Aula 5 - Sistema de Amortização

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani
Cada pagamento (PMTk) costuma incluir:
-juro do período (Jk) calculado sobre o saldo da dívida no início do período
(final do período anterior);
-e/ou amortização do principal (Ak), que se refere ao pagamento parcial ou
integral do principal da dívida.
PMTk = Jk + Ak
OBS: Um plano de amortização, cujo primeiro pagamento se dá na origem da
dívida, é associado a um modelo de renda imediato e antecipado; nesses casos,
o primeiro pagamento se destina totalmente à amortização da dívida, porque
não há decurso de tempo e, por consequência, não há juro (PMT1 = A).
SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO
SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (SPC)
-PV ou SDO corresponde à dívida contraída;
-ip = i é a taxa de juros efetiva da operação;
-n é o número de pagamentos;
-k indica a ordem ou o período em que o pagamento se dá (1 ≤ k ≤ n)
-PMT inclui parcelas de juros (J) e de amortização (A), logo (PMTK = Ak + Jk );
-Ak e Jk são os valores da amortização e dos juros contidos na k-ésima parcela;
-SDk é o saldo devedor existente imediatamente após o pagamento da k-ésima
prestação; ou seja o saldo devedor do período k;
-SDk-1é o saldo devedor período (k-1) anterior ao período k.
1
1
.
k k k
k k
k k k
A PMT J
J i SD
SD SD A
−
−
= −
=
= −
(1 ) 1n
n i
iFV PMT PMT s
i
 + −
= = 
 
SPC IMEDIATO E POSTECIPADO
(1 ) 1
(1 )
n
O n n i
iPV SD PMT PMT a
i i
 + −
= = = 
+ 
LIVRO PUCCINIPÁGINA 149
PÁGINA 150
Exemplo 6.1: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago
em quatro prestações anuais, sucessivas, imediatas, postecipadas,
para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de 10%a.a..
a) Qual o valor da prestação anual?
b) Montar um quadro demonstrativo da operação.
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1
2
3
4
Exemplo 6.1: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago
em quatro prestações anuais, sucessivas, imediatas, postecipadas,
para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de 10%a.a..
a) Qual o valor da prestação anual?
b) Montar um quadro demonstrativo da operação.
( )
( )
( )
( )
4
4
1 1
1
1 0,1 1
1000,00
0,1 1 0,1
3.154,70
n
n
i
PV PMT
i i
PMT
PMT
 + −
=  
 + 
 + −
=  
 + 
=
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 3.154,70 1.000,00 2.154,70 7.845,30
2 3.154,70 784,53 2.370,17 5.475,13
3 3.154,70 547,51 2.607,19 2.867,94
4 3.154,70 286,79 2.867,91 0,03
Exemplo 6.1: $ 10.000,00; 4 PMTs anuais, sucessivos, imediatos, postecipados; if=10%a.a..
Exemplo
Sugestão Vídeo: SPC (Sistema Francês) imediato e postecipado:
http://www.youtube.com/watch?v=7fhTjbcwO1s
SPC - TABELA PRICE
É um caso particular do SPC no qual:
-a prestação é obrigatoriamente mensal;
-é dada taxa anual nominal, portanto a taxa efetiva mensal é im = ia/12.
-Neste sistema, geralmente, não há pagamento de juro durante o diferimento por isso o juro é
capitalizado.
-PV# é o valor futuro de PV para m períodos e para a taxa de juros i;
-Os termos da renda e o ente auxiliar criado e denominado PV# se constituem em um sistema
de amortização imediato e postecipado.
SPC DIFERIDO E POSTECIPADO
( )
( )
# 1 1
1
n
n
i
PV PMT
i i
 + −
=  
 + 
( )
( )
1 1(1 )
1
n
m
n
i
PV i PMT
i i
 + −
+ =  
 + 
n iFV PMT s=
Exemplo (MODIFICADO): Em uma compra a prazo no valor de $ 10.000,00
em quatro pagamentos mensais iguais, postecipados e diferido em três
meses com taxa de juros de 10% a.m. Determine:
a) O valor dos pagamentos.
b) A amortização e os juros contidos na segunda parcela do pagamento, e o
saldo devedor após o pagamento da segunda parcela.
c) A planilha de amortização.
