circuitos de 2 ordem laplace

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Princípios de Instrumentação Biomédica
Módulo 5
Heaviside Dirac Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac
Conteúdo
5 - Circuitos de primeira ordem..................................................................................................1
5.1 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero.....................1
5.1.1 - O circuito RC (resistor-capacitor)..........................................................................1
5.1.2 - O circuito RL (resistor-indutor)..............................................................................3
5.2 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero........................4
5.3 - Linearidade da resposta ao estado zero..........................................................................7
5.4 - Invariância com o tempo................................................................................................8
5.5 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa................................8
5.6 - Generalização...............................................................................................................11
5.6.1 - Resposta a excitação zero.....................................................................................11
5.6.2 - Resposta ao estado zero........................................................................................11
5.7 - Exercícios.....................................................................................................................12
5 Circuitos de primeira ordem
5.1 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero
5.1.1 O circuito RC (resistor-capacitor)
O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão 
constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha.
Para t≥0 , 
iC t iRt=0
C⋅
dvC
dt
=
−vR
R
 e vC 0=v0
Como
vC=v R=v
{C⋅dvdt  vR=0v 0=v0
{dvdt = −1R⋅C⋅vv 0=v0
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com 
coeficientes constantes cuja solução geral é
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 1
v t =K⋅eS 0⋅t⋅ut 
onde
S0=−
1
R⋅C e 
K=v 0=v0
iC t =C⋅
dv
dt
=−
v0
R
⋅e
−1
R⋅C
⋅t
⋅u t 
Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta 
solução que depende das características do circuito ( S0 só depende da topologia) e das 
condições iniciais do circuito (K depende das condições iniciais). A solução da equação 
diferencial de primeira ordem linear é uma função linear do estado inicial do problema.
A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na 
figura abaixo. Nesta figura v0=1 e R⋅C=1 . Observa-se que a reta que passa pelas 
coordenadas t=0 e v=v(0) e apresenta inclinação igual a derivada da função no ponto t=0 
cruza o eixo do tempo em um valor igual ao do produto R⋅C . Este produto é chamado 
constante de tempo τ e corresponde a S0
−1 . Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu 
valor inicial em 1⋅ , 14% para 2⋅ , 5% para 3⋅ , 2% para 4 ̇ e 0,5% para 5⋅ .
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 2
A constante de tempo tem unidade de tempo (segundos) e corresponde a freqüência 
natural do circuito. Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor 
equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC.
5.1.2 O circuito RL (resistor-indutor)
O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente 
constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha.
Para t≥0
v Lv R=0
L⋅
diL
dt
R⋅i L=0 e iL 0=I 0
{didt=− RL⋅iiL0= I 0
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros 
constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é
iL t =I 0⋅e
−R
L
⋅t
⋅u t 
Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia 
do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como
=
L
R
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 3
que também apresenta unidade de tempo (segundos).
5.2 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero
Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0
Para t≥0
iCiR=iS
C⋅dv
dt

v
R
=iS t  e v 0=0
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com 
excitação) e condição inicial nula (estado zero).
A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo 
circuito:
para t=0+
dv
dt
=
iS
C
 (condição imposta pela topologia do circuito)
para t=∞
v=R⋅iS t  (condição imposta pela fonte)
A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma 
da solução homogênea e de uma solução particular que apresenta o mesmo formato da 
excitação, assim vcompleta=vhv p . A solução homogênea depende das condições iniciais do 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 4
problema e da sua topologia e a solução particular depende da excitação. Algumas vezes a 
resposta particular é chamada de resposta forçada pois é imposta pela excitação.
Para o exemplo em questão
v t =K1⋅e
−1
R⋅C
⋅t
R⋅iS t  , para t≥0 .
sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema
v 0=K1R⋅iS t =0
K 1=−R⋅iS t  , 
logo
v t =R⋅i S t ⋅1 – e
−1
R⋅C
⋅t
Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse 
uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante.
Exemplo: Se iS t =A1⋅cos ⋅t1=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t  então 
v pt =A2⋅cos ⋅t2=A ' 2⋅cos ⋅tA' ' 2⋅sen ⋅t 
C⋅dv
dt

v
R
=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t
v t =K1⋅e
−1
R⋅C
⋅t
A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t  , para t≥0
v 0=K1A' 2⋅cos 0=K1A' 2=0
K 1=−A' 2
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 5
C⋅
dv p
dt

