09 - Funções e Gráficos

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Aula 09 – Funções 
Raciocínio Lógico para Agente de 
Pesquisas e Mapeamento do IBGE (Pós-
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Sumário 
SUMÁRIO ...........................................................................................................................................................2 
FUNÇÕES E SUAS APLICAÇÕES .......................................................................................................................... 3 
FUNÇÕES MATEMÁTICAS – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
Domínio, contradomínio e imagem ................................................................................................................... 4 
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora ............................................................................................................. 5 
Representação de uma função ......................................................................................................................... 7 
Funções inversas .............................................................................................................................................. 9 
Funções compostas ........................................................................................................................................ 12 
Funções pares e ímpares ................................................................................................................................ 15 
FUNÇÃO DE 1º GRAU (LINEAR OU AFIM) ........................................................................................................... 17 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ................................................................................................. 23 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ....................................................................................................................... 86 
GABARITO ..................................................................................................................................................... 109 
RESUMO DIRECIONADO ................................................................................................................................ 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Funções e suas aplicações 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos continuar o estudo da Álgebra agora focando nas Funções Matemáticas: 
 
Funções e Gráficos. 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
FUNÇÕES MATEMÁTICAS – INTRODUÇÃO 
Observe os dois conjuntos abaixo: 
 
Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A a um elemento do conjunto B. Vendo 
todas as setas, temos uma relação entre os conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações entre 
esses dois conjuntos. Observe também que: existem elementos de A que estão ligados a mais de um elemento 
de B; existem elementos de A que não estão ligados a nenhum elemento de B; existem dois elementos de A 
ligados ao mesmo elemento de B. 
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Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, onde cada elemento de A está ligado a 
um único elemento de B. Veja um exemplo abaixo: 
 
É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma relação entre elementos de dois conjuntos, 
que liga cada elemento de um conjunto a um único elemento do outro conjunto. Note que o fato dos elementos 
2 e 3 do conjunto A estarem ligados ao mesmo elemento de B (5) não faz com que a relação deixe de ser 
considerada uma função. O que importa é que cada elemento de A está ligado a apenas 1 elemento de B. 
Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois motivos: 
- haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de B (4 e 6); 
- havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5). 
 
Domínio, contradomínio e imagem 
Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho acima, você precisa saber identificar os 
seguintes conjuntos: 
- Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, contém todos os elementos que 
serão ligados a elementos de outros conjuntos. Trata-se, neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus 
elementos são ligados a elementos do conjunto B; 
- Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos os elementos que poderão ser 
ligados aos elementos do Domínio. Neste caso, trata-se do conjunto B; 
- Imagem da função (I): é formado apenas pelos valores do Contradomínio efetivamente ligados a algum 
elemento do Domínio. Veja, por exemplo, que os elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a nenhum 
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termo do conjunto A. Portanto, eles fazem parte do Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto 
Imagem. 
 
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora 
Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do conjunto B que estão sendo “usados” 
pela função. Isso nos permitirá conhecer as classificações das funções: 
Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único elemento do Domínio, 
a função é chamada injetora. Ex.: 
 
Neste exemplo, o conjunto imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja que o 6 não faz parte da Imagem, apesar de 
ser parte do Contradomínio (B). E cada elemento da Imagem está ligado a apenas um elemento do Domínio, 
que é o conjunto A. Por isso, a função é Injetora. 
 
Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio que não fazem parte do conjunto 
Imagem, temos uma função sobrejetora. Em outras palavras, trata-se dos casos onde Contradomínio = 
Imagem. Ex.: 
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Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) estão sendo utilizados pela função (ou 
seja, este é o próprio conjunto Imagem)? Logo, a função é Sobrejetora. 
 
Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo tempo, isto é, a função for injetora e 
sobrejetora ao mesmo tempo, a função é dita bijetora. Ex.: 
 
Notou que cada elemento da Imagem está ligado a um único elemento do Domínio (conj. A)? E que a 
Imagem é igual ao próprio Contradomínio (conj. B)? Portanto, essa função é Bijetora. 
Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é possível “inverter o sentido” da função. 
As funções bijetoras são as únicas que sempre permitem inverter, ou seja, só elas têm uma “função inversa”. A 
função inversa pode ser visualizada simplesmente trocando o sentido das setas, isto é, ligando cada elemento 
do conjunto B a um único elemento de A. 
 
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Representação de uma função 
Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as notações matemáticas. Para cada elemento 
x do Domínio, a função f levará a um elemento do contradomínio, que denotaremos por f(x) (leia“f de x”, ou 
“função de x”). Ao definir uma função, geralmente definimos quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio 
(CD) através da notação f:D→CD. Na função que vimos acima, tínhamos uma f:A→B, ou seja, uma função com 
Domínio no conjunto A e Contradomínio no conjunto B. Na maioria dos exercícios de concurso você terá 
→:f N N (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), →:f Z Z (inteiros) ou 
→:f R R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais). 
Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo horizontal os valores que o Domínio pode 
assumir, isto é, os valores de x; e no eixo vertical os valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os valores de 
f(x), que também podemos chamar simplesmente de y: 
 
Exemplificando, vamos representar a função →:f R R onde f(x) = 2x. R , no caso, é o conjunto dos 
números reais. Portanto, a função f(x) tem como Domínio todos os números reais, e também os tem como 
Contradomínio. Se x for igual a 3, por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que 
podemos localizar no gráfico. Antes, porém, vamos calcular a função para outros valores de x. Veja a tabela 
abaixo: 
Valor de x Valor de f(x) = 2x Ponto (x, f(x)) 
0 0 (0, 0) 
1 2 (1, 2) 
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-1 -2 (-1, -2) 
-2 -4 (-2, -4) 
 
 
Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja: 
 
Observe que os pontos marcados formam uma reta. Para cada número real x, teremos um número real 
dado por f(x) de forma que o ponto (x, f(x)) pertencerá à reta desenhada acima. 
Antes de avançarmos para as funções mais cobradas, veja o exercício abaixo: 
FUMARC - SEE/MG – 2018) Uma função f : R → R é tal que, para todo x ∈ R, tem-se 
 
Nessas condições, f(1) é igual a 
(A) 13 
(B) 17 
(C) 23 
(D) 52 
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(E) 64 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos achar primeiro f(x) para x = 4. Fica: 
f(4.4) = 4.f(4) 
f(16) = 4.f(4) 
208 = 4.f(4) 
f(4) = 52 
Agora, basta fazer x=1: 
f(4.1) = 4.f(1) 
f(4) = 4.f(1) 
52 = 4.f(1) 
f(1) = 13 
Resposta: A 
 
Funções inversas 
Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. Veja que essa função leva um valor x ao 
valor f(x), que no caso é igual a 2x. Veja isso no diagrama abaixo: 
 
A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os elementos do conjunto da direita de volta aos 
elementos do conjunto da esquerda. O caso acima é bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os elementos 
da direita são o dobro daqueles da esquerda, a função inversa será aquela que divide os elementos do conjunto 
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da direita por 2. Simbolizando a função inversa por 1( )f x− , fica claro que neste caso 1( )
2
x
f x− = . Note, por 
exemplo, que 1
11
(11) 5,5
2
f − = = . 
 
Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta seguir os passos abaixo: 
OBTENÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA 
1 - Substituir f(x) por x 
2 - Substituir x por 
1( )f x− 
3 - Rearranjar os termos, isolando 
1( )f x− . 
 
Para exemplificar, imagine ( ) 5
3
x
f x = + . Executando os dois primeiros passos acima, temos: 
1
( ) 5
3
( )
5
3
x
f x
f x
x
−
= +
= +
 
 
Agora vamos executar o último passo, isolando 1( )f x− : 
1
1
1
1
( )
5
3
( )
5
3
3( 5) ( )
( ) 3( 5)
f x
x
f x
x
x f x
f x x
−
−
−
−
= +
− =
− =
= −
 
 
Portanto, a função inversa de ( ) 5
3
x
f x = + é 1( ) 3( 5)f x x− = − . Para ficar mais claro, observe que f(6) 
= 7, e que 1(7) 6f − = . 
 
Note que: 
- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa; 
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- o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa; 
Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras admitem uma função inversa. 
 
Vejamos uma questão sobre o tema: 
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A função bijetora dada por f(x) = 
1
2
x
x
+
−
 possui domínio no conjunto dos 
números reais, exceto o número 2, ou seja: R - {2}. O conjunto imagem de f(x) é o conjunto dos reais menos o 
número 1, ou seja: R - {1}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de R - {2} em R - {1}. Com isso, a função 
inversa de f, denotada por f-1, é definida como 
a) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
+
−
 de R - {1} em R - {2}. 
b) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
−
+
 de R - {1} em R - {2}. 
c) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
−
−
 de R - {2} em R - {1}. 
d) f-1(x) = 
2
1
x
x
−
+
 de R - 1 em R - {2}. 
e) f-1(x) = 
2
1
x
x
−
+
 de R - 2 em R - {1}. 
RESOLUÇÃO: 
 Em primeiro lugar, vamos calcular a função inversa, que chamaremos de f-1(x). Fazemos isso trocando f(x) 
por x, e trocando x por f-1(x): 
1
( )
2
x
f x
x
+
=
−
 
1
1
( ) 1
( ) 2
f x
x
f x
−
−
+
=
−
 
 
 Agora basta isolar f-1(x): 
1 1. ( ) 2 ( ) 1x f x x f x− −− = + 
1 1. ( ) ( ) 2 1x f x f x x− −− = + 
1( ).( 1) 2 1f x x x− − = + 
1 2 1( )
1
x
f x
x
− +=
−
 
 
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 Observe que o denominador nunca pode ser igual a zero. Portanto, 
1 0x−  
1x  
 Portanto, a função inversa f-1(x) tem como domínio qualquer número x que pertença ao conjunto dos 
números reais (R), com exceção de x = 1. Temos então o domínio R – {1}. Repare o seguinte: a imagem de f(x), 
que era R – {1}, virou o domínio da inversa f-1(x). Da mesma forma, o domínio de f(x), que era R – {2}, virou a 
imagem da inversa f-1(x). 
 Portanto, temos: 
1 2 1( )
1
x
f x
x
− +=
−
 de R – {1} em R – {2} 
Resposta: A 
 
Funções compostas 
Veja as duas funções abaixo: 
( ) 5f x x= + 
e 
( ) 1
2
x
g x = − 
Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 e g(4)=1. O que seria, então, f(g(4))? 
Para responder, primeiramente precisamos calcular o que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), obtendo o 
resultado 1. Este resultado é que será substituído na expressão da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6. 
A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada por outras duas. Assim, dado 
um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de g(x) para, a seguir, substituir esse valor na função f, obtendo 
o resultado final. Ao invés de sempre efetuar esses dois passos, é possível descobrir uma expressão que já dê 
direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x) na expressão da função f: 
( ) 5
( ( )) ( ) 5
f x x
f g x g x
= +
= +
 
 
Como ( ) 1
2
x
g x = − , podemos substituir o g(x) que se encontra no lado direito da expressão acima. Veja 
o que obtemos: 
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( ( )) ( ) 5
( ( )) 1 5
2
( ( )) 4
2
f g x g x
x
f g x
x
f g x
= +
 
= − + 
 
= +
 
 
Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da função g, seguida da aplicação da função f. 
Veja que 
4
( (4)) 4 6
2
f g = + = , como calculamos acima. 
Outra forma de simbolizar f(g(x)) é ( )f g x . Vamos aproveitar as funções f(x) e g(x) acima para calcular 
g(f(x)): 
( ) 1
2
( )
( ( )) 1
2
( 5)
( ( )) 1
2
3
( ( ))
2
x
g x
f x
g f x
x
g f x
x
g f x
= −
= −
+
= −
+
=
 
 
Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. Muito cuidado com isso! Aqui, a ordem 
importa! 
É possível ainda calcular a função composta ( )f f x , ou f(f(x)). Basta substituir o x, na expressão da 
funçãof, por f(x). Veja abaixo: 
( ) 5
( ) ( ) 5
( ) ( 5) 5
( ) 10
f x x
f f x f x
f f x x
f f x x
= +
= +
= + +
= +
 
 
Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, ( )g g x : 
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( ) 1
2
( )
( ) 1
2
1
2
( ) 1
2
3
( )
4 2
x
g x
g x
g g x
x
g g x
x
g g x
= −
= −
 
− 
 = −
= −
 
Veja comigo essa questão: 
IBFC – TCM/RJ – 2016) Dada a função f(x) = 3x -2 e g(x) = (x + 8)/3 , então g(f(-1)) é: 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que estamos diante da função composta g(f(x)). Queremos encontrar o seu valor para x = -1. 
Podemos fazer o exercício de DUAS maneiras para praticar: 
 
1) Encontrando a função composta g(f(x)). 
 A expressão de g(x) é: 
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 8
3
 
 Podemos substituir x por f(x), ficando: 
𝑔(𝑓(𝑥)) =
𝑓(𝑥) + 8
3
 
 Como f(x) = 3x – 2, temos: 
𝑔(𝑓(𝑥)) =
(3𝑥 − 2) + 8
3
 
𝑔(𝑓(𝑥)) =
3𝑥 + 6
3
 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 + 2 
 Essa é a expressão genérica para g(f(x)). Podemos agora substituir x por -1, ficando: 
𝑔(𝑓(−1)) = −1 + 2 = 1 
 O gabarito é a alternativa C. 
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2) Sem encontrar a função composta. 
 Ao invés de calcularmos a expressão genérica de g(f(x)), podemos fazer o cálculo por etapas. 
Primeiramente, podemos obter o valor de f(-1). Veja: 
f(x) = 3x - 2 
f(-1) = 3.(-1) – 2 
f(-1) = -3 – 2 
f(-1) = -5 
 Agora podemos substituir este valor na função g. Acompanhe: 
g(x) = (x+8)/3 
g(-5) = (-5+ 8)/3 
g(-5) = 3/3 
g(-5) = 1 
 Portanto, g(f(-1)) = g(-5) = 1. 
Resposta: C 
 
