Fundações - Dimensionamento de SAPATAS

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UNIVERSIDADE: ____________________ 
Curso: ___________________________ 
 
 
 
 
 
 
Fundações Rasas: 
 
 
“Sapatas” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: _____________________________ RA: __________ 
 
 
Professor: Professor Douglas Constancio 
Disciplina: Fundações I 
 
Data: Americana, março de 2004. 
FUNDAÇÕES RASAS 
 
 
1- Fundações rasas ou diretas (SAPATAS) 
 
 
As sapatas são fundações semiflexíveis de concreto armado (trabalham a flexão), 
portanto devem ser dimensionadas estruturalmente (alturas, inclinações, armaduras 
necessárias). Assim, depois de elaborado o projeto geotécnico que será abordado neste 
curso, elabora-se o dimensionamento estrutural das sapatas, assunto que será tratado em 
concreto armado. 
 
2- Tipos principais de sapatas: 
 
 
a- ISOLADAS 
 Retangulares 
b- ASSOCIADAS Trapezoidais 
 Alavancadas ⎨
 
 
c- CORRIDAS 
 
d- RADIERS 
 
 
 
3- Detalhe genérico da sapata: 
 
 
 
SUPERFÍCIE 
DO TERRENO
1,00 A 
2,00 
METROSCOTA DE 
APOIO
LASTRO DE CONCRETO MAGRO OU BRITA 
(5cm DE ESPESSURA) 
 
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 1
 
a- Sapatas isoladas: 
 
Podem ter forma geométrica quadrada ou retangular. 
 
A 
ONDE: b = MENOR DIMENSÃO DO PILAR 
 B = MENOR DIMENSÃO DA SAPATA 
FORMA RETANGULAR 
B 
a 
b 
 VISTA EM PLANTA 
B 
A 
a 
b 
FORMA QUADRADA 
 
 
 
PILAR 
VIGA BALDRAME OU DE RIGIDEZ VISTA EM CORTE
SAPATA 
h 
h0
h0 = rodapé = ± 10cm 
 
 
b- Sapatas associadas retangular; trapezoidal: 
 
São sapatas usualmente utilizadas em divisas, quando o espaço é menor que a dimensão 
da sapata. 
SUPERPOSIÇÃO DAS PEÇAS
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 2
 
 
 
 
Esta solução acima é amplamente utilizada, quando o pilar central está a uma certa 
distância do pilar da divisa, portanto consiste em uma sapata excêntrica na divisa, 
interligada por uma viga de rigidez ou alavanca a um pilar central ou interno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISA 
CC=CG 
FOLGA 
l 
P2 
VIGA DE RIGIDEZ 
FORMA TRAPEZOIDAL 
P1 
cmGERALMENTE 5,2≥ 
CC=CG 
P1 
P2 
DIVISA 
FOLGA 
l 
X 
cmGERALMENTE 5,2≥
VIGA DE RIGIDEZ 
CC= CENTRO DE CARGAS 
CG= CENTRO DE GRAVIDADE 
FORMA RETANGULAR 
DIVISA 
V.A. = VIGA 
ALAVANCA 
l 
P1 
P2 
FORMA ALAVANCADA 
cmGERALMENTE 5,2≥
Folga 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 3
 
 
c- Sapatas corridas: 
 
São peças únicas, onde são descarregadas, as cargas de vários pilares. 
 
VIGA DE RIGIDEZ 
b 
b 
b 
b 
a 
a 
a 
a 
PILAR 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
 
 
PILAR 
VIGA DE RIGIDEZ 
SAPATA 
 
d- Sapatas Radiers: 
 
É um tipo de fundação associada, rígida ou flexível, em que todos os pilares da 
superestrutura se apoiam nessa única fundação, encarregada de transferir os esforços 
para o solo de apoio. 
 
CC=CG 
P1 
P6 
P4 
P5 
P3 
P2 + 
+ + 
+ + 
+ 
+ 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 4
 
CRITÉRIOS PARA PROJETO (Considerações de norma): 
 
a- Dimensões mínimas: 
 
 − Para pequenas construções: A e B, não devem ser inferiores a 60cm. 
 − Para edifícios: A e B, não devem ser inferiores a 80cm. 
 
b- As dimensões A e B da sapata devem ser múltiplos de 5cm. 
 
c- Para sapatas apoiadas em cotas diferentes 
∝
 
 
∝ Deve ser maior ou igual a: 
30º quando sapata apoiada em rocha. 
60º quando sapata apoiada em solo. 
 
d- É fundamental que o centro da gravidade da base da sapata coincida com o centro de 
gravidade do pilar, para que não ocorra excentricidade. 
 
