EQUAES~1.1 estudo-1

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C O N T E Ú D O 
 
 I. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E SISTEMAS.............................. 2 
 
 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 2 
 
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA 1ª ORDEM....................................................... 4 
 
1.1. Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis............................. 5 
1.2. Equações diferenciais homogêneas da 1ª ordem................................................ 8 
1.3. Equações lineares da 1ª ordem. Equação de Bernoulli...................................... 12 
1.4. Equações exactas. Factor integrante.................................................................. 14 
 
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDENS SUPERIORES................................ 18 
 
2.1. Equações diferenciais redutíveis a equações de ordem inferior......................... 18 
 2.2. Equações lineares homogêneas de ordens superiores......................................... 22 
 2.3. Equações lineares não-homogêneas de ordens superiores. 
 Método de Lagrange........................................................................................... 26 
 2.4. Método de coeficientes indeterminados............................................................. 29 
 2.5. Equação de Euler................................................................................................ 33 
 
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................................... 35 
 
 3.1. Sistemas normais. Método de eliminação............................................................ 35 
 
II. CÁLCULO OPERACIONAL................................................................................... 40 
 
 4. TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE...................................................................... 40 
 
5. IMAGENS DE FUNÇÕES – ORIGINAIS MAIS SIMPLES................................. 41 
 
6. TEOREMAS BÁSICOS DO CÁLCULO OPERACIONAL.................................. 43 
 
7. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SISTEMAS PELO 
 MÉTODO OPERACIONAL..................................................................................... 48 
 
 
 
 - 2 - 
I. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 E SISTEMAS 
 
I N T R O D U Ç Ã O 
 
 Suponhamos que no processo de estudo teórico de um fenómeno físico não seja 
possível encontrar a dependência funcional entre certas grandezas variáveis x e y que 
caracterizam este fenómeno, isto é )(xfy  . Entretanto, existe possibilidade de achar uma 
relação analítica entre x , y e as derivadas da variável y com respeito a x , a saber: 
  0.......,,,,, )(  nyyyyxF . A esta relação denomina-se equação diferencial. Vamos 
considerar dois problemas físicos que levam a equações diferenciais. 
 
Problema 1. Um corpo físico de uma massa m começa a cair com uma velocidade inicial 0v . É preciso 
determinar a lei de variação da velocidade da queda v como a função do tempo t , sabendo que o corpo 
a considerar sofre uma resistência de travagem da parte do ar que é proporcional à velocidade do 
movimento, sendo k coeficiente de proporcionalidade. 
Resolução. Em virtude da Segunda Lei de Newton tem-se: 


 F
dt
vd
m , onde 

F é a força resultante 
que age sobre o corpo na direcção de movimento que seja definida pelo vector unitário 

s . É claro que 
essa força está constituída pela força de gravidade 

 smgP , sendo g aceleração da queda livre, e 
pela força de resistência do ar 

 stvkF r )( , onde se toma o sinal menos, pois a força de resistência 
do ar é oposta à velocidade de movimento. Assim, obtemos uma equação diferencial em relação à 
velocidade )(tv : 
kvmg
dt
dv
m  . 
Pode-se mostrar que toda função da forma 
k
mg
Cetv m
kt


)( satisfaz a equação diferencial 
obtida qualquer que seja a constante C . Vamos determinar o valor desta constante de tal maneira que no 
momento inicial 0t a velocidade seja igual a 0v : 
 0
0
)0( v
k
mg
Cev m
k



  
k
mg
vC  0 . 
Assim, achamos a solução final do problema colocado: 
k
mg
e
k
mg
vtv m
kt








0)( . 
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Problema 2. Num circuito eléctrico actua uma força electromotriz ( f.e.m. ) definida por 
tωsenEtE 0)(  , sendo 0E amplitude e ω frequência das oscilações eléctricas. O circuito a 
considerar está constituído por um capacitor C , uma indutância L e uma resistência R ( como se 
mostra no desenho ). Determinar a dependência da carga eléctrica Q sobre as láminas do capacitor 
como função do tempo t . 
Resolução. A queda total da tensão no circuito dado é igual a )( UIR  , onde I é corrente eléctrica 
no circuito, CQU  - é diferença do potencial sobre as láminas do capacitor. Como se sabe, a 
corrente I num circuito depende da carga Q na forma: dtdQI  . Por outro lado, a queda total da 
tensão deve ser igual à soma de todas as forças que actuam no circuito, a saber: f.e.m. E e f.e.m. no 
indutor igual a  dtdIL  . Assim, chegamos à equação: 
dt
dI
LtωsenEIR
C
Q
 0 . 
Atendendo a que dtdQI  , obtemos a seguinte equação diferencial em relação a )(tQ : 
tωsen
L
E
Q
LCdt
dQ
L
R
dt
Qd 0
2
2 1
 . 
Claro que para achar a solução )(tQ do problema dado, é preciso resolver a equação obtida. 
 