( )
( )
4
3
4
3
4 10
3
1 0,1 1
10000(1 0,1)
0,1 1 0,1
( ) 10000(1 0,1)
10000(1,1) 4.198,92
3,169865
PMT
PMT a
PMT PMT
 + −
+ =  
 + 
= +
= ⇒ =
Ao resolver o item “c” obtemos a solução do item “b”
Exemplo(MODIF) $ 10.000,00; 4 PMTs mensais iguais, postecipados; diferido em 3 meses; if= 10% a.m
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 - - - 11.000,00
2 - - - 12.100,00
3 - - - 13.310,00
4 4.198,92 1.331,00 2.867,92 10.442,08
5 4.198,92 1.044,21 3.154,71 7.287,37
6 4.198,92 728,74 3.470,18 3.817,19
7 4.198,92 381,72 3.817,20 -0,01
Exemplo (MODIFICADO): Em uma compra a prazo no valor de $ 10.000,00 em
quatro pagamentos iguais, postecipados e diferido em três meses com taxa de
juros de 2% a.m. Determine:
b) A amortização e os juros contidos na segunda parcela do pagamento, e o
saldo devedor após o pagamento da segunda parcela.
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 - - - 11.000,00
2 - - - 12.100,00
3 - - - 13.310,00
4 4.198,92 1.331,00 2.867,92 10.442,08
5 4.198,92 1.044,21 3.154,71 7.287,37
6 4.198,92 728,74 3.470,18 3.817,19
7 4.198,92 381,72 3.817,20 -0,01
SPC IMEDIATO E ANTECIPADO
- Os pagamentos são feitos no início de cada período;
- Como o primeiro pagamento se dá na própria origem da dívida, ele não inclui juro e é 
todo destinado a amortizar a dívida.
- O juro devido estará incluído nos demais pagamentos.
( )
1
1
(1 )
n i
n i
PV i PMT a
ou
PV PMT a
−
= +
= +
( ) 11 ( 1)n i n iFV i PMT s ou FV PMT s += + = −
Exemplo 6.3: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago em quatro
prestações anuais, sucessivas, imediatas e antecipadas, para o qual se
convencionou uma taxa de juros efetiva de 10% aa.
a) Qual o valor da prestação anual?
b) Monte um quadro demonstrativo da operação.
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 2.867,92 0,00 2.867,92 7.132,08
1 2.867,92 713,21 2.154,71 4.977,37
2 2.867,92 497,74 2.370,18 2.607,19
3 2.867,92 260,72 2.607,20 -0,01
( )
( )
( )
4
4 4 10
4 110
1 0,1 1 1000010000 (1 0,1) (1,1) ( ) 2.867,92
3,169865(1,1)0,1 1 0,1
1000010000 1 2.867,92
1 2,486852
PMT PMT a PMT PMT
ou PMT a PMT
−
 + −
= + = ⇒ = ⇒ = 
 + 
= + ⇒ = =
+
SPC DIFERIDO E ANTECIPADO
- Os pagamentos são feitos no início de cada período;
- O primeiro pagamento ocorre na mesma data em que é concluído o período
de carência (diferimento).
( )
1
1
1
(1 )
1 1(1 )
1 (1 )(1 )
m n i
m n i
m n i
PV PMT a ou
i
PV i PMTa ou
i
PV PMT a
i
−
−
 =
 +
 = +
 +
 = +
 +
( )
( )1
1
1
n i
n i
FV i PMT s ou
FV PMT s
+
= +
= −
Exemplo: Em uma compra a prazo no valor de $ 10.000,00 em quatro
pagamentos mensais iguais, antecipados e diferido em três meses com
taxa de juros de 10% a.m..
a) Qual o valor da prestação mensal?
b) Monte um quadro demonstrativo
da operação.
