Servomecanismo 1

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1. Com base nas propriedades dos sistemas de controle, assinale a alternativa que não corresponde a sistemas de controle em malha fechada quando comparados com sistemas de controle em malha aberta:
a) Menos sensível a não linearidades.
b) Maior imunidade a ruídos.
xc) Menor tendência a oscilar.
d) Maior precisão.
e) Maior largura de faixa.
2. Qual a diferença fundamental entre sistemas de controle em malha aberta e fechada?
Gabarito
Gabarito
A diferença fundamental entre os sistemas de controle em malha aberta e em malha fechada reside na realimentação (retroação ou feedback) apresentada por estes.
3. Esboce o diagrama em blocos de um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária que não faz uso de um atuador, descrevendo os sinais e os blocos que o compõe.
Gabarito
Gabarito
A Figura 5 representa este diagrama em blocos. Os sinais e blocos que compõem o sistema da Figura 5 são:
· Entrada de Referência: é o sinal externo aplicado ao sistema de controle que representa o valor desejado da saída da planta.
· Comparador: é um dispositivo que gera o sinal de erro resultante da diferença entre o valor desejado (entrada de referência) e o valor obtido (neste caso, o sinal de saída).
· Controlador: dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que será aplicado no sistema.
· Sistema: é o objeto a ser controlado pelo sistema de controle com realimentação.
· 4. Qual a função do atuador em um sistema de controle?
· 
· Gabarito
· Gabarito
· O atuador é um dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal de controle de potência suficiente para atuar sobre o sistema. Em geral, o atuador recebe uma entrada elétrica e a converte em um sinal, tal como uma força ou torque que faz com que a saída do sistema se mova ou mude ao longo do intervalo desejado.
· 1 - Defina transformada de Laplace e cite um dos seus benefícios.
· 
· Gabarito
· Gabarito comentado:
· A transformada de Laplace de uma função 𝑓(𝑡) é uma integral imprópria dada por:
F(s)=∫∞0−f(t)e−stdtFs=∫0−∞fte−stdt
Um dos principais benefícios da transformada de Laplace é converter um sistema de equações integro-diferenciais na variável independente 𝑡 num sistema de equações algébricas na variável independente 𝑠.
2 - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
a) g(t)=t3+3cos(2t)gt=t3+3cos2t
b) g(t)=2t2cos(t)gt=2t2cost
c) g(t)=teαtgt=te𝛼t
d) g(t)=eαtcos(ωt)gt=e𝛼tcos𝜔t
e)
3 - Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
a) G(s)=2s−2Gs=2s−2
b) G(s)=5sGs=5s
c) G(s)=4s2+3s−1Gs=4s2+3s−1
d) G(s)=3s2+4+4(s−3)2+4Gs=3s2+4+4s−32+4
e) G(s)=5s−1(s+1)2(s−2)Gs=5s−1s+12s−2
f) G(s)=s+15s2(s2+2s+5)
1 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação íntegro-diferencial a seguir:
2dy(t)dt+3y(t)−∫t0y(τ)dτ=3r(t)2dytdt+3yt−∫0ty𝜏d𝜏=3rt        (E3.11)
onde 𝑦(𝑡) é a saída e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
Aplicando a transformada de Laplace em (E3.11):
2[sY(s)−y(0−)]+3Y(s)−Y(s)s=3R(s)2sYs−y0−+3Ys−Yss=3Rs        (E3.12)
Como as condições iniciais são nulas y(0−)=0y0−=0:
2sY(s)+3Y(s)−Y(s)s=3R(s)2sYs+3Ys−Yss=3Rs        (E3.13)
A função de transferência vale:
Y(s)R(s)=3s2s2+3s−1YsRs=3s2s2+3s−1        (E3.14)
2 - Determine a saída 𝑦(𝑡) do sistema descrito a seguir, quando a entrada do sistema é um degrau unitário:
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
O diagrama em blocos da figura fornece:
Y(s)R(s)=12s−91+12s−9=12s+3YsRs=12s−91+12s−9=12s+3        (E3.15)
Como 𝑟(𝑡) é um degrau unitário:
R(s)=1sRs=1s        (E3.16)
Substituindo (E3.16) em (E3.15):
Y(s)=12s(s+3)Ys=12ss+3        (E3.17)
Expandindo em frações parciais:
Y(s)=4s−4s+3Ys=4s−4s+3        (E3.18)
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
y(t)=4−4e−3tyt=4−4e−3t        (E3.19)
3 - Defina o que é uma função de transferência.
Gabarito
Gabarito
A função de transferência é uma representação que relaciona algebricamente a saída de um sistema linear invariante no tempo com a sua entrada. Ao contrário do que ocorre com as equações diferenciais que descrevem os sistemas, a função de transferência permite tratar separadamente a entrada, o sistema e a saída. A função de transferência também pode ser definida como a transformada de Laplace da resposta de um sistema linear invariante no tempo quando sobre este sistema é aplicada com entrada um impulso unitário. Ainda uma terceira definição aceitável seria que a função de transferência, no domínio da frequência, é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada.
4 - Para que tipo de sistemas o conceito de função de transferência pode ser aplicado?
Gabarito
Gabarito
O conceito de função de transferência pode ser aplicado em sistemas lineares invariantes no tempo.
5 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão:
H(s)=10s+1Hs=10s+1
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário.
Gabarito
Gabarito
𝑌(𝑠)=𝑅(𝑠)𝐻(𝑠)
𝑅(𝑠)=1
Logo:
Y(s)=10s+1Ys=10s+1
Aplicando a transformada inversa de Laplace na última equação:
y(t)=10e−tyt=10e−t
y(2)=10e−2≅1,35y2=10e−2≅1,35
6 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão:
H(s)=10s+1Hs=10s+1
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário.
Gabarito
Gabarito
𝑌(𝑠)=𝑅(𝑠)𝐻(𝑠)
𝑅(𝑠)=1/𝑠
Logo:
Y(s)=10s(s+1)Ys=10s(s+1)
Expandindo em frações parciais a última equação:
Y(s)=10s−10s+1Ys=10s−10s+1
Aplicando a transformada inversa de Laplace na última equação:
y(t)=10−10e−tyt=10−10e−t
y(2)=10−10e−2≅8,65y2=10−10e−2≅8,65
7 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por:
G(s)=10s+2Gs=10s+2
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um degrau unitário. Assuma as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
A função de transferência em malha fechada do sistema é:
Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)YsRs=G(s)1+G(s)
Y(s)R(s)=10s+21+10s+2YsRs=10s+21+10s+2
Y(s)R(s)=10s+12YsRs=10s+12
Como 𝑟(𝑡) é um degrau unitário:
R(s)=1sRs=1s
Logo:
Y(s)=10s(s+12)Ys=10ss+12
Expandindo a saída 𝑌(𝑠) em frações parciais:
Y(s)=0,83s−0,83s+12Ys=0,83s−0,83s+12
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
y(t)=0,83−0,83e−12tyt=0,83−0,83e−12t
8 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por:
G(s)=1s+5Gs=1s+5
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um impulso unitário. Assuma as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
A função de transferência em malha fechada do sistema é:
Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)YsRs=G(s)1+G(s)
Y(s)R(s)=1s+51+1s+5YsRs=1s+51+1s+5
Y(s)R(s)=1s+6YsRs=1s+6
Como 𝑟(𝑡) é um impulso unitário:
R(s)=1Rs=1
Logo:
Y(s)=1s+6Ys=1s+6
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
y(t)=e−6t
9 - Liste quais são os três componentes básicos dos circuitos elétricos e os três componentes básicos dos sistemas mecânicos.
Gabarito
Gabarito
Os três componentes básicos dos circuitos elétricos são o resistor, o capacitor e o indutor. No caso dos sistemas mecânicos, os três componentes básicos são a massa, a mola e o atrito.
10 - Determine a função de transferência do circuito RLC a seguir, considerando as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
O circuito do exemplo representado no domínio da frequência é:
O circuito é um divisor de tensão, de tal forma que:
Vo(s)Vi(s)=1sCR+sL+1sC=1s2LC+sRC+1VosVis=1sCR+sL+1sC=1s2LC+sRC+1
11 - Determine a função de transferência do circuito a seguir, quando: 𝑍1 (𝑠) é o paralelo de um resistor 𝑅1=2Ω e de um capacitor 𝐶1=2F e 𝑍2 (𝑠) é a série de um resistor 𝑅2=1Ω e de um capacitor 𝐶2=1F:
Gabarito
Gabarito
A impedância 𝑍1 (𝑠) é a associação em paralelo de 𝑅1 com 𝐶1:
Z1(s)=R1sR1C+1Z1s=R1sR1C+1
Substituindoos valores de 𝑅1 e 𝐶1:
Z1(s)=24s+1Z1s=24s+1
A impedância 𝑍2 (𝑠) é a associação em série de 𝑅 com 𝐶2:
Z2(s)=R2+1sC2=sR2C2+1sC2Z2s=R2+1sC2=sR2C2+1sC2
Substituindo os valores de 𝑅2 e 𝐶2:
Z2(s)=s+1sZ2s=s+1s
Como deduzido em (E3.25):
Vo(s)Vi(s)=−Z2(s)Z1(s)VosVis=−Z2sZ1s
Substituindo os valores de 𝑍1 (𝑠) e 𝑍2 (𝑠):
Vo(s)Vi(s)=−(s+1)(4s+1)2s
12 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação diferencial de segunda ordem a seguir, considerando nulas as condições iniciais.
2d2y(t)dt2+5y(t)=4dr(t)dt2d2ytdt2+5yt=4drtdt
Gabarito
Gabarito
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial dada:
2s2Y(s)+5Y(s)=4R(s)2s2Ys+5Ys=4Rs
Y(s)R(s)=42s2+5YsRs=42s2+5
13 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação íntegro-diferencial a seguir:
3dy(t)dt+2y(t)−∫t0y(τ)dτ=3r(t)3dytdt+2yt−∫0ty𝜏d𝜏=3rt
onde 𝑦(𝑡) é a saída e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
Gabarito
Gabarito
Aplicando a transformada de Laplace na equação íntegro-diferencial dada:
3[sY(s)−y(0−)]+2Y(s)−Y(s)s=3R(s)3sYs−y0−+2Ys−Yss=3Rs
Como as condições iniciais são nulas 𝑦(0−)=0:
3sY(s)+2Y(s)-Y(s)s=3R(s)3sYs+2Ys-Yss=3Rs
A função de transferência vale:
Y(s)R(s)=3s3s2+2s−1YsRs=3s3s2+2s−1
14 - Determine quais são as propriedades principais de um amplificador operacional ideal.
Gabarito
Gabarito
O amplificador operacional ideal possui impedância de entrada infinita e ganho de tensão infinito. Isso se traduz em duas equações das correntes e das tensões nos terminais de entrada: 𝑖−=𝑖+=0 e 𝑣−=𝑣+. Assim, para um amplificador operacional ideal, as correntes que entram nos terminais de entrada do amplificador são nulas e as tensões dos terminais de entrada do amplificador são iguais.