 Pode-se apresentar outros numerosos exemplos de problemas físicos e técnicos 
que levam a equações diferenciais. Assim, é muito importante aprender os métodos 
principais de resolução destas equações. Vamos definir os conceitos básicos da teoria de 
equações diferenciais. 
 
Definição 1. Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação 
analítica entre a variável independente x , a função desconhecida )(xφy  e as suas 
derivadas )(.......,,, nyyy  , o que se escreve na forma simbólica seguinte: 
  0.......,,,,, )(  nyyyyxF . 
Definição 2. Denomina-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada 
superior que contem essa equação. 
Definição 3. Chama-se solução de uma equação diferencial a toda função  xφy  que 
satisfaça identicamente essa equação. 
 
Exemplo: É fácil verificar que toda função da forma xCsenxCy cos21  , onde 21,CC são 
constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial da 
a2 ordem 0 yy . 
 
Definição 4. Chama-se solução geral de uma equação diferencial de ordem n a uma 
função  nCCCxφy ,.....,,, 21 que contem n constantes arbitrárias nCCC ,.....,, 21 , 
chamadas constantes de integração, e que goza das seguintes propriedades: 
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a) esta função satisfaz a equação diferencial dada quaisquer que sejam valores 
 admissíveis das constantes nCCC ,.....,, 21 ; 
b) sendo dadas certas condições 10
)1(
1000 )(,.....,)(,)( 
  n
n αxyαxyαxy , 
 chamadas de condições iniciais , é sempre possível encontrar tais valores 
 numéricos nCCC 00201 ,.....,, das constantes de integração que a função 
  nCCCxφy 00201 ,.....,,, , denominada de solução particular da equação 
 diferencial, verifica as condições iniciais indicadas. 
Definição 5. Chama-se integral geral de uma equação diferencial de ordem n a uma 
relação   0,.....,,,, 21  nCCCyx que define implicitamente a solução geral desta 
equação. 
NOTA: Resolver, ou seja, integrar uma equação diferencial significa achar a solução 
geral (ou integral geral) desta equação. 
Definição 6. Denomina-se problema de Cauchy a um problema formulado de modo 
seguinte: sendo dada uma equação diferencial e sendo colocadas respectivas condições 
iniciais, é preciso encontrar uma solução particular desta equação que satisfaça as 
condições iniciais indicadas. 
 
1. Equações diferenciais da 1ª ordem 
 
 Vamos estudar equações diferenciais da1ª ordem que, caso geral, podem ser 
escritas sob a seguinte forma geral:   0,, yyxF . As vezes esta equação pode ser 
resolvida em relação à derivada y  e escrita na forma ),( yxfy  . Para tal equação 
verifica-se o seguinte teorema de existência e unicidade da solução , conhecido como 
 
Teorema de Cauchy. Dada uma equação diferencial da 1ª ordem ),( yxfy  . 
Suponha-se que a função ),( yxf e a sua derivada parcial yf  sejam contínuas num 
domínio D do plano das coordenadas xOy , contendo um ponto ),( 000 yxP . Então, 
existe uma única solução )(0 xφy  da equação diferencial dada, denominada solução 
particular, que verifica a seguinte condição: 0yy  quando 0xx  , ou seja, 
00 )( yxy  . 
Ao domínio D de que se fala no teorema formulado chama-se domínio de 
existência de soluções da equação diferencial dada. Pode-se dar a seguinte 
interpretação geométrica do teorema de Cauchy: sob as condições do teorema existe 
uma única função )(0 xφy  que satisfaz a equação diferencial dada e cujo gráfico 
passa pelo ponto DyxP ),( 000 . Entretanto, podemos considerar uma infinidade de 
pontos ,.....2,1,),( 0  iDyxP ii , e segundo o teorema de Cauchy existe uma 
 - 5 - 
infinidade de soluções particulares distintas )(xφy i tais que o gráfico de cada uma 
delas passa por um só dos pontos iP . A totalidade destes gráficos representa tal 
chamada família de curvas integrais da equação diferencial dada. 
 