2
2 410
2
3 410
3
3 4 110
1 10000(1,1)10000 3.817,20(1 0,1) 3,169865
1 10000(1,1)10000 (1 0,1) ( ) 3.817,20(1 0,1) 3,169865
1 10000(1,1)10000 (1 ) 3.817,20(1 0,1) 1 2,486852
PMTa PMT
PMT a PMT
PMT a PMT
−
 = ⇒ = =
 +
= + ⇒ = =
+
 = + ⇒ = =
 + +
( )
1
1
1
(1 )
1 1(1 )
1 (1 )(1 )
m n i
m n i
m n i
PV PMT a ou
i
PV i PMTa ou
i
PV PMT a
i
−
−
 =
 +
 = +
 +
 = +
 +
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK=PMTK-JK SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 - - - 11.000,00
2 - - - 12.100,003 3.817,20 1.210,00 2.607,20 9.492,80
4 3.817,20 949,28 2.867,92 6.624,88
5 3.817,20 662,49 3.154,71 3.470,17
6 3.817,20 347,02 3.470,18 -0,01
Exemplo $ 10.000,00 4 PMTs mensais iguais, antecipados; diferido em 3 meses; if= 10% a.m
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
IMEDIATO E
POSTECIPADO
- A amortização (A) é constante em todos os pagamentos e é determinada
dividindo-se o principal (o valor da dívida inicial) pelo número de parcelas do
plano de pagamento;
-O valor de cada prestação ou renda é: PMTK = RK=AK+JK
Sendo que:
- PMTk ou Rk é a k-ésima prestação ou renda;
- Jk são os juros referentes à k-ésima prestação;
0
1.
k
k k
k k k
SD PVA
n n
J i SD
PMT A J
−
= =
=
= +
Exemplo 6.4: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago pelo SAC em quatro
prestações anuais sucessivas imediatas e postecipadas, para o qual se convencionou uma
taxa de juros de 10% a.a..
a)Qual o valor da amortização anual?
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK = AK+JK JK= i * SDk-1 AK=SDO/n SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 3.500,00 1.000,00 2.500,00 7.500,00
2 3.250,00 750,00 2.500,00 5.000,00
3 3.000,00 500,00 2.500,00 2.500,00
4 2.750,00 250,00 2.500,00 0,00
0 10000 2.500,00
4k
SDA
n
= = =
0
1
(1 )
.
m
k
k k
k k k
SD iA
n
J i SD
PMT A J
−
+
=
=
= +
SAC DIFERIDO E POSTECIPADO
Exemplo: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago pelo SAC em quatro
prestações anuais postecipadas e diferidas em 3 anos para o qual se convencionou uma taxa
de juros de 10% a.a..
a)Qual o valor da amortização anual?
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK = AK+JK JK= i * SDk-1 AK=SDO/n SDk =SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 - - - 11.000,00
2 - - - 12.100,00
3 - - - 13.310,00
4 4.658,50 1.331,00 3.327,50 9.982,50
5 4.325,75 998,25 3.327,50 6.655,00
6 3.993,00 665,50 3.327,50 3.327,50
7 3.660,25 332,75 3.327,50 0,00
3
0(1 ) 10000(1 0,1) 3.327,50
4
m
k
SD iA
n
+ +
= = =
1
0
1
(1 )
.
m
k
k k
k k k
SD iA
n
J i SD
PMT A J
−
−
+
=
=
= +
SAC DIFERIDO E ANTECIPADO
0 0(1 )nFV SD i SD J= + = +
SISTEMA DO MONTANTE
-No sistema do montante há um único pagamento (FV) ao final da operação, que é a
soma do principal e dos juros acumulados.
Exemplo 6.4: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00, que deve ser pago ao final de
quatro anos, de uma única vez, para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de
10% a.a..
a)Qual o valor do pagamento?
