Aula 1 - Capitalização Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani
FONTE: http://cantinhodisney.blogspot.com.br/2012/04/tio-
patinhas.html http://www.slideshare.net/albruni/aulas-de-matematica-
financeira-diagramas-de-fluxo-de-caixa
FONTE: http://queroficarrico.com/blog/wp-content/uploads/2010/08/dinheiro_facil.jpg
Agente econômico: é qualquer entidade física ou jurídica capaz de praticar
um ato econômico, ou seja, qualquer pessoa, empresa ou instituição que
possa praticar um ato econômico: uma venda, uma compra, um
empréstimo ou quaisquer operações que tenham consequências
financeiras.
Capital (C): é o valor de um ativo representado por moeda e/ou direitos
passíveis de uma expressão monetária, no início de uma operação
financeira, sendo que pode-se considerar como capital: numerário ou
depósitos bancários disponíveis; títulos de dívida expressos em valor no
início de um processo financeiro; e ativos físicos devidamente avaliados:
prédios, máquinas, veículos e outros.
Operação financeira: é o ato
econômico pelo qual determinado
agente econômico possuidor de
capital (credor) transfere esse
capital a outro agente econômico
(tomador) mediante condições
previamente estabelecidas.
Valor Presente (PV): é o valor de uma operação financeira na data presente. É um
valor intermediário entre (M) e (C). Observe que para uma operação financeira
iniciada hoje, o (C) e o (PV) coincidem; por essa razão (PV) é, frequentemente,
utilizado como sinônima de (C), apesar da diferença conceitual existente.
Valor Futuro (FV): é o valor de uma operação financeira em qualquer data
compreendida entre a data presente e o vencimento da operação. De modo
análogo ao (PV) e (C), também o (FV) é, frequentemente, tomado como sinônimo
de (M).
Valor Nominal (VN): é o valor de uma operação financeira constante do título de
crédito que a documenta. Pode ser tanto o (PV)/(C) como o (FV)/(M), também é
denominado de “valor de face”.
Juro (J): é o valor da
remuneração do capital (C)
acordado entre o credor e o
tomador em uma determinada
operação financeira.
Montante (M): é a soma do
capital (C) e do juro (J) que foi
acordado na operação financeira
e que é devido ao seu final.
Fluxo de Caixa: é um diagrama que representa uma sucessão de entradas e
saídas de dinheiro (ou ativos expressos pelo seu valor monetário) no tempo.
-No eixo horizontal representam-se os períodos de tempo;
-No eixo vertical, representam-se os valores das entradas (flechas com
orientação positiva-para cima) e saídas de dinheiro (flechas com orientação
negativa-para baixo).
OBS 1) A dimensão dessas flechas não considera a proporcionalidade entre
elas e os valores;
OBS 2) As setas podem estar todas acima do eixo do tempo, ou acima e
abaixo.
FLUXOS DE CAIXA 
SIMÉTRICOS
FLUXOS DE CAIXA SIMÉTRICOSSituação prática 1.2: você entrou
numa loja para comprar uma
geladeira. O vendedor lhe
informa que o preço à vista da
geladeira é $1.500,00. Informa
também que o pagamento pode
ser financiado em quatro parcelas
iguais mensais de $ 400,00
através de uma instituição
financeira (IF). Você faz a compra
e opta pelo financiamento, de
modo que terá quatro
desembolsos mensais sucessivos
de R$ 400,00; é o seu fluxo de
caixa dessa operação. A
instituição financeira (IF) pagará
para a loja o valor à vista de $
1.500,00 e receberá de você as
quatro prestações mensais.
O fluxo de caixa também pode ser
representado em forma de tabela com:
*Sj = saída de caixa;
*Ei=entradas de caixa.
Como podemos avaliar se essa pode ser 
considerada uma boa proposta?
ATENÇÃO!!!!!ATENÇÃO!!!!!ATENÇÃO!!!!!ATENÇÃO!!!!!
Se as duas propostas atendam às necessidades da empresa
Qual é a Qual é a Qual é a Qual é a melhor melhor melhor melhor proposta?proposta?proposta?proposta?
O juro da primeira proposta é de $ 20.000,00, enquanto o juro 
da segunda proposta é $ 21.000,00.
Mas esses números que espelham os juros a serem pagos são 
absolutos e, portanto, não são diretamente comparáveis, 
porque suas bases iniciais são diferentes $100.000,00 e 
$95.000,00, respectivamente.
Como podemos comprovar nossas hipóteses?Como podemos comprovar nossas hipóteses?Como podemos comprovar nossas hipóteses?Como podemos comprovar nossas hipóteses?
A taxa de juros (i), expressa em forma unitária, é a relação entre o juro (J)
gerado numa operação financeira e o capital (C) nela empregado; observe que
essa taxa de juros está relacionada com o tempo da operação financeira.
Essa taxa de juros pode ser expressa também em forma percentual:
Períodos de tempo
Exemplo 2.1: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 20,00 em dois meses.
Qual a taxa de juros?
Exemplo 2.2: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 60,00 em seis meses.
Qual a taxa de juros?
