Circuitos de 2 Ordem

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Circuitos de 2ª Ordem 
(Circuito RLC) 
Prof. Dr. Rafael Rorato Londero 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Referências 
• Alexander, C.K., Sadiku, M.N.O., Fundamentos de 
Circuitos Elétricos, 5ª ed., Bookman, 2013. 
 
• Dorf, R.C., Svoboda, J.A., Introdução aos Circuitos 
Elétricos, 8ª ed., LTC, 2012. 
 
 
 
Conteúdo 
1. Equação Diferencial de 2ª Ordem 
 1.1 Método Direto (Método da Substituição) 
 1.2 Método dos Operadores 
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 2.1 Circuito Sobreamortecido 
 2.2 Circuito Criticamente Amortecido 
 2.3 Circuito Subamortecido 
 2.4 Circuito Oscilatório 
3. Resposta Forçada 
4. Simulação no PSpice de Circuitos de 2ª Ordem 
 
 
1. Equação Diferencial de 2ª Ordem 
Um circuito de 2ª ordem possui dois elementos armazenadores 
de energia que não podem ser associados, resultando uma 
equação diferencial de 2ª ordem. 
1.1 Método Direto (Método da Substituição) 
 Esse método consiste na obtenção de um sistema de 
duas equações diferenciais de 1ª ordem e a 
substituição de uma equação diferencial na outra, 
produzindo uma equação diferencial de 2ª ordem. 
Exemplo 1.1: Circuito RLC Paralelo 
 Considere o circuito RLC paralelo abaixo. Escreva a 
equação diferencial do circuito em termos: 
(a) da corrente do indutor iL; 
(b) da tensão no capacitor vC. 
Exemplo 1.1: Circuito RLC Paralelo 
a) Vamos aplicar a Lei das Correntes. 
CLRs iiii 
dt
dv
Ci
R
v
i CL
R
s 
dt
di
Lvvvv LLCRL 
2
2
dt
id
LCi
dt
di
R
L
i LL
L
s 
sL
LL i
LC
i
LCdt
di
RCdt
id 111
2
2

Equação Diferencial 
Ordinária de 2ª Ordem 
(Circuito RLC Paralelo) 
Exemplo 1.1: Circuito RLC Paralelo 
b) Vamos novamente aplicar a Lei das Correntes. 
CLRs iiii 
dt
dv
Cdt
L
v
R
v
i CLRs  
CRL vvv 
2
21
dt
vd
C
L
v
dt
dv
Rdt
di CCCs 
dt
di
C
v
LCdt
dv
RCdt
vd s
C
CC 111
2
2

Equação Diferencial 
Ordinária de 2ª Ordem 
dt
dv
Cdt
L
v
R
v
i CCCs  
Exemplo 1.2: Circuito RLC Série 
 Considere o circuito RLC série. Escreva a equação 
diferencial do circuito em termos da tensão no 
capacitor vC. 
Exemplo 1.2: Circuito RLC Série 
 Aplicando a Lei das Malhas. 
CLRs vvvv 
C
L
Rs v
dt
di
LiRv 
dt
dv
Ciiii CCCLR 
C
CC
s v
dt
vd
LC
dt
dv
RCv 
2
2
sC
CC v
LC
v
LCdt
dv
L
R
dt
vd 11
2
2

Equação Diferencial 
Ordinária de 2ª Ordem 
(Circuito RLC Série) 
1.2 Método dos Operadores 
 Esse método consiste em escrever equações 
diferenciais de 1ª ordem para o circuito e substituir 
“d/dt” pelo operador “s” para transformá-las em 
equações algébricas. 
Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Encontre as equações diferenciais para as correntes 
de malha i1 e i2 do circuito abaixo. 
 Dados: R = 1 Ω, L1 = 1 H e L2 = 2 H. 
 