4 - DIMENSIONAMENTO: 
 
A - Pilar isolado:
 
(sapatas quadradas ou retangulares) 
 
σ
PS ×= 05,1 
 
Onde: S - Área da base da sapata 
 P - Carga do pilar 
 sσ - Tensão admissível do solo 
 1,05 - Coeficiente de segurança que leva em conta o peso próprio da sapata. 
 
Para determinar as dimensões da sapata temos em primeira aproximação: 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 5
 
2
2
baSB
baSA
−−=
−+=
 
 
 
Exemplo: 1o caso: 
 
Dados: carga do pilar: P = 120tf 
 Dimensões do pilar: a = 0,80m 
 b = 0,20m 
 Tensão admissível do solo = sσ = 2,0 kgf/cm2 ou 20tf/m2. 
 
Resolução: 
 
S= 1,05 x P = 1,05 x 120 = 6,3 m2 
 σs 20 
 
mbaSB
mbaSA
20,2
2
20,080,03,6
2
80,2
2
20,080,03,6
2
=−−=−−=
=−+=−+=
 
 
OK, os valores de A, B, são múltiplos de 5 cm 
 
Verificação: 
 
A x B ≥ S = 2,80m x 2,20m = 6,16m2 < S 
Portanto ajustar dimensões: 
Passando primeiramente A para 2,85m temos: 
A x B = 2,85m x 2,20m = 6,27m2 < S 
Devemos ajustar as dimensões novamente: 
Passando B para 2,25m: 
A x B = 2,85m x 2,25m = 6,41m2 > S 
AJUSTAMOS POSTERIORMENTE 
A E B PARA SATISFAZER SBA ≥× 
A=2,85m 
 
 
B=2,25m 
b = 0,20 m 
a = 0,80 m 
 
 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 6
Exemplo: 2º caso: 
 
Dados: P = 286tf 
 Dimensões do pilar: a = 1,00m 
 b = 0,30m 
 sσ = 60 tf/m2 
 
Resolução: 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 7
1º PROJETO: Sapatas isoladas 
 
Dimensionar as fundações do projeto em anexo, utilizando sapatas. Definir a tensão 
admissível do solo na cota de apoio da fundação utilizando a tabela da NBR 6122/96 
 
Dado: Perfil de sondagem mista (percussão/rotativa). 0.00 
 
Superfície do terreno. 
Cota de apoio da sapata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
E 
R 
C 
U 
S 
S 
à 
O 
 
22 
1,50 m 
ARGILA SILTO ARENOSA, DURA, 
VARIEGADA, VERMELHA CLARA, 
AMARELA CLARA. 
 (SOLO RESIDUAL) 
 
 
 
% Recuperação 
 
R 
O 
T 
A 
T 
I 
V 
A 
28 
N. A 
3.00 35 
4.00 30 
ARGILA POUCO SILTOSA, DURA, COM FRAGMENTOS 
DE ROCHA EM DECOMPOSIÇÃO VERMELHA CLARA / 
ESCURA (SOLO SAPROLITICO) - I.P.
30/5 
30/2 6.00 
 80% 
 100% 
BASALTO MELANOCRATICO, POUCO ALTERADO, 
POUCO FRAGMENTADO 8.00 
 
 
IP = IMPENETRÁVEL A PERCUSSÃO 
 
 
0.00 
1.50 
=sσ 2/ cmkgf
 
 
NOTA IMPORTANTE: CALCULAR O VOLUME DE ESCAVAÇÃO 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 8
 
 
 
 
 
Resumo dos Cálculos: 
 
 
 
Pilar 
Nº 
Carga 
(tf) 
a 
(m) 
b 
(m) 
A 
(m) 
B 
(m) 
S 
(m2) 
Volume de 
Escavação 
(m3) Observação 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
09 
10 
11 
 
 
Volume Total Escavado 
(m3) 
 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 9
B - Pilares associados centrais próximos: 
 
Quando a proximidade de pilares adjacentes inviabiliza a adoção de sapatas isoladas, 
devido à superposição das áreas, deve-se projetar uma única sapata, chamada de sapata 
associada, sendo necessária a introdução de uma viga central de interligação dos pilares 
(viga de rigidez) para que a sapata trabalhe com tensão constante. 
 