15 - Para encontrar as equações diferenciais que disciplinam os circuitos elétricos, as leis de Kirchhoff são aplicadas. No caso de sistemas mecânicos, quais são as leis que devem ser aplicadas?
Gabarito
Gabarito
Analogamente às leis de Kirchhoff para os circuitos elétricos, nos sistemas mecânicos, as leis de Newton devem ser aplicadas.
1. Quais são as componentes da resposta temporal de um sistema?
Gabarito
Gabarito
As componentes da resposta temporal de um sistema são a resposta temporal transitória e a resposta temporal em regime permanente ou estacionário.
2. Considere um sistema de primeira ordem sujeito a uma entrada de um degrau unitário. Sabendo que a amplitude máxima atingida pelo sinal de saída foi 0,9 e que o tempo para atingir 63% dessa amplitude foi de 0,1s, assinale a alternativa que descreve a função de transferência.
xa) G(s)=9s+10G(s)=9s+10
b) G(s)=10s+9G(s)=10s+9
c) G(s)=99s+10G(s)=99s+10
d) G(s)=9s+9G(s)=9s+9
e) G(s)=10s+10G(s)=10s+10
3. Para a função de transferência G(s)=50s+50´G(s)=50s+50´
a) τ=0,2s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s
xb) τ=0,02s; Ts≅ 0,044s; Ta≅ 0,08s
c) τ=0,1s; Ts≅ 0,4s; Ta≅ 0,8s
d) τ=0,22s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,88s
e) τ=0,02s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s
4. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir:
G(s)=124s+4G(s)=124s+4
a) O polo é real positivo.
b) O polo é imaginário puro.
c) O polo é complexo com parte real positiva.
xd) O polo é real negativo
e) O polo é complexo com parte real negativa.
5. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir:
G(s)=36s2+4,2s+36G(s)=36s2+4,2s+36
Determine qual é a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema. Em seguida, classifique o sistema quanto a sua resposta ao degrau unitário.
Gabarito
Gabarito
6. Para a função de transferência dada pela expressão a seguir:
G(s)=30s2+4s+8G(s)=30s2+4s+8
a) Os polos são reais positivos.
b) Um polo é real e outro polo é complexo.
c) Os polos são complexos conjugados com parte real positiva.
d) Os polos são reais negativos.
xe) Os polos são complexos conjugados com parte real negativa.
7. Dado o diagrama em blocos a seguir, determine a resposta do sistema em malha fechada quando a entrada é um degrau unitário.
Gabarito
Gabarito
8. Para o sistema descrito pela função de transferência a seguir:
G(s)=20s2+8s+20G(s)=20s2+8s+20
Assinale a alternativa que corresponde à resposta esperada do sistema quando a entrada é um degrau unitário.
a) Superamortecida
xb) Subamortecida
c) Criticamente amortecida
d) Não amortecida
e) Invertida
9. Quais são os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda ordem sem zeros?
Gabarito
Gabarito
Os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda ordem sem zeros são o fator de amortecimento ξ e a frequência natural ωn
10. Quais são os tipos de resposta ao degrau unitário que podem ser obtidos em função do parâmetro ξ para sistemas de segunda ordem sem zeros?
Gabarito
Gabarito
As reposta dos sistemas de segunda ordem sem zeros quando a entrada é um degrau unitário dependem do valor do fator de amortecimento ξ. Quando ξ=0, a resposta é não amortecida, quando 0<ξ<1, a resposta é subamortecida, quando ξ=1, a reposta é criticamente amortecida e quando ξ>1, a resposta é superamostecida.
11. Considerando que um sistema de 1ª ordem sem zero possui a saída y(t) a seguir, quando é aplicado um degrau unitário na entrada, encontre a função de tranferência do sistema.
Gabarito
Gabarito
Determine se o sistema em malha fechada a seguir é estável ou instável.
Gabarito
Gabarito
A função de transferência de malha fechada é:
H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero.
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são iguais e estão ambos localizados em s=-1, ou seja possuem parte real negativa, estando ambos os polos no SPE. Portanto, o sistema é estável.
A solução anterior utiliza a condição de estabilidade no domínio da frequência. Outra forma de resolvero problema é utilizando a condição de estabilidade no tempo. Para isso, é necessário encontrar a tranformada inversa de H(s). Fica evidente a inversa quando H(s) é reescrita na forma:
H(s)=4(s+1)2H(s)=4(s+1)2
A inversa é h(t)=4te-t. Quando é aplicado o limite para verificar a estabilidade:
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞
Portanto, é uma indeterminação. Para sair da indeterminação, basta aplicar a regra de L´Hôpital, derivando o numerador e denominador em relação a t:
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0
Como o limite anterior foi zero, o sistema é estável e concorda com o que foi obtido quando foi aplicada a condição de estabilidade na frequência.
É possível verificar que, nesse caso, a aplicação da condição de estabilidade no domínio da frequência fornece o resultado com menos cálculos do que a condição de estabilidade no domínio do tempo.
Determine se é estável ou instável o sistema com função de transferência em malha fechada dada por:
Y(s)R(s)=5s(s+1)(s−3)Y(s)R(s)=5s(s+1)(s-3)
Gabarito
Gabarito
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero.
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são s=0, s=1 e s=3. Portanto, s=3 está localizado no semiplano da direita (SPD) do plano s, sendo o sistema em estudo instável, já que todos os polos devem estar no semiplano da esquerda (SPE) para que o sistema seja estável.
Determine o valor K para que o sistema de malha fechada com função de transferência
H(s)=Kss2+(k−3)s+KH(s)=Kss2+(k-3)s+K
tenha dois polos reais, iguas e estáveis.
Gabarito
Gabarito
Supondo que os dois polos reais de H(s) sejam um número real α, nesse caso, o denominador da função de trasferência seria (s- α)2. Se você igualar esta polinômio ao denominador da função de transferência de H(s), naturalmente você obriga que ambos os polinômios tenham as mesmas raízes. De tal forma que:
s2+(K−3)s.K=(s−α)2s2+(K-3)s.K=(s-α)2
Igualando os coeficientes dos dois polinômios:
−2α=K−3-2α=K-3
α2=Kα2=K
Substituindo uma equação na outra para ficar com umaequação com uma única variável:
α2+2α−3=0α2+2α-3=0
Resolvendo a equação do 2°grau para obter o valor de α:
α=−3α=-3
α=1α=1
Substituindo os valores de α em (P5.7), obtém-se, respectivamente, os valores de K=9 e K=1. Existem dois valores de α que fazem os polos da função de transferência reais e iguais. Contudo, se α=1 o polo estará no SPD e o sistema será instavel. Por outro lado, se α=-3 o polo estará no SPE e o sistema será estável. Logo, a resposta é K=9.
Enuncie as condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo.
Gabarito
Gabarito
A condição de estabilidade no domínio da frequência diz que um sistema linear invariante no tempo (SPLIT) é dito estável se todos os polos da função de transferência do sistema têm parte real negativa, ou seja, quando todos os polos estão localizados no semiplano da esquerda (SPE). A condição de estabilidade no domínio do tempo diz que um sistema linear inveriante no tempo (SLIT) é dito estável se
lim h(tt⇒∞)=0lim h(tt⇒∞)=0
, onde h(t) é a resposta do sistema a um impulso unitário S(t).
Para o sistema cuja resposta ao impulso é
h(t)=e3th(t)=e3t
. Determine se o sistema é estavel ou instável.
Gabarito
Gabarito
Basta calcular o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞
O limite anterior tende a infinito, logo, o sistema é instável.
Uma forma de resolver o problema é aplicar a transformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse caso:
H(s)=1s−3H(s)=1s-3
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s-3=0. O polo é s=3. Logo, o polo possui parte real positiva, ou seja, o polo está localizado no semiplano da direita(SPD), sendo o sistema instável.
Para o sistema cuja resposta ao impulso é
h(t)=e−5th(t)=e-5t
. Determine se o sistema é estável ou instável.
Gabarito
Gabarito
Basta calcur o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim e−5tt⇒∞→0lim h(tt⇒∞)=lim e-5tt⇒∞→0
O limite anterior tende a zero, logo, o sistema é estável.
Um forma de resolver o problema é aplicar a trasformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse caso:
H(s)=1s+5H(s)=1s+5
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s+5=0. O polo s=-5. Logo, o polo possui parte real negativa, ou seja, o polo está localizado no semiplano da esquerda (SPE), sendo o sistema estável.
É possível verificar que nos dois últimos casos a plicação da condição de estabilidade no domínio do tempo fornece o resultado com menos cálculos que a condiçãp de estabilidade no domínio da frequência.
Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=2t sin(3t). Determine se o sistema é estável ou instável.
Gabarito
Gabarito
Basta calcur o limite:
lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin(3t)→∞lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin3t→∞
O limite anterior tende a infinito, já que 2t tende a infinito e a função seno é limitada, estando compreendida entre -1 e 1. Logo, o sistema é instavel.
1) Enuncie o critério de Routh e determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável.
H(s) = 4s2 − 2s + 4H(s) = 4s2 - 2s + 4
	
