Teste de conhecimento

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Teste de
Conhecimento
	Aula 1 
	
	
	 
	
	 
		
	
		1.
		Um motor de velocidade controlada tem um sistema motor-relé-amplificador com uma função de transferência de 200 rpm/V e um sistema de medição na malha de realimentação com uma função de transferência de 5 mV/rpm. Qual é a função de transferência do sistema global?
	
	
	
	1000 rpm / V
	
	
	40 rpm / V
	
	
	1500 rpm / V
	
	
	100 rpm / V
	
	
	200 rpm / V
	
Explicação:
FT = G / (1 + GH)
	
		
	
		2.
	Qual das opções abaixo NÃO corresponde a uma vantagem do sistema de malha aberta em relação a fechada?
	
	
	
	
	Maior ganho
	
	
	Menor custo
	
	
	Estabilidade
	
	
	Precisão
	
	
	Simplicidade
	
Explicação:
As vantagens do sistema de malha aberta em relação a fechada são:
Maior ganho
Estabilidade
Simplicidade
Menor custo
	
	 
		
	
		3.
		Em sistemas de controle em malha fechada, assinale a alternativa que descreve a finalidade do comparador na malha de controle:
	
	
	
	Comparar o sinal de erro com o sinal de entrada.
	
	
	Comparar o sinal de entrada e o sinal de erro, gerando o sinal de saída da malha de controle.
	
	
	Comparar o sinal de entrada e o sinal de saída, gerando o sinal de erro para a malha de controle.
	
	
	Comparar as entradas do sistema.
	
	
	Comparar o sinal de erro com o sinal de saída.
	
Explicação:
O comparador (ou somador) é um elemento fundamental em um sistema de controle em malha fechada, pois ele é responsável por gerar o sinal de erro resultante da diferença do sinal de entrada e de saída.
	
		4.
		Em um sistema de controle qual a função de um sensor (medidor ou transdutor)? Normalmente, ele é utilizado em sistemas de controle em malha fechada ou em malha aberta?
	
	
	
	Controlar a planta ou sistema.
	
	
	Obter o sinal de erro.
	
	
	Amplificar o sinal de entrada.
	
	
	Condicionar o sinal de saída.
	
	
	Medir e converter o sinal a ser controlado.
	
Explicação:
O sensor é um dispositivo responsável pela medição e conversão da variável a ser controlada para fins de comparação e obtenção do Sinal de Erro. Em geral, são utilizados em sistemas de controle em malha fechada no caminho da realimentação.
	
		5.
		Qual uma possível desvantagem de um sistema de controle em malha fechada em relação a um sistema de controle em malha aberta?
	
	
	
	Tendência para oscilação ou instabilidade.
	
	
	Aumento da sensibilidade em relação aos parâmetros do sistema.
	
	
	Redução do ruído.
	
	
	Imunidade à interferência.
	
	
	Redução da banda passante.
	
Explicação:
A realimentação pode causar a instabilidade do sistema.
	
		6.
		Considere um controlador com ganho 12 e uma motor com uma função de transferência de 0,10 rpm/V. - Em malha aberta, como o erro variará (em termos percentuais) se a F.T. do motor variar de mais 10%?
	
	
	
	50%
	
	
	20%
	
	
	40%
	
	
	60%
	
	
	30%
	
Explicação:
Erro = En(GS - 1)
Situação inicial
Erro = En(12 . 0,1 - 1) = 0,2 En
Situação final
Erro = En(12 . 0,11 - 1) = 0,32 En
Variação percentual = 60%
Aula 2
	
		1.
		Determine qual opção corresponde a transformada de Laplace da função f(t) = t3e−t
	
	
	
	5(s+1)35(s+1)3
	
	
	2(s+1)32(s+1)3
	
	
	6(s+1)36(s+1)3
	
	
	6(s+1)46(s+1)4
	
	
	3(s+1)33(s+1)3
	
Explicação:
Consultar a tabela das transformadas de Laplace no link 
https://www.ime.unicamp.br/~msantos/tab-laplace
(visualização em 29.03.2020)
	
	
		2.
		Determine a transformada de Laplace da função:
	
	
	
	s+2(s+3)2+9s+2(s+3)2+9
	
	
	s+2(s+1)2+9s+2(s+1)2+9
	
	
	s+3(s+2)2+4s+3(s+2)2+4
	
	
	s+2(s+2)2+9s+2(s+2)2+9
	
	
	s+3(s+3)2+9s+3(s+3)2+9
	
Explicação:
	
