ATIVIDADE AVALIATIVA 3 - importância das taxas de variação relacionadas

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ATIVIDADE AVALIATIVA 3 - CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL 
Ciência da Computação: Thaís Moura 
 
Taxa de Variação Relacionadas 
Em muitos problemas há duas ou mais quantidades variando simultaneamente entre 
si. Nestes casos chamamos de problema de Taxas relacionadas. Estas taxas de variação 
podem estar relacionadas entre si por uma única variável. 
Vimos que a derivada de uma função é uma taxa de variação. Mas existem situações em 
que as variáveis estão relacionadas e, neste caso, as taxas de variações também são 
relacionadas. Assim podemos resolver uma infinidade de problemas relacionados a 
várias áreas de conhecimento. Para facilitar a obtenção dos resultados, verifique o passo 
a passo apresentado a seguir a fim de resolver problemas que envolvem taxas 
relacionadas. 
1. representar a situação-problema, por exemplo, representada em uma figura; 
identificando as grandezas variáveis e constantes; 
2. considerar que todas as variáveis variam com o tempo t; 
3. identificar os dados e qual a taxa que o problema está pedindo; 
4. escrever uma equação que relaciona as variáveis; 
5. derivar a equação implicitamente em relação a t; 
6. aplicar os dados e pontos do problema para encontrar a taxa requerida. 
 
Segue alguns exemplos para entender os procedimentos. 
1º Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. 
 
 
 
 
 
 
 
Num determinado instante, a extremidade inferior, que se encontra a 5 m da parede, está 
escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2 m/s. 
 
 
 
 
. 
Figura 3.17 - Taxas relacionadas - escada 
Fonte: Elaborada pela autora 
 
Figura 3.18 - Taxas relacionadas - escada 
Fonte: Elaborada pela autora. 
Com que velocidade o topo da escada desliza quando x=5m? 
Dados: {
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2 𝑚/𝑠 𝑒 ℎ = 13𝑚} 
Pede-se: { 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=? 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 5 𝑚} 
Relação entre as variáveis: x² + y² = 13². 
Derivando implicitamente e substituindo os dados, temos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 132 → 2𝑥 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 →
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑧
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= − 
5
12
∙ 2 = −
5
6
 𝑚/𝑠. 
2º O piloto de uma aeronave de patrulha da guarda-costeira em uma missão de busca acaba 
de avistar um barco pesqueiro avariado e decide sobrevoar para melhor averiguar. Voando 
a uma altitude constante de 600 m e a uma velocidade uniforme de 200 m/s, a aeronave 
passou diretamente por cima do barco pesqueiro. Observe a figura abaixo e responda: com 
que rapidez a aeronave estava se afastando do pesqueiro no instante em que z = 1000 m, 
ou seja, no instante em que a aeronave está à 1000 m do pesqueiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Dados: {
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 200 𝑚/𝑠} 
Pede-se: { 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=? 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 1000 𝑚} 
Relação entre as variáveis: z² = x² + 600². 
Para 
𝑧 = 1000 𝑚 → 𝑥2 = 10002 − 6002 = 640000 → 𝑥 = √640000 = 800 𝑚. 
 
Derivando implicitamente e substituindo os dados, temos: 
𝑧2 = 𝑥2 + 6002 → 2𝑧 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 →
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 
2𝑥
2𝑧
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑧
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 
800
1000
∙ 200 = 160 𝑚/𝑠. 
 
Figura 3.19 - Problema da taxa de variação - velocidade 
Fonte: Elaborada pela autora. 
3º A que taxa cresce o volume de uma esfera V=4/3 πr3, sabendo-se que o raio cresce à 
razão de 5 cm/s, no instante em que ele mede 10 cm ? 
Dados: {
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 5 𝑚/𝑠} 
Pede-se: { 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=? 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 = 10 𝑐𝑚} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre as variáveis: V = 4/3 𝜋𝑟³. 
Derivando implicitamente e substituindo os dados, temos: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
4
3
 𝜋 (3𝑟 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
) → 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝑟 (10)2 ∙ 5 = 2000𝜋 𝑐𝑚3/ 𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Pesquisas na internet Ebook da plataforma 
CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
Autor: Me. Ivana Barreto Mato 
Revisor: Rosalvo Miranda 
 
Figura 3.20 - Problema da taxa de variação - volume da esfera 
Fonte: Elaborada pelo autor.