AULA 08 (Taxas Relacionadas-resolução)

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CÁLCULO I
AULA 08 – Taxas Relacionadas
 
Objetivos da Aula
Entender a taxa de variação com grandezas relacionadas.
Resolver situações-problemas envolvendo taxas relacionadas.
Responder DESAFIOS para verificar a aprendizagem.
TAXA DE VARIAÇÃO
 
CÁLCULO I 
Taxa de Variação 
Regra da Cadeia
Sejam as funções , então:
 
CÁLCULO I 
Exemplo
Depois de aberta uma válvula inferior de um tanque de armazenamento, é necessário esperar 12 h para esvaziá-lo. A profundidade y (em metros) do líquido no tanque, t horas depois que a válvula foi aberta, é dada por: 
m.
(a) Encontre a taxa de esvaziamento do tanque no instante t. 
TAXAS RELACIONADAS
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2m/seg. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento?
TAXAS RELACIONADAS – DICAS PARA SOLUÇÃO
Represente a situação-problema através de uma figura, identificando as grandezas variáveis e constantes. 
Considere que todas as variáveis variam com o tempo t. 
 Identifique os dados e qual a taxa que o problema está pedindo.
Escreva uma equação que relaciona as variáveis. 
Derive a equação implicitamente em relação a t. 
Aplique os dados e pontos do problemas para encontrar a taxa requerida. 
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta.
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2m/seg.
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
Pergunta-se: 
 Com que velocidade o topo da escada desliza quando x=5m?
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
1) Relação entre as variáveis:
2) Calculando y quando x = 5m :
3) Derivando implicitamente em relação à t:
Derivada Implícita
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
 
CÁLCULO I 
Taxas relacionadas
Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no teto a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15 m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?
 
CÁLCULO I 
Resolução
 
CÁLCULO I 
Resolução
1) Relação entre as variáveis:
2) Quando x=15 temos :
3) Derivando implicitamente em relação à t:
 
CÁLCULO I 
Resolução
 
CÁLCULO I 
Desafio
. 
Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1 m/s. Quando ele está a 65 m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 17 m/s passa por baixo dele. A que taxa a distância z(t) entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois?
 
CÁLCULO I 
Desafio
. 
O piloto de uma aeronave de patrulha da guarda-costeira em uma missão de busca acaba de avistar um barco pesqueiro avariado e decide sobrevoá-lo para melhor averiguar. Voando a uma altitude constante de 600 m e a uma velocidade uniforme de 200 m/s, a aeronave passou diretamente por cima do barco pesqueiro. Observe a figura abaixo e responda.
600m
x = ?
z = 1000 m 
Com que rapidez a aeronave estava se afastando do pesqueiro no instante em que z = 1000m, ou seja, no instante em que a aeronave está à 1000m do pesqueiro ? 
 
CÁLCULO I 
FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1 – Harbra – 1976.
STEWART, James. Cálculo. Volume I, 5 ed. São Paulo: Pioneira, 2005.
Referências
Professor: Ronald Ramos Alves
ronald.alves@unifacs.br
Material disponibilizado pela Prof. Ivana Matos 
dfdfdx
dtdxdt
=×
5
m
13
m
2/
mseg
x
y
13
Dados :
2/
hm
dx
ms
dt
=
ì
ï
í
=
ï
î
222
13
xy
+=
220
dxdy
xy
dtdt
+=
222
513
y
+=
12
y
=
5
/
6
ms
=-
dyxdx
dtydt
=-
5
2
12
dy
dt
=-×
20
m
15
m
q
x
20
x
tg
q
=
4/
dx
ms
dt
=
2
20sec
dxd
dtdt
q
q
=×
2
1
cos
20
ddx
dtdt
q
q
=
204
cos
255
q
==
2
1411616
44/
2052025125
d
ms
dt
q
æö
=×=××=
ç÷
èø