	
		3.
		Resolva a equação diferencial abaixo:
	
	
	
	y(t)=3e−3ty(t)=3e−3t
	
	
	y(t)=−e−2ty(t)=−e−2t
	
	
	y(t)=2e−3ty(t)=2e−3t
	
	
	y(t)=e−3ty(t)=e−3t
	
	
	y(t)=e−2ty(t)=e−2t
	
Explicação:
	
		4.
		Determine a transformada de Laplace da função:
	
	
	
	4s(s2−3)(s2+1)34s(s2−3)(s2+1)3
	
	
	4s(s2−3)(s2+1)24s(s2−3)(s2+1)2
	
	
	4s(s2−3)(s2−1)34s(s2−3)(s2−1)3
	
	
	4(s2−3)(s2+1)34(s2−3)(s2+1)3
	
	
	4s(s2+3)(s2−1)24s(s2+3)(s2−1)2
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a transformada de Laplace da função f(t) = e3tcos2t
	
	
	
	s−3(s−3)2+2s−3(s−3)2+2
	
	
	s−3(s−3)2+4s−3(s−3)2+4
	
	
	s+3(s+3)2+4s+3(s+3)2+4
	
	
	s−3s+1s−3s+1
	
	
	(s−3)2s+4(s−3)2s+4
	
Explicação:
Consultar tabela das transformadas de Laplace
https://www.ime.unicamp.br/~msantos/tab-laplace
(visualização em 29.03.2020)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a transformada inversa de Laplace de F(s) = 1 / (s − 2)2
	
	
	
	t-2e2t
	
	
	t-2et
	
	
	t2e2t
	
	
	te2t
	
	
	t2et
	
Explicação:
Consultar a tabela de Laplace constante no link 
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/tdptes-tabelas_de_transformadas_de_laplace.html
(visualização em 29.03.2020)
	 
		1
          Questão
	
	
	Obtenha a função de transferência de 
		
	 
	1 / (s+2)
	
	s
	
	1/s
	
	s2
	
	s + 2
	Respondido em 06/03/2022 23:01:31
	
Explicação:
sC(s) + 2C(s) = R(s)
G(s) = C(s) / R(s) = 1 / (s+2)
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Determine a corrente i(t) do circuito RL abaixo, quando é aplicado um degrau unitário na entrada. Considere R=2Ω, L=1H e as condições iniciais nulas.
		
	
	−0,5e−2t−0,5e−2t
	
	u(t)−e−2tu(t)−e−2t
	
	0,5u(t)−0,5e2t0,5u(t)−0,5e2t
	
	0,5u(t)+0,5e−2t0,5u(t)+0,5e−2t
	 
	0,5u(t)−0,5e−2t0,5u(t)−0,5e−2t
	Respondido em 26/03/2022 21:16:12
	
Explicação:
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Determine os valores de R2 e C para que a função de transferência do circuito abaixo seja Vo(s)/Vi(s)=-3s-2, sabendo que R1=1Ω.
		
	
	R2=1Ω;C=1FR2=1Ω;C=1F
	
	R2=1,5Ω;C=2FR2=1,5Ω;C=2F
	
	R2=2Ω;C=1FR2=2Ω;C=1F
	 
	R2=2Ω;C=1,5FR2=2Ω;C=1,5F
	
	R2=2Ω;C=2FR2=2Ω;C=2F
	Respondido em 26/03/2022 21:17:12
	
Explicação:
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Determine a função transferência Vo(s)/Vi(s) do circuito RC abaixo, considerando R=1Ω, C=1F e as condições iniciais nulas.
		
	
	s−1s−1
	
	s+1s+1
	
	−1s+1−1s+1
	 
	1s+11s+1
	
	1s−11s−1
	Respondido em 26/03/2022 21:17:55
	
Explicação:
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Obtenha a função de transferência de Imagem da questão
		
	
	s
	
	s + 2
	 
	1 / (s+2)
	
	1/s
	
	s2
	Respondido em 26/03/2022 21:19:48
	
Explicação:
sC(s) + 2C(s) = R(s)
G(s) = C(s) / R(s) = 1 / (s+2)
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Determine a função de transferência do circuito abaixo com R1=R2=2Ω e C=1F.
		