Gabarito
Gabarito comentado:
O critério de Routh afirma que um SLIT é estável se, e somente se, todos os elementos na primeira coluna do arranjo de Routh forem positivos. O número de polos no SPD representa o número de trocas de sinal dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh.
Construindo o arranjo de Routh:
Como há um elemento da primeira coluna negativo, é possível afirmar que o sistema é instável. Além disso, como existem duas trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, existem 2 polos no SPD. Esse resultado concorda com esta mesma atividade proposta na aula anterior.
2) Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema cuja função de transferência em malha fechada dada abaixo é estável:
H(s) = K(s + 1)s4 + (K − 2)s3 + 5s2 + K + 1H(s) = K(s + 1)s4 + (K - 2)s3 + 5s2 + K + 1
	
Gabarito
Gabarito comentado:
A primeira observação a ser feita é que o coeficiente do fator 𝑠 do polinômio do denominador é zero. Feita esta observação, pode-se passar à construção do arranjo de Routh:
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo:
K-2>0 e -((K-2)(K+1))/5>0 e K+1>0     (P6.1)
A solução da primeira inequação é:
K>2     (P6.2)
A solução da segunda inequação é:
-1<K<2     (P6.3)
A solução da terceira inequação é:
K>-1     (P6.4)
Como não há interseção entre os três conjuntos solução das três inequações, a solução é vazio, ou seja, não existe valor real de K que torne o sistema estável. Portanto, haverá ao menos uma troca de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh.
3) Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema de malha fechada abaixo é estável.
Gabarito
Gabarito comentado:
A função de transferência de malha fechada é:
H(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s − 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K − 6)s + KH(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K - 6)s + K
Construindo o arranjo de Routh:
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo:
(p6.6)
4k − 305 > 0 e K > 04k - 305 > 0 e K > 0
A interseção da solução das duas inequações é:
(p6.7)
K > 7,5K > 7,5
4) Quais são os casos especiais do critério de Routh?
Gabarito
Gabarito sugerido:
O critério de Routh possui dois casos especiais:
O primeiro caso especial é quando ocorre um zero na primeira coluna do arranjo de Routh. Neste caso, o elemento que deu zero deve ser substituído por uma constante pequena e positiva ε>0. O procedimento de cálculo para determinar os outros valores do arranjo de Routh deve ser efetuado com a constante ε. Quando todos os elementos do arranjo tiverem sido determinados, deve-se tomar o limite quando ε→0 dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh que possuem 𝜀 como parâmetro. Em seguida, deve ser estudado o sinal da primeira coluna para verificar se houve ou não mudança de sinal.
O segundo caso especial é quando uma linha inteira de zeros aparece no arranjo de Routh. Neste caso, a linha com os zeros deve ser substituída por uma nova linha. Esta nova linha é composta pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar da linha anterior.
5) Determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável, instável ou marginalmente estável.
H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4
	
Gabarito
Gabarito comentado:
Construindo o arranjo de Routh:
Como existe um elemento negativo na primeira coluna do Arranjo Routh, o sistema é instável.
6) Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo está no SPD.
H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1
	
