Atividade 4 - UAM - Calculo Aplicado a Variavel

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1) Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do
movimento em metros, em segundos, velocidade instantânea e aceleração .
Conhecendo-se a função velocidade, é possível determinar as funções
espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial e integral.
Nesse contexto, considere a função e seu gráfico como suporte (figura
a seguir) e analise as afirmativas a seguir.
Fonte: Elaborada pela autora.
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do
tempo é dada por .
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para
, é igual a integral
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a
.
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os
instantes e , em que .
É correto o que se afirma em:
R: II, III, e IV, apenas.
2) Dada a integral indefinida , verifique que a função
integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto,
sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se
conseguirmos fazer uma escolha adequada. Nesse sentido, resolva a integral e
assinale a alternativa correta.
R:
3) O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido.
Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por
duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas
e . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como
suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e
Fonte: Elaborada pela autora.
R:
4) O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de
primitiva dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a
função integranda. Assim, considere as funções e ,
contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas. Nesse contexto, analise
as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. é primitiva da função
Pois:
II. .
A seguir, assinale a alternativa correta.
R: As asserções I e II são proposições falsas.
5) O método de integração por partes é aplicado principalmente quando a função
integranda é composta de produtos de funções distintas, como, por exemplo, a
integral . Para resolver essa integral, utilizam-se as variáveis
como suporte para reescrevermos a integral da seguinte forma:
. Nesse sentido, resolva a integral e assinale a
alternativa correta.
R:
6) O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral
indefinida, assim como ao conceito de derivada de uma função. A integral indefinida
de uma função é igual a uma família de primitivas. Apenas usando esse conceito é
possível determinar a função integranda. Assim, considere as função
e , contínuas, e analise suas derivadas ou
integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a
relação proposta entre elas.
I. é primitiva da função .
Pois:
II. .
A seguir, assinale a alternativa correta.
R: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta
da I.
7) O conceito da primitiva de uma função explica a definição da integral de uma função.
Portanto, conhecendo-se a primitiva de uma função, é possível determinar qual a
função que se deseja integrar. Seja uma primitiva de uma função , se
, determine a função integranda e assinale a
alternativa correta.
R:
8) Para resolver a integral , é necessário aplicar o método de
integração por partes. Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da fórmula:
, em que uma das partes é nomeada e a outra parte,
. Nesse sentido, faça as escolhas adequadas, resolva a integral e assinale a
alternativa correta.
R:
9) Segundo a terceira lei de Newton, quaisquer dois objetos exercem uma atração
gravitacional um sobre o outro de igual valor e sentido oposto. A velocidade mínima
necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da
solução da equação
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir.
I. Integrando-se ambos os lados da equação eq. 1 e adicionando a constante
arbitrária no lado direito, obtemos .
II. Considerando (raio da terra) e , obtemos a equação
.
III. A velocidade pode ser escrita como , em que C é uma constante
arbitrária.
IV. Derivando-se a função velocidade, encontra-se a função espaço-tempo
É correto o que se afirma em:
R: I e II, apenas.
10) Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é a
medida sobre a trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da trajetória.
Com essa informação, resolva a seguinte situação-problema.
Considere a função velocidade de uma partícula que se
desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por
segundo e o tempo em segundos. Utilize o gráfico da figura a seguir como suporte
para ajudar na resolução da questão. Nesse contexto, analise as asserções a
seguir e a relação proposta entre elas.
Fonte: Elaborada pela autora.
I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial até é igual a
100 m.
Pois:
II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura 7.
A seguir, assinale a alternativa correta.
R: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta
da I.