 FORMA RETANGULAR 
 
 B OBSERVAÇÃO: LADO "A" DA SAPATA 
 SEMPRE PARALELO A 
 VIGA DE DIGIDEZ 
Viga de Rigidez 
CG 
P2 
b 
P1 
b 
a 
a 
l 
X 
X 
XR 
X 
 
 R= P1 + P2 ⇒ RESULTANTE DAS CARGAS 
DEVEMOS TENTAR DEIXAR OU OBTER 
3 BALANÇOS IGUAIS, OU SEJA "X" 
 
 ( )
_
2110,1
σ
PPS +×= 
 
Notar que neste caso consideramos um acréscimo de 10% em relação à 
resultante "R" para levar em conta o peso da sapata e também o peso da 
viga de rigidez. 
 
 
 R 
 
 XR 
P1 P2
 
 
)21(
1
PP
lPXR +
×= = PONTO DE APLICAÇÃODA RESULTANTE DAS CARGAS 
 OBS: (P1+P2) = R
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 10
 
Exemplo: 
 
Calcular as fundações dos pilares abaixo, utilizando sapatas de forma retangular. 
 
2,20 
80 
20 40 
40 
P1 = 120 tf P2 = 80 tf 
m
PP
lPXR 32,1
80120
20,2120
21
1 =+
×=+
×= 
 
 
 2/0,2 cmkgfs =σ = 2/0,20 mtf
 
XR 
 
 R 
P1 P2
20,11
20
)80120(10,1 mS =+×= 
Dimensão Mínima = XR + metade da dimensão do pilar 
 2 
 
Dimensão Mínima = 1,32 + 0,40 = 1,52 m 
 2 2 
 
Dimensão Mínima = 1,52 x 2 = 3,04 m ∴ 3,05 m 
 
Dimensão máxima = S = 11,00 = 3,61 ∴ 3,65 m 
 Dimensão 3,05 
 Mínima 
 
 
Verificação: A x B = 3,05 x 3,65 =11,13 m2 > S ∴ Ok. 
 
 
Viga de Rigidez P1 P2
XR 
A=3,65 m 
B=3,05 m 
 
A dimensão "A" deverá ser sempre 
paralela à viga de rigidez. 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 11
C - Pilares associados de divisa:
 
São assim denominados os pilares situados próximos da divisa. 
As sapatas destes pilares não poderão invadir o terreno alheio. Temos duas soluções 
empregadas nesta situação dependendo da localização do pilar central próximo. 
 
1ª Solução: Quando P2 >P1 ∴ Utilizamos a forma retangular, e maneira de resolução será a 
mesma já vista anteriormente. 
 
2ª Solução: Quando P2 < P1 ∴ Utilizamos a forma trapezoidal. 
 
 
 DIVISA 
CG P2 
VIGA DE RIGIDEZ 
P1 
YR 
XR 
H
l 
A B
l
PP
PXR ×+= 21
2 
 
2
1+= XRYR Largura do pilar + folga 
 
s
PPS σ
)(10,1 21 +×= Lembramos que HBAS ×+=
2
 
 
Adotamos um valor de H mínimo = da divisa ao 2º pilar, com uma folga de 2,5 cm. 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −××= 132
H
YR
H
SB 
 
B
H
SA −×= 2 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 12
 
Exemplo: Dimensionar a fundação do pilar abaixo utilizando sapata trapezoidal. 
 
Divisa 
0.30 
1.00 0.30 
0.30 
P1=90 t 
l = 3,00 m 
0,025 m 
P2=72 t 
2/5,1 cmkgfS =σ
 
 
ml
PP
PXR 33,13
7290
72
21
2 =×+=×+= 
 
mafobXRYR 50,1025,0
2
30,033,1lg
2
=++=++= 
 
221 88,11
15
)7290(10,1)(10,1 m
s
PPS =+×=+×= σ 
 
Adotamos H = 3,40 m envolvendo os pilares. 
 
 075,0
2
30,000,3
2
30,0025,0 ++++ 
 
Folga = 10 cm = 0,10 m 
 
 
 
m
H
YR
H
SB 25,223,21
40,3
50,13
40,3
88,112132 ∴=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×××=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −××= 
 
mB
H
SA 75,473,425,2
40,3
88,1122 ∴=−×=−×= 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 13
 
Verificação: 
 
Área 290,1140,3
2
25,275,4 mS =×+= > S ∴ OK ! 
 