 
Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Vamos aplicar a Lei das Malhas. 
0)( 21
1
1  iiR
dt
di
Lvs
Malha 1: 
svii
dt
di
 21
1
Malha 2: 
0)( 12
2
2  iiR
dt
di
L
02 2
2
1  i
dt
di
i
Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Agora temos o sistema de equações diferenciais: 
 
 
 
 
 Vamos substituir “d/dt” pelo operador “s”. 
02 2
2
1
21
1


i
dt
di
i
vii
dt
di
s
02 221
211


isii
viisi s
0)12(
)1(
21
21


sii
visi s
Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma 
matricial. 
 
 
 Aplicando a regra de Cramer para encontrar i1. 




















0121
11
2
1 sv
i
i
s
s
ss
vsv
s
s
s
v
i ss
s
32
2
121
11
det
120
1
det
21 























Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Aplicando a regra de Cramer para encontrar i2. 
 
 
 
 
 
 Podemos escrever a equação diferencial para i1. 
ss
v
s
s
vs
i s
s
32
121
11
det
01
1
det
22 






















ss
vsv
i ss
32
2
21 


ss vsvssi  2)32(
2
1
Exemplo 1.3: Método dos Operadores 
 Agora vamos substituir “s” por “d/dt”. 
 
 
 
 
 Procedendo da mesma forma encontramos a 
equação diferencial para i2. 
ss vsvsiis  232 11
2
s
s v
dt
dv
dt
di
dt
id
 232 1
2
1
2
sv
dt
di
dt
id
 2
2
2
2
32
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Escreva a equação diferencial do circuito para: 
 (a) a tensão no capacitor v; 
 (b) a corrente no indutor i. 
 Dados: R1 = 1 kΩ e R2 = 1 Ω. 
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 a) Vamos aplicar a Lei das Correntes ao nó superior. 
Ciii 1
i1 iC 
dt
dv
Ci
R
vvs 

1
dt
di
LiRv  2
LR vvv  2
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Vamos substituir o operador “d/dt” por “s” em 
ambas equações. 
 
 
 
 Isolando a corrente i na segunda equação, 
Csvi
R
vvs 

1
LsiiRv  2
sLR
v
i


2
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Substituindo na primeira equação, 
Csv
sLR
v
R
vvs 



21
121 R
v
Csv
sLR
v
R
vs 


 
 
 
1
2
2
1
2
R
sLRv
CsvsLRv
R
sLRvs 

Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Continuando, 
     sLRvCsvsLRRvRsLRvs  22112
LsvvRvLCsRCsvRRvRLsvRv ss  2
2
12112
    ss vRLsvvRRsvLCRRvLCsR 22121
2
1 
   
ss v
LCR
R
sv
CR
v
LCR
RR
sv
LCR
LCRR
vs
1
2
11
21
1
212 1 




Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Substituindo valores, 
 
 
 
 
 Finalmente, substituindo “s” por “d/dt”, 
   
ss v
mmk
sv
mk
v
mmk
k
sv
mmk
mmk
vs
111
1
11
1
111
11
111
11112










ss vsvvsvvs 10001010011001
32 
s
s v
dt
dv
v
dt
dv
dt
vd
10001010011001 3
2
2

Exemplo 1.4: Circuito RLC 
b) Vamos escrever as equações na forma matricial em 
termos das variáveis i e v. 
Csvi
R
vvs 

1
CsvRiRvvs 11 
svvCsRiR  )1( 11
LsiiRv  2
0)( 2  viRLs
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Logo, 
 
 
 
 Agora vamos obter a solução para a corrente i. 




















