
O padrão de formação dessa sequência permanece para as figuras seguintes. Desse modo, a figura que 
deve ocupar a 131ª posição na sequência é idêntica à qual figura? 
1º) Vemos que o padrão retorna para a origem a cada 7 termos.
2º) Os termos 14, 21, 28, 35, …, irão ser os mesmos que o padrão da 7ª figura.
3º) Os termos 8, 15, 22, 29, 36, …, irão ser os mesmos que o padrão da 1ª figura.
4º) Vamos então dividir 131 por 7 para descobrir essa equivalência.
131 : 7 = 18 (sobra 5)
5º) Justamente essa sobra, 5, será a posição equivalente.
Assim, a figura da 131ª posição é idêntica a figura da 5ª posição.
165
Teoria dos Conjuntos
Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por 
exemplo, formamos conjuntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou 
simplesmente fazer grupos.
Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.
Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra maiúscula.
Representações
Pode ser definido por: 
-Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}
-Simbolicamente: B={x>N|x<8}, enumerando esses elementos temos:
B={0,1,2,3,4,5,6,7}
– Diagrama de Venn
Há também um conjunto que não contém elemento e é representado da seguinte forma: S = c ou S = { }.
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:
A é subconjunto de B
Ou A é parte de B
A está contido em B escrevemos: A ⊂ B
Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence a B: A ⊄ B
Símbolos
∈: pertence
∉: não pertence
⊂: está contido
⊄: não está contido
⊃: contém
⊅: não contém
/: tal que
⟹: implica que
⇔: se,e somente se
∃: existe
∄: não existe
166
∀: para todo(ou qualquer que seja)
∅: conjunto vazio
N: conjunto dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
Q’=I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
Igualdade
Propriedades básicas da igualdade
Para todos os conjuntos A, B e C,para todos os objetos x ∈ U, temos que:
(1) A = A.
(2) Se A = B, então B = A.
(3) Se A = B e B = C, então A = C.
(4) Se A = B e x ∈ A, então x∈ B.
Se A = B e A ∈ C, então B ∈ C.
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos.
Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3}
Não importa se há repetição:
A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
Classificação
Definição 
Chama-se cardinal de um conjunto, e representa-se por #, ao número de elementos que ele possui. 
Exemplo 
Por exemplo, se A ={45,65,85,95} então #A = 4. 
 
Definições 
Dois conjuntos dizem-se equipotentes se têm o mesmo cardinal. 
Um conjunto diz-se 
a) infinito quando não é possível enumerar todos os seus elementos 
b) finito quando é possível enumerar todos os seus elementos 
c) singular quando é formado por um único elemento 
d) vazio quando não tem elementos 
Exemplos 
N é um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) é infinito (∞)); 
A = {½, 1} é um conjunto finito (#A = 2); 
B = {Lua} é um conjunto singular (#B = 1) 
167
{ } ou ∅ é o conjunto vazio (#∅ = 0) 
Pertinência
O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo ∈. As letras 
minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vo-
gais (V) é:
V={a,e,i,o,u}
A relação de pertinência é expressa por: a∈V
A relação de não-pertinência é expressa por:b∉V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.
Inclusão
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
Propriedade reflexiva: A⊂A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
Propriedade antissimétrica: se A⊂B e B⊂A, então A=B
Propriedade transitiva: se A⊂B e B⊂C, então, A⊂C.
Operações 
União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos 
um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B.
Formalmente temos: A∪B={x|x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6} 
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de 
B, e é representada por : A∩B. Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
168
Diferença
Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o 
conjunto definido por: 
 A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o complementar de B em relação a A. 
A este conjunto pertencem os elementos de A que não pertencem a B. 
A\B = {x : x∈A e x∉B}.
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} 
Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao 
conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Complementar
O complementar do conjunto A( ) é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo que não per-
tencem a A.
Fórmulas da união
n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(A ∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B C)
Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés de fazer todo o diagrama, se colocarmos nessa 
fórmula, o resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é interessante devido ao tempo.
Mas, faremos exercícios dos dois modos para você entender melhor e perceber que, dependendo do exer-
cício é melhor fazer de uma forma ou outra.
169
Exemplo
(MANAUSPREV – Analista Previdenciário – FCC/2015) Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são 
barbados e 16 são carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos homens altos que 
são carecas, são também barbados. Sabe-se que existem 5 homens que são altos e não são barbados nem 
carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 
5 homens que são carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos esses homens, o número de barba-
dos que não são altos, mas são carecas é igual a
(A) 4.
(B) 7.
(C) 13.
(D) 5.
(E) 8.
Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre começamos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 
2 e por fim, cada um
Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas homens carecas e altos.
Homens altos e barbados são 6
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 
homens que são carecas e não são altos e nem barbados
170
Sabemos que 18são altos
Quando somarmos 5+x+6=18
X=18-11=7
Carecas são 16
7+y+5=16
Y=16-12
Y=4
Então o número de barbados que não são altos, mas são carecas são 4.
Nesse exercício ficará difícil se pensarmos na fórmula, ficou grande devido as explicações, mas se você 
fizer tudo no mesmo diagrama, mas seguindo os passos, o resultado sairá fácil.
Exemplo
(SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Suponha que, dos 250 candidatos selecionados ao 
cargo de perito criminal: 
1) 80 sejam formados em Física; 
2) 90 sejam formados em Biologia; 
3) 55 sejam formados em Química; 
4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 
5) 23 sejam formados em Química e Física; 
6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 
7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Biologia. 
Considerando essa situação, assinale a alternativa correta.
171
(A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos.
(B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física.
(C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física e em Biologia.
(D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são formados apenas em Química.
(E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecionados, a probabilidade de ele ter apenas as duas 
formações, Física e Química, é inferior a 0,05.
Resolução
A nossa primeira conta, deve ser achar o número de candidatos que não são físicos, biólogos e nem quími-
cos.
n (F ∪B∪Q)=n(F)+n(B)+n(Q)+n(F∩B∩Q)-n(F∩B)-n(F∩Q)-n(B∩Q)
n(F ∪B∪Q)=80+90+55+8-32-23-16=162
Temos um total de 250 candidatos
250-162=88
Resposta: A.
Questões
1. (SAP/SP – Oficial Administrativo – MS CONCURSOS/2018) Um menino ganhou sua mesada de R$120,00, 
guardou 1/6 na poupança, do restante usou 2/5 para comprar figurinhas e gastou o que sobrou numa excursão 
da escola. Quanto gastou nessa excursão? 
(A) 32 
(B) 40 
(C) 52
(D) 60 
(E) 68
 
2. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017 ) Um carregamento de areia foi totalmente 
embalado em 240 sacos, com 40 kg em cada saco. Se fossem colocados apenas 30 kg em cada saco, o núme-
ro de sacos necessários para embalar todo o carregamento seria igual a
(A) 420.
(B) 375.
(C) 370.
(D) 345.
(E) 320.
 
3. (EMBASA – AGENTE ADMINISTRATIVO – IBFC/2017) Considerando A o MDC (maior divisor comum) 
entre os números 24 e 60 e B o MMC (menor múltiplo comum) entre os números 12 e 20, então o valor de 2A 
+ 3B é igual a:
172
(A) 72 
(B) 156 
(C) 144 
(D) 204
 
4. A fração é equivalente a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
5. (ESCOLA DE APRENDIZES - MARINHEIROS/2012) Os valores numéricos do quociente e do resto da 
divisão de p(x) = 5x4 – 3x2 + 6x – 1 por d(x) = x2 + x + 1, para x = -1 são, respectivamente,
(A) -7 e -12
(B) -7 e 14
(C) 7 e -14
(D) 7 e -12
(E) -7 e 12
 
6. (CRBIO – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – VUNESP/2017) Uma empresa tem 120 funcionários no 
total: 70 possuem curso superior e 50 não possuem curso superior. Sabe-se que a média salarial de toda a 
empresa é de R$ 5.000,00, e que a média salarial somente dos funcionários que possuem curso superior é 
de R$ 6.000,00. Desse modo, é correto afirmar que a média salarial dos funcionários dessa empresa que não 
possuem curso superior é de
(A) R$ 4.000,00.
(B) R$ 3.900,00.
(C) R$ 3.800,00.
(D) R$ 3.700,00.
(E) R$ 3.600,00.
 
7. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) No sistema de coordenadas cartesianas da figura 
abaixo, encontram-se representados o gráfico da função de segundo grau f, definida por f(x), e o gráfico da 
função de primeiro grau g, definida por g(x).
173
Os valores de x, soluções da equação f(x)=g(x), são 
(A)-0,5 e 2,5.
(B) -0,5 e 3. 
(C) -1 e 2. 
(D) -1 e 2,5. 
(E) -1 e 3.
 
