Triângulos (Parte 1)

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Geometria
Aula 06- GEOMETRIA | Prof. Luiza Troiano
Triângulos 
Parte I
Matemática e Suas Tecnologias
Tópicos 
abordados
Conhecendo os 
Triângulos
Definição e tipos 
de triângulos
Mediatriz, bissetriz, 
mediana e 
baricentro
Medidas 
importantes de 
um triângulo
Teorema de 
Pitágoras
Resolvendo 
exercícios
01 02 03 04
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Conhecendo os Triângulos
Características gerais de um triângulo
Como o próprio nome sugere, o triângulo é um
polígono com 3 lados e 3 ângulos, sendo suas
classificações dadas a partir das características dos
mesmos.
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B C
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a
bc
Os vértices do triângulo são 
escritos com maiúsculas, 
enquanto os lados, em 
minúsculas e os ângulos com 
letra grega.
NÃO ESQUEÇA!
α
β γ
Triângulo ABC
Conhecendo os Triângulos
Soma dos ângulos de um triângulo
A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre
deve ser 180º, enquanto a soma dos ângulos
externos deve ser 360º.
O ângulo externo é o que completa 180º com o
ângulo interno.
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α
β γ
β’
α’
γ’
α + α’ = 180º
β + β’ = 180º
γ + γ’ = 180º
SI = α +β + γ = 180º 
SE = α’ +β’ + γ’ = 360º 
Conhecendo os triângulos
Altura de um triângulo (h)
A altura de um triângulo é um
segmento de reta que sai de um
vértice e encontra a base
perpendicularmente, ou seja, com um
ângulo de 90º.
Pode sair de qualquer vértice, desde
que encontre perpendicularmente o
outro lado. A altura também pode ser
externa:
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B C
A
B C
A
B C
A
h
h
h
h
A área do triângulo é a base 
vezes a altura, tudo dividido por 
2: A = b.h
NÃO ESQUEÇA!
2
Conhecendo os triângulos
Teorema da desigualdade triangular
O teorema da desigualdade triangular diz que para existir um triângulo só é possível se um lado for menor que a soma dos
outros dois lados. Confuso? Vamos entender melhor com o exemplo.
Sendo o triângulo ABC com lados a, b e c, só é possível se:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Será que é possível um triângulo com lados 1, 5 e 7?
1 < 5 +7 
5 < 1 + 7
7 < 5 + 1 7 > 6, portanto um triângulo com essas medidas não existe!
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Conhecendo os triângulos
Classificação dos triângulos
Equilátero
O triângulo equilátero é caracterizado por 3 lados
iguais, assim como três ângulos de 60º
Isósceles
O triângulo isósceles possui dois lados iguais,
assim como dois ângulos iguais.
Escaleno
O triângulo escaleno não possui nenhum dos lados
iguais.
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=
Conhecendo os triângulos
Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo possui um ângulo de 90º
em um dos vértices.
Triângulo Obtuso
O triângulo obtuso possui um dos ângulos maior
que 90º, ou seja, possui um ângulo obtuso.
Triângulo Agudo
Os triângulos agudas são aqueles cujos três
ângulos internos são ângulos agudos; isto é, a
medida de cada um desses ângulos é inferior a
90 graus.
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> 90ºα
=
=
Fique atento!
Um triângulo pode ser mais de um por vez,
observe o exemplo:
< 90ºα
b
c α,b,c
Medidas Importantes de um triângulo
Segmentos de retas
Bissetriz
A bissetriz é um segmento de reta que divide um ângulo em
dois ângulos iguais.
Mediana
A mediana é um segmento de reta que sai de um vértice e
encontra com um dos lados dividindo este em duas partes
iguais.
Fique atento!
A mediana pode ou não ser a altura de um triângulo, isso
depende do ângulo entre a mediana e a base. A mediana é
igual à altura nos triângulos isósceles e equilátero.