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
410000(1 0,1) 14.641,00FV = + =
1k k k kFV SD SD J−= = +
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK JK= i * SDk-1 AK FVk =SDk=SDk-1+JK
0 - - - 10.000,00
1 - - - 11.000,00
2 - - - 12.100,00
3 - - - 13.310,00
4 14.641,00 1.331,00 13.310,00 0,00
Exemplo 6.4: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00, que deve ser pago ao final de
quatro anos, de uma única vez, para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de
10% a.a..
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
SISTEMA AMERICANO
É uma variante do sistema do montante na qual o principal é pago de uma só vez ao
final do prazo do empréstimo, e o juro devido é pago periodicamente. Logo, não há
capitalização de juro e o saldo devedor não se altera ao longo do tempo.
Exemplo 6.5: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00, que deve ser pago em quatro
anos pelo sistema americano, para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de 10%
a.a..
a)Qual o valor dos pagamentos?
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
. ,k k OPMT J i SD k n= = <
.
n O n
n O
PMT SD J
com J i SD
= +
=
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Período PMTK = JK JK= i * SD0 AK SDk=SDk-1-AK
0 - - - 10.000,00
1 1.000,00 1.000,00 - 10.000,00
2 1.000,00 1.000,00 - 10.000,00
3 1.000,00 1.000,00 - 10.000,00
4 11.000,00 1.000,00 10.000,00 0,00
Exemplo 6.5: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00, que deve ser pago em 4 anos
pelo sistema americano, para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva de 10% a.a..
a)Qual o valor dos pagamentos?
b)Montar um quadro demonstrativo da operação.
SISTEMA DO “SINKING FUND”
-Combinação do sistema do montante (pgto total ao final) e de uma forma de poupança
feita pelo devedor;
-O devedor contrata um empréstimo para pagamento ao final a uma determinada taxa de
juros efetiva “i” e, paralelamente, ele faz com o banco um contrato de depósito remunerado
periódico a uma taxa de juros “i #”, pelo mesmo período do empréstimo, de tal modo que o
montante desses depósitos remunerados seja, ao final, exatamente o suficiente para pagar o
empréstimo;
-Os depósitos remunerados são, evidentemente, feitos na instituição financeira concedente
do empréstimo.
��
�0(1 )nFV SD i= +
#
#
1 0
0 #
(1 )(1 ) 1(1 )
nn
n
n i
SD iiComo FV FV então SD i PMT PMT
i s
  ++ −
= + = ⇒ = 
 
#
#
1
#
(1 ) 1n
n i
iFV PMT PMT s
i
 + −
= = 
 
Exemplo 6.6: Considere-se um empréstimo de $ 10.000,00, que deve ser pago em quatro
anos pelo sistema do sinking fund. A taxa de juros efetiva do empréstimo foi convencionada
em 10% aa, e a remuneração dos depósitos periódicos, em 4% a.a..
a) Qual o valor dos pagamentos?
b) Montar um quadro demonstrativo da operação
1º) Devemos encontrar o montante a ser pago pelo tomador do empréstimo com a taxa de
juros de 10% a.a., ou seja, .
2º) Devemos determinar as quatro prestações anuais postecipadas e imediatas que
produzirão esse montante:
410000(1 0,1) 14.641,00FV = + =
4 4
14.641,0014.641,00 3.447,81
4,24646n i
FV PMT s PMT s PMT= ⇒ = ⇒ = =
QUADRO GERAL DE AMORTIZAÇÃO
Evolução do Empréstimo Evolução dos Depósitos
P PMTK JK= i * SDk-1 AK SDk=SDk-1+JK=FVk PMTK JK= i * SDk-1 FVk
0 - - - 10.000,00 - - -
1 - - - 11.000,00 3.447,81 - 3.447,81
2 - - - 12.100,00 3.447,81 137,91 7.033,53
3 - - - 13.310,00 3.447,81 281,34 10.762,68
4 14.641,00 1.331,00 13.310,00 0,00 3.447,81 430,51 14.641,00