Gabarito
Gabarito comentado:
Construindo o arranjo de Routh:
Aplicando os limites quando 𝜀→0 nos elementos da primeira coluna:
limε→03ε − 4ε → −∞ e limε→0 03ε2 + 12ε − 169ε − 12 = 43limε→03ε - 4ε → -∞ e limε→0 03ε2 + 12ε - 169ε - 12 = 43
Portanto, existem 2 polos no SPD, já que houve 2 trocas de sinal na primeira coluna do Arranjo de Routh (uma troca de sinal de ε>0 para −∞ e outra troca de sinal de −∞ para 4343).
1) Defina erro estacionário. Cite quais são as três entradas de teste comumente utilizadas para avaliar o erro estacionário. Indique quais são as transformadas de Laplace das três entradas de teste.
Gabarito sugerido
Gabarito sugerido
O erro em regime permanente ou erro estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita quando o tempo tende a infinito. As entradas de teste mais usadas para avaliar o erro estacionário são: o degrau unitário, a rampa e a parábola. As transformadas de Laplace do degrau unitário (r(t)=1), da rampa unitária (r(t)=t) e da parábola(r(t)=t2/2) são, respectivamente, R(s) = 1/s, R(s)=1/s2.
2) Dado o sistema de controle em malha fechada abaixo, determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário, uma entrada em rampa unitária e uma entrada em parábola.
Gabarito sugerido
Gabarito sugeridoComo o sistema de malha fechada ilustrado no diagrama em blocos acima possui realimentação unitária, (7.6), (7.8) e (7.10) são válidas, bastando substituir a expressão de 𝐺(𝑠):
edegrau(∞) = 11 + lims→0  Ks(s+12) = 0                                                   (P7.1)edegrau(∞) = 11 + lims→0  Ks(s+12) = 0                                                   (P7.1)
erampa(∞) = 1lims→0  Kss(s+12) = 12K                                                   (P7.2)erampa(∞) = 1lims→0  Kss(s+12) = 12K                                                   (P7.2)
eparábola⎛⎝∞⎞⎠ = 1lims→0  Ks2s(s+12) = ∞                                                 ⎛⎝P7.3⎞⎠eparábola(∞) = 1lims→0  Ks2s(s+12) = ∞                                                 (P7.3)
3) Dado o sistema de controle abaixo formado por duas possíveis funções de transferência Gc(s), deseja-se obter erro estacionário nulo com 𝐾≠0 para uma entrada em degrau unitário. Verifique as condições de estabilidade do sistema e determine qual função de transferência Gc(s) deve ser utilizada.
Gabarito sugerido
Gabarito sugerido
Suponha primeiramente a utilização da 1ª função de transferência. Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale:
Y(S)R(S) = KS2+S+K                                                            (P7.4)Y(S)R(S) = KS2+S+K                                                            (P7.4)
Para estudar a estabilidade da 1ª função de transferência, aplica-se o critério de Routh. Para tanto, o arranjo de Routh é:
Como o critério de Routh assegura que, para que um sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna do arranjo de Routh devem ser positivos, o sistema será estável se 𝐾>0.
Com relação ao cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6), uma vez que o sistema de malha fechada possui realimentação unitária:
edegrau(∞) =11 + limS→0  KS(S + 1) = 0                                                           (P7.5)edegrau(∞) =11 + limS→0  KS(S + 1) = 0                                                           (P7.5)
Portanto, a 1ª função de transferência pode ser utilizada, desde que 𝐾>0. Considere agora o caso da 2ª função de transferência.
Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale:
Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K                                                           (P7.6)Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K                                                           (P7.6)
Para estudar a estabilidade, aplica-se o critério de Routh, montando o seguinte arranjo:
Uma vez que, na primeira coluna do arranjo de Routh, existe um elemento –𝐾 e outro elemento 2𝐾, independentemente do valor de 𝐾, pelo menos uma troca de sinal ocorrerá na primeira coluna do arranjo. Portanto, o sistema é instável para qualquer valor 𝐾. Logo, a 2ª função de transferência não deve ser utilizada, pois é instável.
Por questões didáticas apenas, o erro estacionário no caso da 2ª função de transferência é:
edegrau⎛⎝⎜∞⎞⎠⎟ = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0                                                          ⎛⎝⎜P7.7⎞⎠⎟edegrau(∞) = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0                                                          (P7.7)
Você verá na aula 10 que a 1ª função de transferência GC(S) = kGC(S) = k é a de um Controlador Proporcional, enquanto a 2ª função de transferência GC(S) = k + K0,5SGC(S) = k + K0,5S é a de um Controlador Proporcional Integral.
4) Para o sistema de controle mostrado abaixo, onde 𝐾, 𝐴 e 𝜏 são constantes, determine o tipo do sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário.
Gabarito sugerido
Gabarito sugerido
O sistema possui realimentação unitária, logo o tipo do sistema é determinado pelo número de polos na origem de GC(S) = KAτs + 1GC(S) = KA𝜏s + 1.
Como não existem polos na origem, o sistema é do Tipo 0.
Para o cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6):
edegrau(∞) = 11+ lims→0  KAτs + 1 = 11 + KA                                           (P7.8)edegrau(∞) = 11+ lims→0  KA𝜏s + 1 = 11 + KA                                           (P7.8)
5) Para o sistema de controle mostrado abaixo, determine as constantes de erro estático, o tipo do sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário, em rampa unitária e em parábola.
Gabarito sugerido
Gabarito sugerido
O sistema não possui realimentação unitária (H(S) = 1S + 5)(H(S) = 1S + 5). Logo, a primeira ação a ser realizada é convertê-lo em um sistema com realimentação unitária. A maneira de realizar tal conversão é aplicar (7.18):
G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) − G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) − 100S(S + 10)                                 (P7.9)G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) - G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) - 100S(S + 10)                                 (P7.9)
Simplificando a expressão anterior:
G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100 (s + 5) + 100                               (P7.10)G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100 (s + 5) + 100                               (P7.10)
Aplicando as definições descritas na Tabela 2, tem-se:
Kp = lims→0  100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = −1,25                    (P7.11)Kp = lims→0  100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = -1,25                    (P7.11)
Kv = lims→0  100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.12)Kv = lims→0  100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.12)
Ka = lims→0  100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.13)Ka = lims→0  100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.13)
Aplicando (7.11), (7.12) e (7.13):
edegrau(∞) = −4                                                              (P7.14)edegrau(∞) = -4                                                              (P7.14)
erampa(∞) = ∞                                                                 (P7.15)erampa(∞) = ∞                                                                 (P7.15)
eparábola(∞) = ∞                                                                 (P7.16)eparábola(∞) = ∞                                                                 (P7.16)
Para verificar o tipo do sistema, basta verificar o número de polos localizados na origem de G1(s). Para encontrar a localização dos polos, é necessário determinar as raízes da equação:
s(s + 5)(s + 10)−100(s + 5) + 100 = 0                   (P7.17)
Simplificando a equação anterior:
s3 + 15s2 − 50s − 400 = 0                  (P7.18)
É fácil verificar que a equação anterior não possui polos localizados na origem, consequentemente, o tipo do sistema é 0.
1. Defina o que é o lugar geométrico das raízes para o sistema abaixo e esboce-o sem utilizar as regras, apenas a partir da definição.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
O lugar geométrico das raízes (LGR) do sistema descrito acima é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada, quando 𝐾 varia de 0 a ∞.
A FTMF para o sistema é dada por:
P8.1
FTMF = Y(s)R(s) = Ks2+2s+K−3FTMF = Y(s)R(s) = Ks2+2s+K-3
A solução da equação característica fornece os polos da FTMF:
P8.2
s=−1±4−k−−−−√s=-1±4-k
Atribuindo valores convenientes de 𝐾 em (P8.2):
P8.3
K=0⇒s=−3; s=1K=0⇒s=-3; s=1
P8.4
K<4⇒s=−1±4−K−−−−−√ ⇒ polos reaisK<4⇒s=-1±4-K ⇒ polos reais
P8.5
KK=4⇒s=−1⇒polos reais duplosKK=4⇒s=-1⇒polos reais duplos
P8.6
K>4⇒s=−1±jK−4−−−−−√ ⇒ polos complexosK>4⇒s=-1±jK-4 ⇒ polos complexos
De (P8.3) a (P8.6), é possível afirmar que o LGR estará sobre o eixo real quando 0≤K≤4 e passará a ter polos complexos com a parte real igual −1 quando 𝐾>4, conforme ilustrado no LGR a seguir.
2. Para um sistema com realimentação unitária e função de transferência dada por:
G(s)=K(s−1)(s−2)s(s+1)G(s)=K(s-1)(s-2)s(s+1)
Determine:
(a) os pontos de saída e de entrada do eixo real
(b) os pontos de cruzamento com o eixo imaginário
(c) a faixa de ganho para manter o sistema estável
Gabarito comentado
Gabarito comentado
(a) Os pontos de saída e entrada são soluções de (8.7). Logo:
P8.7
1σ+1σ+1=1σ−1+1σ−21σ+1σ+1=1σ-1+1σ-2
A solução de(P8.7) é:
P8.8
σ=1,37 e σ=−0,37σ=1,37 e σ=-0,37
(b) A FTMF é:
P8.9
FTMF=K(s−1)(s−2)(K+1)s2+(1−3K)s+2KFTMF=K(s-1)(s-2)(K+1)s2+(1-3K)s+2K
Aplicando o critério de Routh:
	S2
	K+1
	2K
	0
	S1
	1-3K
	0
	0
	S0
	2K
	0
	0
P8.10
K=-1; K=1/3; K=0
Como o LGR pressupõe 𝐾>0, o cruzamento ocorrerá em K=1/3. Voltando na equação característica com o valor de K=1/3:
P8.11
43s2+23=043s2+23=0
Solucionando a equação:
P8.12
s=±0,71js=±0,71j
(c) Do arranjo de Routh da letra (b), para o sistema ser estável:
P8.13
0<K<1/30<K<1/3
3. Esboce o LGR do sistema descrito no exercício anterior.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Com as informações do exercício anterior, é possível fazer o seguinte esboço do LGR:
Os polos partem de s=−1 e s=−0,5 quando 𝐾=0. O ponto de saída dos polos do eixo real é σ=−0,37. É possível calcular o valor de 𝐾 quando os polos se encontram em 𝜎=−0,37, basta substituir este valor na equação característica:
P8.14
(K+1)(−0,37)2+(1−3K)(−0,37)+2K=0(K+1)(-0,37)2+(1-3K)(-0,37)+2K=0
O que resulta em 𝐾 ≅ 0,07.
O valor de 𝐾 quando os polos cruzam o eixo imaginário é 𝐾=1/3. Neste caso, é possível determinar o valor dos polos sobre o eixo imaginário. Basta recorrer novamente à equação característica, mas agora, substituindo o valor de 𝐾:
P8.15
(13+1)s2+(1−3x13)s+2x13=0(13+1)s2+(1-3x13)s+2x13=0
O que resulta em s ≅ ±0,71𝑗.
O valor dos polos quando entram novamente no eixo real é σ = 1,37. Novamente, basta repetir o procedimento descrito anteriormente para σ = −0,37 com σ = 1,37:
P8.16
(K+1)(1,37)2+(1−3K)(1,37)+2K=0(K+1)(1,37)2+(1-3K)(1,37)+2K=0
O que resulta em 𝐾 ≅ 14,13.
Note que este LGR está ilustrado na Figura 2, na última linha, na última coluna. É o LGR padrão quando existem dois polos sobre o eixo real e dois zeros sobre o eixo real.
3. Na figura a seguir, existem dois diagramas de Nyquist para duas funções de transferência de malha aberta G(s) de dois sistemas de malha fechada. As duas funções de transferência de malha aberta não possuem polos com parte real positiva. Neste caso, observando os diagramas de Nyquist, indique se os sistemas são estáveis ou instáveis.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Segundo o critério de Nyquist, o sistema em preto é estável, pois não envolve o ponto crítico e não possui polo com parte real positiva. Já o sistema em azul é instável, pois envolve o ponto crítico uma vez e não possui polo com parte real positiva.
1. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir:
G(s) = 100(s+1)(s+100)G(s) = 100(s+1)(s+100)
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 100. O módulo da função de transferência com 𝑠=𝑗𝜔, fornece:
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ ω2+1002√|G(jω)|=1000ω2+1 ω2+1002
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se:
	ω
	0<ω<1
	1<ω<10
	ω>100
	ω2+1−−−−−√ω2+1
	1
	ω
	ω
	ω2+1002−−−−−−−−√ω2+1002
	100
	100
	ω
	|G(jω)||G(jω)|
	10
	10ω10ω
	1000ω21000ω2
	GdBGdB
	20
	20-20logω
	60-40logω
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2π2.
2. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir:
G(s)=1000(s+1)s(s+10)G(s)=1000(s+1)s(s+10)
Gabarito
Gabarito
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 10. O módulo da função de transferência com S=jω, fornece:
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ωω2+102√|G(jω)|=1000ω2+1ωω2+102
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se:
	ω
	0<ω<1
	1<ω<10
	ω>100
	ω2+1−−−−−√ω2+1
	1
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω2+102−−−−−−−√ω2+102
	10
	10
	ω
	|G(jω)||G(jω)|
	100ω100ω
	100
	1000ω1000ω
	GdBGdB
	40-20logω
	40
	60-20logω
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2π2.
1. Em um sistema de função de transferência em malha aberta G(s)G(s) definido por:
G(s)=K(s+1)(s+8)2G(s)=K(s+1)(s+8)2
	
