Notas de aula sobre autovalores e auto vetores

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Autovalor e Autovetor 108 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Atnonio Francisco 
20 AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
 
 
Ao estudarmos o núcleo de uma transformação linear 
de V em W estávamos interessados em determinar 
quais os elementos de V que eram levados no vetor 
nulo de W. 
Agora nosso problema passará a ser o seguinte: dado 
um operador linear T : V V→ estamos interessados 
em determinar quais os elementos de V que são 
levados a um múltiplo de si mesmo, ou seja estamos 
procurando um vetor v V∈ e um escalar λ ∈ R tais 
que T(v) v= λ . 
Note que T(v) será neste caso um vetor com a mesma 
direção de v. 
 
20.1 Definição 
Seja T : V V→ um operador linear. Se existirem 
v V∈ , v 0≠ e λ ∈� tais que T(v) v= λ , então λ é 
um autovalor (ou valor próprio) de T e v um autovetor 
de T associado a λ . 
 
Exemplo 01) O vetor v = ( 5, 2) é auto-vetor do 
operador linear: 2 2T : R R→ , com 
T(x, y) (4x 5y,2x y)= + + , associado ao valor próprio 
λ =6, pois: 
T(v) T(5,2) (30,12) 6.(5,2) 6v= = = = 
 
Exemplo 02) Seja 2 2T : R R→ , com 
T(x, y) (2x,2y)= . Então, todo vetor (x,y)≠(0,0) de 
2R é um autovetor de T associado ao autovalor 2. 
Na forma matricial temos: 






=





=











→





y
x
2
y2
x2
y
x
.
20
02
y
x
 
 
Geometricamente temos: 
 
 
 
De modo geral, toda transformação 2 2T : R R→ , com 
T(v) v, 0→ α α ≠ , tem α como autovalor e 
qualquer (x, y) (0,0)≠ como autovetor 
correspondente. 
 
Observe que se: 
0, T inverte o sentido do vetor
1, T dilata o vetor
1, T contrai o vetor.
α <
α >
α <
 
 
20.2 Determinação dos Autovalores e dos 
Autovetores de um Operador T 
Sejam um operador 3 3T : R R→ cuja matriz canônica 
é: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a 
a a a
 
 
=  
  
isto é, [ ]A T= 
 
Se v e λ são, respectivamente, um autovetor com seu 
autovalor correspondente em T, temos que: 
A.v .v
A.v .v 0
= λ
− λ =
 
 
Sendo v I.v= , onde I é a matriz identidade, podemos 
escrever: 
Av Iv 0− λ = 
colocando v em evidência, temos: 
 
(A I )v 0 ( * )− λ = 
 
Como v 0≠ e queremos que o sistema homogêneo 
representado por ( * ) tenha solução não nula devemos 
ter: 
det(A I) 0 (**)− λ = 
ou seja, 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a 1 0 0
det a a a 0 1 0 0
a a a 0 0 1
a a a 0 0
det a a a 0 0 0
a a a 0 0
    
    
− λ =    
       
 λ   
    
− λ =    
    λ   
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
 a a a 0 (***)
a a a
− λ
− λ =
− λ
 
 
O determinante (***) fornece uma equação 
denominada equação característica do operador T ou 
da matriz A e suas raízes são autovalores do operador 
T ou da matriz A. O determinante det(A I) − λ é um 
polinômio em λ que denominamos polinômio 
característico. 
 
 Autovalor e Autovetor 109 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Atnonio Francisco 
A substituição de λ pelos seus valores no sistema 
homogêneo (**) permite determinar os autovetores 
associados a cada autovalor. 
 
Exemplo 03) Determinar os autovalores e 
autovetores do operador linear 3 3T : R R→ , com 
T(x, y,z) (3x y z, x 5y z, x y 3z)= − + − + − − + 
 
Resolução: 
A base canônica do 3R é 
{ }1 2 3e (1,0,0), e (0,1,0), e (0,0,1)= = = , obtendo a 
matriz de T na base canônica. 
 
T( 1,0,0) = (3.10+0,−1+5.0−0,1−0+3.0) 
 = ( 3,−1,1) 
T( 0,1,0) = (3.0−1+0, −0+5.1−0, 0−1+3.0) 
 = ( −1, 5 , −1) 
T( 0,0,1) = (3.0−0+1, −0 +5.0 –1, 0−0+3.1) 
 = ( 1, −1 3) 
 
Assim, a matriz canônica de T é: 
 
 A= [ ]
3 1 1
T 1 5 1
1 1 3
− 
 
= − − 
 
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação característica é dada por: 
 
3 1 1
det(A I) 1 5 1 0
1 1 3
− λ −
− λ = − − λ − =
− − λ
 
 
Isto é, desenvolvendo o determinante por Laplace, 
usando a primeira linha, temos: 
 