8. (POLICIA CIENTIFICA/PR – AUXILIAR DE NECROPSIA – IBFC/2017) Considere a seguinte progres-
são aritmética: (23, 29, 35, 41, 47, 53, ...)
Desse modo, o 83.º termo dessa sequência é:
(A) 137
(B) 455
(C) 500
(D) 515
(E) 680
 
9. (IBGE – AGENTE CENSITÁRIO ADMINISTRATIVO- FGV/2017) Lucas foi de carro para o trabalho em 
um horário de trânsito intenso e gastou 1h20min. Em um dia sem trânsito intenso, Lucas foi de carro para o 
trabalho a uma velocidade média 20km/h maior do que no dia de trânsito intenso e gastou 48min.
A distância, em km, da casa de Lucas até o trabalho é: 
(A) 36; 
(B) 40; 
(C) 48; 
(D) 50; 
(E) 60.
 
174
10. (FCC - 2012 - SEE-MG - Professor de Educação Básica) No ciclo trigonometrico abaixo estao localiza-
dos os angulos α e β.
 
 
Nessas condições, está correto afirmar que
Alternativas
(A) sen α > cos α
(B) sen α > cos β
(C) sen β > cos β
(D) sen β > cos α
 
11. (FEPESE - 2010 - UDESC - Técnico de Informática) O determinante da matriz
é igual a:
Alternativas
(A) -48
(B) -24
(C) 0
(D) 24
(E) 48
 12. (IF/ES – Administrador – IFES/2017) Seis livros diferentes estão distribuídos em uma estante de vidro, 
conforme a figura abaixo:
 
175
Considerando-se essa mesma forma de distribuição, de quantas maneiras distintas esses livros podem ser 
organizados na estante?
(A) 30 maneiras
(B) 60 maneiras
(C) 120 maneiras
(D) 360 maneiras
(E) 720 maneiras
 
13. (UPE – TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO – UPENET/2017) Uma pesquisa feita com 200 frequenta-
dores de um parque, em que 50 não praticavam corrida nem caminhada, 30 faziam caminhada e corrida, e 80 
exercitavam corrida, qual a probabilidade de encontrar no parque um entrevistado que pratique apenas cami-
nhada?
(A) 7/20
(B) 1/2
(C)1/4
(D) 3/20
(E) 1/5
 
14. (VUNESP - 2019 - Prefeitura de Cerquilho - SP) No conjunto dos números complexos, o resultado de
 é
Alternativas
(A) 1 + i
(B) 1 – i
(C) –1 + i
(D) 2i
(E) 2
 
15. (UFES – ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO – UFES/2017) No regime de juros simples, os juros em 
cada período de tempo são calculados sobre o capital inicial. Um capital inicial C0 foi aplicado a juros simples 
de 3% ao mês. Se Cn é o montante quando decorridos n meses, o menor valor inteiro para n, tal que Cn seja 
maior que o dobro de C0, é 
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
(E) 38
176
 
16. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE)
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen,
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro,
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações)
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por região 
em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de vagas no 
sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — registrado em todo o Brasil 
foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil habitantes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir.
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste.
( ) CERTO
( ) ERRADO
 
17. (OBJETIVA - 2023) O gráfico abaixo ilustra a quantidade de barras de chocolate produzidas por quatro 
fábricas no primeiro semestre de 2023:
Qual das fábricas teve a menor produção?
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
177
 
18. (IPRESB/SP - ANALISTA DE PROCESSOS PREVIDENCIÁRIOS- VUNESP/2017) Um terreno re-
tangular ABCD, com 40 m de largura por 60 m de comprimento, foi dividido em três lotes, conforme mostra a 
figura.
Sabendo-se que EF = 36 m e que a área do lote 1 é 864 m², o perímetro do lote 2 é
(A) 100 m.
(B) 108 m.
(C) 112 m.
(D) 116 m.
(E) 120 m.
 
19. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos me-
dindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área do pri-
meiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2 . 
(C) 3√2 e 10√2 . 
(D)5 e 6. 
(E) 6 e 10.
 
20. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO -VUNESP/2017) A figura mostra cubinhos de madeira, 
todos de mesmo volume, posicionados em uma caixa com a forma de paralelepípedoreto retângulo.
Se cada cubinho tem aresta igual a 5 cm, então o volume interno dessa caixa é, em cm³ , igual a
(A) 3000.
(B) 4500.
(C) 6000.
178
(D) 7500.
(E) 9000.
 
21. (CESGRANRIO - CAPES - Analista de Sistemas) Parte superior do formulário
O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três pro-
posições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que 
precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é consequência necessária das premissas. Assinale a 
alternativa que corresponde a um silogismo. 
(A) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo gosta de física. 
(B) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo não gosta de física. 
(C) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
(D) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
(E) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física. 
Conclusão: Mário não é matemático.
 
