Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 6, O PLANO) PARTE V

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Nos problemas de 45 a 47, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano : 
45º) r: x = 3t, y = 1 – 2t, z = -t e : 2x + 3y – 2z – 7 = 0 
(x, y, z) = (3t, 1 – 2t, -t) 
(2, 3, -2) = (3t, 1 – 2t, -t) 
2 . 3t + 3 (1 – 2t) – 2 (-t) – 7 = 0 
6t + 3 – 6t + 2t – 7 = 0 
2t = 4 
t = 2 
 x = 3t → x = 3 . 2 → x = 6 
r: y = 1 – 2t → y = 1 – 2 . 2 → y = -3 
 z = -t → z = -2 
I (x, y, z) 
II (6, -3, -2) 
 
 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
46º) r: y = x – 10 e : 2x – y + 3z – 9 = 0 
 z = -x + 1 
(x, y, z) = (t, t – 10, -t + 1) 
(2, -1, 3) = (t, t – 10, -t + 1) 
2t – 1 (t – 10) + 3 (-t + 1) – 9 = 0 
2t – t + 10 – 3t + 3 – 9 = 0 
-2t + 4 = 0 
t = 2 
 x = t → x = 2 
r: y = t – 10 → y = 2 – 10 → y = -8 
 z = -t + 1 → z = -2 + 1 → z = -1 
I (x, y, z) 
II (2, -8, -1) 
47º) x = 4 + k x = 2 + h + 2t 
 r: y = 3 + 2k e : y = -3 – h - t 
 z = -2 – 3k z = 1 + 3h – 3t 
 
�⃗� = �⃗� x 𝑣 = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 3
2 −1 −3
 = 
−1 3
−1 −3
 𝑖 - 
1 3
2 −3
 𝑗 + 
1 −1
2 −1
 �⃗� = 
= (3 + 3) 𝑖 - (-3 – 6) 𝑗 + (-1 + 2) �⃗� = (6, 9, 1) 
Como A (2, -3, 1)  : 
6x + 9y + z + d = 0 
6 . 2 + 9 (-3) + 1 + d = 0 
12 – 27 + 1 + d = 0 
d = 14 
r: (x, y, z) = (4 + k, 3 + 2k, -2 – 3k) 
6x + 9y + z + 14 = 0 
6 (4 + k) + 9 (3 + 2k) – 2 – 3k + 14 = 0 
24 + 6k + 27 + 18k – 2 – 3k + 14 = 0 
21k + 63 = 0 
k = -63/21 
 = -3 
 x = 4 + k → x = 4 – 3 → x = 1 
r: y = 3 + 2k → y = 3 + 2 (-3) → y = -3 
 z = -2 – 3k → z = -2 – 3(-3) → z = 7 
I (x, y, z) 
II (1, -3, 7) 
48º) Sejam a reta r e o plano  dados por 
r: y = 2x – 3 e : 2x + 4y – z – 4 = 0 
 z = -x + 2 
Determinar: 
a) O ponto de interseção de r com o plano xOz 
r: y = 2t – 3 e xOz = (0, 1, 0) 
 z = -t + 2 
(x, y, z) = (t, 2t – 3, -t + 2) 
(0, 1, 0) = (t, 2t – 3, -t + 2) 
0 . t + 1 (2t – 3) + 0 (-t + 2) = 0 
2t – 3 = 0 
t = 3/2 
 x = t → x = 3/2 
r: y = 2t – 3 → y = 2 (3/2) – 3 → y = 3 – 3 → y = 0 
 z = -t – 2 → z = -3/2 + 2 → z = ½ 
I (x, y, z) 
II (3/2, 0, ½) 
b) O ponto de interseção de r com  
r: y = 2t – 3 e : 2x + 4y – z – 4 = 0 
 z = -t – 2 
(x, y, z) = (t, 2t – 3, -t + 2) 
(2, 4, -1) = (t, 2t – 3, -t + 2) 
2t + 4 (2t – 3) + (-1) (-t + 2) – 4 = 0 
2t + 8t – 12 + t – 2 – 4 = 0 
11t – 18t = 0 
t = 18/11 
 x = t → x = 18/11 
r: y = 2t – 3 → y = 2 (18/11) – 3 → y = 3/11 
 z = pt – 2 → -18/11 + 2 → z = 4/11 
I (x, y, z) 
II (18/11, 3/11, 4/11) 
c) equações da reta interseção de  com o plano xOy 
: �⃗� = (2, 4, -1) 
Plano xOy: �⃗� 2 = (0, 0, 1) 
𝑣 = �⃗� 1 x �⃗� 2 = (4, -2, 0) 
2x + 4y – 4 = 0 
O plano : 2x + 4y – 4 = 0 intercepta os eixos coordenados nos seguintes pontos: 
y = z = 0 → 2x – 4 = 0 → x = 2 
x = z = 0 → 4y – 4 = 0 → y = 1 
 x = 2 + 4t 
r: y = 0 - 2t 
 z = 0 + 0t 
50º) Determinar equações reduzidas na variável x, da reta que passa pelo ponto A(3, -2, 4) e é 
perpendicular ao plano : x – 3y + 2z – 5 = 0. 
𝑣 = �⃗� = (1, -3, 2) 
 x = 3 + t 
r: y = -2 – 3t 
 z = 4 + 2t 
𝑥−3
−1
 = 
𝑦+2
−3
 = 
𝑧−4
2
 