( ) 5 1 1 1 1 53 . ( 1). 1. 0
1 3 1 3 1 1
− λ − − − − − λ
− λ − − + =
− λ − λ −
 
( ) 23 (15 8 1) 1( 3 1) 1(1 5 ) 0− λ − λ + λ − + − + λ + + − + λ = 
2 2 3
3 2
45 24 3 3 15 8 3
1 1 5 0
11 36 36 0
− λ + λ − − λ + λ − λ + λ − +
+λ + + − + λ =
λ − λ + λ − =
 
 
Por um teorema sobre polinômios sabemos que as 
raízes são divisores de –36. Por tentativa temos que 
2λ = é uma delas. Conseqüentemente 2λ − é um 
fator do polinômio característico 
3 211 36 36 0λ − λ + λ − = .Se dividirmos por 2λ − 
temos: 
( )( )3 2 211 36 36 2 9 18λ − λ + λ − = λ − λ − λ + 
Encontrando as raízes de ( )2 9 18λ − λ + encontramos 
os autovalores: 
1
2
3
2
3
6
λ =
λ =
λ =
 
 
Substituindo agora, cada valor de λ no sistema 
( )A I v 0 (****)− λ = teremos os autovetores 
associados a cada autovalor. 
 
Coloquemos as coordenadas de v em forma de matriz: 
x
v y
z
 
 
=  
  
 
 
O sistema fica da seguinte forma: 
 
3 1 1 x 0
1 5 1 . y 0 ( I )
1 1 3 z 0
− λ −     
     
− − λ − =     
     
− − λ     
 
 
Substituindo λ por 2 no sistema ( I ) obtemos: 
 
1 1 1 x 0
1 3 1 . y 0 
1 1 1 z 0
−     
     
− − =     
     
−     
 
 
Que corresponde ao sistema: 
x y z 0
x 3y z 0
x y z 0
− + =

− + − =

− + =
 
 
O sistema possui infinitas soluções do tipo: y = 0 e z 
= −x. Assim os vetores 1v (x,0, x)= − ou 
1v x.(1,0, 1)= − são autovetores associados ao 
autovalor 1 2λ = 
 
Substituindo λ por 3 no sistema (I) obtemos: 
Coordenadas em 
relação a 1e 
Coordenadas em 
relação a 2e 
Coordenadas em 
relação a 3e 
 
 Autovalor e Autovetor 110 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Atnonio Francisco 
0 1 1 x 0
1 2 1 . y 0 
1 1 0 z 0
−     
     
− − =     
     
−     
 
 
Que corresponde ao sistema: 
y z 0
x 2y z 0
x y 0
− + =

− + − =

− =
 
 
O sistema possui infinitas soluções do tipo y = x e 
z = x. Assim, os vetores do tipo 2v (x,x,x)= ou 
2v x.(1,1,1)= são autovetores associados ao autovalor 
2 3.λ = 
 
Substituindo λ por 6 no sistema (I) obtemos: 
 
3 1 1 x 0
1 1 1 . y 0 
1 1 3 z 0
− −     
     
− − − =     
     
− −     
 
 
Que corresponde ao sistema: 
3x y z 0
x y z 0
x y 3z 0
− − + =

− − − =

− − =
 
 
O sistema possui infinitas soluções do tipo y = −2x 
e z = x. Assim, os vetores do tipo 3v (x, 2x,x)= − ou 
3v x.(1, 2,1)= − são autovetores associados ao 
autovalor 1 6.λ = 
 
Exemplo 04) Seja o operador linear, cuja matriz de 
representação na base canônica é: 
2 2
A
0 1
 
=  
 
. Ache 
os autovalores e autovetores de T. 
 
Solução: 
A equação característica de A é dada por: 
2 2 1 0
det 0
0 1 0 1
    
− λ =    
    
 
( )( )
2 2
det 0
0 1
2 1 0 daí: 2 e 1
 − λ 
=  
− λ  
− λ − λ = λ = λ =
 
Substituindo na equação ( )A I .v,− λ r 1λ = e 
tomando
x
v
y
 
=  
 
, temos: 
2 2 1 0 x 0
1 
0 1 0 1 y 0
        
− =        
        
 
2 2 1 0 x 0
 
0 1 0 1 y 0
1 2 x 0
 
0 0 y 0
        
− =        
        
     
=     
     
 
 
Que equivale ao sistema: 
 
x 2y 0
 x 2y
0x 0y 0
+ =
⇒ = −
+ =
 
 
Então, os vetores do tipo (2y, y ) = y.(2, 1) são 
autovetores associados ao autovalor 1λ = . 
 
Substituindo agora 2λ = na equação (****)temos: 
 
2 2 1 0 x 0
2 
0 1 0 1 y 0
2 2 2 0 x 0
 
0 1 0 2 y 0
0 2 x 0
 
0 1 y 0
        
− =        
        
        
− =        
        
     
=     
−     
 
Que equivale ao sistema: 2y 0
 y 0
y 0
=
⇒ =
− =
 
 
Então os vetores do tipo (x, 0) são autovetores 
correspondentes ao autovalor 2λ = . 
 
