IME 2007 - Matemática

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MATEMÁTICA IME
Resolução
2007
POLIEDRO
 
SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO Matemática 1 
 
1. Considere as matrizes 
3 1
1 0
4 4
e 11 3 0
2
4 4
A B= ,
       =        
 
 e seja P uma matriz inversível tal que 
1B P AP.−= Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An. 
 
 
Resolução 
 
2 2
1
n vezes
3 1 1
2
4 4 2
( ) ( ) 2n n n n
det A
det A det A A A det A det A 
−
−
   = − = =   
   
= ⋅ = ∴ =…14243
 
 
 
2. Considere uma seqüência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por 
1
1
2
3
4
5
K K
K K
a a
b b
+
+
=
=
 
onde eK Ka b , para 1K ,≥ são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. Se 
1 130 cm e 42 cma b ,= = determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando 
K .→ ∞ 
 
 
Resolução 
 
De acordo com o enunciado temos: 
1b
1a
1K = ⇒ 21 11 1
30 42
630cm
2 2
a b
A ; A
⋅ ⋅
= = =
 
2a
22K b= ⇒ 2 2
2 1 1 1
1 2 4 8
2 2 3 5 15
a b
A a b A
⋅
= = ⋅ ⋅ = ⋅
 
3a
33K b= ⇒
2 2 2
3 3
3 1 1 1
1 2 4 8
2 2 3 5 15
a b
A a b A
⋅      = = ⋅ ⋅ = ⋅     
     
 
e assim sucessivamente. 
A seqüência de áreas (A1, A2, A3, ...) constitui uma PG infinita com 21 630 cmA = e razão 
8
15
q .= 
Logo, a soma pedida é dada por: 21
630
1350cm
81 1
15
A
S S .
q
= = ∴ =
− −
 
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POLIEDRO
 
2 Matemática SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO
 
3. Considere o sistema de equações dado por 
3 9
9 3
3 10
2 10
log log
log log
α + β =

α − β =
 
onde α e β são números reais positivos. Determine o valor de 
P .=αβ 
 
 
Resolução 
 
Com e *+α β ∈ ¡ : 
3 33 9
9 3
3 3
1
33 10 2
12 10 2
2
log loglog log
log log log log
  ⋅ α + ⋅ β=10 ⋅ α + β = 
 
α − ⋅ β =  ⋅ α − ⋅ β=10
 
∼ 
Subtraindo as equações: 
3 3 3 3
0
3 3 3
1 1 5 5
3 2 0 0
2 2 2 2
0 0 3 1
log log log log
log log log
   − ⋅ α + + ⋅ β = ∴ ⋅ α + ⋅ β =   
   
∴ α + β = ∴ α β = ∴αβ= =
 
Portanto, 1P = α β = 
 
 
4. Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, 
respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C* nos pontos não coincidentes A e 
A*. Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento AA* em torno do 
eixo OO*, e seja S a sua correspondente área lateral. Determine S em função de r e r*. 
 
 
Resolução 
 
De acordo com o texto podemos desenhar: 
 
O
r A
M
A*
O*
r*
x
t
 
A rotação da linha AA* produz uma superfície de área 
2S x ( AA*),= π ⋅ tal que M é ponto médio de AA* . 
 
 
 
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SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO Matemática 3 
 
Cálculo de AA*: 
A
*A
r
*r r−
*r r+
2 2 2* * *( ) ( ) ( )r r r r AA+ = − + ∴
2* * * * *( ) ( ) ( )r r r r r r r r AA+ + − ⋅ + − + =
2* * * *2 2 ( ) 2r r AA AA r r⋅ = ∴ = ⋅
 
 
Cálculo de x: 
O
x
*
2
r r+
*O
A
*A
r
*r
αα
MN α
 
MN é a base média e vale 
*
2
r r+
 
*NMO∆ é isósceles e *MO é bissetriz de ¶ .* *N O A 
Podemos afirmar: 
2 *
* *
2
r r
x MA r r
⋅
= = = ⋅ 
Portanto, 2 * 2 * 4 *S r r r r S rr= π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ = π 
 