Determine as condições de estabilidade deste sistema quando inserido em um sistema em malha fechada com realimentação unitária. Para cancelar o erro estacionário, um integrador é introduzido em série com 𝐺(𝑠). Estude as novas condições de estabilidade.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
A função de transferência em malha fechada é:
Fi(s)=K(s+1)(s+8)2+KFi(s)=K(s+1)(s+8)2+K
Fi(s)=Ks3+17s2+80s+64+KFi(s)=Ks3+17s2+80s+64+K
Montando o arranjo de Routh:
	s3
	1
	80
	0
	s2
	17
	64+K
	0
	s1
	1296−K171296-K17
	0
	0
	s0
	64+K
	0
	0
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se:
K<1296K<1296
Após a introdução do integrador no sistema de controle, o erro estacionário é anulado e a função de transferência em malha fechada passa a ser:
Fc(s)=Ks4+17s3+80s2+64s+KFc(s)=Ks4+17s3+80s2+64s+K
Montando novamente o arranjo de Routh:
	s4
	1
	80
	K
	0
	s3
	17
	64
	0
	0
	s2
	129617129617
	K
	0
	0
	s1
	64-0,223K
	0
	0
	0
	s0
	K
	0
	0
	0
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se:
K<287K<287
Portanto, a inserção do integrador na malha de controle torna o erro estacionário nulo, mas reduz o intervalo do ganho KK que torna o sistema estável. Isso mostra que a compensação integrativa degrada significativamente a estabilidade do sistema de controle associado.
2. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, com:
G(s)=100(1+s10)3G(s)=100(1+s10)3
	
Proponha um compensador para que a margem de fase (Mf)(Mf) do sistema em malha fechada seja igual a 45° e que o erro estacionário seja de 5% para uma entrada em degrau.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Vamos verificar se um compensador de atraso fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar o ganho KK que satisfaz a margem de fase requerida. Como:
G(jω)=K(1+jω10)3G(jω)=K1+jω103
É possível provar que [2]:
Mf=π+φ(ωc0)Mf=π+φ(ωc0)
, onde MfMf é a margem de fase e φ(ωc0)φ(ωc0) é a defasagem na frequência de corte de 0 dB.
Neste caso:
Mf=π−3tan−1ωc010=π4Mf=π-3tan-1ωc010=π4
Resolvendo a equação:
ωc0=10rad/sωc0=10rad/s
Logo:
∣∣∣∣∣G⎛⎝⎜jωc0⎞⎠⎟∣∣∣∣∣=k(1+ωc02100√)3=1|G(jωc0)|=k1+ωc021003=1
Resolvendo a equação:
K=2,8K=2,8
Verificando o erro estacionário:
edegrau(∞)=lims→0[1−KK+(1+s10)3]=1K+1=0,26edegrau(∞)=lims→01-KK+1+s103=1K+1=0,26
Logo, o erro estacionário não atende à especificação de 5%. É necessário, então, alterar o valor do ganho estático KK para KcKc:
edegrau(∞)=1Kc+1=0,05edegrau(∞)=1Kc+1=0,05
Resolvendo a equação:
Kc=19Kc=19
A função de transferência de malha aberta após a inserção do compensador é:
Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,8(1+s10)3Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,81+s103
O ganho estático é:
Kc=2,8α=19Kc=2,8α=19
Logo:
α=6,8α=6,8
Para definir TT, basta escolher um valor TT tal que 1T1T seja muito menor que a frequência de corte de 0 dB (ωc0)(ωc0). Portanto, é possível escolher T=10sT=10s.
Resultando em:
C(s)=6,8(1+10s)1+68sC(s)=6,8(1+10s)1+68s
3. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, com:
G(s)=100(s+1)2G(s)=100(s+1)2
	
O objetivo é corrigir este sistema para que sua margem de fase (Mf)(Mf) seja igual a 45°.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Vamos verificar se um compensador de avanço fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar a margem de fase do sistema:
∣∣G(jωc0)∣∣=1001+ω2c0=1|G(jωc0)|=1001+ωc02=1
Resolvendo a equação:
ωc0=9,95rad/sωc0=9,95rad/s
Neste caso:
Mf=π−2tan−1ωc0=0,2rad=11°Mf=π-2tan-1ωc0=0,2rad=11°
Logo, devemos aumentar a margem de fase de 34°. Usando (10.23):
∠C(jωmax)=sin−1α−1α+1=34°∠C(jωmax)=sin-1α-1α+1=34°
Resolvendo a equação:
α=3,54α=3,54
Como:
ωmax=1Tα√=9,95ωmax=1Tα=9,95
Resolvendo a equação:
T=0,053sT=0,053s
Retornandopara função de transferência:
C(s)=1+0,19s1+0,053s
	
 
		
	
		1.
		Qual das opções abaixo NÃO corresponde a uma vantagem do sistema de malha aberta em relação a fechada?
	
	
	
	Menor custo
	
	
	Precisão
	
	
	Maior ganho
	
	
	Simplicidade
	
	
	Estabilidade
	
Explicação:
As vantagens do sistema de malha aberta em relação a fechada são:
Maior ganho
Estabilidade
Simplicidade
Menor custo
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um motor de velocidade controlada tem um sistema motor-relé-amplificador com uma função de transferência de 200 rpm/V e um sistema de medição na malha de realimentação com uma função de transferência de 5 mV/rpm. Qual é a função de transferência do sistema global?
	
	
	
	200 rpm / V
	
	
	1000 rpm / V
	
	
	1500 rpm / V
	
	
	40 rpm / V
	
	
	100 rpm / V
	
Explicação:
FT = G / (1 + GH)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em sistemas de controle em malha fechada, assinale a alternativa que descreve a finalidade do comparador na malha de controle:
	
	
	
	Comparar o sinal de erro com o sinal de saída.
	
	
	Comparar o sinal de erro com o sinal de entrada.
	
	
	Comparar o sinal de entrada e o sinal de erro, gerando o sinal de saída da malha de controle.
	
	
	Comparar as entradas do sistema.
	
	
	Comparar o sinal de entrada e o sinal de saída, gerando o sinal de erro para a malha de controle.
	
Explicação:
O comparador (ou somador) é um elemento fundamental em um sistema de controle em malha fechada, pois ele é responsável por gerar o sinal de erro resultante da diferença do sinal de entrada e de saída.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Em um sistema de controle qual a função de um sensor (medidor ou transdutor)? Normalmente, ele é utilizado em sistemas de controle em malha fechada ou em malha aberta?
	
	
	
	Obter o sinal de erro.
	
	
	Controlar a planta ou sistema.
	
	
	Medir e converter o sinal a ser controlado.
	
	
	Condicionar o sinal de saída.
	
	
	Amplificar o sinal de entrada.
	
Explicação:
O sensor é um dispositivo responsável pela medição e conversão da variável a ser controlada para fins de comparação e obtenção do Sinal de Erro. Em geral, são utilizados em sistemas de controle em malha fechada no caminho da realimentação.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual uma possível desvantagem de um sistema de controle em malha fechada em relação a um sistema de controle em malha aberta?
	
	
	
	Tendência para oscilação ou instabilidade.
	
	
	Aumento da sensibilidade em relação aos parâmetros do sistema.
	
	
	Imunidade à interferência.
	
	
	Redução do ruído.
	
	
	Redução da banda passante.
	
Explicação:
A realimentação pode causar a instabilidade do sistema.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere um controlador com ganho 12 e uma motor com uma função de transferência de 0,10 rpm/V. - Em malha aberta, como o erro variará (em termos percentuais) se a F.T. do motor variar de mais 10%?
	
	
	
	50%
	
	
	60%
	
	
	30%
	
	
	40%
	
	
	20%
	
Explicação:
Erro = En(GS - 1)
Situação inicial
Erro = En(12 . 0,1 - 1) = 0,2 En
Situação final
Erro = En(12 . 0,11 - 1) = 0,32 En
Variação percentual = 60%
	
 
		
	
		1.
		Determine qual opção corresponde a transformada de Laplace da função f(t) = t3e−t
	
	
	
	6(s+1)46(s+1)4
	
	
	5(s+1)35(s+1)3
	
	
	3(s+1)33(s+1)3
	
	
	2(s+1)32(s+1)3
	
	
	6(s+1)36(s+1)3
	
Explicação:
Consultar a tabela das transformadas de Laplace no link 
https://www.ime.unicamp.br/~msantos/tab-laplace
(visualização em 29.03.2020)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a transformada inversa de Laplace de F(s) = 1 / (s − 2)2
	
	
	
	t-2et
	
	
	te2t
	
	
	t-2e2t
	
	
	t2et
	
	
	t2e2t
	
Explicação:
Consultar a tabela de Laplace constante no link 
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/tdptes-tabelas_de_transformadas_de_laplace.html
(visualização em 29.03.2020)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva a equação diferencial abaixo:
	
	
	
	y(t)=−e−2ty(t)=−e−2t
	
	
	y(t)=3e−3ty(t)=3e−3t
	
	
	y(t)=2e−3ty(t)=2e−3t
	
	
	y(t)=e−3ty(t)=e−3t
	
	
	y(t)=e−2ty(t)=e−2t
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a transformada de Laplace da função f(t) = e3tcos2t
	
	
	
	s−3s+1s−3s+1
	
	
	s−3(s−3)2+2s−3(s−3)2+2
	
	
	(s−3)2s+4(s−3)2s+4
	
	
	s−3(s−3)2+4s−3(s−3)2+4
	
	
	s+3(s+3)2+4s+3(s+3)2+4
	
Explicação:
Consultar tabela das transformadas de Laplace
https://www.ime.unicamp.br/~msantos/tab-laplace
(visualização em 29.03.2020)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a transformada de Laplace da função:
	
	
	
	s+2(s+1)2+9s+2(s+1)2+9
	
	
	s+3(s+2)2+4s+3(s+2)2+4
	
	
	s+2(s+2)2+9s+2(s+2)2+9
	
	
	s+3(s+3)2+9s+3(s+3)2+9
	
	
	s+2(s+3)2+9s+2(s+3)2+9
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a transformada de Laplace da função:
	
	
	
	4s(s2−3)(s2−1)34s(s2−3)(s2−1)3
	
	
	4s(s2−3)(s2+1)34s(s2−3)(s2+1)3
	
	
	4s(s2−3)(s2+1)24s(s2−3)(s2+1)2
	
	
	4s(s2+3)(s2−1)24s(s2+3)(s2−1)2
	
	
	4(s2−3)(s2+1)34(s2−3)(s2+1)3
	
Explicação:
	
	
	 
		
	
		1.
		Determine os valores de R2 e C para que a função de transferência do circuito abaixo seja Vo(s)/Vi(s)=-3s-2, sabendo que R1=1Ω.
	