	
	2s−12s−1
	
	2s+12s+1
	 
	−2s−1−2s−1
	
	−2s+1−2s+1
	
	−2s−2−2s−2
	Respondido em 26/03/2022 21:20:15
	
Explicação:
	
	
	 
		1
          Questão
	
	
	
		
	
	1,41 e -1,41
	
	2,82+2,82j e 2,82-2,82j
	
	1 e -1
	 
	1,41+1,41j e 1,41-1,41j
	
	1+j e 1-j
	Respondido em 26/03/2022 21:33:36
	
Explicação:
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Para a função de transferência G(s) = 3 / (s + 4), determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
 
 
		
	
	0,25; 0,25; 1
	
	0,25; 1; 1
	 
	0,25; 0,55; 1
	
	1; 1; 0,25
	
	3; 4; 4
	Respondido em 26/03/2022 21:34:32
	
Explicação:
1 / t = 4
t = 0,25
Ts = 2,2t = 0,55
Ta = 4t = 1
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Para a função de transferência abaixo, qual é a resposta esperada quando a entrada é um degrau unitário.
		
	 
	A resposta é subamortecida com ξ>0,5ξ>0,5.
	
	A resposta é superamortecida.
	
	A resposta é criticamente amortecida.
	
	A resposta é não amortecida.
	
	A resposta é subamortecida com ξ<0,5ξ<0,5.
	Respondido em 26/03/2022 21:35:56
	
Explicação:
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Em uma função de transferência de 1ª ordem, conhecida a constante de tempo (2s), determine o tempo de subida (aproximado)
		
	 
	4,4s
	
	7s
	
	2s
	
	3,4s
	
	8s
	Respondido em 26/03/2022 21:36:38
	
Explicação:
ts = 2,2t5
          Questão
	
	
	Para um sistema de 2ª ordem sem zeros, a resposta obtida para uma entrada em degrau unitário foi do tipo criticamente amortecida. Determine os polos do sistema se a frequência natural do sistema é 5 rad/s.
		
	
	-4 e -3
	
	-2 e -2
	 
	-5 e -5
	
	-4 e -5
	
	-3 e -3
	Respondido em 26/03/2022 21:37:01
	
Explicação:
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Em uma função de transferência de 1ª ordem, conhecida a constante de tempo (2s), determine o tempo de acomodação (aproximado)
		
	 
	8s
	
	4,4s
	
	2s
	
	3,3s
	
	7s
	Respondido em 26/03/2022 21:37:15
	
Explicação:
ta = 4t
	
	
		1
          Questão
	
	
	Considerando um sistema sem zeros e com polo em -5, podemos afirmar que
		
	
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	 
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	
	Nada podemos afirmar em razão da ausência de zeros
	Respondido em 26/03/2022 21:49:28
	
Explicação:
O valor de sua função temporal (e-5t) tende a zero
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Assinale a alternativa que descreve corretamente o estado do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
G(s) = 5 / (s2 + 4s + 5)
		
	
	Não é possível determinar.
	
	O sistema é marginalmente estável.
	 
	O sistema é estável com polos complexos.
	
	O sistema é estável com polos reais.
	
	O sistema é instável.
	Respondido em 26/03/2022 21:50:01
	
Explicação:
s2 + 4s + 5 = 0
Polos: s = -2 + i e s = -2- i
Como a parte real dos polos é negativa, o sistema é estável
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Assinale a alternativa correta sobre a estabilidade do sistema descrito pelo diagrama em blocos abaixo:
		
	 
	O sistema é estável com polos reais.
	
	O sistema é marginalmente estável.
	
	Não é possível determinar.
	
	O sistema é instável com polos complexos.
	
	O sistema é instável.
	Respondido em 26/03/2022 21:50:25
	
Explicação:
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Determine para qual faixa de valores de K o sistema de malha fechada abaixo é estável.
		
	
	K > -0,5
	
	K > 0
	 
	K < -0,5
	
	K > 0,5
	
	K < 0,5
	Respondido em 26/03/2022 21:50:36
	
Explicação:
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Determine para qual faixa de valores de K o sistema de malha fechada abaixo é estável.
		