VIGA DE RIGIDEZ 
 
D - Pilares de Divisa Alavancado:
 
H = 3,40
A= 4,75 B =2,25
Divisa 
B 
A 
P1 
b 
a 
Viga alavanca 
e 
R1 
CG a P2 
b 
A 
B 
Folga = 0,025m 
l 
e R2 
Viga alavanca 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 14
- Tomando-se os momentos em relação ao ponto de aplicação da carga P2, obtemos a 
reação na sapata de divisa. 
 
el
lPR −
×= 11 e = excentricidade = 025,022
11 −− bB (folga ≥ 2,5cm) 
 
 
 
 
- Notamos que o número de incógnitas é maior que o número de equações, portanto o 
problema deverá ser resolvido por tentativas. 
 
R'1 = 1,20 x P1
 
15
 
S'1= 1,05 x R'1
 sσ 
 
 
 
 
 Perspectiva 
d e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bo
2 
2,5cm 
a 
b 
Planta 
Corte "A A" 
V.E. 
P2 
P1 
A 
A 
P1 
R = P1 + ΔP 
 Figura 1.7 
Esquema de cálculo 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 
Na escolha dos lados, recomendamos o critério de A= 1,5 B, embora alguns profissionais 
adotem A= 2,0 a 2,5B. 
5,1
' 11
SB = 
 
Finalmente, encontramos a excentricidade. 
 
025,0
22
' 1
'
1 −−= bBe 
O que permite calcular a reação. 
 
'
'' 11 el
lPR −
×= 
 
Se a reação calculada R’’1 for aproximadamente igual a reação estimada R’1 (aceita-se uma 
diferença de até 10% ou seja: R’’1 = R’1 ± 10%), portanto podemos considerar o ciclo 
encerrado. Assim, teremos os valores reais: 
 
R 1 = R’’1
e = e’ 
BB1 = B’1
 
 
Restando apenas encontrar a outra dimensão da sapata. 
s
RS σ
1
1
05,1 ×= 
1
1
1 B
SA = 
 
Caso contrário, é necessário repetir o ciclo iterativo novamente. 
 
Na maioria dos casos, a viga alavanca é ligada a um pilar central, conforme mostra o 
esquema ilustrativo; então a carga P2 sofre um alívio de: 
 
11 PRP −=Δ 
 
PPR Δ−=
2
1
22 
 
s
RS σ
2
2
05,1 ×= 
 
Utilizando-se o critério de balanços iguais, obtemos as dimensões B2 e A2. 
 
 
Critérios para projeto: 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 16
 
1º Caso: Divisa 
l 
Viga alavanca 
P1 
P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: 
 Divisa 
P1 
P2 
P3 
l 
R2 = 1/2 da somatória 
Dos alívios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso: 
A 
B 
a 
Pilar central 
CG 
b 
 
 
 
 
 
Pilar equivalente 
Ou hipotético 
 
 
 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 17
No dimensionamento da sapata, devemos inicialmente considerar um pilar retangular ou 
quadrado “equivalente”, de tal forma que tenha o mesmo centro de gravidade e o pilar 
central fique “inscrito”. A partir dai e só utilizar o critério de balanços iguais. 
 
 
4º Caso: 
 
Quando a área total de todas as sapatas de um projeto atingir cerca de 70% da área da 
construção, geralmente é mais econômico o emprego de um único elemento de fundação, 
denominado de “radier”. 
 
 
Lembrete super amigo: 
 
 
1 
2 
C.G. 
YC.G.
XC.G.
y 
x 
 
∑∑ •= i iiCG A
Ax
X 
 
 
 
∑∑ •= i
ii
CG A
Ay
Y 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 18
Exemplo: 1º caso 
 
 
P2
Divisa 
30 
80 60
60
P1
l = 4,20 m 
0,025 m 
22
2
1
/35/5,3
195
210
mtfcmkgfS
tfP
tfP
==
=
=
σ
V.A. 
 
Dimensionamento do Pilar P1: 
 
tfPR 25221020,120,1' 11 =×=×= 
 
21
1 56,735
25205,1'05,1' m
s
RS =×=×= σ 
 
mmSB 25,224,2
5,1
56,7
5,1
' 11 ∴=== 
 
mbBe 95,0025,0
2
30,0
2
25,2025,0
22
' 1
'
1 =−−=−−= 
 
tf
el
lPR 38,271
95,020,4
20,4210
'
'' 11 =−
×=−
×= 
%10'' '11 ±= RR )80,22620,277%10252( tfa⇒±
 
Como R''1 = 271,58tf ∴Ok 
 
Caso contrário retornar o processo para o início, adotando R ’1 = 1,25 x P1, assim continuadamente. 
 