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=
Medidas importantes de um triângulo
Mediatriz
Para encontrar a mediatriz de um triângulo
seguimos os seguintes passos:
1- Encontrar o ponto médio de um lado, ou
seja, o meio deste lado.
2- Traçar uma reta perpendicular a esse
ponto.
É importante entender que cada lado tem sua
mediatriz.
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= =
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Medidas importantes de um triângulo
Pontos
Baricentro
O baricentro é o ponto de encontro das três medianas de um
triângulo.
Incentro
O incentro é o ponto em que as bissetrizes do triângulo se
encontram.
Ortocentro
O ortocentro é o ponto em que as alturas dos lados do triângulo se
encontram.
Circuncentro
O circuncentro é o ponto em que as mediatrizes do triângulo se
encontram.
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No triângulo equilátero, o
baricentro, o incentro, o
ortocentro e o circuncentro é o
mesmo ponto
OLHA A DICA!
Medidas importantes de um triângulo02
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O baricentro de um triângulo
qualquer, divide a mediana em
uma proporção 1 e 2.
OLHA A DICA!
2x
x
Baricentro
Teorema de Pitágoras
O triângulo retângulo
Como já vimos, o triângulo retângulo possui um ângulo reto. É a partir desse ângulo que nomeamos os lados do triângulo.
Catetos: lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: lado que “observa” o ângulo de 90º, ou seja, é oposto a ele.
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hipotenusa
cateto
cateto
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras
Pitágoras observou que a soma dos
quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa.
Esse teorema é muito importante
para descobrir a medida do
terceiro lado de um triângulo e
quase sempre cai em questões no
Enem.
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a
b
c
a² = b² + c²
Alguns triângulos retângulos possuem grande
incidência nos vestibulares devido a seus números
exatos. O principal exemplo é o triângulo 3, 4 e 5 e
suas proporções, como 6, 8 e 10, 30, 40 e 50. Saber
disso pode poupar um grande tempo para a prova.
OLHA A DICA!
Resolvendo exercícios
1. Alex está parado em um posto na estrada A, seu amigo Paulo está em um outro posto na estrada B.
As duas estradas se cruzam, formando um ângulo de 90 graus. O posto onde Alex se encontra está
a 4 km do cruzamento, enquanto, que posto de Paulo está a 3 km. Qual é a distância que separa
Alex de Paulo em linha reta? Considere que as estradas são retas dos postos até o cruzamento.
A resolução estará no próximo slide, mas tente resolver primeiro.
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Resolvendo exercícios
1. Alex está parado em um posto na estrada A, seu amigo Paulo está em um outro posto na estrada B.
As duas estradas se cruzam, formando um ângulo de 90 graus. O posto onde Alex se encontra está
a 4 km do cruzamento, enquanto, que posto de Paulo está a 3 km. Qual é a distância que separa
Alex de Paulo em linha reta? Considere que as estradas são retas dos postos até o cruzamento.
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Para começar a resolver um exercício de geometria é imprescindível desenhar, colocar os 
dados fornecidos pelo exercício e a incógnita pedida.
Alex
Paulo
4 km
3 km
Fechando
o triângulo,
observa-se
o triângulo
pitagórico
3, 4 e 5
4
3
x
x² = 4² + 3²
x² = 16 + 9
x² = 25
x = 5
Resolvendo exercícios
2. [...] A figura a seguir representa um edifício que tem 10 metros de altura, com uma escora para deter os 
rejeitos dessa tragédia. Qual o comprimento dessa escora?
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Resolvendo exercícios
2. [...] A figura a seguir representa um edifício que tem 10 metrosde altura, com uma escora para deter os 
rejeitos dessa tragédia. Qual o comprimento dessa escora?