	
	K < -16
	
	K < 0
	
	K < 36
	 
	K > 0
	
	K > -5
	Respondido em 26/03/2022 21:51:15
	
Explicação:
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Dado um sistema de malha fechada de equação característica s2 + 14s + k, para que valores de k o sistema é estável
		
	
	k < 0
	 
	k > 0
	
	k < 7
	
	k < 49
	
	k > -7
	Respondido em 26/03/2022 21:51:29
	
Explicação:
Polos = -7 +- raiz(49 - k)
Se k < 0 -> polos reais positivos
0 < k < 49 -> polos reais negativos
k > 49 -> polos complexos com parte real negativa
Determine se o sistema em malha fechada a seguir é estável ou instável.
Gabarito
Gabarito
A função de transferência de malha fechada é:
H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero.
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são iguais e estão ambos localizados em s=-1, ou seja possuem parte real negativa, estando ambos os polos no SPE. Portanto, o sistema é estável.
A solução anterior utiliza a condição de estabilidade no domínio da frequência. Outra forma de resolvero problema é utilizando a condição de estabilidade no tempo. Para isso, é necessário encontrar a tranformada inversa de H(s). Fica evidente a inversa quando H(s) é reescrita na forma:
H(s)=4(s+1)2H(s)=4(s+1)2
A inversa é h(t)=4te-t. Quando é aplicado o limite para verificar a estabilidade:
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞
Portanto, é uma indeterminação. Para sair da indeterminação, basta aplicar a regra de L´Hôpital, derivando o numerador e denominador em relação a t:
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0
Como o limite anterior foi zero, o sistema é estável e concorda com o que foi obtido quando foi aplicada a condição de estabilidade na frequência.
É possível verificar que, nesse caso, a aplicação da condição de estabilidade no domínio da frequência fornece o resultado com menos cálculos do  que a condição de estabilidade no domínio do tempo. 
Determine se é estável ou instável o sistema com função de transferência em malha fechada dada por:
Y(s)R(s)=5s(s+1)(s−3)
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero.
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são s=0, s=1 e s=3. Portanto, s=3 está localizado no semiplano da direita (SPD) do plano s, sendo o sistema em estudo instável, já que todos os polos devem estar no semiplano da esquerda (SPE) para que o sistema seja estável.
Determine o valor K para que o sistema de malha fechada com função de transferência
H(s)=Kss2+(k−3)s+KH(s)=Kss2+(k-3)s+K
tenha dois polos reais, iguas e estáveis.
Supondo que os dois polos reais de H(s) sejam um número real α, nesse caso, o denominador da função de trasferência seria (s- α)2. Se você igualar esta polinômio ao denominador da função de transferência de H(s), naturalmente você obriga que ambos os polinômios tenham as mesmas raízes. De tal forma que:
s2+(K−3)s.K=(s−α)2s2+(K-3)s.K=(s-α)2
Igualando os coeficientes dos dois polinômios:
−2α=K−3-2α=K-3
α2=Kα2=K
Substituindo uma equação na outra para ficar com uma equação com uma única variável:
α2+2α−3=0α2+2α-3=0
Resolvendo a equação do 2°grau para obter o valor de α:
α=−3α=-3
α=1α=1
Substituindo os valores de α em (P5.7), obtém-se, respectivamente, os valores de K=9 e K=1. Existem dois valores de α que fazem os polos da função de transferência reais e iguais. Contudo, se α=1 o polo estará no SPD e o sistema será instavel. Por outro lado, se α=-3 o polo estará no SPE e o sistema será estável. Logo, a resposta é K=9.
Enuncie as condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo.
A condição de estabilidade no domínio da frequência diz que um sistema linear invariante no tempo (SPLIT) é dito estável se todos os polos da função de transferência do sistema têm parte real negativa, ou seja, quando todos os polos estão localizados no semiplano da esquerda (SPE). A condição de estabilidade no domínio do tempo diz que um sistema linear inveriante no tempo (SLIT) é dito estável se
lim h(tt⇒∞)=0lim h(tt⇒∞)=0
, onde h(t) é a resposta do sistema a um impulso unitário S(t).
Para o sistema cuja resposta ao impulso é
h(t)=e3th(t)=e3t
. Determine se o sistema é estavel ou instável.
 Basta calcular o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞
O limite anterior tende a infinito, logo, o sistema é instável.
Uma forma de resolver o problema é aplicar a transformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse caso:
H(s)=1s−3H(s)=1s-3
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s-3=0. O polo é s=3. Logo, o polo possui parte real positiva, ou seja, o polo está localizado no semiplano da direita(SPD), sendo o sistema instável.
Para o sistema cuja resposta ao impulso é
h(t)=e−5th(t)=e-5t
. Determine se o sistema é estável ou instável.
Basta calcur o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim e−5tt⇒∞→0lim h(tt⇒∞)=lim e-5tt⇒∞→0
O limite anterior tende a zero, logo, o sistema é estável.
Um forma de resolver o problema é aplicar a trasformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse caso:
H(s)=1s+5H(s)=1s+5
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s+5=0. O polo s=-5. Logo, o polo possui parte real negativa, ou seja, o poloestá localizado no semiplano da esquerda (SPE), sendo o sistema estável.
É possível verificar que nos dois últimos casos a plicação da condição de estabilidade no domínio do tempo fornece o resultado com menos cálculos que a condiçãp de estabilidade no domínio da frequência.
Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=2t sin(3t). Determine se o sistema é estável ou instável. Basta calcur o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin(3t)→∞lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin3t→∞
O limite anterior tende a infinito, já que 2t tende a infinito e a função seno é limitada, estando compreendida entre -1 e 1. Logo, o sistema é instavel.
A.1 Tabelas de Transformadas de Laplace
As principais transformadas de Laplace e suas inversas estão tabelas nas tabelas A.1 e A.2. Algumas constantes e funções especiais que são usadas nas tabelas são as seguintes:
a)
Função Gamma
	Γ(k)=∫0∞e−xxk−1dx,(k>0)
	(A.1)
b)
Função Bessel modificada de ordem ν
	Iν(x)=∑m=0∞1m!Γ(m+ν+1)x22m+ν
	(A.2)
c)
Função Bessel de ordem 0
	J0(x)=1−x222(1!)2+x424(2!)2−x626(3!)2+⋯
	(A.3)
d)
Integral seno
	Si(t)=∫0tsen(x)xdx
	(A.4)
e)
Constante de Euler - Mascheroni
	γ=0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...
	(A.5)
	