Funções pares e ímpares 
Funções pares são aquelas em que f(-x)=f(x). Como exemplo, vejamos se a função f(x) = 2x4 - 3x2 + 8 é par. 
Para começar, façamos um pequeno teste. Vamos utilizar x = 1 e depois x = -1. Veja: 
f(1) = 2.14 – 3.12 + 8 
f(1) = 7 
e 
f(-1) = 2.(-1)4 – 3.(-1)2 + 8 
f(-1) = 2.1 – 3.1 + 8 
f(-1) = 7 
 Repare que f(1) = f(-1). Agora vamos fazer de modo mais genérico, substituindo x por -x na expressão da 
função. Veja: 
f(-x) = 
2(-x)4 – 3(-x)2 + 8 = 
2x4 - 3x2 + 8 = 
f(x) 
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Ou seja, f(-x) = f(x). Isto é, ao substituir x por –x na função acabamos encontrando f(x) novamente. Nesse 
caso a função é par. 
Abaixo segue o gráfico da função f(x) = x2, que também é par. Veja que o gráfico guarda uma simetria em 
relação ao eixo y, para os correspondentes valores de x iguais em módulo. 
 
Já as funções ímpares são aquelas para as quais f(x) = -f(x). Como exemplo, vejamos se a função f(x) = 2x3 
- 3x é ímpar. Podemos começar calculando o seu valor para x = 1 e para x = -1. Acompanhe: 
f(1) = 2.13 – 3.1 = -1 
e 
f(-1) = 2.(-1)3 – 3.(-1) = -2 + 3 = 1 
Perceba que f(1) = - f(-1). Agora vamos fazer de forma amis genérica, substituindo x por –x: 
f(-x) = 
2(-x)3 – 3(-x) = 
-2x3 + 3x = 
-(2x3 - 3x) = 
-f(x) 
Ou seja, ao substituir x por –x na função acabamos encontrando -f(x). Nesse caso a função é ímpar. 
Abaixo segue o gráfico da função f(x) = 2x, que também é ímpar. Veja que o gráfico guarda uma simetria 
em relação à origem, para os correspondentes valores de x e y iguais em módulo. 
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FUNÇÃO DE 1º GRAU (LINEAR ou AFIM) 
Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x: 
 
f(x) 
x 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
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Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e perceber que se tratava de uma reta. 
Entretanto, sem desenhar os pontos, você já deveria saber que esta função teria, como gráfico, uma reta. Isto 
porque a função f(x) = 2x é uma função do tipo f(x) = ax + b, que chamaremos de função de primeiro grau, onde 
a = 2 e b = 0. Esta função também é chamada de função linear ou então de função afim. 
Grave isso: as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas funções, o coeficiente “a” é 
chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que 
vimos acima), e se a < 0 a reta será decrescente. Já o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica 
em que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na função f(x) = 2x, o termo b é 
igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na posição y = 0. 
Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de primeiro grau (pois o maior expoente 
de x é 1), onde o coeficiente angular é a = -3 e o coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é uma reta 
decrescente (a < 0), que cruza o eixo y na posição y = 5 (pois este é o valor de b). 
Veja que a função de 1º grau é composta por uma parte fixa (b) e uma parte variável (o termo a.x varia 
conforme muda o valor de x). Podemos utilizar esta função para representar situações práticas do dia-a-dia, 
como você pode ver na próxima questão: 
FAURGS – TJ/RS – 2017) Um vendedor recebe um salário mensal composto de um valor fixo de R$ 1.300,00 e 
de uma parte variável. A parte variável corresponde a uma comissão de 6% do valor total de vendas que ele fez 
durante o mês. O salário mensal desse vendedor pode ser descrito por uma expressão algébrica f(x), em função 
do valor total das vendas mensal, representado por x. 
A expressão algébrica f(x) que pode representar o salário mensal desse vendedor é 
(A) f(x) = 0,06x + 1300 
(B) f(x) = 0,6x + 1300 
(C) f(x) = 0,78x + 1300 
(D) f(x) = 6x + 1300 
(E) f(x) = 7,8x + 1300 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que o vendedor recebe um valor fixo e uma comissão variável conforme as vendas. O valor fixo 
é de 1300 reais, ou seja, se temos uma função de primeiro grau do tipo f(x) = ax + b, dizemos que b = 1300. O 
variável corresponde ao termo a.x. Sendo x o total de vendas, a comissão será de 6% de x, ou seja, 0,06x. Assim, 
o vendedor recebe: 
f(x) = fixo + comissão variável 
f(x) = 1300 + 0,06x 
Resposta: A 
 
Se temos apenas 2 pontos de uma função do segundo grau, conseguimos escrever toda a sua expressão 
e traçar o seu gráfico. Acompanhe isso comigo no próximo exercício: 
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IBFC – PM/SE – 2018) Os pontos de coordenadas (-3, 2) e (1, 10) são elementos de uma função de primeiro 
grau. Então para que o ponto (x, 6) seja um elemento dessa função, o valor de x deve ser: a) – 1 
 b) 1 
c) 2 
d) – 2 
RESOLUÇÃO: 
 A fórmula geral de uma função de 1º grau é dada por: 
f(x) = ax + b 
 Foram dados dois pontos dessa função. O ponto (-3,2) nos indica que, quando usarmos x = -3, teremos 
f(x) = 2. Substituindo esses valores na expressão acima: 
2 = a.(-3) + b 
b = 3a + 2 
 
 O ponto (1,10) nos indica que, quando x = 1, temos f(x) = 10. Substituindo na expressão: 
10 = a.1 + b 
 Podemos substituir b por “3a +2” nessa última expressão, como descobrimos anteriormente. Assim: 
10 = a + (3a + 2) 
10 – 2 = 4a 
4a = 8 
a = 2 
 Podemos agora encontrar o valor de b, usando a expressão b = 3a + 2: 
b = 3.2 + 2 
b = 8 
 A lei dessa função, portanto, será: 
f(x) = 2x + 8 
 Para o ponto (x, 6), temos que o valor da função é f(x) = 6. Substituindo na expressão acima: 
6 = 2x + 8 
6 – 8 = 2x 
-2 = 2x 
x = -1 
Resposta: A 
 
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Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza o eixo horizontal. Veja este ponto, em 
destaque no gráfico abaixo: 
 
Esta é a chamada RAIZ da função. Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o valor de 
x, basta igualar a função a 0: 
ax + b = 0 
Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a raiz será 
b
x
a
−
= . Ou seja, a função f(x) 
cruza o eixo x no ponto P (
b
a
−
, 0). 
ESAF – ANAC – 2016) Sejam f(x) = ax + 7 e g(x) = 3x + 6 funções do primeiro grau. O valor de "a" que faz com 
que f(2) seja igual a g(3) é igual a 
a) 6. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 4. 
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e) 7. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que: 
g(3) = 3.3 + 6 = 15 
Assim, f(2) = 15. Substituindo na expressão de f, 
f(2) = a.2 + 7 
15 = a.2 + 7 
8 = a.2 
a = 4 
Resposta: D 
 
