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UFRPE – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
2a LISTA de CVV – BSI 19/04/2015 – 2015.1 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof a Ma´rcia P. Dantas
1. Dados os pontos P (1, 0) , Q (3, 2) e R (0, 1) :
(a) Represente os pontos P,Q e R em um mesmo sistema de coordenadas retangulares.
(b) Encontre S de modo que os pontos P,Q,R e S formem, nesta ordem, um paralelogramo.
(c) Calcule a a´rea do paralelogramo PQRS. Lembre que a a´rea de um paralelogramo
e´ dada pelo mo´dulo do produto vetorial dos dois vetores que partem de um ve´rtice
comum.
2. Dados os vetores u =< 0, 0, 3/2 >, v =< 0, 0, 1 >, e w =< −3, 3, 0 >
(a) Represente-os geometricamente em um sistema de coordenadas cartesianas com origem
na origem do sistema de coordenadas.
(b) Calcule 2u + 3v− 4w; u · v; v×w; e u · (v×w).
3. Calcule o valor de m para que a a´rea do paralelogramo determinado por u =< m,−3, 1 >
e v =< 1,−2, 2 > seja igual a √26.
4. Considere os vetores u =< 1, a,−2a− 1 >,v =< a, a− 1, 1 > e w = < a,−1, 1 >, onde a e´
um nu´mero real:
(a) Determine a de modo que
u · v = (u + v) ·w.
Em seguida, substitua o valor de a encontrando cada um dos vetores.
(b) Determine o volume do paralelep´ıpedo de arestas u,v,w. Lembre que o volume de um
paralelep´ıpedo e´ dado pelo produto misto dos vetores que representam os 3 lados com
origem no mesmo ve´rtice.
5. Dada a reta
r :

x = 1− 2t
y = 3t− 1
z = 4t
, t ∈ R :
(a) Encontre os pontos de r para t = 0, t = 1/3 e t = 1/2. Fac¸a o gra´fico de r destacando
os pontos encontrados.
(b) Encontre uma equac¸a˜o parame´trica da reta s paralela a r passando pela origem.
6. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica da reta que conte´m o ponto (−2, 1, 0) e e´ paralela ao
vetor < 3,−1, 5 >.
7. Encontre uma equac¸a˜o para a reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2, 1). Fac¸a o
gra´fico.
8. Ache uma equac¸a˜o parame´tica da reta sobre o eixo y.
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9. Dada a reta de equac¸a˜o reduzida
r : 1− x = y + 1 = z − 3−2 ,
encontre um vetor diretor de r e dois pontos de r. Use esses pontos para fazer o gra´fico da
reta no espac¸o.
10. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica e uma equac¸a˜o reduzida na varia´vel z da reta que passa
pelos dois pontos A(1, 0, 3), B(−1, 3, 4).
11. Dados os vetores u = i + j e v = k:
(a) Represente-os geometricamente em um sistema de coordenadas cartesianas.
(b) Calcule u + v; u · v; e u× v.
(c) Ache uma equac¸a˜o geral do plano perpendicular a u e que passa pela origem.
12. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica do plano que e´ paralelo a`s retas
r :

x = 1 + t
y = −t
z = 3
e s :
x+ 1
2
=
y − 2
3
= z
e que passa pelo ponto (1, 0,−1).
13. Encontre uma equac¸a˜o (geral ou parame´trica) do plano que e´ perpendicular a` reta
r :

x = 1− t
y = t
z = 1 + 3t
e que passa pelo ponto (1, 1, 1).
14. Dados os vetores u =< 1, 1, 0 >, v =< 0, 2, 1 >, e w =< 1,−1, 2 >
(a) Calcule 2u− 3v + 4w; u · v e v×w.
(b) Ache uma equac¸a˜o parame´trica da reta que tem vetor diretor w e passa pelo ponto
(1, 1,−1). Represente a reta geometricamente.
(c) Ache uma equac¸a˜o parame´trica do plano que passa pela origem e tem vetores diretores
u e v. Represente o plano geometricamente.
15. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica e uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m os treˆs pontos
A(1, 0, 2), B(−1, 3, 4) e C(3, 5, 7).
16. Encontre uma equac¸a˜o para o plano paralelo ao eixo x passando pelo ponto (0, 2, 0) e (0, 0, 1).
Fac¸a um esboc¸o do plano.
17. A distaˆncia D de um ponto P a uma reta r com vetor diretor u e´ dada pela equac¸a˜o
D =
‖u×P0P‖
‖u‖ ,
onde P0 e´ um ponto de r. Encontre a distaˆncia do ponto P (2, 1,−1) a` reta de equac¸a˜o
parame´trica x = 1 + 2t, y = −5− t, z = 3t.
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18. A distaˆncia D de um ponto P1 a um plano pi com vetor normal n e´ dada pela equac¸a˜o
D =
‖n ·P0P1‖
‖n‖ ,
onde P0 e´ um ponto de pi. Encontre a distaˆncia do ponto P1(−1, 1, 2) ao plano 3x−2y+z = 1.
19. Associe as equac¸o˜es apresentadas na coluna da esquerda com os nomes das curvas planas
descritas na coluna da direita. Justifique sua escolha em cada caso:
(a) x
2
25
+ y
2
4
= 1
(b) x
2
25
+ y
4
= 1
(c) x
2
25
− y2
4
= 1
(d) x
2
25
+ y
2
4
= −1
(e) x
2
25
+ y
2
25
= 1
(f) x
25
+ y
4
= 1
( ) Hipe´rbole
( ) Reta
( ) Elipse
( ) Circunfereˆncia
( ) Nenhuma curva
( ) Para´bola
20. Identificar pelo nome a figura geome´trica representada pela equac¸a˜o, justificando em cada
caso:
(a) 25x+ 4y = 100, com (x, y) no plano (R2)
(b) 25x+ 4y = 100, com (x, y, z) no espac¸o (R3)
(c) 25x2 + 4y2 = 100, com (x, y) no plano (R2)
(d) y = 25x2 + 200x+ 100, com (x, y) no plano (R2)
(e) −25x2 + 4y2 = 100, com (x, y) no plano (R2)
(f) −25x2 − 4y2 = 100, com (x, y) no plano (R2)
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