01
1
2
11 sv
v
i
RLs
CsRR
))(1(
1
1
det
10
1
det
211
2
11
1
RLsCsRR
v
RLs
CsRR
CsRv
i s
s
























Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Continuando, 
)( 212
2
11 RCsRRLsLCsRR
v
i s



1212
2
1 )( RRCRRLsLCsR
v
i s


svRRCRRLsLCsRi  ])([ 1212
2
1
sviRRiCRRLsiLCsR  )()( 1212
2
1
Exemplo 1.4: Circuito RLC 
 Substituindo valores, 
LCR
v
i
LCR
RR
si
LCR
CRRL
is s
11
12
1
122 




sv
mmk
i
mmk
k
si
mmk
mkm
is
111
1
111
11
111
11112








svisiis 10001010011001
32 
svi
dt
di
dt
id
10001010011001 3
2
2

2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 Uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem da 
forma: 
 
 
 Possui solução geral da seguinte forma: 
)(012
2
2 tyxa
dt
dx
a
dt
xd
a 
Resposta Completa = Resposta Natural + Resposta Forçada 
)()()( txtxtx FN 
Solução para y(t) = 0 Solução para y(t) ≠ 0 
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 Para encontrar a resposta natural, para y(t) = 0, 
testamos uma solução exponencial do tipo: 
stAetx )(
0
)()(
012
2
2 
st
stst
Aea
dt
Aed
a
dt
Aed
a
001
2
2 
ststst AeasAeaAesa
0)( 01
2
2  asasaAe
st
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 Finalmente, sabemos que Aest ≠ 0. Logo, 
 
 
 Então, a resposta natural tem a seguinte forma: 
 
 
 onde s1 e s2 são as raízes da equação característica, 
chamadas de frequências naturais [rad/s]. 
001
2
2  asasa Equação Característica 
tsts
N eAeAtx
21
21)( 
A equação característica pode ser obtida substituindo 
o operador “d/dt” por “s” na equação diferencial. 
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 A equação característica pode ser escrita na seguinte 
forma: 
 
 
 onde: 
02 20
2  ss
α: fator de amortecimento 
ω0: frequência de ressonância [rad/s] 
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 As raízes da equação característica são: 
2
422 20
2
 
s
2
22 20
2  
s
2
0
2
2
2
0
2
1   ss
2. Resposta Natural (Resposta Livre) 
 Dependendo dos valores do fator de amortecimento 
α e da frequência de ressonância ω0 do circuito, 
podemos ter os seguintes casos: 
 
 2.1 α > ω0 (Circuito Sobreamortecido) 
 2.2 α = ω0 (Circuito Criticamente Amortecido) 
 2.3 α < ω0 (Circuito Subamortecido) 
 2.4 α = 0 (Circuito Oscilatório) 
2.1 Circuito Sobreamortecido (α > ω0) 
 Nesse caso, a resposta do circuito não apresenta 
oscilações e as frequências naturais s1 e s2 são 
números reais negativos e distintos. 
 
 A resposta natural do circuito tem a forma: 
tsts
N eAeAtx
21
21)( 
2.2 Circuito Criticamente Amortecido (α = ω0) 
 Nesse caso, a resposta do circuito está na iminência 
de aparecer oscilações. As frequências naturais s1 e s2 
são números reais negativos e iguais. 
 
 A resposta natural do circuito tem a forma: 
stst
N teAeAtx 21)( 
 tAAetx stN 21)( 
2.3 Circuito Subamortecido (α < ω0) 
 Nesse caso, a resposta do circuito apresenta 
oscilações amortecidas. As frequências naturais s1 e 
s2 são números complexos conjugados. 
 
 
22
02
22
01   jsjs
djss  21,
22
0  d Frequência amortecida [rad/s] 
2.3 Circuito Subamortecido (α < ω0) 
 Nesse caso, temos a seguinte resposta natural: 
   tjtj
N
dd eAeAtx
 
 21)(
][)( 21
tjtjt
N
dd eAeAetx
  
    tjsentAtjsentAetx dddd
t
N 
   coscos)( 21
 tsenAAjtAAetx dd
t
N 
 )(cos)()( 2121 

B1 B2 
2.3 Circuito Subamortecido (α < ω0) 
 Continuando, 
 
 
 Podemos combinar as funções seno e cosseno para 
obter a seguinte equação: 
 tsenBtBetx dd
t
N 

21 cos)( 

    tKetx d
t
N cos)(
tKe 
2.4 Circuito Oscilatório (α = 0) 
 Nesse caso, o circuito não apresenta amortecimento 
e a resposta do circuito é oscilatória. As frequências 
naturais s1 e s2 são números complexos conjugados 
imaginários puros. 
 