COPS/UEL – Polícia Militar/PR – 2010) Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas 
cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2, 2) e B = (4, 1). Para 
compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e 
B. Essa trajetória é dada pela equação: 
a) x – y = 0 
b) x + y – 5 = 0 
c) x – 2y + 2 = 0 
d) 2x + 2y – 8 = 0 
e) x + 2y – 6 = 0 
RESOLUÇÃO: 
A equação de uma função linear (cujo gráfico é uma reta) é do tipo: 
f(x) = ax + b 
No ponto A temos x = 2 e y = f(2) = 2. Assim, 
f(2) = a.2 + b 
2 = 2a + b 
b = 2 – 2a 
No ponto B temos x = 4 e y = f(4) = 1. Logo, 
f(4) = a.4 + b 
1 = 4a + b 
Como já vimos que b é igual a 2 – 2a, podemos efetuar a substituição nesta última equação: 
1 = 4a + (2 – 2a) 
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a = -1/2 
Portanto, b = 2 – 2 x (-1/2) = 3. Assim, a reta é dada pela função: 
1
( ) 3
2
f x x= − + 
Podemos chamar f(x) de y, afinal este é o valor que vai no eixo vertical do gráfico. Assim, 
1
3
2
y x= − + 
2 6y x= − + 
2 6 0x y+ − = 
Resposta: E 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
1. CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) 
Considere A o conjunto dos números inteiros maiores que zero, e a função f: A→N definida por f(n)=número 
máximo de filas indianas diferentes contendo n pessoas, que poderiam ser formadas por n pessoas dadas. Duas 
filas indianas, formadas pelas mesmas pessoas, são diferentes quando há alguma pessoa cuja posição em uma 
fila é diferente de sua posição na outra. Para n pertencente a A, a diferença f(n + 1) - f(n) é igual a 
(A) 1 
(B) n! 
(C) n . (n!) 
(D) (n + 1)! 
(E) (n + 1) . (n - 1) 
RESOLUÇÃO: 
O número de filas indianas que podemos formar é dado pela permutação de n, ou seja, n!. Assim, 
f(n) = n! 
f(n+1) = (n+1)! 
Logo, 
f(n+1) - f(n) = (n+1)! - n! 
f(n+1) - f(n) = (n+1).n! - n! 
f(n+1) - f(n) = n!.(n+1-1) 
f(n+1) - f(n) = n! . n 
Resposta: C 
 
2. FUMARC - SEE/MG – 2018) 
Uma função f : R → R é tal que, para todo x ∈ R, tem-se 
 
Nessas condições, f(1) é igual a 
(A) 13 
(B) 17 
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(C) 23 
(D) 52 
(E) 64 
RESOLUÇÃO: 
Vamos achar primeiro f(x) para x = 4. Fica: 
f(4.4) = 4.f(4) 
f(16) = 4.f(4) 
208 = 4.f(4) 
f(4) = 52 
Agora, basta fazer x=1: 
f(4.1) = 4.f(1) 
f(4) = 4.f(1) 
52 = 4.f(1) 
f(1) = 13 
Resposta: A 
 
3. IBFC – PM/SE – 2018) 
Os pontos de coordenadas (-3, 2) e (1, 10) são elementos de uma função de primeiro grau. Então para que o 
ponto (x, 6) seja um elemento dessa função, o valor de x deve ser: a) – 1 
 b) 1 
c) 2 
d) – 2 
RESOLUÇÃO: 
A fórmula geral de uma função de 1º grau é dada por: 
y = ax + b 
Foram dados dois pontos dessa função. Vamos substituí-los: 
(-3,2) → x = -3 e y = 2: 
2 = a.(-3) + b 
b = 3a + 2 (I) 
(1,10) → x = 1 e y = 10: 
10 = a + b 
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Substituindo (I) nessa equação, fica: 
10 = a + (3a + 2) 
10 – 2 = 4a 
4a = 8 
a = 2 
b = 3.2 + 2 
b = 8 
A lei dessa função, portanto, será: 
y = 2x + 8 
Para o ponto (x, 6), temos: 
6 = 2x + 8 
6 – 8 = 2x 
-2 = 2x 
x = -1 
Resposta: A 
 
4. FAURGS – TJ/RS – 2017) 
Um vendedor recebe um salário mensal composto de um valor fixo de R$ 1.300,00 e de uma parte variável. A 
parte variável corresponde a uma comissão de 6% do valor total de vendas que ele fez durante o mês. O salário 
mensal desse vendedor pode ser descrito por uma expressão algébrica f(x), em função do valor total das vendas 
mensal, representado por x. 
A expressão algébrica f(x) que pode representar o salário mensal desse vendedor é 
(A) f(x) = 0,06x + 1300 
(B) f(x) = 0,6x + 1300 
(C) f(x) = 0,78x + 1300 
(D) f(x) = 6x + 1300 
(E) f(x) = 7,8x + 1300 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x o total de vendas, a comissão será de 6%.x = 0,06x. Assim, o vendedor recebe: 
f(x) = fixo + comissão 
f(x) = 1300 + 0,06x 
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Resposta: A 
 
5. IBFC – TCM/RJ – 2016) 
Dada a função f(x) = 3x -2 e g(x) = (x + 8)/3 , então g(f(-1)) é: 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) 5 
RESOLUÇÃO: 
Veja que f(-1) = 3.(-1) – 2 = -3 – 2 = -5 
g(f(-1)) = g(-5) = (-5 + 8)/3 = 3/3 = 1 
Resposta: C 
 
6. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) 
As retas das equações x +2 y – 4 = 0, 2x + y + 7 = 0 e x + y + k = 0 concorrem em P. O valor de k na equação x + y 
+ k = 0 é 
(A) –2. 
(B) –1. 
(C) 1. 
(D) 2. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos inicialmente encontrar o ponto P onde as retas x +2 y – 4 = 0 e 2x + y + 7 = 0 se cruzam, ou seja, 
concorrem. Neste ponto, as duas retas tem o mesmo valor de x e o mesmo valor de y. Portanto, isolando x na 
primeira equação: 
x = 4 – 2y 
 
Substituindo na segunda: 
2.(4 – 2y) + y + 7 = 0 
8 – 4y + y + 7 = 0 
15 = 3y 
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y = 5 
 
Logo, 
x = 4 – 2.5 = -6 
 
Portanto, as duas primeiras retas se cruzam no ponto onde x = -6 e y = 5. Este deve ser o mesmo ponto onde a 
terceira reta cruza as duas primeiras, pois todas elas cruzam (concorrem) no mesmo ponto. Assim, substituindo 
os valores conhecidos de x e y na terceira reta: 
x + y + k = 0 
-6 + 5 + k = 0 
-1 + k = 0 
k = 1 
Resposta: C 
 