Exemplo 2.3: Agora podemos determinar qual é a melhor proposta na
situação prática 2.1: uma empresa necessita de certo volume de capital para
atender às necessidades do seu negócio. Ela tem em mãos duas
contrapropostas feitas por bancos:
*uma delas para receber $ 100.000,00 hoje e pagar $120.000,00 após quatro
meses; e
*uma segunda para receber hoje $ 95.000,00 e pagar $ 116.000,00 daqui a
quatro meses.
Exemplos
-Regime de juros simples (capitalização simples): no Banco Alfa o juro periódico
é calculado sempre sobre o valor inicial da operação (C). O saldo devedor (capital
mais juros) cresce numa PA de razão 100,00. Os juros gerados em cada um dos
períodos são registrados, mas só serão pagos ao final da operação financeira; ou
seja, somente ao final os juros devidos são agregados ao capital inicial.
-Regime de juros compostos (capitalização composta): no Banco Beta o juro
gerado em cada período é somado ao saldo do período imediatamente anterior
e passa, por sua vez, a sofrer incidência de juros; a este processo de somar o juro
do período anterior ao saldo inicial do período presente para constituir uma
nova base de cálculo do juro, se dá o nome de capitalização de juros. Por
consequência, a base de cálculo dos juros muda sucessivamente pela agregação
dos juros do período anterior.
-os juros só estarão disponíveis para o credor no final da operação financeira;
-as fórmulas foram deduzidas com base na taxa de juros expressa em forma unitária. 
Se a taxa de juros for expressa na forma percentual, ela deverá ser reduzida à sua 
forma unitária
(dividir por 100) antes da aplicação das fórmulas; e
-a taxa de juros i e o tempo n deverão estar expressos na mesma temporalidade (em 
forma compatível.
JUROS SIMPLES E MONTANTE
Consideremos um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por
período, durante n períodos de tempo.
Juros após 1 período: J1 = Ci
Juros após 2 períodos: J2 = Ci + Ci = Ci (2)
Juros após 3 períodos: J3 = Ci + Ci + Ci = Ci (3)
Juros após n períodos: Jn = Ci + Ci + .... + Ci = Ci (n)
J = Cin
Montante (M) é: M = C + J
M = C + Cin
M = C (1 + in)
⋮ ⋮ ⋮
Exemplo 1) Um capital de $ 7.000,00 é aplicado a juros
simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% a.s. (ao
semestre). Obtenha os juros, o montante e o fluxo de caixa sob o
ponto do vista do investidor.
Exemplo 2) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses,
rende juros simples a taxa de 22% a.a., e paga imposto de renda
igual a 20% do juro; o imposto é pago no resgate.
a) Qual o montante líquido de uma aplicação de $8.000,00?
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante
líquido de $9.550,00?
Exemplos
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Definição: duas taxas i1 e i2, relativas aos períodos n1 e n2,
são proporcionais quando observarem a relação de
proporcionalidade:
1 1
2 2
i n
i n
=
É conveniente, em algumas situações, fazer uma distinção entre o ano civil
(365 ou 366 dias) e o ano comercial(360 dias). Essas situações ocorrem
quando existe a necessidade de trabalhar com taxas de juros expressas em
dias. Desse modo podemos determinar:
JURO EXATO: considerando-se o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada
mês com seu número real de dias;
JURO COMERCIAL: considerando-se o ano com 360 dias e o mês comercial
com 30 dias.
Taxa de juros diária comercial
JURO EXATO E JURO COMERCIAL
Nesta disciplina, vamos adotar o ano com 360 dias e o mês com 30 dias, a menos que seja 
explicitada alguma exceção.
1) Uma geladeira é vendida a vista por $ 1.500,00 ou então a prazo
com entrada de $450,00 mais uma parcela de $1.200,00 após 4
meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
2) Um produto é vendido a vista por $2.400,00 ou então a prazo com
20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a
compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
3)Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples
a taxa de 8% a.a. para que duplique?
4) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um capital
aplicado a taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo?
5) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16
meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplica o
quádruplo desse capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a
taxa é a mesma?
Atividades
6) Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00 foram
aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro a taxa
de 168% a.a. e o segundo a de 120% a.a. . Qual o prazo para que os
montantes se igualem?
7) Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a
$500,00 estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a
taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado a taxa de 10%
a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro?
8) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas,
na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra
desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mas tarde, vende
o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples
de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do
produtor, utilizando o regime de juros simples.
Atividades
9) Um capital ficou depositado durante 10 meses de 8% a.m. no
regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi
aplicado durante 15 meses a juros simples a taxa de 10% a.m..
Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante
final recebido foi de $1.125.000.00.
10) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros
simples a taxa de 1,8% a.m. porém o investidor deve pagar no ato do
resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.
a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto
de renda) de uma aplicação de $4.000,00?
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido
de $3.600,00?
Atividades
11) Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros
simples a taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do
resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.
a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto
de renda) de uma aplicação de $12.000,00?
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido
de $11.500,00?
12) Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira,
aplicada a juros simples a taxa de 8%a.m. durante 2 meses, renda o
mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses.
13) Bruno, dispondo de 3.000,00, resolveu aplicá-lo em dois bancos.
No primeiro, aplicou uma parte a juros simples a taxa de 8% a.m. por
6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por
8 meses a taxa de 10% a.m. . Determine o quanto foi aplicado em
cada banco sabendo-se que o total de juros auferidos foi de
$1.824,00.
Atividades