Exemplo. Dada a equação diferencial 
x
xy
y


1
. A parte direita desta equação é função 
x
xy
yxf


1
),( que não é definida para 1x . Logo, nos pontos da recta vertical 1x não 
se verificam as condições do teorema de Cauchy e o domínio de existência de soluções desta equação 
é 
2RD  \ Ryy  ),;1( . Pode-se mostrar que a função xexCy  )1( , C R satisfaz a 
equação diferencial dada e representa a sua solução geral. Atribuindo à constante C diversos valores 
numéricos, obteremos uma totalidade de distintas soluções particulares da equação dada, cujos 
gráficos formam sua família de curvas integrais. 
 
 A seguir, vamos considerar os principais tipos de equações diferenciais da 1ª ordem 
e seus respectivos métodos de resolução. 
 
1.1. Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis 
 
Definição 1. Chama-se equação diferencial com variáveis separadas a uma equação 
diferencial da 1ª ordem que tem a seguinte forma geral: dxxNdyyM )()(  , onde 
)(yM e )(xN são certas funções de variáveis y e x , respectivamente. 
 
 Desta definição resulta que uma equação diferencial com variáveis separadas 
representa, de facto, uma igualdade de dois diferenciais de algumas funções primitivas 
que se diferem por uma constante C . Logo, ao integrar ambas partes desta equação, 
obteremos o seu integral geral:    CdxxNdyyM )()( , C R . 
Definição 2. Denomina-se equação com variáveis separáveis a uma equação diferencial 
da 1ª ordem da forma geral seguinte: 0)()()()(  dxyQxPdyxNyM , onde 
)(yM , )(xN , )(xP e )(yQ são certas funções de variáveis y e x . 
 
 Para integrar uma equação diferencial deste tipo é preciso separar as suas 
variáveis, transcrevendo-a para a forma dxyQxPdyxNyM )()()()(  e, em seguida, 
dividindo ambas as partes da equação obtida por )()( yQxN  na suposição 0)( xN e 
0)( yQ . No resultado obteremos uma equação diferencial com variáveis separadas 
dx
xN
xP
dy
yQ
yM
)(
)(
)(
)(
 , cujo integral geral é Cdx
xN
xP
dy
yQ
yM
  )(
)(
)(
)(
, C R . 
 
 - 6 - 
Além disso, é necessário analisar adicionalmente cada um dos casos 0)( xN e 
0)( yQ que eventualmente podem ser soluções complementares da equação dada. 
 
Exemplo 1. Resolver o problema de Cauchy: 1)1(,0)1()1( 3232  yyxyyx . 
Resolução. Primeiro, multipliquemos ambas as partes da equação diferencial dada por 0dx e, 
atendendo a que dydxy  , transformemo-la para a forma: dyxydxyx 3232 )1()1(  . 
Supondo 0x , 0y e dividindo ambas as partes desta equação por 33yx , obtemos uma 
equação com variáveis separadas: dx
x
x
dy
y
y
3
2
3
2 )1()1( 


 . Ao integrar esta última equação, 
achamos o integral geral da equação dada: C
x
x
y
y 
22 2
1
ln
2
1
ln , C R . A seguir, 
temos que determinar o valor da constante de integração C de modo que seja satisfeita a condição 
inicial 1)1( y . Fazendo 1x e 1y no integral geral, achamos 1C . Assim, 
encontramos uma solução particular da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial 
indicada, isto é solução do problema de Cauchy colocado: 1
2
1
ln
2
1
ln
22

x
x
y
y . 
 É facil ver, que caso 0x a equação diferencial dada não se verifica, pois não existe a 
derivada y  . Ao mesmo tempo, a função 0y , cuja derivada 0y , satisfaz esta equação e 
constitui sua solução complementar que, entretanto, não é solução do problema de Cauchy dado. 
Resposta: 1
2
1
ln
2
1
ln
22

x
x
y
y . 
 
Notemos que uma equação diferencial da forma )( cbyaxfy  pode ser 
reduzida a uma equação diferencial com variáveis separáveis, utilizando a substituição 
cbyaxz  , onde )(xz é nova função desconhecida. 
 
Exemplo 2. Resolver a equação diferencial: 32  xyy . 
Resolução. Transformando a equação dada para a forma 32  xyy e introduzindo a nova 
função desconhecida 32  xyz obtemos uma equação diferencial com variáveis separáveis 
em relação à função auxiliar )(xz : zz  2 . Multiplicando ambas as partes desta equação por 
dx e dividindo por 02  z , obtemos uma equação diferencial com variáveis separadas 
dx
z
dz

 )2(
 ou Cdx
z
dz
ln
)2(

 
 , onde 0C . A forma logarítmica da constante de 
integração permite apresentar a solução da equação acima na forma mais simples: 
xeCz  2 . 
Verificando o caso 02  z , obtemos que a função 2z é uma solução complementar da 
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equação zz  2 . Assim, a solução geral desta equação é: ( xeCz  2 ) ( 2z ) , onde 
0C . Esta solução pode ser escrita sob uma única forma: xeCz  2 , onde C é constante 
arbitrária, isto é C R . Atendendo a que 32  xyz , achamos a solução geral da equação 
diferencial dada: 
xeCxy  21 . 
Resposta: 
xeCxy  21 . 
 