 Um circuito dessa natureza não possui resistência e a 
sua resposta natural é dada por: 
   tKtxN 0cos)(
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 O circuito abaixo encontra-se em regime permanente 
para t = 0-. Encontre i(t), para t > 0, após a abertura 
da chave. 
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Com o circuito em regime permanente, precisamos 
determinar as condições iniciais do capacitor v(0-) e 
do indutor i(0-). 
Ai 1
64
10
)0( 


Vv 616)0( 
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Para t > 0, após aberta a chave, temos o circuito 
abaixo. 
LR vvv 
dt
di
LiRdt
C
iC 
2
2
dt
id
L
dt
di
R
C
i

0
2
2

LC
i
dt
di
L
R
dt
id
iC 
iiC 
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Substituindo valores, 
 
 
 Donde obtemos a equação característica: 
010018
2
2
 i
dt
di
dt
id
0100182  ss
9182  
10100 0
2
0  
761004182 
α < ω0 
(Circuito Subamortecido) 
2
7618 j
s


359,49
359,49
2
1
js
js


Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Para esse caso, temos que a resposta natural será 
dada por: 
 tsenBtBeti tN 359,4359,4cos)( 21
9  
 0359,40359,4cos)0( 21
09   senBBeiN
1)0( 1  BiN
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Para calcular o valor de B2, vamos calcular a derivada 
da corrente di/dt(0+). 
  tsenBte
dt
d
dt
di t 359,4359,4cos 2
9  
   tBtsenetsenBte
dt
di tt 359,4cos359,4359,4359,4359,4359,4cos9 2
9
2
9  
2359,49
)0(
B
dt
di


Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Porém, 
dt
di
Lv LL
)0(
)0(

 
L
v
dt
di LL )0()0(


Vvv 6)0()0(  
Aii 1)0()0(  
Aplicando a Lei das Malhas: 
)0()0()0(   LR vvv
)0()0()0(   iRvvL
VvL 3196)0( 

Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Logo, 
sA
L
v
dt
di LL /6
5,0
3)0()0(


6359,49
)0(
2 

B
dt
di
6882,02 B
Exemplo 2.1: Circuito Subamortecido 
 Portanto, 
  )(359,46882,0359,4cos)( 9 tutsenteti tN 

    90359,4cos6882,0359,4cos)( 9 tteti tN
       90359,4359,49 Re6882,0Re)( tjtjtN eeeti
     906882,01Re)( 359,49 tjtN eeti
  )(91,31359,4cos1731,1)( 9 tuteti tN 

Exemplo 2.2: Circuito RLC Paralelo 
 Considere o circuito RLC paralelo abaixo, onde L = 1 H 
e C = 10 mF. Assuma que v(0) = 5 V e i(0) = 0. 
Encontre v(t) para t > 0, para os seguintes casos: 
 a) R = 1,923 Ω; 
 b) R = 5 Ω; 
 c) R = 6,25 Ω. 
Exemplo 2.2: Circuito RLC Paralelo 
)()208,52083,0()()( 502 tueetva tt  
)()]505([)()( 10 tutetvb t  
)()]6667,66cos5([)()( 8 tutsentetvc t  
0
11
2
2
 v
LCdt
dv
RCdt
vd
02 20
2  ss
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 O circuito abaixo encontra-se em regime permanente 
para t < 0. Determine a tensão v(t), para t > 0. 
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Em regime permanente, para t < 0, o capacitor é um 
circuito aberto e o indutor um curto-circuito. Agora 
vamos calcular as condições iniciais do capacitor v(0-) 
e do indutor i(0-). 
Ai 5,0
5030
40
)0( 