v p
R
=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t 
como v pt =A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t 
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
...
[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t ]
R
=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t 
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2
A' ' 2
R
=A' ' 1
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2
A ' 2
R
=A ' 1
A figura abaixo foi produzida com R=1 , C=1F , A1=0 e 1=−90
0 . A resposta 
completa é a soma da exponencial (resposta homogênea) com o cosseno defasado (resposta 
particular). A influência da exponencial desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso a 
resposta homogênea é chamada de resposta transitória ao passo que a resposta particular é 
chamada de resposta em regime permanente.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 6
5.3 Linearidade da resposta ao estado zero
É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma 
função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de 
onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para 
representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as 
seguintes condições.
Z t0 i 1i2=Z t0 i1Z t0 i 2
Z t0 k⋅i1=k⋅Z t0i1
Para uma determinada rede, v1 é a resposta a excitação com uma fonte i1t  tal que
C⋅
dv1
dt

v1
R
=i 1t  com v10=0
e v2 é a resposta para uma excitação i2t  de tal forma que
C⋅
dv2
dt

v2
R
=i2 t  com v20=0 .
A soma das duas equações resulta em
C⋅
dv1
dt
C⋅
dv2
dt

v1
R

v2
R
=i1t i 2t 
ou seja
C⋅
d v1v2
dt
 1
R
⋅v1v2=i1t i 2t  com v10v20=0
o quesatisfaz a primeira condição para linearidade.
Caso a fonte i1t  seja multiplicada por por um determinado valor k então
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 7
C⋅
d k⋅v1
dt

k⋅v1
R
=k⋅i1t  com k⋅v10=0
Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado 
zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo.
5.4 Invariância com o tempo
Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i1 e cuja resposta ao estado 
zero seja v1 tal que
dv1
dt

v1

=i1 .
Agora, supondo que a excitação mude para i1t−T1 , então a resposta ao problema é 
v1t−T1 tal que
dv1t−T1
dt

v1t−T1

=i1t−T1
cuja solução é idêntica a da equação
dy
dt

y

=x onde
y=v1t−T1 e x=i1t−T1 com v10−T1=0 .
Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1 
segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos.
5.5 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa
Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a 
resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a 
resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 8
zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas 
equações são
C⋅
dv I
dt

v I
R
=0 (equação para o circuito RC com excitação zero)
C⋅
dvO
dt

vO
R
=i S t  (equação para o circuito RC com estado zero)
onde v I e vO são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente. 
Somando as equações temos
C⋅
dv I
dt

v I
R
C⋅
dvO
dt

vO
R
=iS t 
que pode ser reescrita como
C⋅
d vIv0
dt

v Iv0
R
=i S t  .
Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema 
completo.
vC t =v I t vO t  , para t≥0 .
vC t =v0⋅e
−1
R⋅C
⋅t
R⋅iS⋅1 – e
−1
R⋅C
⋅t .
Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da 
resposta em regime permanente.
vC t =v transitoria t v permanente t 
vC t =v0 – R⋅i S⋅e
−1
R⋅C
⋅t
R⋅i S t  , para t≥0 .
Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 9
sol t=sol ∞−[sol ∞−sol 0]⋅e
−t

onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e  é a constante de 
tempo do circuito, seja ele RC ou RL.
Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave 
S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=R1⋅C .
para t≤0
vC=0
para 0≤t≤R1⋅C
vC 0=0
vC ∞=R1⋅I
vC=R1⋅I⋅1 – e
−t
R1⋅C 
para t=R1⋅C=T1
vC T1=R1⋅I1⋅1−1e
vC ∞= I⋅ R1⋅R2R1R2 
2=C⋅ R1⋅R2R1R2 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 10
vC t =vC T1⋅e
−t−T1
2 vC ∞⋅1– e
−t – T1 
2 =v excitação zerov estado zero
vC t =vC ∞−[vC ∞−vC T1]⋅e
−t−T1
2 =v  permanente v transitória 
5.6 Generalização
5.6.1 Resposta a excitação zero
A resposta a excitação zero é a resposta do circuito quando a excitação é nula. Assim a 
equação diferencial que descreve o sistema é
d n y
dt n
a1⋅
d n−1 y
dtn−1
...an⋅y=0
O polinômio característico desta equação é
sna1⋅s
n−1...an−1⋅san=0
e as raízes deste polinômio são as chamadas freqüências naturais da variável de rede y. 
Se todas as raízes forem distintas então
y t =∑
i=1
n
k i⋅e
si⋅t
onde as constantes ki são determinadas pelas condições iniciais. Se alguma das raízes 
coincidirem então a resposta deve ser reescrita levando-se em conta os termos com potência 
de t adequadas.
5.6.2 Resposta ao estado zero
A resposta ao estado zero é da forma
y t =∑
i=1
n
k i⋅e
si⋅t y p t 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 11
onde yp é uma solução particular que depende da excitação w e, por conveniência, 
podem ser escolhidas de acordo com a tabela abaixo. As constantes ki são obtidas pelas 
condições iniciais.
Função forçada Solução assumida
K A
K⋅t A⋅tB
K⋅t2 A⋅t 2B⋅tC
K⋅sen⋅t  A⋅sen ⋅t B⋅cos ⋅t 
K⋅e−a⋅t A⋅e−a⋅t
5.7 Exercícios
1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a 
seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e 
uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é 
de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor vC  e o resistor v R . Quando a fonte V é 
considerada entrada e a saída corresponde a vC o circuito é chamado de passa baixas e 
quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes?
Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o 
problema
− v
R

vC
R
C⋅
dvC
dt
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 12
dvC
dt

vC
R⋅C
= v
R⋅C
onde R⋅C=constante de tempo==0,1ms
vC=k 1⋅e
−1

⋅t
k2
Para os 0,1ms onde v=10V
vC ∞=10V
vC t =[ vC 0−10]⋅e
− 1

⋅t
10
a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo)
Para os 0,1ms onde v=0V
vC ∞=0V
vC t =10⋅e
− 1

⋅t
a tensão chega a 0V em 1,5ms.
Do segundo pulso em diante 
vC t =−10⋅e
−1

⋅t
10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) 
vC t =10⋅e
− 1

⋅t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda 
quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças 
rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as 
baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas 
frequências).
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 13
v Rt =v−vC t 
v Rt =10⋅e
−1

⋅t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) 
v Rt =10−10⋅e
−1

⋅t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda 
quadrada mas “zera” as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa 
altas (passa altas frequências).
V(V1,C1) – tensão sobre o resistor
2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja vC 0=1V e 
V =30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u t V . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há 
alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória 
seja nula.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 14
C⋅dv
dt

v
R
=
[A' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t ]
R
onde =2⋅⋅1000 , A ' 1=30 e A ' ' 1=0
v t =K1⋅e
−1
R⋅C
⋅t
A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t  , para t≥0
v 0=K1A' 2⋅cos 0=K1A' 2=1 
se v 0=A' 2 então K 1=0 e não há transitório
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
C⋅
dv p
dt

v p
R
=
[A ' 1⋅cos ⋅t ]
R
como v pt =A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t 
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
...
[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t ]
R
=
[A' 1⋅cos ⋅t ]
R
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2
A' ' 2
R
=0
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2
A ' 2
R
=30
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 15
3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2 
fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1 
fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4Ω para t>4. Indique o sentido 
correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4Ω no intervalo 
4t∞ .
a) Transformando o Norton (I=10A e R=2Ω) em Thévenin
diL
dt
 R
L
⋅iL=
R
L
⋅I S
diL
dt
1
4
⋅i L=
1
4
⋅10=2,5
iL0=0A , iL∞=10A
iLt =10– 10⋅e
−t
4 para t>0
iL4=10– 10⋅e
−1=6,32 A
w L4=
1
2
⋅L⋅i L
2 4= 12
⋅8⋅6,322=159,8 J
b)
iL4=6,32 A e iL∞=0 e =
L
R
=
8
4
=2
iLt =6,32⋅e
−t−4
2 para t>4
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 16
c)
wR=∫
0
∞
R⋅I 2t dt
wR=4⋅∫
4
∞
6,322⋅e
−2⋅ t−4 
2 ⋅dt=4⋅6,322⋅−1⋅e−t−4∣4
∞
=159,8 J
4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo 
anterior calcule tensão e corrente sobre o capacitor ou indutor.
a) Considere I S1t  uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.
−I S1iR1iC=0 e iR1=I S1−iC
−R1⋅iR1
1
C
⋅∫ iC t ⋅dtR1⋅iC=0 – considerando vC 0=0
derivando esta equação
R1⋅
diC
dt
 1
C
⋅iCR1⋅
diC
dt
=0
diC
dt
 1
C⋅R1R1
⋅iC=0
iC t =k⋅e
−t
C⋅R1R1
iC 0
+=
R1⋅I S1
R1R1
=k
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 17
i t =
R1⋅I S1
R1R1
⋅e
−t
C⋅R1R1 para t>0
b) Considere I 1t  uma fonte constante e independente.
iL10
-=iL1 0
+ =
I1
G1G2
⋅G2
iL1∞=I1
Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema 
I1⋅R1=L⋅
diL1
dt
R1⋅I1
=
L1
R1
iL1t =k 1⋅e
− 1