 
𝑥−3
−1
 = 
𝑦+2
−3
 
y + 2 = (-3) (x – 3) 
y + 2 = -3x + 9 
y = -3x + 9 – 2 
y = -3x + 7 
 
𝑥−3
−1
 = 
𝑧−4
2
 
z – 4 = 2 (x – 3) 
z – 4 = 2x – 6 
z = 2x – 6 + 4 
z = 2x – 2 
 x = 3 + t → t = x - 3 
r: y = -2 – 3t 
 z = 4 + 2t 
Logo teremos: 
y = -2 – 3 (x – 3) → y = -2 – 3x + 9 → y = -3x + 7 
z = 4 + 2 (x – 3) → z = 4 + 2x – 6 → z = 2x - 2 
56º) O plano que passa por A (-1, 2, -4) e é perpendicular aos planos 1: x + z = 2 e 2: y – z = 0. 
�⃗� 1 = (1, 0, 1) 
�⃗� 2 = (0, 1, -1) 
�⃗� 1 x �⃗� 2 = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 0 1
0 1 −1
 = 
0 1
1 −1
 𝑖 - 
1 1
0 −1
 𝑗 + 
1 0
0 1
 �⃗� = 
(0 – 1) 𝑖 – (-1 – 0) 𝑗 + (1 – 0) �⃗� = (-1, 1, 1) 
Como A (-1, 2, -4)  : 
-x + y + z + d = 0 
1 + 2 – 4 + d = 0 
d = 1 
Temos como equação geral: -x + y + z + 1 = 0 → x – y – z -1 = 0 
61º) O plano que passa pela origem e é paralelo às retas: 
r1: y = -x; z = 2 e r2: (x, y, z) = (2, -1, 4) + t (1, 3, -3) 
𝑣 1 = (1, -1, 0) 
𝑣 2 = (1, 3, -3) 
�⃗� = 𝑣 1 x 𝑣 2 = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 0
1 3 −3
 = 
−1 0
3 −3
 𝑖 - 
1 0
1 −3
 𝑗 + 
1 −1
1 3
 �⃗� = 
(3 – 0) 𝑖 – (-3 – 0) 𝑗 + (3 + 1) �⃗� = (3, 3, 4) . (0, 0, 0) = d = 0 
Como (0, 0, 0)  : 
3x + 3y + 4z + d = 0 
3 . 0 + 3 . 0 + 4 . 0 + d = 0 
d = 0 
Equação geral: 3x + 3y + 4z = 0 
62º) O plano que passa por A (-1, 2, 5) e é perpendicular à interseção dos planos 1: 2x – y + 3z – 4 
= 0 e 2: x + 2y – 4z + 1 = 0. 
𝑣 1 = (2, -1, 3) 
𝑣 2 = (1, 2, -4) 
�⃗� = 𝑣 1 x 𝑣 2 = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 −1 3
1 2 −4
 = 
−1 3
2 −4
 𝑖 - 
2 3
1 −4
 𝑗 + 
2 −1
1 2
 �⃗� = 
(4 – 6) 𝑖 – (-8 – 3) 𝑗 + (4 + 1) �⃗� = (-2, 11, 5) 
Como A (-1, 2, 5)  : 
-2x + 11y + 5z + d = 0 
-2 (-1) + 11 (2) + 5 (5) + d = 0 
2 + 22 + 25 + d = 0 
d = -49 
Equação Geral: -2x + 11y + 5z – 49 = 0 → 2x – 11y – 5z + 49 = 0 
64º) Calcular os valores de m e n para que reta r esteja contida no plano : 
a) r: x = 2 – 2t; y = -1 – t; z = 3 e : 2mx – ny – z + 4 = 0 
A (2, -1, 3) 
𝑣 = (-2, -1, 0) 
�⃗� = (2m, -n, -1) 
𝑣 . �⃗� = 0 
(-2, -1, 0) . (2m, -n, -1) = 0 
-4m + n + 0 = 0 
-4m + n = 0 
2mx – ny – z + 4 = 0 
2m (2) – n (-1) – 3 + 4 = 0 
4m + n + 1 = 0 
4m + n = -1 
 