7. FUNDATEC – CREA/PR – 2013) 
Uma empresa pode vender 1000 unidades de um determinado produto pelo preço unitário de R$30,00 e, se o 
preço unitário desse mesmo produto for R$25,00, ela poderá vender 2000 unidades. Considerando que a 
quantidade vendida (q) pode ser expressa em função do preço unitário (p) por uma função afim, a expressão 
que melhor representa essa situação é: 
 A) q( p) = −7000 p + 200 
B) q( p) = 200 p + 7000 
C) q( p) = −200 p + 7000 
D) q( p) = 7000 p − 200 
E) q( p) = 200 p − 7000 
RESOLUÇÃO: 
Chamamos de “função afim” uma função de primeiro grau. Para esquematizar uma função de primeiro grau, 
do tipo f(x) = a.x + b, que relacione a quantidade q em função do preço unitário p, podemos escrever: 
q(p) = a.p + b, 
 
onde a e b são os coeficientes que precisamos descobrir. Foi dito que para p = 30 reais, temos q = 1000 unidades, 
e para p = 25 reais,temos q = 2000 unidades. Logo, 
 
q(30) = a.30 + b 
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1000 = a.30 + b 
 
q(25) = a.25 + b 
2000 = a.25 + b 
 
Na primeira equação, podemos escrever que b = 1000 – a.30. Subtituindo na segunda equação, ficamos com: 
2000 = a.25 + (1000 – a.30) 
2000 = 1000 – 5.a 
a = -200 
 
Assim, 
b = 1000 – a.30 
b = 1000 – (-200).30 
b = 7000 
 
Logo, ficamos com a equação: 
q(p) = -200.p + 7000 
Resposta: C 
 
8. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) 
Se 
2 , 1
( ) 1, 1 6 ,
7 4
, 6
2
x p se x
f x mx se x é uma função contínua
x
se x

 − 

= −  
 +
 
 de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
RESOLUÇÃO: 
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Veja que esta função é composta por 3 relações distintas, que devem ser usadas conforme o valor de x. Para a 
função ser contínua, é preciso que nos pontos onde temos mudança de relação não tenhamos uma 
descontinuidade. Os pontos de mudança de relação ocorrem em x = 1 e em x = 6. No caso de x = 1, é preciso que 
as duas primeiras relações forneçam o mesmo valor. E no caso de x = 6, é preciso que as duas últimas relações 
forneçam o mesmo valor. 
Assim, em x = 6 temos: 
f(6) = m.6 – 1, conforme a segunda relação 
e 
f(6) = (7.6 + 4) / 2, conforme a terceira relação 
 
Para que essas duas relações forneçam o mesmo valor: 
m.6 – 1 = (7.6 + 4) / 2 
m.6 = 23 + 1 
m = 4 
 
Da mesma forma, em x = 1 temos: 
f(1) = 2.1 – p, conforme a primeira relação 
e 
f(1) = m.1 – 1, conforme a segunda relação 
 
Portanto, 
2.1 – p = m.1 – 1 
2 – p = 4.1 – 1 
2 – p = 4 – 1 
2 – p = 3 
p = -1 
 
Assim, m – p = 4 – (-1) = 5. 
Resposta: C 
 
9. FUNDATEC – FISCAL VACARIA/RS – 2011) 
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Um fiscal que presta serviços em obras realizou uma inspeção em quatro horas e cobrou R$ 190,00. Sabendo 
que esse fiscal cobra uma taxa fixa de visita e mais R$ 40,00 por hora de trabalho, a lei da função que relaciona 
o preço P que ele cobra e o tempo t em horas de trabalho corresponde a 
A) P(t) = 30t + 30 
B) P(t) = 30t + 40 
C) P(t) = 40t + 30 
D) P(t) = 40t + 40 
E) P(t) = 50t + 40 
RESOLUÇÃO: 
Foi dito que o preço P cobrado é composto por um valor fixo (que chamaremos de b) e uma taxa de 40 reais por 
hora. Portanto, sendo “t” o tempo, em hors, de um serviço, o seu preço é dado por: 
P(t) = 40 x t + b 
 
Foi dito que uma inspeção de t = 4 horas teve preço P = 190 reais. Ou seja, 
P(4) = 40 x 4 + b 
190 = 40 x 4 + b 
190 = 160 + b 
b = 30 
 
Desde modo, a lei da função que relaciona o preço P que ele cobra e o tempo t em horas de trabalho 
corresponde a: 
P(t) = 40 x t + 30 
Resposta: C 
 
10.FUNDATEC – FISCAL PREF. DE PINHAL DA SERRA/RS – 2010) 
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Para a função representada no gráfico acima e definida por f(x) = ax +b, tem-se que 
A) a < 0 e b < 0 
B) a < 0 e b > 0 
C) a > 0 e b <0 
D) a > 0 e b = 0 
E) a > 0 e b > 0 
RESOLUÇÃO: 
Repare que o gráfico é uma reta CRESCENTE, de modo que o coeficiente angular “a” é positivo, ou seja, a > 0. 
Além disso, note que a reta intercepta o eixo vertical no ponto onde y = 0, de modo que este é o valor do 
coeficiente linear b. 
Temos isso na alternativa D: 
a > 0 e b = 0 
Resposta: D 
 
11.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo 
que o preço caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, com 2 anos de 
uso, em reais, é de 
 a) 40.000,00 
 b) 50.000,00 
 c) 60.000,00 
 d) 70.000,00 
 e) 80.000,00 
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RESOLUÇÃO: 
Seja “t” o tempo de uso de um caminhão e f(t) o preço deste caminhão, em função do tempo de uso. Foi dito 
que esta é uma função linear, ou seja, uma função de primeiro grau, do tipo: f(x) = ax + b. Ou melhor, usando a 
variável “t”: 
f(t) = a.t + b 
 
Sabemos que um caminhão novo (t = 0) tem preço f(0) = 90000. Ou seja, 
f(0) = a.0 + b 
90000 = b 
 
Sabemos também que um caminhão com 4 anos de uso (t = 4) tem preço f(4) = 50000. Isto é: 
f(4) = a.4 + b 
50000 = 4a + 90000 
-40000 = 4a 
a = -10000 
Portanto, temos a função linear que nos dá a relação entre o tempo de uso e o preço do caminhão: 
f(t) = -10000t + 90000 
 
Para t = 2 anos de uso, temos: 
f(2) = -10000 x 2 + 90000 = 70000 reais 
Resposta: D 
 
12.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n 
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Então, o valor de m3 + n é 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 5 
 d) 8 
 e) 13 
RESOLUÇÃO: 
Observe no gráfico que, para x = 3, temos y = 1. E para x = -2, temos y = -9. Como a reta é do tipo y = mx + n, 
temos que: 
1 = m.3 + n 
-9 = m.(-2) + n 
 
1 = 3m + n 
-9 = -2m + n 
 
Isolando n na primeira equação, temos: 
n = 1 – 3m 
 
Substituindo na segunda equação, temos: 
-9 = -2m + (1 – 3m) 
-9 = -2m + 1 – 3m 
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-10 = -5m 
m = 2 
 
Logo, n = 1 – 3m = 1 – 3.2 = -5. 
 
