Aula 5 Sistemas de Equações Lineares

Prévia do material em texto

Cálculo numérico
Aula 5: Sistemas de Equações Lineares
Apresentação
Nesta aula, veremos a resolução de Sistemas de Equações Lineares, utilizando métodos diretos e métodos iterativos.
Objetivos
Identi�car, comparar e aplicar diferentes métodos para solução de sistemas de equações lineares.
Métodos diretos
Métodos diretos são aqueles que fornecem a solução exata do sistema
linear, se ela existir, a menos em caso de erro de arredondamento.
A seguir, estudaremos métodos diretos, estudaremos os seguintes métodos diretos:
de Gauss-Jordan e
da decomposição LU.
Métodos diretos
O método de Gauss-Jordan consiste em um processo de transformação de um sistema linear qualquer em um sistema linear
escalonado equivalente. Para isso, utilizaremos os conhecimentos adquiridos na disciplina de Álgebra Linear.
Generalizando o procedimento:
de�na a matriz completa, de forma que a diagonal principal não seja nula. Caso isso ocorra, permute as linhas;
de�na o pivô da linha (a );
k-ésimo passo: 
- k = {1,...,n};
divida a k-ésima equação (linha) pelo pivô (a K);
subtraia das 1ª, 2ª,..., (k-1)ª, n-ésima equação, a k-ésima equação multiplicada por a , a ,..., a , a , a ,
respectivamente.
kk
kk
1k 2k k-1,k k+1,k n.k
Saiba mais
Clique aqui e saiba mais sobre o método de Gauss-Jordan.
javascript:void(0);
Algoritmo
Seja o sistema linear Ax = b, A: n x m, x: n x 1, b: n x 1
Método da decomposição LU ou fatoração LU
Novamente, trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B. O processo de decomposição LU consiste em decompor a
matriz A (matriz dos coe�cientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas
lineares que levará a solução do sistema original.
Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U
é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A.
Saiba mais
Clique aqui e saiba mais sobre o método da decomposição LU.
Métodos iterativos
O método iterativo consiste em generalizar o procedimento na busca de raiz
(ou raízes) de uma equação.
É denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas, na qual cada solução aproximada é obtida a
partir da solução encontrada na sequência anterior, pela aplicação de um mesmo procedimento. Para isso, utilizaremos a
decomposição Ax = B e os procedimentos anteriormente estudados.
Método de Gauss-Jacobi
O método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear AX = B em X = CX +G = 𝜑(x).
De�nimos a matriz C com ordem n x n e G um vetor de ordem n x 1.
Observe que a função 𝜑(x) é uma função de iteração dada na forma matricial. Os métodos que trabalhamos anteriormente
podem ser resolvidos na forma matricial quando envolvem um sistema de equações e não mais apenas uma equação 𝜑(x),
como na aula anterior.
Saiba mais
javascript:void(0);
Clique aqui e saiba mais sobre o método de Gauss-Jacobi.
Teorema: critério das linhas
Seja o sistema linear Ax = B e seja .
Se , então, o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência de xk que converge para a solução do
sistema, independentemente da escolha da aproximação inicial x0. Exemplo:
Logo, podemos aplicar o método de Gauss-Jacobi que o mesmo levará à convergência.
=ak
| |∑nj=l
j≠k
akj
| |akk
a = ma | | < 1xl≤k≤n ∞k
A =
⎡
⎣
⎢
10
1
2
2
5
3
1
1
10
⎤
⎦
⎥
= = 0. 3 < 1a1
2+1
10
= = 0. 4 < 1a2
1+1
5
= = 0. 2 < 1a3
2+3
10
Método de Gauss-Jacobi
O método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear AX = B em X = CX +G = 𝜑(x).
De�nimos a matriz C com ordem n x n e G um vetor de ordem n x 1.
Observe que a função 𝜑(x) é uma função de iteração dada na forma matricial. Os métodos que trabalhamos anteriormente
podem ser resolvidos na forma matricial quando envolvem um sistema de equações e não mais apenas uma equação 𝜑(x),
como na aula anterior.
Saiba mais
Clique aqui e saiba mais sobre o método de Gauss-Seidel
javascript:void(0);
javascript:void(0);
Critério de Sassenfeld
Sejam e e seja .
Então, o método de Gauss-Seidel gera uma sequência que converge independentemente do ponto inicial x0. Além disso, quanto
menor for B, mais rápido será a convergência.
Portanto, Temos, então, a garantia de que o método de Gauss-Seidel levará à convergência.
Observação: o critério das linhas utilizado no método de Gauss-Jacobi pode ser utilizado para garantir a convergência do
método de Gauss-Seidel. No entanto, pode ocorrer de o critério das linhas não ser satisfeito e o de Sassenfeld ser. Logo, o
sistema converge.
= = 0. 4β1
| |+| |+...+| |a12 a13 aln
5
=βj
| |. +| | +...+|ajll|aj1 β1 aj2 β2
ajj
β = ma  se  β < 1.x1≤j≤n βj
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
5 + + = 5x1 x2 x3
3 + 4 + = 6x1 x2 x3
3 + 3 + 6 = 0x1 x2 x3
= = 0. 4β1
1+1
5
= = 0. 6β2
3(0.4)+1
4
= = 0. 5β3
3(0.4)+3(0.6)
6
β   =  0. 6 < 1.=max1≤j≤n  βj
Comparando os métodos numéricos
Os métodos diretos são processos finitos. Portanto, na
teoria, a solução de qualquer sistema não singular de
equações será obtida.
O método iterativo só obterá a solução se
suas condições de convergência forem
garantidas.
No caso da matriz ser esparsa (ou seja, possuir muitos elementos zeros), os
métodos diretos não são aconselháveis, pois, durante o processo de
triangulação de A, a esparsidade pode ser destruída.
Os métodos iterativos conservam a esparsidade.
Os métodos diretos apresentam erros de arredondamento, mas o
pivoteamento ameniza este problema.
Os métodos iterativos têm menos erros de
arredondamento, pois, garantido a convergência pelo
teorema, serão independentes do ponto inicial x0.
Questão 1
Seja o sistema linear a seguir. Determine o valor de a que garante a convergência, caso ele exista, utilizando o critério das
linhas.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
3 + 1 = 3x1 x3
− = 1x1 x2
3 + + 2 = 9x1 x2 x3
Questão 2
Seja o sistema linear a seguir. Determine o valor de b que garante a convergência, caso ele exista, utilizando o critério de
Sanssenfeld.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
3 + 1 = 3x1 x3
− = 1x1 x2
3 + + 2 = 9x1 x2 x3
Questão 3
Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre a solução do sistema linear a seguir:
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 4y + 3z = 1
2x + 5y + 4z = 4
x − 3y − 2z = 5
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008. 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Identi�cação e aplicação de técnicas de aproximação de funções, ou seja, interpolação polinomial e ajuste de funções;
Implementação dos algoritmos.
Explore mais
Pesquise na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu
professor online, utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.