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Apesar de 
estranha, essa 
figura pode ser 
sintetizada em 
um triângulo 
retângulo
6m
10m
x
Utilizando o Teorema de Pitágoras:
x² = 10² + 6²
x² = 100 + 36
x² = 136
x = √136 usando a fatoração, parte mais chatinha da questão:
x = 2√34
Resolvendo exercícios
3. ABCD e DEFG são quadrados de mesma área. A medida do ângulo x é igual a:
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Resolvendo exercícios
3. ABCD e DEFG são quadrados de mesma área. A
medida do ângulo x é igual a:
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Nesse exercício vamos usar
algumas propriedades
importantes, como:
➔ Soma dos ângulos internos
de um triângulo é 180º.
➔ Triângulo isósceles também
possui ângulos iguais.
Sabendo que os quadrados possuem áreas iguais, sabe-se que os lados
também são iguais, logo:
=
=
=
Formou-se então dois 
triângulos isósceles:
DGC e o DGA
DGC DGA
y + 90º y
Vamos chamar 
esse ângulo de z 
para fins de 
cálculo
z
z
=
x+z
x+z
Resolvendo exercícios04
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IAAplicando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo,
temos:
(y + 90) + z + z = 180 e y + (x +z) + (x+z) = 180
Como as duas equações tem 180 de um lado, podemos igualar, ficando:
y + 90 + 2z = y + x + x + z + z
y + 90 + 2z = y + 2x + 2z vamos cortar o que tem igual nos dois lados:
90 = 2x
Portanto x = 45
Geometria
Exercícios
Triângulos I
Matemática e Suas Tecnologias
Aulas 6 - Geometria | Prof. Luiza Troiano e Gabriel Ferreira
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
A base de um triângulo mede x + 3 e a altura mede x – 2. Se a área desse
triângulo vale 7, o valor de x é:
a) 6.
b) 2.
c) 5.
d) 3.
e) 4.
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos
medem 6 cm e 8 cm.
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com
relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as
seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e o segundo
possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses
triângulos são:
a) Retângulo e isósceles
b) Retângulo e escaleno
c) Retângulo e equilátero
d) Obtusângulo e escaleno
e) Obtusângulo e equilátero
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Sobre as propriedades, características e resultados a respeito de triângulos,
marque a alternativa correta:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo isósceles é igual a 180°.
b) A soma dos lados de um triângulo sempre é igual à sua área.
c) A soma de dois lados de um triângulo é sempre menor que o terceiro lado, que
não foi somado.
d) Os triângulos retângulos possuem um único ângulo raso.
e) Um triângulo que possui três lados iguais é chamado de isósceles
Exercícios de Fixação01
(ENEM 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de
mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos
e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente
6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser
construídos é:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
Exercícios Enem02
Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com
relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as
seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e o segundo
possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses
triângulos são:
a) Retângulo e isósceles
b) Retângulo e escaleno
c) Retângulo e equilátero
d) Obtusângulo e escaleno
e) Obtusângulo e equilátero
Exercícios Enem02
Geometria
Gabarito
Triângulos I
Matemática e Suas Tecnologias
Aula 6 - Geometria | Prof. Luiza Troiano e Gabriel Ferreira
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
A base de um triângulo mede x + 3 e a altura mede x – 2. Se a área desse
triângulo vale 7, o valor de x é:
a) 6.
b) 2.
c) 5.
d) 3.
e) 4.
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Pela fórmula: (Base) x (altura) /2 = Área
(x+3).(x-2) /2 = 7
Resolvendo a equação:
x² - 2x + 3x -6 = 14
x² + x -20 = 0
▲ = 81
x = +4 ou -5 (como medida não pode ser negativa, esse resultado não é possível)
ALTERNATIVA E
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos
medem 6 cm e 8 cm.
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
O primeiro desafio desse exercício é desenhar os dados do enunciado e entender
qual é a pergunta. Se vc conseguiu, deve ter um resultado assim:
8 6
10
h
O segundo desafio é dividir a imagem em dois triângulos semelhantes:
8
10
6
6
h
Assim, usamos a razão e proporção:
6 -> 10
h -> 8
h= 48/10
h= 4,8 cm
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com
relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as
seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e o segundo
possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses
triângulos são:
a) Retângulo e isósceles
b) Retângulo e escaleno
c) Retângulo e equilátero
d) Obtusângulo e escaleno
e) Obtusângulo e equilátero
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Um ângulo maior que 90º é chamado de obtuso, portanto, um triângulo com
ângulo obtuso é obtusângulo.