	
	F(s)=L{f(t)}
	f(t)=L−1{F(s)}
	
	
	 
	 
	1s
	1
	
	
	 
	 
	1s2
	t
	
	
	 
	 
	1sn,(n=1,2,3,...)
	tn−1(n−1)!
	
	
	 
	 
	1s,
	1πt
	
	
	 
	 
	1s32,
	2tπ
	
	
	 
	 
	1sk,(k>0)
	tk−1Γ(k)
	
	
	 
	 
	1s−a
	eat
	
	
	 
	 
	1(s−a)2
	teat
	
	
	 
	 
	1(s−a)n,(n=1,2,3...)
	1(n−1)!tn−1eat
	
	
	 
	 
	1(s−a)k,(k>0)
	1Γ(k)tk−1eat
	
	
	 
	 
	1(s−a)(s−b),(a≠b)
	1a−beat−ebt
	
	
	 
	 
	s(s−a)(s−b),(a≠b)
	1a−baeat−bebt
	
	
	 
	 
	1s2+w2
	1wsen(wt)
	
	
	 
	 
	ss2+w2
	cos(wt)
	
	
	 
	 
	1s2−a2
	1asenh(at)
	
	
	 
	 
	ss2−a2
	cosh(at)
	
	
	 
	 
	1(s−a)2+w2
	1weatsen(wt)
	
	
	 
	 
	s−a(s−a)2+w2
	eatcos(wt)
	
	
	 
	 
	1s(s2+w2)
	1w2(1−cos(wt))
	
	
	 
	 
	1s2(s2+w2)
	1w3(wt−sen(wt))
	
	
	 
	 
	1(s2+w2)2
	12w3(sen(wt)−wtcos(wt))
	
	
	 
	 
	s(s2+w2)2
	t2wsen(wt)
	
	
	 
	 
	
	
Tabela A.1: Tabela de transformadas de Laplace - parte 1
	
	
	F(s)=L{f(t)}
	f(t)=L−1{F(s)}
	
	
	s2(s2+w2)2
	12w(sen(wt)+wtcos(wt))
	
	
	 
	 
	s(s2+a2)(s2+b2),(a2≠b2)
	1b2−a2(cos(at)−cos(bt))
	
	
	 
	 
	1(s4+4a4)
	14a3(sen(at)cosh(at)−cos(at)senh(at))
	