Assim, m3 + n = 23 + (-5) = 3. 
Resposta: B 
 
13. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) 
O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, 
nos pontos (-2, 0) e (13, 0). 
 
Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será 
(A) 5,5 
(B) 6,5 
(C) 7 
(D) 7,5 
(E) 9 
RESOLUÇÃO: 
A lei da função de uma parábola é dada por: 
y = ax² + bx + c 
Sabemos que “c” é o ponto em que a parábola toca o eixo y. Logo, c = 9. 
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As raízes dessa função são os valores de “x” que correspondem à interseção da parábola com o eixo x. Portanto: 
x’ = -2 e x” = 13. Para x=-2, temos: 
0 = a.(-2)² + b(-2) + 9 
4a – 2b = -9 
2b = 4a + 9 
b = 4a+92 (I) 
 
Para x = 13, temos: 
0 = a.13² + b.13 + 9 
169a + 13b = -9 (II) 
 
Substituindo (I) em (II), fica: 
169a + 13 x (
4a+9
2
) = -9 
 
Vamos multiplicar toda equação por 2: 
338a + 13 x (4a + 9) = -18 
338a + 52a + 117 = -18 
390a = -135 
a = 
−9
26
 
b = 
4 x (−
9
26
)+9
2
 = 
2 x (−
9
13
)+9
2
 
b = 
(−
18
13
)+
117
13
2
 
b = 
99
26
 
O ponto (11,k), será dado por: 
k = −926 x 11² + 9926 x 11 + 9 
k = −108926 + 1089926 + 9 
k = 9 
Resposta: E 
 
14.FUMARC - SEE/MG – 2018) 
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A água lançada obliquamente para cima por um chafariz é uma curva que se assemelha ao gráfico de uma 
função quadrática. Sabendo disso, um arquiteto projetou o chafariz da praça de sua cidade de tal forma que a 
trajetória da água lançada descrevesse uma parábola cuja equação pode ser dada por h(x) = 
−𝑥2+18𝑥+40
10
 , sendo 
h a altura, em decímetros, do jato de água e x, a distância horizontal até o chafariz, em decímetros. A altura 
máxima, em decímetros, que esse jato de água atinge é 
(A) 2,0 
(B) 4,0 
(C) 8,1 
(D) 9,0 
(E) 12,1 
RESOLUÇÃO:Como a função é quadrática, o gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Para acharmos 
a altura máxima desse jato de água, basta calcular o Y do vértice dessa função, que é dado pela fórmula: 
Y do vértice = - 
Δ
4𝑎
 
Vamos analisar a função e achar Δ: 
h(x) = 
−𝑥2+18𝑥+40
10
 
h(x) = -0,1x² + 1,8x + 4 
Δ = b² - 4ac 
Δ = (1,8)² - 4.(-0,1).4 
Δ = 3,24 + 1,6 
Δ = 4,84 
Portanto, a altura máxima será: 
Y do vértice = - 
4,84
4(−0,1)
 
Y do vértice = 12,1 decímetros 
Resposta: E 
 
15. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Cada j = 0, 1, …, 11 representa um mês do ano de 2017, isto é, j = 0 = janeiro, j = 1 = fevereiro, e assim 
sucessivamente. Se o mês j tem d dias, então j + 1/d representa o dia 1º do mês j; j + 2/d representa o dia 2 do 
mês j, e assim sucessivamente, j + d/d = j + 1 representa o dia d do mês j. Dessa forma, cada dia do ano de 2017 
pode ser representado por um número x do intervalo [0, 12]. Considere que, nessa representação, em cada dia 
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x do ano de 2017, a porcentagem de água acumulada em relação à capacidade máxima do reservatório de 
determinada represa seja expressa pelo valor da função f(x) = x² - 10x + 60. 
A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem. 
() A diferença entre os percentuais de água contida na represa em 31/12/2017 e 1º/1/2017 é superior a 20%. 
 () Considere que a função f(x) esteja definida para todos os números reais do intervalo [0, 12]. Nesse caso, é 
correto afirmar que para cada y0 Є [0, 100], existe x0 Є [0, 12] tal que y0 = f(x0). 
 () Em 2017, a menor quantidade de água acumulada no reservatório foi inferior a 10% de sua capacidade 
máxima e foi atingida no dia 31/5/2017. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada item: 
() A diferença entre os percentuais de água contida na represa em 31/12/2017 e 1º/1/2017 é superior a 20%. 
O dia 31/12 será calculado com j = 11 e d/31 = 31/31 =1. Então: 
x = 11 + 1 =12 
f(12) = 12² - 10.12 + 60 
f(12) = 144 – 120 + 60 
f(12) = 84 % 
Para o dia 1º/01, j = 0 e d/31 = 1/31. Então: 
x = 1/13 
f(1/31) = (1/31)² - 10.(1/31) + 60 
f(1/31) = 1/961 – 10/31 + 60 
Não precisamos nem efetuar os cálculos para saber que f(x) dará um valor menor do que 60%. Como 84 – 60 = 
24% já resulta em um valor superior a 20%, a diferença entre f(12) e f(1/31) será superior a 20%. Item CORRETO. 
 
() Considere que a função f(x) esteja definida para todos os números reais do intervalo [0, 12]. Nesse caso, é correto 
afirmar que para cada 𝑦0 Є [0, 100], existe 𝑥0 Є [0, 12] tal que 𝑦0 = f(𝑥0). 
Para 𝑦0 = 0, vamos achar 𝑥0: 
x² - 10x + 60 = 0 
Δ = (-10)² - 4.1.60 
Δ = 100 – 240 = -140 
Como Δ < 0, não há valores reais para 𝑥0 quando 𝑦0 = 0. Item ERRADO. 
 
() Em 2017, a menor quantidade de água acumulada no reservatório foi inferior a 10% de sua capacidade máxima 
e foi atingida no dia 31/5/2017. 
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Como a função tem a concavidade voltada para cima (a>0), o valor da menor quantidade de água acumulada 
corresponde ao Y do vértice. A fórmula é dada por: 
YV = -Δ/4a 
YV = 
−(−140)
4
 
YV = 35 
Portanto, a menor quantidade de água acumulada foi 35% (superior a 10%) do reservatório e foi atingida no 
dia: 
35 = x² - 10x + 60 
X² - 10x + 25 = 0 
Δ = 100 – 4.25 = 0 
x = -(-10)/2 = 5 
Logo, j = 5 que corresponde ao dia 1º de junho. Item ERRADO. 
Resposta: CEE 
 