	
	
	R2=1Ω;C=1FR2=1Ω;C=1F
	
	
	R2=2Ω;C=2FR2=2Ω;C=2F
	
	
	R2=1,5Ω;C=2FR2=1,5Ω;C=2F
	
	
	R2=2Ω;C=1,5FR2=2Ω;C=1,5F
	
	
	R2=2Ω;C=1FR2=2Ω;C=1F
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Obtenha a função de transferência de 
	
	
	
	s
	
	
	1 / (s+2)
	
	
	s + 2
	
	
	s2
	
	
	1/s
	
Explicação:
sC(s) + 2C(s) = R(s)
G(s) = C(s) / R(s) = 1 / (s+2)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a corrente i(t) do circuito RL abaixo, quando é aplicado um degrau unitário na entrada. Considere R=2Ω, L=1H e as condições iniciais nulas.
	
	
	
	0,5u(t)−0,5e−2t0,5u(t)−0,5e−2t
	
	
	0,5u(t)−0,5e2t0,5u(t)−0,5e2t
	
	
	0,5u(t)+0,5e−2t0,5u(t)+0,5e−2t
	
	
	−0,5e−2t−0,5e−2t
	
	
	u(t)−e−2tu(t)−e−2t
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine vo(t) do circuito RC abaixo, considerando R=1Ω, C=2F, as condições iniciais nulas e a entrada vi(t) um degrau unitário.
	
	
	
	u(t)+etu(t)+et
	
	
	u(t)−e0,5tu(t)−e0,5t
	
	
	u(t)+e−0,5tu(t)+e−0,5t
	
	
	u(t)−etu(t)−et
	
	
	u(t)−e−0,5tu(t)−e−0,5t
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a função de transferência do circuito abaixo com R1=R2=2Ω e C=1F.
	
	
	
	2s+12s+1
	
	
	−2s−2−2s−2
	
	
	−2s+1−2s+1
	
	
	−2s−1−2s−1
	
	
	2s−12s−1
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a função transferência Vo(s)/Vi(s) do circuito RC abaixo, considerando R=1Ω, C=1F e as condições iniciais nulas.
	
	
	
	1s−11s−1
	
	
	s−1s−1
	
	
	−1s+1−1s+1
	
	
	s+1s+1
	
	
	1s+11s+1
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Obtenha a função de transferência de Imagem da questão
	
	
	
	1/s
	
	
	s2
	
	
	s
	
	
	s + 2
	
	
	1 / (s+2)
	
Explicação:
sC(s) + 2C(s) = R(s)
G(s) = C(s) / R(s) = 1 / (s+2)
		1.
		Para a função de transferência abaixo, qual é a resposta esperada quando a entrada é um degrau unitário.
	
	
	
	A resposta é não amortecida.
	
	
	A resposta é subamortecida com ξ<0,5ξ<0,5.
	
	
	A resposta é superamortecida.
	
	
	A resposta é criticamente amortecida.
	
	
	A resposta é subamortecida com ξ>0,5ξ>0,5.
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Para um sistema de 2ª ordem sem zeros, a resposta obtida para uma entrada em degrau unitário foi do tipo criticamente amortecida. Determine os polos do sistema se a frequência natural do sistema é 5 rad/s.
	
	
	
	-2 e -2
	
	
	-4 e -5
	
	
	-3 e -3
	
	
	-4 e -3
	
	
	-5 e -5
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em uma função de transferência de 1ª ordem, conhecida a constante de tempo (2s), determine o tempo de acomodação (aproximado)
	
	
	
	2s
	
	
	7s
	
	
	3,3s
	
	
	8s
	
	
	4,4s
	
Explicação:
ta = 4t
	
	
	
	 
		
	
		4.2,82+2,82j e 2,82-2,82j
	
	
	1,41+1,41j e 1,41-1,41j
	
	
	1 e -1
	
	
	1,41 e -1,41
	
	
	1+j e 1-j
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para a função de transferência G(s) = 3 / (s + 4), determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
 
 
	
	
	
	1; 1; 0,25
	
	
	3; 4; 4
	
	
	0,25; 0,25; 1
	
	
	0,25; 1; 1
	
	
	0,25; 0,55; 1
	
Explicação:
1 / t = 4
t = 0,25
Ts = 2,2t = 0,55
Ta = 4t = 1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em uma função de transferência de 1ª ordem, conhecida a constante de tempo (2s), determine o tempo de subida (aproximado)
	
	
	
	3,4s
	
	
	8s
	
	
	4,4s
	
	
	7s
	
	
	2s
	
Explicação:
ts = 2,2t
	
	
	
	
		1.
		Dado um sistema de malha fechada de equação característica s2 + 14s + k, para que valores de k o sistema é estável
	
	
	
	k < 7
	
	
	k < 0
	
	
	k > 0
	
	
	k > -7
	
	
	k < 49
	
Explicação:
Polos = -7 +- raiz(49 - k)
Se k < 0 -> polos reais positivos
0 < k < 49 -> polos reais negativos
k > 49 -> polos complexos com parte real negativa
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considerando um sistema sem zeros e com polo em -5, podemos afirmar que
	
	
	
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	
	
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	
	
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	
	
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	
	
	Nada podemos afirmar em razão da ausência de zeros
	
Explicação:
O valor de sua função temporal (e-5t) tende a zero
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine para qual faixa de valores de K o sistema de malha fechada abaixo é estável.
	
	
	
	K > -0,5
	
	
	K < 0,5
	
	
	K > 0
	
	
	K < -0,5
	
	
	K > 0,5
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine para qual faixa de valores de K o sistema de malha fechada abaixo é estável.
	
	
	
	K < -16
	
	
	K > 0
	
	
	K < 36
	
	
	K < 0
	
	
	K > -5
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Assinale a alternativa correta sobre a estabilidade do sistema descrito pelo diagrama em blocos abaixo:
	
	
	
	O sistema é instável.
	
	
	O sistema é instável com polos complexos.
	
	
	O sistema é estável com polos reais.
	
	
	O sistema é marginalmente estável.
	
	
	Não é possível determinar.
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Assinale a alternativa que descreve corretamente o estado do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
G(s) = 5 / (s2 + 4s + 5)
	
	
	
	O sistema é marginalmente estável.
	
	
	O sistema é estável com polos reais.
	
	
	O sistema é estável com polos complexos.
	
	
	Não é possível determinar.
	
	
	O sistema é instável.
	
Explicação:
s2 + 4s + 5 = 0
Polos: s = -2 + i e s = -2- i
Como a parte real dos polos é negativa, o sistema é estável
	
 
		
	
		1.
		Determine o menor valor inteiro do ganho K para que o sistema resultante abaixo em malha fechada seja estável, sabendo-se que na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto H (s) = 1
G (s) = k(s+2)s3+3s2−6s−8k(s+2)s3+3s2−6s−8
	
	
	
	9
	
	
	13
	
	
	11
	
	
	15
	
	
	7
	
Explicação:
Fazemos Gs=G1+GHGs=G1+GH
 
E na tabela de Routh, teremos (k - 10) / 3 e 2k - 8, que ambos devem ser maiores que zero, logo k > 10
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada a função de transferência em malha fechada H(s), determine a faixa de K para garantir a estabilidade.
H(s)=s3−4s−11s5+s4+4s3+2s2+3s+k−1𝐻(𝑠)=𝑠3−4𝑠−11𝑠5+𝑠4+4𝑠3+2𝑠2+3𝑠+𝑘−1
 
	
	
	
	K > -2
	
	
	1 < k < 2
	
	
	K > -1
	
	
	K > 0
	
	
	0 < k < 2
	
Explicação:
Aplicação direta da tabela de Routh
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o que pode ser afirmado sobre a estabilidade do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
	
	
	
	O sistema é marginalmente estável.
	
	
	O sistema é estável.
	
	
	Não é possível saber se o sistema é estável ou instável.
	
	
	O sistema possui um polo no semiplano da direita.
	