Ache as soluções das equações diferenciais dadas 
 
1. 0)1(  dyxdxxy ; 2. 0cos22  dyctgyxdxysentgx ; 
3.     022  dyyxydxxxy ; 4. xyxyy 22  ; 
5.   0sec13 2  dyyedxtgye xx ; 6.    22 11 yyyxx  ; 
7. 22 22  yyyx ; 8. )cos( xyy  ; 
9. 2)( yxy  ; 10. 124  yxy . 
11. 4)0(,0coscos  ydxsenxydyxseny ; 
12. 0)3(,2  yyctgxy ; 13. 1)1(,1)(   yey yx ; 
14.     1)0(,11 22  yyyx ; 15. 21)1(,2  yyyyx ; 
16. 1)1(),1(2  yyxyxy ; 17. 2)0(,32  yxyy ; 
18. 21)0(,)128( 2  yyxy ; 19. 1)0(,1)2(  yyyx ; 
20. eybyayysenxy  )2(),1)2(),0ln  . 
 
Respostas. 1. 1,)1(   xexCy x . 2. xtgCyctg 22  . 3. 22 1)1( xyC  . 
4. 0,2)1(
2
 yyeC x . 5. 0,)1( 3  xeCytg x . 6. ,)1)(1( 222 Cxyx  
0C . 7. xCey 12 2  . 8. ZkkxyCx
xy
ctg 




 
,2,
2
 . 
9. Cxyxarctg  )( . 10.   Cxyxyx  1242ln2124 . 
11. yx cos2cos  . 12. xy cos42  . 13. xy  . 14. )1()1( xyx  . 
15. 1)1(  yx . 16. 32 xy  . 17. xexy  21 . 
18. xtgyx 42128  . 19. 022  yx . 20. a) 1y ; b) )2(ln xtgey  . 
 
 
 
 - 8 - 
1.2. Equações diferenciais homogêneas da 1ª ordem 
 
 Primeiro, vamos definir um conceito auxiliar. 
 
Definição 1. Uma função ),( yxf diz-se função homogênea de grau k em relação aos 
seus argumentos x e y se para qualquer número real 0 se verifica a igualdade 
),(),( yxfyxf k . 
Exemplos: a) a função yxxyxyxf 223 32),(  é homogênea de grau 3k , pois dado 
qualquer 0 cumpre-se a igualdade ),(),( 3 yxfyxf   ; 
b) é fácil verificar que a função 








x
y
arctg
xy
yxy
yxf
22
),( é homogênea de grau 0k ; 
c) a função 752),( 22  xyyxyxf não é homogênea. 
 
Definição 2. Uma equação diferencial da 1ª ordem diz-se equação homogênea se for 
dada numa das seguintes formas: 0),(),(  dyyxNdxyxM ou ),( yxfy  , onde 
),( yxM , ),( yxN são funções homogêneas de um mesmo grau k , mas ),( yxf é função 
homogênea de grau zero. 
 
 Na resolução de uma equação diferencial homogênea utilizam-se as substituições 
uxy  , dxuduxdy  ou uxuy  , que levam a uma equação com variáveis 
separáveis em relação a nova função desconhecida )(xu . 
Exemplo 1. Resolver a equação 






x
y
yyx ln1 . 
Resolução. Sendo 0x , podemos transformar a equação dada para a forma: 






x
y
x
y
y ln1 . A 
parte direita desta equação 






x
y
x
y
yxf ln1),( é função homogênea de grau zero. Então, 
concluimos que a equação dada é homogênea. Utilizando as substituições uxy  , uxuy  , 
obtemos uma equação diferencial com variáveis separáveis em relação a nova função desconhecida 
)(xu : uuux ln ou 
x
dx
uu
du

ln
 , na suposição que 0ln u , sendo 0u . Na resolução 
desta última equação vamos escolher a constante de integração na forma logarítmica. Então, 
obteremos: Cxu lnlnlnln  , onde 0C . Daqui resulta: xCeu  . 
 - 9 - 
 É fácil verificar que o caso 0ln u dá mais uma solução da equação uuux ln , isto é 
1u . Assim, a solução geral desta equação é xCeu  , C R . Atendendo a que xyu  , 
achamos a solução geral da equação dada: 
xCexy  . 
Resposta: 
xCexy  . 
 