16.FAURGS – TJ/RS – 2017) 
No sistema de coordenadas de coordenadas cartesianas da figura abaixo, encontram-se representados o 
gráfico da função de segundo grau f, definido por f(x), e o gráfico da função de primeiro grau g, definida por 
g(x) 
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Os valores de x, soluções da equação f(x) = g(x), são 
(A) -0,5 e 2,5 
(B) -0,5 e 3 
(C) -1 e 2 
(D) -1 e 2,5 
(E) -1 e 3 
RESOLUÇÃO: 
A reta passa pelos pontos (0,-1) e (2,3). Assim: 
y = a.x + b 
-1 = a.0 + b 
-1 = b 
 
Ou seja, 
y = a.x – 1 
3 = a.2 – 1 
4 = 2a 
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a = 2 
A reta é: y = 2x – 1 
 
A parábola tem raízes -2 e 2, de modo que sua equação é algo como: 
y = a.(x-2).(x+2) 
y = a.(x2 – 4) 
y = a.x2 – 4ª 
 
A parábola passa ainda no ponto (0, -4). Assim, 
-4 = a.02 – 4a 
-4 = – 4a 
a = 1 
Logo, a parábola tem equação y = x2 – 4 
 
Fazendo f(x) = g(x), temos: 
x2 – 4 = 2x – 1 
x2 – 2x – 3 = 0 
 
Aplicando Báskara, obtemos: 
delta = (-2)2 – 4.1.(-3) = 4 + 12 = 16 
A raiz deste delta é 4, de modo que os valores de x são: 
x = [-(-2) + 4] / 2 = 3 
x = [-(-2) – 4] / 2 = -1 
Resposta: E 
 
 
17. CESPE – FUB – 2016) 
Em determinado dia, a quantidade Q de serviços administrativos demandados por usuários de determinado 
departamento da UnB, às t horas, pôde ser modelada pela função quadrática Q(t) = at2 + bt + c, em que a, b e c 
são constantes reais e a … 0. Nesse departamento, o expediente inicia-se às 8 horas da manhã e, nesse dia, a 
demanda máxima ocorreu às 11 horas da manhã, com o atendimento de Qmáx = 54 usuários. Com referência a 
esse modelo, julgue os próximos itens. 
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( ) Segundo o modelo apresentado, se, nesse dia, no início do expediente, havia a demanda de usuários por 
quatro serviços administrativos, então Q(t) = 
50
9
(t – 11)2 + 54. 
( ) Na situação apresentada, o coeficiente a é, necessariamente, negativo. 
( ) De acordo com o modelo, se, nesse dia, no início do expediente não havia nenhuma demanda de usuários 
por serviços administrativos nesse departamento, então às 13 horas também não havia nenhum serviço 
administrativo sendo demandado. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada alternativa: 
( ) Segundo o modelo apresentado, se, nesse dia, no início do expediente, havia a demanda de usuários por quatro 
serviços administrativos, então Q(t) = 
50
9
(t – 11)2 + 54. 
O enunciado diz que a demanda máxima foi quando t=11 horas. Vamos achar Q(11): 
Q(11) = 
50
9
(11– 11)2 + 54 
Q(11) = 
50
9
(0)2 + 54 
Q(11) = 54 usuários 
Agora vamos achar a demanda para o início do expediente (t= 8 horas): 
Q(8) = 
50
9
(8– 11)2 + 54 
Q(8) = 
50
9
(-3)2 + 54 
Q(8) = 
50
9
9+ 54 
Q(8) = 50+54 = 104 usuários 
Veja que entraremos em uma contradição. Se a demanda máxima foi às 11 horas (54 usuários), então a 
demanda das 8 horas não pode ter um número de usuários maior. Alternativa ERRADA. 
 
( ) Na situação apresentada, o coeficiente a é, necessariamente, negativo. 
Em uma função quadrática, o coeficiente “a” representa o comportamento da parábola. Se o “a” for positivo, 
sua concavidade é voltada para cima (formato de U). Veja que teremos um ponto de mínimo, mas não dá para 
estabelecer o ponto máximo. 
Agora, se o coeficiente é negativo, sua concavidade é voltada para baixo (formato de ∩). Aqui, o Q terá seu 
ponto máximo. 
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Portanto, a alternativa está CORRETA. 
 
( ) De acordo com o modelo, se, nesse dia, no início do expediente não havia nenhuma demanda de usuários por 
serviços administrativos nesse departamento, então às 13 horas também não havia nenhum serviço administrativo 
sendo demandado. 
Primeiro, vamos analisar o x do vértice dessa equação. Ele representará o valor de t em que a demanda será 
máxima (sabemos que é às 11horas). Pela fórmula do x do vértice, teremos:𝑋
𝑣= 
−𝑏
2𝑎
 
11 =
−𝑏
2𝑎
 
𝑏 = −22𝑎 
Agora, vamos analisar a equação da demanda, substituindo o valor de b: 
Q(t) = ax² + bx + c 
Q(t) = ax² -22ax +c 
A alternativa afirma que as raízes dessa equação são 8 e 13 (horários em que a demanda Q(t) é zero). 
Vamos substituir esses valores de t na fórmula e igualá-los: 
Q(8) = Q(13) 
a.8² -22.a.8 + c = a.13² -22.a.13 + c 
64a -176a = 196a -286a 
-112a= -90a 
(A igualdade não é verdadeira) 
Portanto, às 13 horas a demanda não é zero. Alternativa ERRADA. 
Resposta: E C E 
 
 
 
 
18.FGV – SEE/PE – 2016) 
A figura a seguir mostra um uma parte do gráfico de uma função quadrática. 
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Dois pontos do gráfico são dados: A = (2, 15) e B = (4, 26). 
O gráfico encontrará novamente o eixo X no ponto de abscissa 
a) 16. 
b) 17. 
c) 18. 
d) 19. 
e) 20. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que já foi dada uma das raízes dessa função de 2º grau, que é o ponto onde ela toca o eixo X: 0. Devemos 
obter a outra raiz, que será onde o gráfico encontrará novamente o eixo X. Para isso, vamos lembrar da fórmula 
de uma função quadrática: 
f(x) = ax² + bx + c 
Veja que o coeficiente c, que corresponde ao ponto em que a função intercepta o eixo y, será 0. Logo: 
f(x) = ax² + bx 
O enunciado nos forneceu mais dois pontos dessa função: A(2,15) e B(4,26). Vamos substituí-los: 
15 = a.2² + b.2 → 4a + 2b = 15 (I) 
26 = a.4² + b.4 → 16a + 4b = 26 → 8a + 2b = 13 (II) 
Multiplicando (I) por 2 e depois subtraindo (II) de (I), fica: 
8a + 4b = 30 
- (8a + 2b = 13) 
0 + 2b = 17 
b = 17/2 
Substituindo o valor de b na equação (I), temos: 
4a + 2 x 17/2 = 15 
4a + 17 = 15 
4a = -2 
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a = -1/2 
Logo, a função será: 
f(x) = -x²/2 + 17x/2 
Para acharmos a outra raiz da função, basta igualarmos f(x) = 0. Fica: 
-x²/2 + 17x/2 = 0 
x(-x/2 + 17/2) = 0 
Veja que para esse produto dar zero, temos: 
x = 0 (uma das raízes) 
ou 
-x/2 + 17/2 = 0 
17/2 = x/2 
x = 17 (a outra raiz) 
Resposta: B 
 