	
	O sistema é instável.
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
	
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	2
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dado D(s)=s6+2s5-9s4-12s3+43s2+50s-75 que possui coeficientes positivos e negativos, podemos afirmar que
	
	
	
	Como possui mais de 2 coeficientes positivos, o sistema é estável
	
	
	Como existem mais coeficientes negativos do que positivos é um polinômio não estável
	
	
	Como existem coeficientes negativos e positivos é um polinômio não estável
	
	
	Como possui mais de 2 coeficientes positivos, o sistema é instável
	
	
	Como possui 3 coeficientes negativos, o sistema é estável
	
Explicação:
Um polinômio que possui coeficientes negativos e positivos é não estável
		1.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)3s+6s(s+1)(s+6) , determine a constante de erro de velocidade
	
	
	
	∞∞
	
	
	1/2
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	0
	
Explicação:
kv=lims→0sG(s)H(s)kv=lims→0sG(s)H(s)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
	
	
	
	infinito
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	5
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)3s+6s(s+1)(s+6) , determine a constante de erro de posição
	
	
	
	∞∞
	
	
	0
	
	
	1/2
	
	
	3
	
	
	1
	
Explicação:
Ka=lims→0s2G(s)H(s)Ka=lims→0s2G(s)H(s)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	3
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para o sistema descrito pelo diagrama em blocos abaixo, determine o tipo do sistema.
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	0
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)3s+6s(s+1)(s+6)  , determine a constante de erro de posição
	
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	∞∞
	
	
	6
	
	
	18
	
Explicação:
kp=lims→0G(s)H(s)
	
	 
		
	
		1.
		Dado um circuito de malha fechada onde G(s) = ks(s+1)ks(s+1) e H(s) = s+2(s+5)(s+7)s+2(s+5)(s+7) , determine o valor da raiz de malha aberta
	
	
	
	-5
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	-7
	
	
	0
	
Explicação:
s+2=0
s=-2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado um circuito de malha fechada onde G(s) = ks(s+1)ks(s+1) e H(s) = s+2(s+5)(s+7)s+2(s+5)(s+7) , determine o valor do menor polo de malha aberta
	
	
	
	-7
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	-5
	
	
	-1
	
Explicação:
Os polos de malha aberta são -1, -5, -7
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para o sistema com realimentação unitária dado pelo diagrama em blocos abaixo:
Determine a intersecção das assíntotas com o eixo real do LGR do sistema.
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	0
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o valor de K quando os dois polos do sistema ficam sobrepostos:
	
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para um sistema com realimentação unitária com função de transferência no percurso direto:
Determine o valor do ganho K quando o lugar geométrico das raízes passa pelo ponto s=-3.
	
	
	
	10
	
	
	20
	
	
	15
	
	
	5
	
	
	25
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em uma malha fechada, onde Y(s) / R(s) = k(s-2)/(s+5), determine qual desses valores não pode ser sua raiz real, independente do valor de k
	
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	-3
	
	
	-6
	
	
	1
	
Explicação:
O LGR deste sistema é o segmento de reta no eixo real entre¿5 e +2,
		1.
		Determine a expressão analítica para a magnitude da função de transferência:
G(s)=1(s+1)(s+9)G(s)=1(s+1)(s+9)
	
	
	
	M(w)=1√(10−w)2−81w2M(w)=1(10−w)2−81w2
	
	
	M(w)=1√(10−w)2+81w2M(w)=1(10−w)2+81w22
	
	
	M(w)=1√(10+w)2+81w2M(w)=1(10+w)2+81w2
	
	
	M(w)=1√(1−w)2+81w2M(w)=1(1−w)2+81w2
	
	
	M(w)=1√(9−w)2+81w2M(w)=1(9−w)2+81w2
	
Explicação:
A magnitude M(w) = G(jw)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	K=70
	
	
	K=100
	
	
	K=90
	
	
	K=60
	
	
	K=80
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a expressão analítica para a magnitude da função de transferência:
G(s)=1(s+3)(s+5)G(s)=1(s+3)(s+5)
	
	
	
	M(w)=1√(15−w)2−64w2M(w)=1(15−w)2−64w2
	
	
	M(w)=1√(15+w)2+64w2M(w)=1(15+w)2+64w2
	
	
	M(w)=1√(15−w)2−8w2M(w)=1(15−w)2−8w2
	
	
	M(w)=1√(8−w)2−64w2M(w)=1(8−w)2−64w2
	
	
	M(w)=1√(15−w)2+64w2M(w)=1(15−w)2+64w2
	
Explicação:
A magnitude M(w) = G(jw)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a expressão analítica para a magnitude da função de transferência:
	
	
	
	1√(6−ω2)2+25ω21(6−ω2)2+25ω2
	
	
	1√(6+ω)2+25ω21(6+ω)2+25ω2
	
	
	1√(6−ω2)2−25ω21(6−ω2)2−25ω2
	
	
	1√(36−ω2)2+25ω21(36−ω2)2+25ω2
	
	
	1√(6+ω2)2+25ω21(6+ω2)2+25ω2
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	-3 dB
	
	
	- 6 dB
	
	
	12 dB
	
	
	6 dB
	
	
	3 dB
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		
	
	
	
	arctan5ω6−ω2arctan⁡5ω6−ω2
	
	
	−arctanω5ω−1−arctan⁡ω5ω−1
	
	
	arctan5ω6+ω2arctan⁡5ω6+ω2
	
	
	arctanω5ω−1arctan⁡ω5ω−1
	
	
	−arctan5ω6−ω2−arctan⁡5ω6−ω2
	
Explicação:
	
	
	 
		
	
		1.
		
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meio de um compensador H(s). Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s)=K com K>0, então a planta:
	
	
	
	não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a função de transferência da planta apresenta um par de polos no semiplano direito.
	
	
	poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganho K positivo, tendo em vista que a função de transferência de malha aberta possui grau relativo 1 e apresenta um zero no semieixo real negativo do plano s.
	
	
	poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir de certo valor de ganho K positivo, os polos de malha fechada seguirão duas assíntotas no semiplano esquerdo.
	
	
	poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganho K positivo.
	
	
	não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-se o ganho K do compensador, ainda restarão polos de malha fechada no semiplano direito.
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
A figura ilustra uma planta industrial controlada por um compensador H(s). Considere
G(s)=3(s+5)s2+4s+3G(s)=3(s+5)s2+4s+3 e  H(s)=2(s+4)sH(s)=2(s+4)s
Com relação à capacidade de saida y(t) de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplicados em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo 
	
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada u(t).
	
	
	parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro constante a entrada em u(t).
	
	
	rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear a entrada em u(t).
	
Explicação:
E(s)=U(s)1+G(s)H(s)E(s)=U(s)1+G(s)H(s)
 
e(∞)=lims→0sE(s)e(∞)=lims→0sE(s)
e(∞)=lims→0sU(s)1+G(s)H(s)e(∞)=lims→0sU(s)1+G(s)H(s)
edegrau(∞)=lims→011+G(s)H(s)=0edegrau(∞)=lims→011+G(s)H(s)=0
erampa(∞)=lims→01s+G(s)H(s)erampa(∞)=lims→01s+G(s)H(s)
eparábola(∞)=lims→01s2+G(s)H(s)eparábola(∞)=lims→01s2+G(s)H(s)
 
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		
	
	
	
	Pertence ao LGR, pois K pode assumir dois valores simétricos, + 0,14 e - 0,14
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale aproximadamente  - 0,14
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale aproximadamente  0,14
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale aproximadamente 0,14
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale aproximadamente  - 0,14
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro constante a entrada em u(t).
	
	
	parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear a entrada em u(t).
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dado um sistema controlado por um controlador proporcional, cuja equação característica é dada por s3 + 3s2 + 3s + 1 + Kc/8, substituindo s = wi concluimos que valor do ganho no limite de estabilidade vale
	
	
	
	32
	
	
	128
	
	
	16
	
	
	256
	
	
	64
	
Explicação:
Substituindo s = wi, temos
	
	
	
	 
		
	
		6.
		
 
Uma planta com função de transferência 1/(s-2) está sujeita à malha de realimentação unitária indicada na figura acima, em que C(s) = (s+3)/(s+1) é um compensador e k é ganho real positivo. Determine se o ponto s = 1 pertence ao LGR.
	
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale 0,5
 
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale -0,5
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale 0,5
	
	
	Pertence ao LGR, pois K é real
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale 0,5
	
Explicação:
Substituindo o ponto na equação característica, ele pertencerá ao LGR se o k encontrado for real e positivo
FTMF=k(s+3)(s+1)(s−2)+k(s+3)FTMF=k(s+3)(s+1)(s−2)+k(s+3)
 
A equação característica é (s+1)(s-2)+k(s+3) = 0
Substituindo s = 1
2.(-1)+4k = 0
k = 0,5
Como k é real positivo s = 1 pertence ao LGR
	
	Qual das opções abaixo NÃO corresponde a uma vantagem do sistema de malha aberta em relação a fechada?
		