Exemplo 2. Resolver o problema de Cauchy: 
     2)1(),()(cos  ydxydyxxysenydyxdxyxyx . 
Resolução. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Agrupando os 
seus termos com xd e com yd , transformemo-la para a forma: 0),(),(  dyyxNdxyxM , 
onde    xysenyxyyxyxM 2cos),(  ,    xysenyxxyxyxN  cos),( 2 são 
funções homogêneas do mesmo grau 2k . Logo, a equação acima é homogênea que se resolve, 
utilizando as substituições uxy  , dxuduxdy  que levam a uma equação diferencial com 
variáveis separáveis: 0)(coscos2  dusenuuuxdxuu . Resolvendo esta equação, 
achamos: Cuux cos2 , C R . Atendendo a que xyu  , obtemos o integral geral da 
equação dada:   Cxyyx cos . Utilizando a condição inicial 2)1( y , encontramos 
2C . Assim, a solução do problema de Cauchy dado é   2cos xyyx . 
Resposta:   2cos xyyx . 
 
 Agora, vamos considerar equações diferenciais que têm a seguinte forma geral: 









222
111
cybxa
cybxa
f
dx
dy
. Pode-se encontrar dois casos possíveis. 
a) Caso 01221
22
11
 baba
ba
ba
 uma equação deste tipo reduz-se a uma 
equação homogênea, efectuando as substituições: huyktx  , , onde t e u 
são, respectivamente, nova variável independente e nova função desconhecida; k e h 
são constantes que se determinam, resolvendo o seguinte sistema: 





.0
;0
222
111
chbka
chbka
 
 Efectuando as substituições indicadas, obteremos uma equação diferencial 
homogênea em relação à função auxiliar )(tu : 











ubta
ubta
f
dt
du
22
11 . 
 
 
 - 10 - 
Exemplo 3. Integrar a equação: 
42
52



yx
yx
y . 
Resolução. Calculemos o determinante 03
12
21
22
11




ba
ba
 . Então, vamos pôr 
huyktx  , , onde t e u são, respectivamente, nova variável independente e nova 
função desconhecida; k e h são constantes que se determinam, resolvendo o seguinte sistema: 





.042
;052
hk
hk
 
 Este sistema tem única solução 1k , 2h . Então, efectuando na equação diferencial dada 
as substituições tdudxdyduytx  ,2,1 , obtemos uma equação homogênea 
ut
ut
td
ud



2
2
 , cujo integral geral é: 
32 )()( tuCtu  , C R . Atendendo a que 
1,2  xtyu , achamos o integral geral da equação diferencial dada: 
32 )1()3(  yxCxy . 
Resposta: 
32 )1()3(  yxCxy . 
 
 
b) Se 01221
22
11
 baba
ba
ba
, então verifica-se 
1
2
1
2
b
b
a
a
, ou 12 aa  , 
12 bb  . Neste caso tem-se:    ybaybxa 1122   . Utilizando a substituição 
ybxaz 11  e tomando em consideração que zybxa  22 ,   11 bxzy  , 
reduzimos a equação inicial a uma equação diferencial com variáveis separáveis. 
 
Exemplo 4. Resolver o problema de Cauchy: 0)0(,)324()12(  yydyxxdyx . 
 
Resolução. Atendendo a que 0
24
12
22
11

ba
ba
 e usando a substituição yxz  2 , 
obtemos uma equação diferencial com variáveis separáveis xdzzdz )1(5)32(  , cujo 
integral geral é 
)52(1 xzeCz  , C R . Daqui resulta o integral geral da equação diferencial 
dada 
)2(1)2( xyeCyx  . Da condição inicial segue 1C . Assim, a solução do 
problema de Cauchy posto é 
)2(1)2( xyeyx  . 
Resposta: 
)2(1)2( xyeyx  . 
 
