Exercício de Álgebra Linear 3

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Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 3 - Tentativa 1 de 3
Questão 1 de 10
Sabendo que os autovetores de um matriz são
Capturar 54.PNG 1.05 KBe que são linearmente independentes da matriz A, dada por:Capturar 55.PNG 725 BytesSabendo disso encontre a diagonalização da matriz A. 
A -Capturar 56.PNG 738 Bytes
B -Capturar 57.PNG 814 Bytes
C -Capturar 58.PNG 735 Bytes
D -Capturar 59.PNG 796 Bytes
E -
Questão 2 de 10
“A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços lineares), além de funções lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço cotidiano e de senso comum onde vivemos, tais como largura, altura e profundidade. Entender geometria analítica é um bom passo para estudar álgebra linear.
O conceito de matriz e determinantes, básicos na álgebra linear, surgiu da necessidade de se resolver sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Assim, dadas as matrizes A e B de dimensões apropriadas, o determinante de seu produto é det (AB) = det (A) det (B).” disponível em: https://www.professoresdeplantao.com.br/blog/post/42/entenda-a-algebra-linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia , acesso em: 28/04/2020.
Como expresso no texto acima a álgebra linear utiliza muito o conceito de matrizes, com isso, utiliza também algumas de suas propriedades. Pensando nas propriedades de autovalores e autovetores, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações Falsas. 
Assinale a sequência correta:
Sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:
· (   )Na diagonalização de matrizes é necessário obter uma matriz de autovetores.
· (   )É possível fazer a diagonalização de qualquer matriz, desde que a mesma seja quadrada.
· (   )Uma matriz A e a sua transposta possuem os mesmos autovalores.
· (   )Um autovetor pode estar associado a mais de um autovalor.
· (   )A duplicidade dos autovalores corresponde a ordem da matriz.
A sequência correta é:
A - F, V, F, F, V 
B - V, F, F, V, F
C - V, F, V, F, F 
D - F, V, F, V, V 
E - V, V, F, V, F 
Questão 3 de 10
Existem algumas aplicações práticas para os conteúdos estudados na disciplina de Álgebra Linear. Assinale a alternativa que representa uma aplicação para produto interno, norma e ortogonalidade:
A - GPS
B - Luz
C - Chuveiro
D - Receita de bolo
E - Cozimento de alimentos
Questão 4 de 10
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E -
Questão 5 de 10
Para encontrar autovetores primeiro é necessário encontrar os autovalores, pois os autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros autovetores. Assim: “Sendo A uma matriz de ordem n×n, definimos uma utovalor de A como um escalar λ∈C se existe um vetor v(n×1) não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.” Disponível em: https://sites.icmc.usp.br/marialuisa/cursos201002/autovalor_autovetor.pdf, acesso em: 26/04/2020. Com isso, conhecendo a matriz A e sabendo que seus autovalores são 2 e -3, qual dos autovetores abaixo correspondem a matriz A dada e aos seus autovalores?
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A -Capturar 8.PNG 1.05 KB
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Questão 6 de 10
É sabido que um autovalor pode ter vários autovetores, porém um único autovetor pode ter apenas um autovalor. Diante disso, tem-se que se os autovetores são de apenas um autovalor, os mesmos são linearmente dependentes, caso sejam de autovalores distintos, serão linearmente independentes. Com isso, verifique se os autovetores a seguir são de um único autovalor ou se são de autovalores diferentes.
Capturar 23.PNG 3.79 KBDe acordo com os autovetores acima, assinale a opção correta:
A - Apenas as alternativas i. e ii. são de um único autovalor. 
B - Apenas as alternativas ii. e iii. são de um único autovalor. 
C - Apenas as alternativas i e iii. são de um único autovalor. 
D - Apenas a alternativa i. tem autovalores diferentes. 
E - Apenas a  alternativa iii. tem autovalor único. 
Questão 7 de 10
Seja T:R3->R3 a transformação linear dada por
T(x,y,z)=(x-3y+2z,,-x+2y-4z,2x-y+3z). 
Assinale a alternativa que apresenta o vetor u in R3 tal que T(u)=(-7,7,-3).
A - u=(1,2,-1)
B - u=(2,2,-1)
C - u=(-3,-2,-1)
D - u=(6,4,-2)
E - u=(3,0,-5)
Questão 8 de 10
Sejam os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3. Sabendo que qualquer vetor do R3 pode ser formado a partir da combinação linear dos vetores da base, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0) in R3 com relação à base formada pelos vetores u, v e w.
A - [1;-1;-2]
B - [2; 1; -2]
C - [1;-2;2]
D - [2;-4;-2]
E - [2;-2;-2]
Questão 9 de 10
A Álgebra Linear é uma das áreas da matemática que tem várias aplicações. Dentre elas podemos citar a “mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. O prefixo eigen - do alemão - significa próprio, característico).” Disponível em: https://www.mspc.eng.br/dir30/eig_val-1.php, acesso em: 26/04/2020.
Ainda falando sobre os autovalores, é interessante falar sobre a duplicidade relacionado a autovalores iguais. Considerando este conceito sobre autovalores assinale a opção correta, sobre os autovalores da matriz A.Capturar 13.PNG 1.08 KB
A - Existem apenas dois autovalores, cada um com multiplicidade 1. 
B - Existem apenas três autovalores, um deles com multiplicidade 2 e outro com multiplicidade 1. 
C - A matriz não é invertível, por isso não é possível encontrar os autovalores. 
D - A matriz possui 3 autovalores iguais à 0 (zero), ou seja, tem multiplicidade 3. 
E - Existem apenas três autovalores, dois iguais a 1 (multiplicidade dois) e outro igual a 2 (multiplicidade 1).
Questão 10 de 10
Considere as bases:
image.png 1.6 KBDados por:
image.png 3.03 KBAssinale a alternativa que determina a matriz mudança de base de A para B.
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