22. Na lógica proposicional, as proposições compostas são constituídas de conectivos e proposições sim-
ples. Na sentença “Doze é número par, mas é múltiplo de três”, temos uma sentença composta com o conectivo 
da ______________ e respectivo valor lógico ______________.
Assinale a alternativa que preenche, correta e respectivamente, as lacunas do trecho acima.
Alternativas
(A) negação – falsa
(B) disjunção – verdadeira
(C) disjunção – falsa
(D) conjunção – verdadeira
(E) conjunção – falsa
179
 
23. O diagrama abaixo representa no universo dos adolescentes os indivíduos que possuem carteira nacio-
nal de habilitação, ensino médio completo e passaporte. 
A alternativa que representa os indivíduos correspondentes às regiões sombreadas é:
Alternativas
(A) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação, ensino médio completo e passaporte.
(B) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação, ensino médio completo ou passaporte.
(C) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação e ensino médio completo, mas não pos-
suem passaporte.
(D) Os adolescentes que possuem somente carteira nacional de habilitação ou somente ensino médio com-
pleto ou somente passaporte.
(E) Os adolescentes que possuem somente carteira nacional de habilitação ou somente ensino médio com-
pleto, mas não possuem passaporte.
 
24. (TRT-9ª REGIÃO/PR – Técnico Judiciário – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana e Paulo viajaram em janeiro, 
todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. Com relação às cidades para 
onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
 
25. Observe esta sequência de figuras formadas por triângulos brancos e pretos:
180
Seguindo-se esse mesmo padrão, a 4ª figura terá:
(A) 12 triângulos pretos
(B) 12 triângulos brancos
(C) 18 triângulos pretos
(D) 18 triângulos brancos
(E) 27 triângulos pretos
 
26. (TRT – AM 2017) Uma construtora convoca interessados em vagas de pedreiros e de carpinteiros. No 
dia de apresentação, das 191 pessoas que se interessaram, 113 disseram serem aptas para a função pedreiro 
e 144 disseram serem aptas para a função carpinteiro. A construtora contratou apenas as pessoas que se 
declararam aptas em apenas uma dessas funções.
Agindo dessa maneira, o número de carpinteiros que a construtora contratou a mais do que o número de 
pedreiros foi igual a:
(A) 65
(B) 47
(C) 31
(D) 19
(E) 12
 
27. (TJ – SP 2018) Em um grupo de 100 esportistas que praticam apenas os esportes A, B ou C, sabe-se 
que apenas 12 deles praticam os três esportes. Em se tratando dos esportistas que praticam somente dois 
desses esportes, sabe-se que o número dos que praticam os esportes A e B é 2 unidades menor que o número 
dos que praticam os esportes A e C, e o número dos esportistas que praticam B e C excede em 2 unidades o 
número de esportistas que praticam os esportes A e C. Sabe-se, ainda, que exatamente 26, 14 e 12 esportistas 
praticam, respectivamente, apenas os esportes A, B e C. 
Dessa forma, o número total de esportistas que praticam o esporte A é:
(A) 54
(B) 60
(C) 58
(D) 56
(E) 62
 
28. (COMUR DE NOVO HAMBURGO/RS - AGENTE DE ATENDIMENTO E VENDAS - FUNDATEC/2021) 
Qual o resultado da equação de primeiro grau 2x - 7 = 28 - 5x?
181
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) -4,6.
(E) Não é possível resolver essa equação.
 
29. (PREFEITURA DE MARECHAL CÂNDIDO RONDON/PR - ARQUITETO - INSTITUTO UNIFIL/2021) 
Considerando a equação do segundo grau {2x2 – 9x + 7 = 0}, assinale a alternativa que representa o resultado 
do produto das raízes desta equação.
(A) 5,0
(B) 4,6
(C) 4,4
(D) 3,5
 
30. Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes 
recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece 
um pagamento fixo de R$ 1 000,00 mais uma comissão de R$ 185,00 por carro vendido. A opção 2 oferece um 
salário de R$ 2 045,00 mais uma comissão de R$ 90,00 por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos 
a opção 1 passa a ser mais lucrativa que a opção 2?
(A) 25
(B) 7
(C) 9
(D) 13
(E) 11
182
Gabarito
1 D
2 E
3 D
4 A
5 D
6 E
7 E
8 D
9 B
10 B
11 A
12 E
13 A
14 A
15 C
16 CERTO
17 A
18 D
19 B
20 E
21 E
22 D
23 D
24 B
25 E
26 C
27 B
28 B
29 D
30 E