Questão resolvida - Uma empresa contrata uma agência de publicidade para promover a campanha do lançamento de um novo produto no mercado. A agência contratada entrega um relatório inicial com o alcanc

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• Uma empresa contrata uma agência de publicidade para promover a campanha do 
lançamento de um novo produto no mercado. A agência contratada entrega um 
relatório inicial com o alcance médio do número de pessoas que ouvirão falar do 
produto anunciado após o início da campanha. Consta no relatório que t dias após o 
início, o número de pessoas N(t) que ouvirão falar do produto anunciado está 
variando a uma taxa de
 
N´ t = 5t - pessoas por dia( ) 2
50t
t + 32
Esboçando o quantitativo de pessoas que ouvirão falar desse produto durante a 
primeira semana, estima-se que é de aproximadamente:
 
1. 671 pessoas.
2. 600 pessoas.
3. 571 pessoas.
4. 500 pessoas.
5. 471 pessoas.
 
Resolução:
 
Vamos encontrar a relação N(t) que representa o alcance médio de pessoas ouvidas pela 
quantidade de dias t, isso é feito integrando a função ;N´ t( )
 
N t = 5t - dt( ) ∫ 2 50t
t + 32
Resolvendo a integral;
 
N t = 5t - dt = 5t dt + - dt = - dt( ) ∫ 2 50t
t + 32
∫ 2 ∫ 50t
t + 32
5t
3
3
∫ 50t
t + 32
 
Resolvendo separadamente a integral que restou;
 
dt = 50 dt = 50 tdt;∫ 50t
t + 32
∫ t
t + 32
∫ 1
t + 32
 u = t + 3 du = 2tdt 2tdt = du tdt =2 → → →
du
2
 
 
substituindo : 50 tdt = 50 = = 25ln|u| = 25ln|t + 3|∫ 1
t + 32
∫1
u
du
2
50
2
∫du
u
2
 
Com isso, a solução da integral é;
 
N t = - 25ln|t + 3| + c( )
5t
3
3
2
No tempo , a quantidade de pessoas ouvidas na pesquisa, obviamente, é zero, assim:t = 0
 
N 0 = 0( )
 
Com essa informação, é possível encontrar a constante c vista na expressão 1, como visto 
na sequência;
 
N t = - 25ln|t + 3| + c N 0 = - 25ln| 0 + 3| + c = 0( )
5t
3
3
2
→ ( )
5 0
3
( )3
( )2
 
0 - 25ln|3| + c = 0 c = 25ln|3|→
Dessa forma, a N(t) fica;
 
N t = - 25ln|t + 3| + 25ln|3|( )
5t
3
3
2
Uma semana tem 7 dias, assim, o quantitativo de pessoas que ouvirão falar desse produto 
durante esse tempo é;
N 7 = - 25ln| 7 + 3| + 25ln|3| = - 25ln|49 + 3| + 25ln|3|( )
5 7
3
( )3
( )2
5 ⋅ 343
3
 
N 7 = - 25ln|52| + 25ln|3| ≅ 500, 35( )
1715
3
Logo, o quantitativo de pessoas que ouvirão falar desse produto durante a primeira semana 
é de aproximadamente:
 
N 7 ≅ 500 pessoas( )
 
 
(1)
(Resposta )