Um triângulo com todos os lados iguais é o equilátero (equi significa igual)
ALTERNATIVA E
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Sobre as propriedades, características e resultados a respeito de triângulos,
marque a alternativa correta:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo isósceles é igual a 180°.
b) A soma dos lados de um triângulo sempre é igual à sua área.
c) A soma de dois lados de um triângulo é sempre menor que o terceiro lado, que
não foi somado.
d) Os triângulos retângulos possuem um único ângulo raso.
e) Um triângulo que possui três lados iguais é chamado de isósceles
Exercícios de Fixação01
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Sobre as propriedades, características e resultados a respeito de triângulos,
marque a alternativa correta:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo isósceles é igual a 180°.
SIM, a soma dos ângulos internos de QUALQUER triângulo é 180º
a) A soma dos lados de um triângulo sempre é igual à sua área.
NÃO, perímetro é diferente de área!
P = Soma de todos os lados = a + b + c
A = base x altura /2
a) A soma de dois lados de um triângulo é sempre menor que o terceiro lado,
que não foi somado.
NÃO, a soma tem que ser MAIOR
a) Os triângulos retângulos possuem um único ângulo raso.
NÃO, ângulo raso possui 180º, nenhum ângulo de nenhum triângulo pode
ter 180º, pois essa deve ser a soma de todos os ângulos juntos. Se fosse
possível, os outros dois ângulos mediriam 0º, não dá.
a) Um triângulo que possui três lados iguais é chamado de isósceles
NÃO, um triângulo isósceles possui 2 lados iguais, lembra do iSóSceles,
dois S, dois lados, enquanto o equilátero possui 3 lados iguais.
Exercícios de Fixação01
(ENEM 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de
mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos
e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser
construídos é:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
Exercícios Enem02
Temos que o perímetro é 17 e que um lado é
sempre A = 6. Assim, os possíveis valores para
B e C são:
B = 1 e C = 10
B = 2 e C = 9
B = 3 e C = 8
B = 4 e C = 7
B = 5 e C = 6
Perceba que, a partir daí, os valores passariam
a ser os mesmos, porém com letras trocadas.
Agora, analisando quais valores satisfazem a
condição de existência, temos:
10 < 1 + 6 -> Falso
9 < 2 + 6 -> Falso
8 < 3 + 6 -> Verdadeiro
7 < 4 + 6 -> Verdadeiro
6 < 5 + 6 -> Verdadeiro
Logo, como 3 pares de valores satisfazem a
condição de existência, temos 3 diferentes
triângulos que podem ser formados.
Gabarito: A
Exercícios Enem01
Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com
relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as
seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e o segundo
possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses
triângulos são:
a) Retângulo e isósceles
b) Retângulo e escaleno
c) Retângulo e equilátero
d) Obtusângulo e escaleno
e) Obtusângulo e equilátero
Exercícios Enem02
Assim, temos que a região branca tem área de:
4 . (AP . MB/2) = 2. (1/4 . 1/2) = 1/4 m²
Logo, a área sombreada é de 3/4 m². Assim, a quantia que ele irá gastar será de:
30 . 3/4 + 50 . 1/4 = 35
Gabarito: B
Exercícios Enem02
Matemática e Suas Tecnologias | NOME-DA-FRENTE
Sobrou alguma dúvida?
Anote para trazer ela nos plantões, ou mande no formulário!
FORMS
PLANTÃO
Mande suas dúvidas pelo formulário (elas serão
resolvidas no próximo plantão):
https://bit.ly/ResistENEM-duvidas
Entre no grupo do plantão:
https://chat.whatsapp.com/DnfvGQgF1hg9VHz5fkz
wjD
● Nossos plantão será Amanhã!