 
5. Resolva a equação 
1 2 2(senx c o s x )log ( sen x ) , x [ , ].+ + = ∈ − 2 2
π π
 
 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos analisar a condição de existência para a expressão dada: 
I) 2 2 21 2 0 2 0 0sen x sen x senx cosx cos x (senx cosx) senx cosx+ > ⇒ + + > ⇒ + > ⇒ ≠ − 
Como 
2
x , , ∈ − 2 
π π
 temos: 
4 4 2
x , , .   ∈ − − ∪ −  2   
π π π π
 
II) 
2 2
0 0 0
2 2
senx cosx senx cosx sen x + > ⇒ + > ⇒ + > ⇒ 4 
π
 
 
3
2 2 2k x k k k x k k⇒ < + < + 2 , ∈ ⇒ − + < < + , ∈
4 4 4
¢ ¢π π ππ π π π π 
Como 
4 4 2
x , , ,   ∈ − − ∪ −  2   
π π π π
 devemos ter, ainda, 
4
x , ∈ − 2 
π π
 
III) 
2 2 2 2
1
2 2 2 2
senx cosx senx cosx sen x + ≠ ⇒ + ≠ ⇒ + ≠ ⇒ 4 
π
 
 2 e 2x k x k k⇒ ≠ ≠ + , ∈
2
¢ππ π 
Como 
4
x , ∈ − 2 
π π
, devemos ter, ainda, 0 0
4
x , , .   ∈ − ∪   2   
π π
 
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4 Matemática SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO
 
Assim, o conjunto de validade de soluções é 0 0
4
D , , .   = − ∪   2   
π π
 
Resolvendo a equação: 
2
2 2
1 2 2 1 2
1 2 2 1 2 1 2
(senx c o s x )log ( sen x ) sen x (senx cosx)
sen x sen x senx cosx cos x sen x sen x
+ + = ⇒ + = + ⇒
+ = + + ⇒ + = +
 
Note que essa equação é válida para todo x ∈ ¡ . 
Logo, a solução do sistema é S = D. 
Portanto, 0 0
4
S , ,   = − ∪   2   
π π
 
 
 
6. O quadrilátero BRAS, de coordenadas 1 11 0 2 0A( , ), B( , ), R( x , y )− e 2 2S(x , y ) é construído tal 
que 90º.ˆ ˆRAS RBS= = Sabendo que o ponto R pertence à reta t de equação y = x + 1, 
determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R 
sobre t. 
 
 
Resolução 
 
De acordo com o enunciado temos o seguinte desenho: 
y
x
( )1 1; 1R x x +
( )1;0A
( );S x y
( )2;0B −
1
;
2 M
M y − 
 
 
Como R ∈ t, temos R(x1; x1 + 1) com 
1 .x ∈ ¡ 
Sendo M o ponto médio de ,RS temos 
que MB MA= e M pertence à mediatriz 
de .AB 
Assim, temos: 
1
1
1 1
( ; ) e 1
2 2 2M
x x
M y x x
+
− = − ∴ + = −
 
Temos que 1
1
1 0
1
1 1
x y
RA SA
x x
+ −
⊥ ⇔ ⋅ = −
− −
suur sur
 
Como 1 1,x x= − − temos 
21 1 1 1 2 0, 1
1 1 1 2 1
x y x y
x x xy x
x x x x
− − + −
⋅ = − ∴ ⋅ = − ∴ + + − = ≠ −
− − − − − − −
 
1x ≠ − porque, se Ox,R ∈
uuur
 as perpendiculares aos segmentos eRA RB são paralelas entre si e 
desta forma não determinam o ponto S. 
 
 
 
 
 
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SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO Matemática 5 
 
7. Sejam x1 e x2 as raízes da equação ( )2 15 0x m x m .+ − + = Sabendo que x1 e x2 são números 
inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m. 
 
