Os auto vetores e autovalores ocorrem em transformações no mesmo espaço vetorial. Dada a transformação linear do R² para o R², determine os auto ve...

Para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear T(x,y) = (x+2y, -x + 4y), devemos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz da transformação e I é a matriz identidade. A matriz da transformação é: | 1 2 | |-1 4 | Então, temos: det(A - λI) = | 1-λ 2 | |-1 4-λ | = (1-λ)(4-λ) + 2 = λ² - 5λ + 6 = (λ-2)(λ-3) Portanto, os autovalores são λ1 = 2 e λ2 = 3. Para encontrar os autovetores, devemos resolver o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde v é o autovetor correspondente a cada autovalor. Para λ1 = 2, temos: | -1 2 | |-1 2 | (-1)v1 + 2v2 = 0 - v1 + 2v2 = 0 v1 = 2v2 Então, o autovetor correspondente a λ1 = 2 é um múltiplo de (2,1), por exemplo, (2,1). Para λ2 = 3, temos: | -2 2 | |-1 1 | (-2)v1 + 2v2 = 0 - v1 + v2 = 0 v1 = v2 Então, o autovetor correspondente a λ2 = 3 é um múltiplo de (1,1), por exemplo, (1,1). Portanto, os autovalores da transformação linear T(x,y) = (x+2y, -x + 4y) são λ1 = 2 e λ2 = 3, e os autovetores correspondentes são (2,1) e (1,1), respectivamente.