 
 - 11 - 
Ache as soluções das seguintes equações diferenciais 
 
21.   yyx 1 ; 22.   yxyyx 222  ; 
23. x
y
e
x
y
y  ; 24.   01  yyx ; 
25.  xytgxyyx  ; 26.   xdyydyxx  lnln ; 
27.  223 22 yxyyx  ; 28.     ydyxxxdxyxy 233 222  ; 
29. yxyyx  ; 30.     0cos  xyyyxx ; 
31. 0)3()642(  ydyxxdyx ; 
32. 0)133()1(  xdyxydyx ; 
33. 52)42(  xyyyx ; 34. yxyyx 321)564(  ; 
35. 12)12(  yxyyx ; 36. 22 )2(2)1(  yyyx ; 
37. 12)342(  yxyyx ; 38. ydyxxdy )42()2(  ; 
39. 532)4(  yxyyx ; 40. 63)52(  xyyx . 
41.     0)1(,  yxxyarctgyyx ; 
42.     3)1(,02 222  yydyyxxxdyxy ; 
43. 1)1(,22  yyyxyxy ; 44.   3)2(,023 22  yxdyxydxy ; 
45.   1)1(),0)4(),0222  ybyaydyxxdyx ; 
46. 1)1(,ln)( 




 
 y
x
yx
yxyyx ; 
47.     1)1(,22 2222  yxyxyyxyxy ; 
48. 1)1(,lncos 





 y
x
y
yyx ; 49.   1)1(,022 222  yxdyydyxyx ; 
50.   0)1(,03434 2222  yyxyxyyyxx . 
 
Respostas. 21. xCxy ln . 22. 0,22  yCyxy . 23. xyeCx ln . 
24. 
2
x
x
C
y  . 25.   Cxxysen  . 26. )1( yCeyx  . 27. ,ln22 Cxyx  
0y . 28. xyexyxC yxx   ,)( )(32 . 29. 0,2ln  yyxCxx . 
30.   Cxxysen ln . 31. 23 )1()2(  xyCxy , 1 xy . 
32. xyCyxyx  1,1ln23 . 33. Cyxyxyx  22 . 
 
 - 12 - 
34. )2(3)732( yxCeyx  . 35. Cyxyxyx  22 . 
36. 









 3
2
2
2 x
y
arctg
Cey . 37. Cyxxy  584ln48 . 
38. 1),1()2( 2  yxyxCy . 39. Cxyyx  5)5)(22( . 
40. Cxyxy  3)1)(73( . 41. 






x
y
arctg
x
y
yx 22ln . 
42. 23 )(3)2(4 xyxyy  . 43. )ln1( yxy  . 44. )(275 223 xyy  . 
45. a) xyx 422  ; b) xy  . 46.  12  xxy . 47. xy  . 48. xy  . 
49. xy  . 50. 1)()( 3222  yxyx . 
 
 
1.3. Equações lineares da 1ª ordem. Equação de Bernoulli 
 
Definição 1. Chama-se equação linear da 1ª ordem a uma equação diferencial da forma 
seguinte: )()( xQyxPy  , onde )(),( xQxP são certas funções de x . 
 A parte esquerda desta equação é do primeiro grau, ou seja, linear em relação à 
função desconhecida )(xy e à sua derivada y  . O método de resolução de uma equação 
linear da primeira ordem consiste em seguinte. Vamos procurar a sua solução naforma 
do produto de duas funções desconhecidas )(xu e )(xv , isto é vuy  . Neste caso 
uma destas funções, digamos )(xv , pode ser escolhida arbitrariamente, mas outra, isto é 
)(xu , deve ser determinada de modo que o produto vu satisfaça a equação linear dada. 
Então, efectuando as substituições vuy  , vuvuy  , obteremos: 
)()( xQvuxPvuvu  ou )(])([ xQvxPvuvu  . Agora, para simplificar 
a última equação vamos escolher a função )(xv de tal maneira que a expressão entre os 
parénteses rectos seja igual a zero, isto é 0)(  vxPv . Resolvendo esta equação 
com variáveis separáveis, achamos uma sua solução particular, correspondente a 
constante de integração nula: 
 xdxP
exv
)(
0 )( . Neste caso a função )(xu satisfaz a 
seguinte equação )(0 xQvu  , cuja solução é   Cxdxv
xQ
xu
)(
)(
)(
0
, C R . Assim, 
a solução geral da equação linear tem a seguinte forma: 





  Cxdxv
xQ
xvy
)(
)(
)(
0
0 . 
Exemplo 1. Resolver a equação diferencial: 
4)1(2)1(  xyyx . 
 - 13 - 
Resolução. A parte esquerda da equação dada é do primeiro grau em relação a y e y  , a sua parte 
direita é uma função de x . Logo, a equação dada é linear. Efectuando as substituições vuy  e 
vuvuy  , obtemos a seguinte equação: 4)1(]2)1([)1(  xvvxuvux . 
Igualando a zero a expressão entre os parénteses rectos, obtemos uma equação diferencial com 
variáveis separáveis em relação à função )(xv : 02)1(  vvx . Uma solução particular desta 
equação, correspondente a constante de integração nula, é 
2
0 )1()(  xxv . Então , a função )(xu 
é definida pela equação 
4
0 )1()1(  xvux ou 
43 )1()1(  xux , cuja solução geral é 
Cxxu  2)1(
2
1
)( , C R . Atendendo a que vuy  , encontramos a solução geral da 
equação dada: 





 Cxxy 22 )1(
2
1
)1( . 
Resposta: 





 Cxxy 22 )1(
2
1
)1( . 
 
