Questão resolvida - Considere a função G(u)cos(t),sen(t) qual é a curvatura e o raio de curvatura da curva_ - Curvatura e Torção - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Considere a função qual é a curvatura e o raio de curvatura u = ⟨4cos t , 4sen t ⟩G( ) ( ) ( )
da curva?
 
Resolução:
 
É preciso calcular a curvatura de , que é dada por;tG( )
 
k t = =( )
∥ ' t × " t ∥
∥ ' t ∥
G ( ) G ( )
( G ( ) )3
dT
dS
 
Já o raio de curvatura é dado pelo inverso da cruvatura, ou seja;
 
𝜌 u =( )
1
k u( )
 
Temos que achar a função , para, posteriormente, achar a derivada que corresponde T s( )
d
dS
T
a curvatura da função vetorial ; o primeiro passo é achar a derivada ;uG( ) ' tG ( )
 
t = ⟨4 -sen t , 4cos t ⟩ = ⟨- 4sen t , 4cos t ⟩G'( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )
 
A função é dada por;S u( )
 
S t = ∥ ' t ∥ du( )
t
0
∫ G ( )
A norma de é;uG'( )
 
∥ ' u ∥= =G ( ) -4sen t + 4cos t( ( ))2 ( ( ))2 -4 cos t + 4 sen t( )2( ( ))2 ( )2( ( ))2
 
∥ ' u ∥= =G ( ) 16cos t + 16sen t2( ) 2( ) 16 cos t + sen t2( ) 2( )
 
 
(1)
(2)
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : t + sen t = 1cos2( ) 2( )
 
∥ ' t ∥= = ∥ ' t ∥= 4G ( ) 16 1( ) 16 → G ( )
 
Agora, calculando ;S t( )
 
S u = ∥ ' t ∥ dt S t = 4dt = 4 ⋅ t - 4 ⋅ 0 = 4t - 0 S t = 4t( )
t
0
∫ G ( ) → ( )
t
0
∫ → ( )
Isolando t, fica;
 
S t = 4t 4t = S t =( ) → →
S
4
Vamos, então, substituir u na expressão de ;tG( )
 
= ⟨4cos , 4sen ⟩ S = ⟨4cos , 4sen ⟩G
S
4
S
4
S
4
→G( )
S
4
S
4
A função é a derivda de , ou seja;sT( ) SG( )
 
s = ' S = ⟨4 -sen ⋅ , 4cos ⟩T( ) G ( )
S
4
1
4
S
4
1
4
 
s = ⟨- sen , cos ⟩ s = ⟨- sen , cos ⟩T( )
4
4
S
4
4
4
S
4
→ T( )
S
4
S
4
 
Achado , podemos, então, encontrar a derivada ;sT( )
d
dS
T
 
= ⟨- cos ⋅ , -sen ⋅ ⟩ = ⟨- cos , - sen ⟩
d
dS
T S
4
1
4
S
4
1
4
→
d
dS
T 1
4
S
4
1
4
S
4
 
Como visto em 1, o comprimento da cruva é o módulo ; que é dado por
dT
dS
 
 
 
=
dT
dS
- cos + - sen
1
4
S
4
2
1
4
S
4
2
 
=
dT
dS
- cos + - sen
1
4
2
2
S
4
1
4
2
2
S
4
 
= =
dT
dS
cos + sen
-1
4
( )2
( )2
2 S
4
-1
4
( )2
( )2
2 S
4
→
dT
dS
cos + sen
1
16
2 S
4
1
16
2 S
4
 
=
dT
dS
cos + sen
1
16
2
S
4
2
S
4
 
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : + sen = 1cos2
S
4
2
S
4
= = = =
dT
dS
1
1
16
( )
1
16
1
16
1
4
 
Finalmente, usando a equação 2, temos que o raio de curvatura da curva é:
 
𝜌 u = = ⋅( )
1
1
4
1
1
4
1
 
𝜌 u = 4( )
 
 
(Resposta - Curvatura)
(Resposta - Raio de curvatura)