-4m + n = 0 → n = 4m → n = 4 (-1/8) → n = -1/2 
4m + n = -1 → 4m + 4m = -1 → 8m = -1 → m = -1/8 
b) r: (x, y, z) = t (2, m, n) + (n, 2, 0) e : x – 3y + z = 1 
A (n, 2, 0) 
𝑣 = (2, m, n) 
�⃗� = (1, -3, 1) 
𝑣 . �⃗� = 0 
(2, m , n) . (1, -3, 1) = 0 
2 – 3m + n = 0 
-3m + n = -2 
 
x – 3y + z = 1 
x – 3y + z – 1 = 0 
n – 3 . 2 + 0 – 1 = 0 
n – 6 – 1 = 0 
n = 7 
 
-3m + n = -2 
-3m + 7 = -2 
-3m = -7 – 2 
-3m = -9 (-1) 
3m = 9 
m = 3 
65º) Calcular k de modo que a reta determinada por A (1, -1, 0) e B (k, 1, 2) seja paralela ao plano : 
x = 1 + 3h; y = 1 + 2h + t; z = 3 + 3t. 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (k, 1, 2) – (1, -1, 0) = (k – 1, 2, 2) 
�⃗� = (3, 2, 0) 
𝑣 = (0, 1, 3) 
�⃗� = �⃗� x 𝑣 = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
3 2 0
0 1 3
 = 
2 0
1 3
 𝑖 - 
3 0
0 3
 𝑗 + 
3 2
0 1
 �⃗� = 
(6 – 0) 𝑖 – (9 – 0) 𝑗 + (3 – 0) �⃗� = (6, -9, 3) 
𝑣 . �⃗� = 0 
(k – 1, 2, 2) . (6, -9, 3) = 0 
6 (k – 1) + 2 (-9) + 2 . 3 = 0 
6k – 6 – 18 + 6 = 0 
6k – 24 + 6 = 0 
6k = 18 
k = 3 
72º) O plano : 3x + 2y + 4z – 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular: 
y = z = 0 
3x + 2y + 4z – 12 = 0 
3x + 2 (0) + 4 (0) – 12 = 0 
3x = 12 
x = 4 → A (4, 0, 0) 
 
y = z = 0 
3x + 2y + 4z – 12 = 0 
3 (0) + 2y + 4 (0) – 12 = 0 
2y = 12 
y = 6 → B (0, 6, 0) 
 
x = y = 0 
3x + 2y + 4z – 12 = 0 
3 (0) + 2 (0) + 4z – 12 = 0 
4z = 12 
z = 3 → C (0, 0, 3) 
a) a área do triangulo ABC 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A → (0, 6, 0) – (4, 0, 0) = (-4, 6, 0) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A → (0, 0, 3) – (4, 0, 0) = (-4, 0, 3) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ x 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
−4 6 0
−4 0 3
 = 
6 0
0 3
 𝑖 - 
−4 0
−4 3
 𝑗 + 
−4 6
−4 0
 �⃗� = 
(18 – 0) 𝑖 – (-12 + 0) 𝑗 + (-0 + 24) �⃗� = (18, 12, 24) 
Área do triângulo = ½ . |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ x 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
Área do triângulo = ½ . |18, 12, 24| 
Área do triângulo = ½ . ξ182 + 122 + 242 
Área do triângulo = ½ . ξ324 + 144+ 576 
Área do triângulo = ½ . ξ1044 
Área do triângulo = 3 ξ29 u.a. 
b) a altura desse triângulo relativa à base que está no plano xOz 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ x 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 6 ξ29 → 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-4, 0, 3) 
h = 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑥 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|
|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|
 
h = 
6 ξ29 
 ξ25 
 
h = 
6 ξ29 
 5 
 u.c. 
c) o volume do tetraedro limitado pelo plano  e pelos planos coordenados. 
𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ x 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
0 6 0
0 0 3
 = 
6 0
0 3
 𝑖 - 
0 0
0 3
 𝑗 + 
0 6
0 0
 �⃗� = 
(18 – 0) 𝑖 – (0 – 0) 𝑗 + (0 – 0) �⃗� = (18, 0, 0) 
V = 
|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑂𝐶|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
6
 
V = 
|(4,0,0ሻ . (18,0,0ሻ
6
 
V = 
72
6
 
V = 12 u.v.