Seja a EDO de 2ª ordem dada por y" + 3y' - 4y = x. em que as condições iniciais são y(0) = 0 e y'(0) = 0. Determine a solução dessa EDO:

Para resolver essa EDO, podemos utilizar o método da transformada de Laplace. Aplicando a transformada em ambos os lados da equação, temos: L(y'') + 3L(y') - 4L(y) = L(x) Substituindo as condições iniciais, temos: L(y) = Y(s) L(y') = sY(s) L(y'') = s^2Y(s) Portanto, temos: s^2Y(s) + 3sY(s) - 4Y(s) = 1/s Isolando Y(s), temos: Y(s) = 1/(s(s+4)(s-1)) Para encontrar a solução y(t), precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de Y(s). Para isso, podemos utilizar frações parciais: 1/(s(s+4)(s-1)) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) Multiplicando ambos os lados por s(s+4)(s-1), temos: 1 = A(s+4)(s-1) + Bs(s-1) + Cs(s+4) Substituindo s = 0, temos: 1 = -4A A = -1/4 Substituindo s = -4, temos: 1 = -5B B = -1/5 Substituindo s = 1, temos: 1 = 5C C = 1/5 Portanto, temos: Y(s) = -1/(4s) - 1/(5(s+4)) + 1/(5(s-1)) Fazendo a transformada inversa de Laplace, temos: y(t) = -1/4 - (1/5)*e^(-4t) + (1/5)*e^t Portanto, a solução da EDO é y(t) = -1/4 - (1/5)*e^(-4t) + (1/5)*e^t.