CVV.lista1.edo.2015.1

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UFRPE – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1a LISTA DE CA´CULO A VA´RIAS VARIA´VEIS – BSI 21/03/2015 – 2015.1
Prof a Ma´rcia P. Dantas
1. Verificar que y = 3ex
3
e´ uma soluc¸a˜o do problema de valor inicial y′ = 3x2y, y(0) = 3.
2. Verificar que as famı´lias de func¸o˜es dadas sa˜o soluc¸o˜es da EDO:
(a) (1 + x)y′ = y, y = c(1 + x)
(b) y′′ + y = 0, y = a sinx+ b cosx
(c) y′′ − y = 0, y = aet + be−t
3. Achar a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo. Sugesta˜o: use varia´veis separa´veis.
(a) dydx = 3
√
xy
(b) dydx = 1 + x+ y + xy
4. Resolva as equac¸o˜es abaixo pelo me´todo das varia´veis separa´veis:
(a) y′ + 3y = 0
(b) y′ − 4xy = 0
(c) y′ + 3x2y = 0
(d) y′ + 2xy = 0
5. Dada a equac¸a˜o diferencial xy′ = 3y :
(a) Obter sua soluc¸a˜o geral e esboc¸ar o gra´fico de algumas curvas soluc¸o˜es; em particular identificar
no gra´fico a soluc¸a˜o que passa pelo ponto (2,−8).
(b) Verificar que na˜o existe soluc¸a˜o passando pelo ponto (0, 1) e que existem infinitas soluc¸o˜es
passando por (0, 0) (exiba duas delas).
6. As equac¸o˜es abaixo sa˜o lineares de 1a ordem. Resolva-as usando o me´todo do fator integrante:
(a) y′ + 3y = 0
(b) y′ − 4xy = 0
(c) y′ + 3x2y = 0
(d) y′ + 2xy = 0
7. Identificar se a equac¸a˜o diferencial e´ linear ou na˜o, resolver usando um me´todo adequado e verificar,
por substituic¸a˜o, se a soluc¸a˜o esta´ correta.
(a) y′ = −4xy2
(b) (4y − cos y)y′ − 3x2 = 0
(c) y′ + 3x2y = 6x2
(d) x2y′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 2 (colocar antes na forma y′ + a(x)y = b(x))
(e) y′ + 2xy = 1
(f) xy′ − 2y = x2
(g) (1 + t)u′ + u = 1 + t, t > 0
1
(h) ty′ + 2y = t3, t > 0, y(1) = 0
(i) xy′ = y + x2 sinx, y(pi) = 0
(j) xy′ − 2y = x3, y(1) = 0
(k) (x2 + 1)y′ = xy, y(0) = 1.
(l) y′ = y
x2+1
(m) xy′ = x sinx− y
(n) y′ = 3x2
(
y2 − 1)
(o) xy′′ + 2y′ = 12x2 (use a substituic¸a˜o u = y′ para reduzir a EDO de 2a ordem a uma EDO de
1a ordem)
8. Assumindo que a populac¸a˜o da terra p cresce a uma taxa proporcional a` mesma (dp/dt = ap,
a > 0), responda as questo˜es abaixo sabendo que no ano de 1650 a populac¸a˜o da terra era de 600
milho˜es e que no ano de 1950 sua populac¸a˜o era de 2.8 bilho˜es:
(a) Qual e´ a populac¸a˜o atualmente?
(b) Assumindo que a populac¸a˜o ma´xima que a terra pode suportar e´ de 25 bilho˜es
(
2.5× 1010)
em que ano esse limite deve ser alcanc¸ado?
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