 
Resolução 
 
As relações de soma e produto das raízes desta equação são: 
1 2 15x x m+ = − e 1 2x x m⋅ = . 
Somando-as: 
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 215 1 16 1 1 16x x x x x x x x x x⋅ + + = ⇒ ⋅ + + + = ⇒ + ⋅ + = 
Assim, 1 1x + é divisor de 16: 
{ }1 1 16 8 4 2 1 1 2 4 8 16x , , , , , , , , ,+ ∈ − − − − − 
{ }1 17 9 5 3 2 0 1 3 7 15x , , , , , , , , ,∈ − − − − − 
Como 1 2m x x= ⋅ e 2
1
16
1
1
x ,
x
= −
+
 obteremos: 
1
1
16
1
1
m x .
x
 
= ⋅ − + 
 
Logo, { }34 27 25 0 7 9m , , , , ,∈ 
 
 
8. Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o número de 
seqüências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas as m + n bolas. 
Observação: uma seqüência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem de cores ao ser 
percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. 
 
 
Resolução 
 
Se m é par e n é ímpar, devemos posicionar uma bola branca no centro da seqüência: 
B
centro
2
1
2
1
!
2
1! !
2 2
 
m
m n
m n
C
m n+ −
+ − 
 
 =
−   ⋅   
   
 
Se m é ímpar e n é par, devemos posicionar uma bola preta no centro da seqüência: 
P
centro
2
1
2
1 !
2
1
! !
2 2
 
n
m n
m n
C
n m+ −
+ − 
 
 =
−   ⋅   
    
 
 
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6 Matemática SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO
 
Se m e n são pares, não há uma posição central na seqüência: 
centro
2
2
!
2
! !
2 2
 
m
m n
m n
C
m n+
+ 
  =
   ⋅   
    
Se m e n são ímpares, não existe seqüência simétrica possível. 
 
Se quiséssemos utilizar uma única expressão como resposta: 
( )
( ) ( )
( )
1 1
!
2 4 1 1
21 1 1 1
! !
2 4 2 4
m n
m n
n m
m n
n m
 
+
⋅
 − −+ +
   − +   ⋅
     − − − −     + ⋅ +
   
   
9. Sejam a, b e c números reais não-nulos. Sabendo que a b b c a c ,
c a b
+ + +
= = determine o valor 
numérico de 
a b
.
c
+
 
 
 
Resolução 
Com *, ea b c ∈ ¡ , utilizando uma propriedade de proporção: 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2( )
2,
a b b c a c a b b c a c a b c a b c
c a b a b c a b c a b c
+ + + + + + + + + + + +
= = = = = =
+ + + + + +
 
para 0a b c+ + ≠ 
Se 0,a b c+ + = temos: 1
a b
a b c
c
+
+ = − ∴ = − 
Portanto, 2 ou 1
a b a b
c c
+ +
= = − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO Matemática 7 
 
10. Seja f : →¥ ¡ uma função tal que ( )
( )0
1
( ) 2008
2
n
k
n
f k ,
n=
+
=
+∑ onde ¥ e ¡ são, 
respectivamente, o conjunto dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor 
numérico de 
1
(2006)
.
f
 
 
 
Resolução 
 
Seja: 
0
1
e ( ) 2008
2
n
k
n
f : f k
n=
+ → = ⋅ + 
∑¥ ¡ 
Podemos escrever: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2007
0 1 2 2005 2006 2008
2008
2006
0 1 2005 2006 2007 2008 2006 2007
2007
2007 2008 2006 2007 2007 1 2007 12008 2006
2006 2007
2007 2007 2007
2007 2007 1 1
2006 2006
2007 20
f f f f f
 f f f f f
 f
 f f
+ + + + + = ⋅
∴ + + + + = ∴ ⋅ + =  
− ⋅ − + ⋅ −⋅
∴ = − = =
− +
∴ = ∴ =
…
…
( )
1
2007
07 2006
 
f
∴ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 Matemática SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentários 
 
Com exceção da primeira questão, em que algumas informações dadas foram 
desnecessárias, os demais enunciados foram claros e precisos. 
Alguns assuntos, como números complexos, polinômios e geometria plana, não foram 
abordados. 
O nível de dificuldade da prova foi diferente dos anos anteriores e está mais adequado à 
realidade da matemática abordada no ensino médio.