Questão resolvida - Um avião está voando a uma altitude constante e com uma velocidade constante de 600km_h Um míssil antiaéreo é disparado em uma linha que faz um ângulo de 120 com à trajetória de vô

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• Um avião está voando a uma altitude constante e com uma velocidade constante de 
. Um míssil antiaéreo é disparado em uma linha que faz um ângulo de 600 km / h 120º
 com à trajetória de vôo do avião, de tal forma que irá atingi-lo em um ponto P. No 
instante em que o avião está a do ponto de impacto, o míssil está a dele e 2 km 4 km
voando a . Naquele instante, com que rapidez estará decrescendo a 1.200 km / h
distância entre o míssil e o avião.
 
Resolução:
 
Um esquema do problema é visto baixo:
 
 
d
120°
v = 600km / havião
x
y
P
Perceba que a tragetória do míssil, a tragetória do avião e a distância d entre eles forma um 
triângulo, cujo um dos ângulos sabemos que mede 120°, com isso, podemos usar a lei dos 
cossenos;
 
Assim, usando a lei dos cossenos, chegamos a seguinte relação:
 
d = x + y - 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ cos 120°2 2 2 ( )
 O cosseno de 120° é , substiuindo esse valor e isolando d, fica;-
1
2
 
d = x + y - 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ cos 120° d = d =2 2 2 ( ) → x + y - 2xy -2 2
1
2
→ x + y + xy2 2
2
2
 
d = d = d x, y = x + y + xyx + y + 1 ⋅ xy2 2 → x + y + xy2 2 → ( ) 2 2
1
2
 
Queremos a rapidez com a qual decresce a distância entre o míssel e o avião, ou seja;
 
= x + y + xy ⋅ 2x ⋅ + 2y ⋅ + ⋅ y+ ⋅ x
d x, y
dt
( ) 1
2
2 2
-1
1
2 dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
 
 
 
A B
C
B̂
Ĉ
Â
A = B +C - 2 ⋅B ⋅C ⋅ cosÂ2 2 2
B = A +C - 2 ⋅A ⋅C ⋅ cos2 2 2 B̂
C = A +B - 2 ⋅A ⋅B ⋅ cos2 2 2 Ĉ
Lei dos cossenos
x + y + xy ⋅ 2x + y+ 2y + x
1
2
2 2
-1
1
2 dx
dt
dx
dt
dy
dt
dy
dt
 
= x + y + xy ⋅ 2x+ y + 2y+ x
d x, y
dt
( ) 1
2
2 2
1- 2
2 dx
dt
( )
dy
dt
( )
 
= x + y + xy ⋅ 2x+ y + 2y+ x
d x, y
dt
( ) 1
2
2 2
-
1
2 dx
dt
( )
dy
dt
( )
 
 
=
d x, y
dt
( ) 1
2
2x+ y + 2y+ x
x + y + xy
dx
dt
( )
dy
dt
( )
2 2
1
2
 e são as velocidades do míssel e do avião, respectivamente, e 
dx
dt
dy
dt
1.200 km / h
; dessa forma, a rapidez com que a distância P está diminuindo é;600 km / h
d x, y
dt
( )
 
= = =
d 2, 4
dt
( ) 1
2
600 2 ⋅ 2 + 4 + 1200 2 ⋅ 4 + 2
2 + 4 + 2 ⋅ 4
( ) ( )
( )2 ( )2
1
2
1
2
600 4 + 4 + 1200 10
4 + 16 + 8
( ) ( )
( )
1
2
1
2
600 ⋅ 8 + 12000
28( )
1
2
 
= = = = =
d 2, 4
dt
( ) 1
2
4800 + 12000
7 ⋅ 4( )
1
2
1
2
16800
4 7( )
1
2 ( )
1
2
84000
2 7( )
1
2
4200
7( )
1
2
4200
7
 
 
≅ 1587, 45 Km / h
d 2, 4
dt
( )
 
 
(Resposta )