Vv 2540
5030
50
)0( 


Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Para t > 0, após o fechamento da chave, temos o 
circuito abaixo. 
Circuito RLC 
Paralelo 
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Para o circuito RLC paralelo, temos a equação 
diferencial abaixo. 
0
11
2
2
 v
LCdt
dv
RCdt
vd
0
204,0
1
2050
1
2
2




 v
dt
dv
dt
vd

010125101 33
2
2
 v
dt
dv
dt
vd
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Cuja equação característica é dada por: 
010125101 332  ss
336 10500101251410 
2
10500101 33 
s
55,85345,146 21  ss
Circuito 
Sobreamortecido 
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Desse modo, a resposta natural do circuito é dada 
por: 
 
 
 
 Precisamos de outra equação para determinar os 
coeficientes A1 e A2. Nesse caso, podemos calcular 
dv/dt(0+). 
tsts
eAeAtv 21 21)( 
25)0( 21  AAv
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Continuando, 
 tsts eAeA
dt
d
dt
dv
21
21 
tsts
eAseAs
dt
dv
21
2211 
21 55,85345,146
)0(
AA
dt
dv


Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Podemos calcular dv/dt(0+) conhecendo a corrente 
no capacitor iC(0
+). 
C
i
dt
dv C )0()0(


0)0()0()0(   CR iii
iR iC 
i 
0)0(
)0(
)0(  


Ci
R
v
i
0)0(
50
25
5,0  Ci
0)0( Ci
0
Exemplo 2.3: Circuito com Chave Paralela 
 Assim, temos o sistema de equações abaixo. 
 
 
 
 Logo, 
044,85344,146
25
21
21


AA
AA
156,5
16,30
2
1


A
A
)()156,516,30()( 55,85345,146 tueetv tt  
3. Resposta Forçada 
Excitação y(t) Resposta Forçada xF(t) 
K A 
Kt At + B 
Kt2 At2 + Bt + C 
Ke–bt Ae–bt ou Ate–bt (se b = s1 ou s2) 
K1sen(ωt) + K2cos(ωt) A1sen(ωt) + A2cos(ωt) 
)(012
2
2 tyxa
dt
dx
a
dt
xd
a 
)()()( txtxtx FN 
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 O circuito abaixo encontra-se em regime permanente 
para t < 0. Encontre a resposta completa de v(t) e i(t) 
para t > 0. 
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Vamos calcular as condições iniciais do capacitor v(0-) 
e do indutor i(0-) para t = 0-. 
0)0( i
Vv 12)0( 
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Para t > 0, após o fechamento da chave, temos o 
circuito abaixo. 
CR iii 
dt
dvv
i 
2
1
2
Aplicando a Lei das Correntes 
ao ponto “a”, temos: 
LRs vvvv  4
dt
di
iv  412
Ri
dt
di
iv  412
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Continuando, 













dt
dvv
dt
d
dt
dvv
v
2
1
22
1
2
412
2
2
2
1
2
1
2212
dt
vd
dt
dv
dt
dv
vv 
123
2
5
2
1
2
2
 v
dt
dv
dt
vd
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Logo, 
 
 
 Para obter as frequências naturais do circuito, 
calculamos as raízes da equação característica. 
2465
2
2
 v
dt
dv
dt
vd
0652  ss
2
6455 2
s
2
15
s
32 21  ss
Circuito Sobreamortecido 
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 A resposta completa de v(t) tem a seguinte forma: 
 
 
 Para encontrar o valor de A (resposta forçada) 
fazemos o circuito entrar em regime permanente. 
AeAeAtv tt   32
2
1)(
Ai 2
24
12
)( 


VivA 4)(2)( 
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Para calcular os coeficientes A1 e A2 vamos aplicar as 
condições iniciais do circuito. 
 