	
	Simplicidade
	 
	Precisão
	
	Menor custo
	
	Estabilidade
	
	Maior ganho
	Respondido em 16/04/2020 09:23:50
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine a transformada de Laplace da função:
		
	
	4s(s2+3)(s2−1)24s(s2+3)(s2−1)2
	 
	4s(s2−3)(s2+1)34s(s2−3)(s2+1)3
	
	4(s2−3)(s2+1)34(s2−3)(s2+1)3
	
	4s(s2−3)(s2−1)34s(s2−3)(s2−1)3
	
	4s(s2−3)(s2+1)24s(s2−3)(s2+1)2
	Respondido em 15/04/2020 17:35:56
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine a função transferência Vo(s)/Vi(s) do circuito RC abaixo, considerando R=1Ω, C=1F e as condições iniciais nulas.
		
	 
	1s+11s+1
	
	s+1s+1
	
	−1s+1−1s+1
	
	s−1s−1
	
	1s−11s−1
	Respondido em 15/04/2020 17:37:51
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Para a função de transferência G(s) = 3 / (s + 4), determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
 
 
		
	
	1; 1; 0,25
	
	3; 4; 4
	
	0,25; 0,25; 1
	
	0,25; 1; 1
	 
	0,25; 0,55; 1
	Respondido em 16/04/2020 09:23:14
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a alternativa que descreve corretamente o estado do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
G(s) = 5 / (s2 + 4s + 5)
		
	
	O sistema é instável.
	
	O sistema é marginalmente estável.
	 
	O sistema é estável com polos complexos.
	
	Não é possível determinar.
	
	O sistema é estável com polos reais.
	Respondido em 16/04/2020 09:28:04
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
		
	
	3
	
	4
	 
	2
	
	0
	
	1
	Respondido em 16/04/2020 09:47:17
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
		
	
	0
	
	3
	 
	1
	 
	2
	
	4
	Respondido em 16/04/2020 09:48:29
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Para um sistema com realimentação unitária com função de transferência no percurso direto:
Determine o valor do ganhoK quando o lugar geométrico das raízes passa pelo ponto s=-3.
		
	 
	10
	
	15
	
	25
	
	5
	
	20
	Respondido em 16/04/2020 09:30:46
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	
		
	
	3 dB
	
	12 dB
	
	- 6 dB
	 
	6 dB
	
	-3 dB
	Respondido em 16/04/2020 09:48:32
	
		10a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meio de um compensador H(s). Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s)=K com K>0, então a planta:
		
	
	não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a função de transferência da planta apresenta um par de polos no semiplano direito.
	
	poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir de certo valor de ganho K positivo, os polos de malha fechada seguirão duas assíntotas no semiplano esquerdo.
	
	não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-se o ganho K do compensador, ainda restarão polos de malha fechada no semiplano direito.
	
	poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganho K positivo.
	 
	poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganho K positivo, tendo em vista que a função de transferência de malha aberta possui grau relativo 1 e apresenta um zero no semieixo real negativo do plano s.
		Disc.: CONTROLE E SERVOMECANISMOS I   
	Aluno(a):
	25
	Acertos: 2,0 de 10,0
	10/05/2020
		1a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Qual das opções abaixo NÃO corresponde a uma vantagem do sistema de malha aberta em relação a fechada?
		
	
	Maior ganho
	
	Menor custo
	 
	Simplicidade
	 
	Precisão
	
	Estabilidade
	Respondido em 10/05/2020 20:42:54
	
		2a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a transformada de Laplace da função f(t) = e3tcos2t
		
	 
	s−3(s−3)2+4s−3(s−3)2+4
	 
	s−3s+1s−3s+1
	
	s+3(s+3)2+4s+3(s+3)2+4
	
	(s−3)2s+4(s−3)2s+4
	
	s−3(s−3)2+2s−3(s−3)2+2
	Respondido em 10/05/2020 20:42:55
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a função transferência Vo(s)/Vi(s) do circuito RC abaixo, considerando R=1Ω, C=1F e as condições iniciais nulas.
		
	 
	−1s+1−1s+1
	
	s+1s+1
	
	s−1s−1
	
	1s−11s−1
	 
	1s+11s+1
	Respondido em 10/05/2020 20:42:43
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Para a função de transferência G(s) = 3 / (s + 4), determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
 
 
		
	
	0,25; 1; 1
	
	3; 4; 4
	 
	1; 1; 0,25
	 
	0,25; 0,55; 1
	
	0,25; 0,25; 1
	Respondido em 10/05/2020 20:42:59
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Assinale a alternativa que descreve corretamente o estado do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
G(s) = 5 / (s2 + 4s + 5)
		
	
	O sistema é instável.
	 
	O sistema é estável com polos complexos.
	
	O sistema é marginalmente estável.
	 
	Não é possível determinar.
	
	O sistema é estável com polos reais.
	Respondido em 10/05/2020 20:42:46
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
		
	
	3
	 
	2
	
	1
	
	0
	
	4
	Respondido em 10/05/2020 20:43:02
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
		
	
	1
	
	4
	 
	0
	
	3
	 
	2
	Respondido em 10/05/2020 20:43:04
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Para um sistema com realimentação unitária com função de transferência no percurso direto:
Determine o valor do ganho K quando o lugar geométrico das raízes passa pelo ponto s=-3.
		
	
	15
	
	20
	
	25
	 
	10
	 
	5
	Respondido em 10/05/2020 20:43:05
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	
		
	 
	6 dB
	
	3 dB
	
	- 6 dB
	
	-3 dB
	
	12 dB
	Respondido em 10/05/2020 20:42:52
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meio de um compensador H(s). Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s)=K com K>0, então a planta:
		
	 
	não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-se o ganho K do compensador, ainda restarão polos de malha fechada no semiplano direito.
	
	poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganho K positivo.
	
	poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir de certo valor de ganho K positivo, os polos de malha fechada seguirão duas assíntotas no semiplano esquerdo.
	
	não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a função de transferência da planta apresenta um par de polos no semiplano direito.
	 
	poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganho K positivo, tendo em vista que a função de transferência de malha aberta possui grau relativo 1 e apresenta um zero no semieixo real negativo do plano s.
		1a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Um motor de velocidade controlada tem um sistema motor-relé-amplificador com uma função de transferência de 200 rpm/V e um sistema de medição na malha de realimentação com uma função de transferência de 5 mV/rpm. Qual é a função de transferência do sistema global?
		
	
	1000 rpm / V
	
	200 rpm / V
	 
	40 rpm / V
	 
	100 rpm / V
	
	1500 rpm / V
	Respondido em 10/05/2020 20:43:10
	
		2a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a transformada de Laplace da função:
		
	
	s+2(s+3)2+9s+2(s+3)2+9
	 
	s+3(s+2)2+4s+3(s+2)2+4
	
	s+3(s+3)2+9s+3(s+3)2+9
	
	s+2(s+1)2+9s+2(s+1)2+9
	 
	s+2(s+2)2+9s+2(s+2)2+9
	Respondido em 10/05/2020 20:43:11
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Obtenha a função de transferência de 
		
	 
	1 / (s+2)
	
	1/s
	 
	s + 2
	
	s
	
	s2
	Respondido em 10/05/2020 20:43:28
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Em uma função de transferência de 1ª ordem, conhecida a constante de tempo (2s), determine o tempo de subida (aproximado)
		
	
	7s
	 
	4,4s
	
	2s
	
	8s
	
	3,4s
	Respondido em 10/05/2020 20:43:14
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Considerando um sistema sem zeros e com polo em -5, podemos afirmar que
		
	
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	
	Nada podemos afirmar em razão da ausência de zeros
	 
	Estável, pois o valor de sua função temporal tende a zero
	 
	Instável, pois o valor de sua função temporal tende a infinito
	Respondido em 10/05/2020 20:43:31
	
		6a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Dada a função de transferência em malha fechada H(s), determine a faixa de K para garantir a estabilidade.
H(s)=s3−4s−11s5+s4+4s3+2s2+3s+k−1𝐻(𝑠)=𝑠3−4𝑠−11𝑠5+𝑠4+4𝑠3+2𝑠2+3𝑠+𝑘−1
 
		
	
	K > -1
	 
	1 < k < 2
	 
	0 < k < 2
	
	K > -2
	
	K > 0
	Respondido em 10/05/2020 20:43:32
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Para o sistema descrito pelo diagrama em blocos abaixo, determine o tipo do sistema.
		
	
	3
	
	0
	
	4
	 
	1
	
	2
	Respondido em 10/05/2020 20:43:34
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Em uma malha fechada, onde Y(s) / R(s) = k(s-2)/(s+5), determine qual desses valores não pode ser sua raiz real, independente do valor de k
		
	 
	-6
	
	-3
	 
	1
	
	0
	
	-1
	Respondido em 10/05/2020 20:43:36
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	
		
	
	−arctanω5ω−1−arctan⁡ω5ω−1
	 
	arctan5ω6−ω2arctan⁡5ω6−ω2
	 
	−arctan5ω6−ω2−arctan⁡5ω6−ω2
	
	arctanω5ω−1arctan⁡ω5ω−1
	
	arctan5ω6+ω2arctan⁡5ω6+ω2
	Respondido em 10/05/2020 20:43:37
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	
 
Uma planta com função de transferência 1/(s-2) está sujeita à malha de realimentação unitária indicada na figura acima, em que C(s) = (s+3)/(s+1) é um compensador e k é ganho real positivo. Determine se o ponto s = 1 pertence ao LGR.
		
	 
	Pertence ao LGR, pois K é real
	 
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale 0,5
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo evale 0,5
 
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale 0,5
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale -0,5