⋅t
k2 , para t>0.
iL1∞=k 2= I1 , iL10=k1k 2=
I1
G−1G2
⋅G2
k 2= I1 , k 1=−
I1⋅G1
G1G2
v L1t =L⋅
diL1 t 
dt
, para t>0.
c) Considere V 1t  uma fonte constante e independente
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 18
V TH=−
40
9
V , RTH=RN=
20
9
 , I N=−2A
vC1 0
+ =V TH , vC1 ∞=
V TH
RTHR2
⋅R2=3,48V
Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C1, R2, RN e IN 
em paralelo. Este circuito já foi calculado.
REQ=
R2⋅RN
R2RN
I N=C⋅
dvC1
dt

vC1
REQ
=REQ⋅C1
vC1 t =k1⋅e
−1

⋅t
k 2 , para t>0.
vC1 ∞=k 2=3,48
vC1 0=k 1k 2=−4,44
k 1=−7,92
d) I 1t  é um degrau unitário de corrente.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 19
Observe que neste circuito R1 esta em paralelo com L1. Este conjunto está em série 
com o paralelo de C2 com R2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo 
independentes: a) I1, R1 e L1 ; b) I1, R2 e C2.
iL1t =k 1⋅e
−
R1
L1
⋅t
k2
vC2 t =k3⋅e
− 1
R2⋅C2
⋅t
k4
e) I 1t  é um degrau de corrente de 10mA e I 2t  é uma fonte de corrente constante 
de 4mA.
Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor
REQ=RTH=12k // 20k16k =9k
iEQ=[10⋅u t  – 4]mA
V C1 0
– =−
4 mA⋅[20k12k // 16k]
20k12k
⋅12k=−16V
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 20
iC 0
+ =6mA 16V
9k
=7,77 mA
iC ∞=0
dvC
dt

vC
REQ⋅C
=
iEQ
C
iC t =iC 0
+⋅e
−t
C⋅REQ⋅u t mA
f) V 1t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s.
v R2=V1 logo iR2=
V1
R2
 (a mesma corrente que flui pelo paralelo de C1 com R1)
vC1=v R1=Vo
Para 0<t<0,5
vC1 0
+ =0V , vC1 ∞=−
V1
R2
⋅R1
=R1⋅C1
vC1 t =k1⋅e
−1

⋅t
k 2
vC1 ∞=k 2=−5
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 21
vC1 0=k 1k 2=0
k 1=5
Para t>0,5
vC1 0,5=5⋅e
− 1
0,1
⋅0,5
−5≈−4,9V , vC1 ∞=0V
vC1 t =k 3⋅e
−1

⋅ t−0,5 
k4
k 4=0
vC1 0,5=k3=−4,9
g) V 1t  é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R⋅C segundos.
Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton
V1
R1
=C⋅
dvC1
dt

vC1
R1
Para 0t6⋅R1⋅C1
vC1 0
+ =0V , vC1 ∞=V1
=R1⋅C1
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 22
vC1 t =k1⋅e
−1

⋅t
k 2
vC1 t =−V1⋅e
− 1

⋅t
V1
Para t6⋅R1⋅C1
vC1 6⋅R1⋅C1=−V1⋅e
− 1
R1⋅C1
⋅6⋅R1⋅C1
V1≈V1 , vC1 ∞=0V
vC1 t =V1⋅e
−1

⋅ t−6⋅R1⋅C1
h) V 1t  é uma fonte constante e independente.
Solução:
iL0
–=
V 1
R1
, iL∞=
V 1
R1
, iL0
+=i L 0
-
vC 0
– =V 1 , vC 0
+=V 1 , vC ∞=0V
C⋅
dvC
dt

vC
R
=0
vC t =6⋅e
−t
R⋅C V para t>0.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 23