 
 
 Precisamos de outra equação para calcular A1 e A2. 
Vamos calcular a derivada de v(t). 
124)0( 032
02
1 
 eAeAv
821  AA
 43221   tt eAeA
dt
d
dt
dv
Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Continuando, 
tt eAeA
dt
dv 3
2
2
1 32
 
21 32
)0(
AA
dt
dv


C
i
dt
dv C )0()0(


Para t = 0+ 
Ri
)0()0()0(   CR iii
6
2
12
0
2
)0(
)0()0( 

 viiCsV
dt
dv
/12
5,0
6)0(


Exemplo 3.1: Excitação Constante 
 Dessa forma chegamos ao sistema de equações: 
 
 
 
 Então, a resposta completa de v(t) é: 





1232
8
21
21
AA
AA
412 21  AA
)()4412()( 32 tueetv tt  
dt
dvv
i 
2
1
2
)()246()( 32 tueeti tt  
Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Para o circuito RLC paralelo abaixo, tem-se: R = 6 Ω, 
L = 7 H e C = 1/42 F. Determine a resposta completa 
para a corrente iL, para t > 0, se is = [4cos(2t)]u(t). 
Considere as condições iniciais iL(0
-) = 0 e vC(0
-) = 3 V. 
Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Vimos anteriormente que a equação diferencial de 
um circuito RLC paralelo é dada por: 
sL
LL i
LC
i
LCdt
di
RCdt
id 111
2
2

ti
dt
di
dt
id
L
LL 2cos4
42
17
1
42
17
1
42
16
1
2
2







ti
dt
di
dt
id
L
LL 2cos2467
2
2

Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 A equação característica será: 
0672  ss
2
6477 2 
s
2
57
s
61 21  ss
Circuito Sobreamortecido 
A resposta completa de iL(t) será: 
)2cos()( 621 
 tBeAeAti ttL
Para calcular a resposta forçada, vamos 
substituir d/dt por jω na equação 
diferencial e façamos ω = 2 rad/s. 
02 024627)2(  FFF IIjIj
00246144  FFF IIjI
Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Continuando, 
 
 
 Logo, 
A
j
IF
0
0
87,81697,1
142
024



 AtiF )87,812cos(697,1
0
)87,812cos(697,1)( 0621 
 teAeAti ttL
0)87,81cos(697,1)0( 021  AAiL
24,021  AA
Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Precisamos de outra equação para encontrar as 
constantes A1 e A2. Vamos calcular diL/dt. 
 )87,812cos(697,1 0621   teAeA
dt
d
dt
di ttL
2)87,812(697,16 0621 
 tseneAeA
dt
di ttL
36,36
)0(
21 

AA
dt
diL
Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Agora vamos calcular diL/dt(0+). 
 
 
 Pelo fato do circuito ser paralelo, temos: 
dt
di
Lv LL 
L
v
dt
di LL )0()0(


Vvvv CLR 3)0()0()0( 

sA
dt
diL /4286,0
7
3)0(


Exemplo 3.2: Excitação Senoidal 
 Logo, 
 
 
 Finalmente, temos o sistema de equações: 
4286,036,36
)0(
21 

AA
dt
diL 9314,26 21  AA





9314,26
24,0
21
21
AA
AA
6343,08743,0 21  AA
)()]87,812cos(697,16343,08743,0[)( 06 tuteeti ttL 

Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Encontre a tensão v(t) no capacitor, para t > 0, 
utilizando o PSpice. Considere v(0-) = 0 e iL(0
-) = 0. 
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Inicialmente, vamos analisar o circuito para 0 < t < 2. 
Vamos calcular o equivalente de Thevenin visto pelo 
indutor e o capacitor. 
VTH ; RTH 
VVTH 612
6060
60



 30
2
60
60//60THR
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Desse modo, temos o circuito RLC série abaixo. 
F
27
1
H330
V6
sv
LC
v
LCdt
dv
L
R
dt
vd 11
2
2