	
	 
	 
	s(s4+4a4)
	12a2sen(at)senh(at))
	
	
	 
	 
	1(s4−a2)
	12a3(senh(at)−sen(at))
	
	
	 
	 
	s(s4−a4)
	12a2(cosh(at)−cos(at))
	
	
	 
	 
	s−a−s−b
	12πt3(ebt−eat)
	
	
	 
	 
	1s+as+b
	e−(a+b)t2I0a−b2t
	
	
	 
	 
	1s2+a2
	J0(at)
	
	
	 
	 
	s(s−a)32
	1πteat(1+2at)
	
	
	 
	 
	1(s2−a2)k,(k>0)
	πΓ(k)t2ak−12Ik−12(at)
	
	
	 
	 
	1se−ks,(k>0)
	J0(2kt)
	
	
	 
	 
	1se−ks
	1πtcos(2kt)
	
	
	 
	 
	1s32eks
	1πtsenh(2kt)
	
	
	 
	 
	e−ks,(k>0)
	k2πt3e−k24t
	
	
	 
	 
	1sln(s)
	−ln(t)−γ,(γ≈0,5772)
	
	
	 
	 
	lns−as−b
	1tebt−eat
	
	
	 
	 
	lns2+w2s2
	2t1−cos(wt)
	
	
	 
	 
	lns2−a2s2
	2t1−cosh(at)
	
	
	 
	 
	tan−1ws
	1tsen(wt)
	
	
	 
	 
	1scot−1(s)
	Si(t)
	
	
	 
	 
	
	
Tabela A.2: Tabela de transformadas de Laplace - parte 2
A.2 Tabela de propriedades da transformada de Laplace
A tabela A.3 apresenta as principais propriedades da transformada de Laplace.
	
	
	Linearidade
	Lαf(t)+βg(t)=αLf(t)+βLg(t)
	
	
	 
	 
	Transformada da derivada
		Lf′(t)=sLf(t)−f(0)
	Lf″(t)=s2Lf(t)−sf(0)−f′(0)
	
	
	 
	 
	Deslocamento no eixo s
	Leatf(t)=F(s−a)
	
	
	 
	 
	Deslocamento no eixo t
		Lu(t−a)f(t−a)=e−asF(s)
	Lu(t−a)=e−ass
	
	
	 
	 
	Transformada da integral
	L∫0tf(τ)dτ=F(s)s
	
	
	 
	 
	Transformada da Delta de Dirac
	Lδ(t−a)=e−as
	
	
	 
	 
	Teorema da Convolução
		L(f∗g)(t)=F(s)G(s),
	onde (f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t−τ)dτ
	
	
	 
	 
	Transformada de funções periódicas
	Lf(t)=11−e−sT∫0Te−sτf(τ)dτ
	
	
	 
	 
	Derivada da transformada
	Ltf(t)=−dF(s)ds
	
	
	 
	 
	Integral da transformada
	ŝŝLf(t)t=∫s∞F(ŝ)dŝ
	
	
	
	
Tabela A.3: Tabela de séries de potências
A.3 Tabela de séries de potência
A tabela A.4 apresenta algumas séries de potência úteis.
	
	
	Série
	Intervalo de convergência
	
	
	11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯,
	−1<x<1
	
	
	 
	 
	x(1−x)2=∑n=1∞nxn=x+2x2+3x3+4x4+⋯,
	−1<x<1
	
	
	 
	 
	ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯,
	−∞<x<∞
	
	
	 
	 
	ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1=x−x22+x33−x44+⋯,
	−1<x<1
	
	
	 
	 
	arctan(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=x−x33+x55−x77+⋯,
	−1<x<1
	
	
	 
	 
	sen(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−x77!+⋯,
	−∞<x<∞
	
	
	 
	 
	cos(x)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−x66!+⋯,
	−∞<x<∞
	
	
	 
	 
	senh(x)=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!=x+x33!+x55!+x77!+⋯,
	−∞<x<∞
	
	
	 
	 
	cosh(x)=∑n=0∞x2n(2n)!=1+x22!+x44!+x66!+⋯,
	−∞<x<∞
	
	
	 
	 
	(1+x)m=1+∑n=1∞m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn
	−1<x<1, m≠0,1,2,...
	
	
	 
	 
	
	
Tabela A.4: Tabela de séries de potências