Definição 2. Chama-se equação de Bernoulli a uma equação diferencial da 1ª ordem da 
forma seguinte: yxQyxPy )()(  , onde 10 , )(),( xQxP são certas 
funções de x . 
 Para resolver uma equação de Bernoulli pode ser empregue o mesmo método que 
se aplica na resolução de equações lineares, a saber, fazem-se as substituições vuy  , 
vuvuy  e realiza-se a ideia que foi apresentada acima. 
 
Exemplo 2. Resolver a equação diferencial: 0)2ln(  xdyydyxx . 
Resolução. A equação dada não é nem linear, nem de Bernoulli em relação a )(xy , pois contém 
yln . Vamos considerar a variável x como função desconhecida do argumento y , isto é )(yxx  . 
Neste caso ydxxd  e a equação dada pode ser transformada à forma: yxxxy ln2 2 . 
Conforme à Definição 2 esta equação é de Bernoulli que resolvemos aplicando as substituições 
)()( yvyux  , vuvux  , onde vux  ,, são derivadas em relação a y . No resultado 
obtemos:   yvuvvyuuvy ln2 22 . A função )(yv procuramos, igualando a zero a 
expressão entre os parénteses: 02  vvy . Resolvendo esta equação, achamos 20 1 yv  . 
Então, a função )(yu é definida pela equação     yyuuyy ln11 2222  , cuja solução geral é 
 22 ln214 yCyyu  . Assim, atendendo a que vux  , obtemos a solução geral da 
equação diferencial dada:  2ln214 yCyx  . 
Resposta:  2ln214 yCyx  . 
 
 - 14 - 
Exemplo 3. Resolver o problema de Cauchy: 1)0(,cos)1(cos 2  yxsenxyyxy . 
Resolução. Esta equação é de Bernoulli. Aplicando a substituição vuy  , obtemos: 
xsenxvuvxvuxvu cos)1()cos(cos 22  . Da equação 0cos  vxv 
achamos 
x
senxx
tgv
cos
1
42
0









. Então, a função )(xu é definida pela equação 
xuu cos2 , cuja solução geral é )(1)( senxCxu  , C R . Atendendo a que 
vuy  , encontramos a solução geral da equação dada: 
xxsenC
xsen
y
cos)(
)1(


 . Da condição 
inicial 1)0( y obtemos 1C . Assim, a solução do problema de Cauchy dado é xy cos1 . 
Resposta: xy sec . 
 
 
Resolva as equações diferenciais dadas 
 
51. 
2
2 xexyxy  ; 52. xexyxyx  23)1( ; 
53. yxyyx 24  ; 54.    222 121 xyxyx  ; 
55.     ydyxsenyyxdy  22 11 ; 56.   xexyyx 21)(  ; 
57.   0)1( 3  ydyxxxdyy ; 58.   12  yyctgxysen ; 
59. 0)ln2(  ydxyyyxdy ; 60.    yxxyxy  12 . 
61. 0)0(,sec  yxtgxyy ; 62. 21)1(,022  yyxyyx ; 
63. eeyyxyyx  )(),(2 ; 64. 0)1(,)1( 2  yxxyyxx ; 
65. 0)1(,1)2cos(  yyysenyx ; 66. 1)0(,2
2
1
cos  yxsenxyy ; 
67. 2)(,ln)1(2  eyxyyxy ; 68.   1)2(,2  yxctgyxsenyy ; 
69.   2)1(,0cos32  yydyyctgxxdx ; 
70.   1)1(,03ln6 645  yydxyyxdyx . 
 
Respostas. 51. 
2
)2( 2 xexCy  .52. xexCxy  )( 3 . 53.  24 ln xCxy  . 
54. ))(1( 2 Cxxy  . 55. Cyyx  cos1 2 . 56.   xeCxxy  25,0ln . 
57. )ln(2)1( 22 Cyyxy  , 1,0  yy . 58. senyyCx )cos(  . 
 - 15 - 
59. Cyyxy  ln2 . 60. 0,113 4 22  yxCxy . 61. xyx cos . 
62. 1)( 2  xxy . 63. xyx ln . 64. )ln1()1( xxxxy  . 
65. ysenesenyx  )1(2 . 66. xsenexseny  21 . 67. )lnln(2 22 xxy  . 
68. xsenxseny 322 213  . 69. ysenysenx 322 21  . 70. 46 )ln1( yyx  . 
 