6
27
13
1
27
13
1
3
30
2
2




 v
dt
dv
dt
vd
54910
2
2
 v
dt
dv
dt
vd
09102  ss
2
941010 2 
s
91 21  ss
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Temos um circuito sobreamortecido, cuja solução 
tem a forma: 
 
 Antes de determinar os coeficientes A1 e A2 
devemos calcular primeiramente K. 
KeAeAtv tt   921)(
6)(  KvF
27
1
H330
V6
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Logo, 
6)( 921 
 tt eAeAtv
06)0( 21  AAv
621  AA
 6921   tt eAeA
dt
d
dt
dv
21 9
)0(
AA
dt
dv

0
)0()0(

C
i
dt
dv
21 9AA 
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Substituindo a equação anterior na primeira 
equação: 
 
 
 
 Portanto, 
69 22  AA 75,04
3
2 A
75,61 A
675,075,6)( 9   tt eetv
675,075,6)2( 292   eev Vv 086,5)2( 
21 9AA 
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Vamos precisar determinar i(2) para calcular os 
coeficientes do circuito para t > 2. 
tt eeti 925,025,0)(  
dt
dv
Ci 
 675,075,6
27
1
)( 9 





  tt ee
dt
d
ti
mAi 83,33)2( 
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Para t > 2, a fonte de tensão se anula. Logo, temos o 
circuito abaixo. 
F
27
1
H330 09102
2
 v
dt
dv
dt
vd
)2(9
2
)2(
1)(
  tt eAeAtv
086,5)2( 21  AAv
086,521  AA
21 9
)2(
AA
dt
dv

sV
m
C
i
dt
dv
/9134,0
27
1
83,33)2()2(

9134,09 21  AA
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 Agora temos o sistema linear de equações. 





9135,09
086,5
21
21
AA
AA
749,0835,5 21  AA
)2(]749,0835,5[)( )2(9)2(   tueetv tt
Exemplo 4.1: Simulação no PSpice 
 A seguir temos o circuito representado no PSpice e o 
respectivo gráfico da tensão v(t). 
)2(]749,0835,5[)( )2(9)2(   tueetv tt
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Encontre a corrente i(t) no indutor, para t > 0, 
utilizando o PSpice. Considere que a chave 
permaneceu na posição a por muito tempo, e 
depois, em t = 0, comutou para a posição b. 
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Com a chave na posição a, para t < 0, o indutor 
carrega-se com uma corrente i(0) = 4 A e o capacitor 
com tensão v(0) = 0. Temos o circuito abaixo 
representado no PSpice em regime permanente CC 
para t < 0. 
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Com a chave na posição b, para t > 0, temos o 
circuito RLC paralelo abaixo. 
0
11
2
2
 i
LCdt
di
RCdt
id
067
2
2
 i
dt
di
dt
id
0
42
17
1
42
16
1
2
2




 i
dt
di
dt
id
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 A equação característica do circuito é: 
0672  ss
2
6477 2 
s
61 21  ss
Circuito Sobreamortecido 
tt eAeAti 621)(
 
4)0( 21  AAi
421  AA
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Precisamos calcular di/dt(0) para obter outra 
equação para determinar os coeficientes A1 e A2. 
 tt eAeA
dt
d
dt
di 6
21
 
21 6
)0(
AA
dt
di

tt eAeA
dt
di 6
21 6
 
0
)0()0(

L
v
dt
di
06 21  AA
21 6AA 
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Agora vamos substituir a equação anterior na 
primeira equação. 
46 22  AA 8,02 A
21 6AA  8,41 A
)(]8,08,4[)( 6 tueeti tt  
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
 Abaixo temos o circuito representado no PSpice, para 
t > 0, e o gráfico da corrente i(t). 
)(]8,08,4[)( 6 tueeti tt  
Exemplo 4.2: Simulação no PSpice 
)(]8,08,4[)( 6 tueeti tt  