Portanto: 
 
R1 = R’’1 = 271,38 t 
 
e = e’= 0,95 m 
 
BB1 = B1’= 2,25 m 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 19
21
1 14,835
38,27105,105,1 m
s
RS =×=×= σ 
 
mm
B
SA 65,361,3
25,2
14,8
1
1
1 ∴=== 
 
Verificação: A1 x B1 ≥ S1 ⇒ 3,65 m x 2,25 m = 8,21 m2 > S1 ∴ Ok. 
 
 
Dimensionamento do pilar P2: 
 
tfPRP 38,6121038,27111 =−=−=Δ 
 
tfPPR 31,164
2
38,61195
2
1
22 =−=Δ−= 
 
22
2 92,435
31,16405,105,1 m
s
RS =×=×= σ 
 
mmbaSA 25,221,2
2
6,06,092,4
22
∴=−+=−+= 
 
mmbaSB 25,221,2
2
6,06,092,4
22
∴=−−=−−= 
 
 Verificação: A2 x B2 ≥ S2 ⇒ 2,25 m x 2,25 m = 5,06 m2 > S2 ∴ Ok. 
 
P2
Divisa 
B=2,25m 
A=3,65m 
P1
B=2,25m 
A=2,25m 
Viga 
Alavanca 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 20
Exemplo: 2º caso 
 
P2=210 tf 
Divisa 
30 
100 100
50
P1=330 tf 
l = 4,00 m 
0,025 m 
2/0,4 cmkgfs =σ 
V.A,
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 21
2º Projeto – SAPATAS 
 
Dado o perfil de sondagem abaixo: 
 
a- Determinar a tensão admissível do solo na cota de apoio da sapata. 
b- Dimensionar as sapatasdos pilares na planta ao lado. 
c- Calcular o provável volume de escavação. 
0.00 
1.50 
Superfície do terreno. 
Cota de apoio da sapata. 
 
Dado construtivo 
 
Perfil de sondagem à percussão: 
N.A. (4.00) 
 SPT DESCRIÇÃO DO MATERIAL 
 15 
 30 
 31 3.00
 32 
0.00 
Argila silto arenosa, dura, com vestígios de 
rocha decomposta, vermelha escura/clara. 
(solo residual) 
Cota de apoio 
da sapata 
 45 5.00
 52 
 30/02 
 I.P. 8.00
 
 
Silte argilo arenoso, muito compacto, com fragmentos de rocha 
decomposta variegado, vermelho escuro, amarelo escuro. 
(solo saprolítico) 
Silte arenoso argiloso, muito compacto, com fragmentos 
de rocha decomposta, variegado, vermelho escuro/claro, 
amarelo escuro/claro. 
(solo saprolítico) 
Impenetrável à percussão. 
Obs: A parada da sondagem se deu pelo encontro de matacão 
de natureza rochosa ou topo rochoso. 
 
 
Nota importante: Neste local será construído um edifício residencial com 8 pavimentos, sobre Pilotis. 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 22
3º Projeto: SAPATAS 
 
Dimensionar a fundação dos pilares ao lado, utilizando fundação rasa do tipo sapata. 
 
Notas importantes: 
 
0.00 
-1.20 
Superfície do terreno. 
Cota de apoio da sapata. 
2/0,4 cmkgf→=σ (Tensão admissível do solo) 
 
 
Neste local será construído um edifício de 5 andares sobre Pilotis, para fins residenciais. 
 
 
Observação: 
 
Calcular o volume de escavação das sapatas. 
 
Resumo dos cálculos: 
 
Pilar 
 Nº 
Carga 
 (tf) 
A 
 (m) 
B 
(m) 
S 
(m2) 
Prof. cota de 
apoio (m) 
Volume 
escavação 
(m3) 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
09 
10 
11 
12 
 
Volume total escavado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 23
 
 
 
 
 
Anexos: 
 
 
- Projeto 01; 
- Projeto 02; 
- Projeto 03. 
FUNDAÇÕES - Professor Douglas Constancio 24
	Capa1.doc
	Fundações Rasas:
	“Sapatas”
	 
	Fundações Rasas (Início).doc
	Fundações Rasas (Cont).doc
	Projeto-Sapata-01.pdf
	Projeto-Sapata-02.pdf
	Projeto-Sapata-03.pdf