Exemplo 05) Determinar os autovalores e 
autovetores do operador linear: 
2 2T : R R
 (x, y) (x, y)
→
→ −
 
 
Solução: 
Vamos obter inicialmente, a matriz canônica do 
operador T. Temos que a base canônica de 2R é 
( ) ( ){ }1,0 , 0,1 . Assim: 
( ) ( )
( ) ( )
1,0 1,0
0,1 0, 1
Τ =
Τ = −
 
A matriz [ ]Α = Τ é 1 00 1
 
 
− 
 
A equação característica de A é dado por: 
1 0 1 0
det 0
0 1 0 1
    
− λ =    
−    
 
( )( )
1 0
det 0
0 1
1 1 0 daí: 1 e 1
 − λ 
=  
− − λ  
− λ − − λ = λ = λ = −
 
 
 Autovalor e Autovetor 111 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Atnonio Francisco 
 
Substituindo 1λ = na equação ( )I v 0Α − λ =r e 
( )v x, y= , temos: 
1 0 1 0 x 0
1 
0 1 0 1 y 0
1 0 1 0 x 0
 
0 1 0 1 y 0
0 0 x 0
 
0 2 y 0
        
− =        
−        
        
− =        
−        
     
=     
−     
 
Que equivale ao sistema: 0x 0y 0
 y 0
0x 2y 0
+ =
⇒ =
− =
 
 
O sistema acima tem infinitas soluções do tipo y = 0. 
Assim, todos os vetores do tipo 1v (x,0)= ou 
1v x(1,0)= são associados ao autovalor 1. 
Substituindo 1λ = − na equação ( )I v 0Α − λ = , 
obtemos: 
1 0 1 0 x 0
1 
0 1 0 1 y 0
1 0 1 0 x 0
 
0 1 0 1 y 0
2 0 x 0
 
0 0 y 0
        
+ =        
−        
        
+ =        
−        
     
=     
     
 
 
Que equivale ao sistema: 2x 0y 0
 x 0
0x 0y 0
+ =
⇒ =
+ =
 
 
Este sistema possui infinitas soluções do tipo x = 0. 
Assim, os vetores do tipo: ( )2v 0, y= ou ( )2v y. 0,1= 
são autovetores ao autovalor 1.λ = 
 
Exercícios: 
 
01) Determinar os autovalores e autovetores das 
seguintes transformações lineares: 
 
 
2 2a) T : R R , T(x, y) (x 2y, x 4y)→ = + − + 
2 2b) T : R R , T(x, y) (2x 2y, x 3y)→ = + + 
2 2c) T : R R , T(x, y) (5x y, x 3y)→ = − + 
3 3d) T : R R
 T(x, y,z) (x y z, 2x z, 2y 3z)
→
= + + + +
 
3 3e) T : R R
 T(x, y,z) (x, 2x y, 2x y 2z)
→
= − − + +
 
3 3f ) T : R R
 T(x, y,z) (x y, y, z)
→
= +
 
 
02) Calcular os autovalores e autovetores 
correspondentes as seguintes matrizes: 
1 3 2 1
a) b)
1 5 3 4
1 1 0 3 1 3
c) 2 3 2 d) 0 2 3
1 1 2 0 0 1
   
   
−   
− − −   
   
−   
   
−   
 
 
03) Os autovetores de um operador linear 
2 2T : R R→ são 1 22 e 3,λ = λ = − sendo 
( ) ( )1 2v 1, 1 e v 1,0= − = − os respectivos 
autovetores associados. 
a) Determinar T(x,y). 
b) Sendo ( ) ( ){ }P 1, 1 , 1,0= − − determine [ ]PT . 
 
 
Respostas: 
 
01) 
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
a) 3, v (y, y); 2, v (2y, y)
b) 1, v ( 2y, y); 4, v (x,x)
c) 4, v (x,x)
1, v z 1, 1,1
1d) 1, v z , 2,1
2
4;v x(1,1,2)
1, v ( z,z,z); 
e) 1, v (0, 3z,z)
λ = = λ = =
λ = = − λ = =
λ = λ = =
λ = = − −

  λ = − = −  
 
λ = =
λ = = −
λ = − = −
3 3
1 2 3
2, v (0,0,z)
f ) 1, v(x,0,z), 
 x e z não simultaneamente nulos



λ = =
λ = λ = λ =
 
 
02) 
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
3 3
1 1 2 2
3 3
a) 2, v (3y, y); 4, v (y, y)
b) 1, v ( y, y); 5, v (x,3x)
c) 1, v (x,0, x), 
 2, v ( 2z,2z,z),
 3, v (x, 2x, x)
d) 1, v (x,x,x); 2, v (x,x,0), 
 3, v (x,0,
λ = = λ = =
λ = = − λ = =
λ = = −
λ = = −
λ = = − −
λ = − = λ = =
λ = =
r r
r 0)











 
03) 
( ) ( )
[ ]P
a) T x, y 3x 5y,2y
2 0
b) T
0 3
= − −
 
=  
− 