Questão resolvida - Considere a função H(u)(-4cons(u),8,4sen(u)) definida para u [0,2] Qual é o vetor normal principal à curva para u _6_ - Cálculo II - Universidade Estácio de Sá

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• Considere a função definida para . Qual H u = -4cons u , 8, 4sen u( ) ( ( ) ( )) u ∈ 0, 2π[ ]
é o vetor normal principal à curva para ?u =
π
6
 
Resolução:
 
Primeiro, devemos encontrar uma de forma que;T u( )
 
T u =( )
H' u
||H' u ||
( )
( )
 
Ou seja, a derivada da função , sobre seu módulo, assim, temos que;H u( )
 
H u = -4cons u , 8, 4sen u H' u = - -4sen u , 0, 4cos u( ) ( ( ) ( )) → ( ) ( ( ( )) ( ))
 
H' u = 4sen u , 0, 4cos u( ) ( ( ) ( ))
 
e
 
||H' u || = =( ) 4sen u + 0 + 4cos u( ( ))2 2 ( ( ))2 4 sen u + 0 + 4 cos u( )2( ( ))2 ( )2( ( ))2
 
||H' u || = =( ) 16sen u + 16cos u2( ) 2( ) 16 sen u + cos u2( ) 2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : sen x + x = 12( ) cos2( )
 
Assim;
||H' u || = = = = 4( ) 16 sen u + cos u2( ) 2( ) 16 1( ) 16
 
 
Com isso, temos que é;T u( )
 
T u = sen u , 0, cos u( ) ( ( ) ( ))
 
Agora, podemos encontrar a expressão que fornece os vetores normais a , dada por;H
 
N =
T' u
||T' u ||
( )
( )
 
Então, fazemos;
 
T u = sen u , 0, cos u T' u = cos u , 0, - sen u( ) ( ( ) ( )) → ( ) ( ( ) ( ))
 
e
 
||T' u || = ||T' u || =( ) cos u + 0 + -sen u( ( ))2 2 ( ( ))2 → ( ) cos u + 0 + sen u2( ) 2( )
 
||T' u || =( ) sen u + cos u2( ) 2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : sen x + x = 12( ) cos2( )
 
fica que;
||T' u || = ||T' u || = ||T' u || = 1( ) sen u + cos u2( ) 2( ) → ( ) 1 → ( )
 
Dessa forma, temos que a expressão para o vetor normal à curva é;H
 
 
N = cos u , 0, - sen u( ( ) ( ))
 
 
T u = T u = , ,( )
4sen u , 0, 4cos u
4
( ( ) ( ))
→ ( )
4sen u
4
( ) 0
4
4cos u
4
( )
0
N = = , ,
cos u , 0, - sen u
1
( ( ) ( )) cos u
1
( ) 0
1
-sen u
1
( )
0
Finalmente, o vetor normal principal a em , é;H u =
π
6
 
N = cos , 0, - sen
π
6
π
6
 
Consultando a tabela de ângulos notáveis;
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Por fim, temos que o vetor normal principal procurado é;
 
N = , 0, -
3
3 1
2
 
 
(Resposta )