 
1.4. Equações exactas. Factor integrante 
 
Definição 1. Chama-se equação exacta a uma equação diferencial da 1ª ordem da forma 
0),(),(  ydyxQxdyxP , onde ),(),,( yxQyxP são funções que verificam a 
seguinte condição: yPxQ  . 
 
 Sob esta condição a parte esquerda da equação exacta representa o diferencial total 
de uma função ),( yxF , sendo yFyxQxFyxP  ),(,),( . Da teoria de 
integrais curvilíneos de a2 espécie é sabido que neste caso verifica-se a seguinte 
igualdade CydyxQxdyxPyxF
y
y
x
x
  ),(),(),(
00
0 , C R que determina o integral 
geral da equação exacta dada. Notemos que ),( 00 yx é um ponto fixo no qual as funções 
),(),,( yxQyxP são contínuas. 
 
Exemplo 1. Resolver o problema de Cauchy:   2)1(,03  yydxyxdy . 
Resolução. É fácil verificar que as funções yyxP ),( e  xyyxQ  3),( satisfazem a 
condição 1 yPxQ . Logo, a equação diferencial dada é exacta. Então, ao escolher o 
ponto )0;0(),( 00 yx e atendendo a que 0)0,( xP , obtemos:   Cydxyxd
yx
 
3
00
0 , 
C R . Desta igualdade achamos o integral geral da equação diferencial dada: Cyxy  44 . 
Utilizando a condição inicial 2)1( y , achamos 8C . Assim, encontramos a solução do problema 
de Cauchy dado: 844  yxy . 
Resposta: 844  yxy . 
 
 Agora, vamos considerar outro caso possível. Seja dada uma equação diferencial da 
forma seguinte 0),(),(  ydyxQxdyxP . Suponha-se yPxQ  , quer dizer a 
equação dada não seja exacta. Em certos casos é possível encontrar uma função ),( yx , 
 - 16 - 
chamada factor integrante, tal que sendo ela multiplicada pela equação dada obter-se-á 
uma equação exacta, isto é 0),(),(),(),(  ydyxQyxxdyxPyx  . Então, caso 
geral o factor integrante determina-se pela condição: yPxQ   . Entretanto, é 
mais fácil achar o factor integrante em seguintes dois casos particulares: 
 
 1) se )(
1
xu
y
P
x
Q
Q











, então 
 xdxu
ex
)(
)( ; 
 
 2) se )(
1
yv
y
P
x
Q
P











, então 
ydyv
ey
)(
)( . 
 
Exemplo 2. Resolver a equação diferencial: 0)1(  ydxxdyxy . 
Resolução. Sendo )1(),( yxyyxP  e xyxQ ),( e calculando yxyP 21 e 
1 xQ , verificamos que yPxQ  . Logo,a equação diferencial dada não é exacta. 
Entretanto, )(
21
yv
yy
P
x
Q
P











. Isso significa que existe um factor integrante dependente 
da variável y que calculamospela fórmula: 
2
2
)( 1
)(
y
eey
yd
yydyv 



 . Agora, 
multiplicando a equação diferencial dada pelo factor integrante 
21 y , obtemos uma equação 
exacta 0
)1(
2


yd
y
x
xd
y
yx
, cujo integral geral é : yCyxx  )2( , C R . 
Resposta: : yCyxx  )2( . 
 
Resolva as seguintes equações diferenciais 
 
71.     022 2323  ydyxyxdyxx ; 72.     0332 232  ydyxxdyxx ; 
73.   02  ydyexxde yy ; 74.   02 22  ydyxxdyx ; 
75.     ydyyxxdyxx 2223 323  ; 76. 0ln1  ydxxxdxy yy ; 
77.   0ln3  ydxyxxdy ; 78.   032 22  ydxyxdyx ; 
79.     ydyxyxdyxx 2222 11  ; 
80.     0122 2  ydyctgxxdysenx . 
 
 
 - 17 - 
 
Respostas. 71. Cyyxx  4224 . 72. Cyyxx  332 . 73. Cyex y  2 . 
74. Cyyx  323 . 75. Cyxyxx  3224 424183 . 76. Cx y  . 
77. Cyxy  4ln4 . 78. 322 yCyx  . 79. Cyxyx  3222 )(236 . 
80. senyxCx )4(1 2  .