19.FCC – SEDU/ES – 2016) 
Seja a função quadrática g(x)=−x²+5x+24, definida com domínio R e contra-domínio R. A quantidade de 
números naturais do domínio que apresentam imagens positiva nessa função é igual a 
a) 12. 
b) 11. 
c) 7. 
d) 9. 
e) 8. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o coeficiente “a” da função é -1. Logo, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Vamos 
descobrir as raízes da função, igualando-a a zero: 
-x² + 5x + 24 = 0 
x =
−5 ± √5² − 4(−1)(24)
2(−1)
 
x =
−5 ± √25 + 96
−2
 
x =
−5 ± √121
−2
 
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x’ = (-5 + 11)/(-2) = -3 
x” = (-5 - 11)/(-2) = 8 
A parábola fica assim: 
 
Os números naturais para g(x) > 0 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Total de 8 números. 
Resposta: E 
 
20.FCC – BB – 2016) 
Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção (y) de um 
bem é uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O 
gráfico correspondente é dado pela figura abaixo. 
 
 
Tem-se, então, que: 
a = −3, b = 60 e c = 375 
a = −3, b = 75 e c = 300 
c) a = −4, b = 90 e c = 240 
d) a = −4, b = 105 e c = 180 
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e) a = −6, b = 120 e c = 150 
RESOLUÇÃO: 
Veja que x = 10 corresponde ao X do vértice. Sabendo que Xv = -b/2a, temos: 
10 = -b/2a 
10.2a = -b → b = -20a 
A lei geral de uma função de segundo grau é dada por: 
y = ax² + bx + c 
Substituindo b = -20a e o Yv = 675, temos: 
675 = a.10² + (-20a).10 + c 
675 = 100a – 200a + c 
c = 675 + 100a 
A lei da função fica: 
y = ax² + (-2a)x + 675 + 100a 
Vamos substituir o outro ponto do gráfico (25, 0): 
0 = a.25² + (-20a).25 + 675 + 100a 
0 = 625a – 500a + 675 + 100a 
0 = 225a + 675 
225a = - 675 
a = -3 
Agora, vamos achar “b” e “c”: 
b = -20.(-3) = 60 
c = 675 + 100.(-3) = 375 
Resposta: A 
 
21.FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) 
Para a festa de formatura de um curso de Direito para 200 pessoas, foi acertado, com uma promotora de 
eventos, que cada pessoa que participasse da festa pagaria a quantia de R$ 300,00 e mais R$ 50,00 para cada 
pessoa que não participasse. Nesse caso, a quantia máxima que a promotora de eventos poderia receber seria 
a) inferior a R$ 350.000,00 
b) superior a R$ 350.000,00 e inferior a R$ 400.000,00 
c) superior a R$ 400.000,00 e inferior a R$ 450.000,00 
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d) superior a R$ 450.000,00 e inferior a R$ 500.000,00 
e) superior a R$ 500.000,00 
RESOLUÇÃO: 
Suponha que N pessoas não participem da formatura, de modo que o total de pessoas participando da 
formatura seja igual a 200 - N. Cada uma dessas participantes deve pagar 300 reais, totalizando (200 - N)x300 
reais. Além disso cada uma dessas pessoas deve pagar 50 reais para cada uma das N pessoas que não 
participem do evento. Isto significa que cada uma das 200 - N pessoas que participar da formatura deve pagar 
mais 50xN reais, totalizando uma arrecadação de (200 - N)x50xN reais. 
O recolhimento total dessa formatura é igual a: 
Recolhimento = (200-N)x300 + (200-N)x50xN 
Recolhimento = 200x300 - Nx300 + 200x50xN - Nx50xN 
Recolhimento = 60000 - 300N + 10000N - 50N2 
Recolhimento = 60000 + 9700N - 50N2 
Recolhimento = - 50N2 + 9700N + 60000 
 
Veja que temos uma função de segundo grau com concavidade voltada para baixo. O valor de "N do vértice" 
é dado por: 
Nvértice = -b / 2.a = -9700 / 2.(-50) = -9700 / (-100) = 97 
 
Portanto o recolhimento máximo ocorre quando temos 97 pessoas faltantes. Esse recolhimento totaliza: 
Recolhimento = - 50.(97) 2 + 9700.(97) + 60000 
Recolhimento = 530.450 reais 
Resposta: E 
 
22.IDECAN - Colégio Pedro II – 2015) 
Sandra deseja reservar uma região retangular do quintal de sua casa para o cultivo de tomates. Para cercar essa 
região, ela aproveita um muro já construído para um dos seus lados e, para os outros três lados, dispõe de um 
rolo de tela de 30 metros de comprimento que será completamente utilizado, sem sobreposição. 
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A área máxima dessa região, em metros quadrados, é igual a 
A) 7,5. 
B) 100,0. 
C) 108,0. 
D) 112,5 
RESOLUÇÃO: 
Seja “L” a medida da largura e “C” a medida do comprimento. Os 30 metros serão divididos em: 
 
L + C + L = 30 
2L + C = 30 
A questão pede o valor máximo da área, que será L x C. Vamos testar as áreas das alternativas e verificar qual a 
maior que atende à formula acima. Começando pela letra D, que tem o maior valor de área (A = 112, 5 m²): 
L x C = 112,5 
L = 112,5/C 
Substituindo na fórmula, fica: 
2(112,5/C) + C = 30 
Multiplicando toda equação por C: 
225 + C² = 30C 
C² - 30C + 225 = 0 
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C =
−(−30) ± √900 − 4.225
2
 
C= 30/2 = 15 m 
L = 112,5/15 = 7,5 m 
Esses dois valores são possíveis para o comprimento e a largura, logo essa é a área máxima. 
Resposta: D 
 
23.CESGRANRIO – PETROBRAS – 2015) 
Seja f : R* → R a função definida por 
f(x)= 
² 1x x
x
+ +
 
O gráfico da função f possui uma única assíntota oblíqua, que é a reta cuja equação é 
(A) y = x 
(B) y = - x 
(C) y= x + 1 
(D) y = - x - 1 
(E) y = 2x + 1 
RESOLUÇÃO: 
Para x diferente de 0, podemos escrever: 
² 1
( )
x x
f x
x
+ +
= 
1
( ) 1f x x
x
= + + 
 
Observe que, quanto maior o valor de x, menor será o fator 
1
x
. Este fator vai se tornando cada vez mais 
desprezível, de modo que a função 
1
( ) 1f x x
x
= + + vai se aproximando cada vez mais da função ( ) 1f x x= +
, que é a reta y = x + 1. Essa aproximação ocorre assintoticamente, ou seja, sem jamais “encostar”. 
Resposta: C 
 
 
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24.IAUPE – SESC/PE – 2013) 
Dada a função f(x) = - x² + 7x - 10 é CORRETO afirmar que sua imagem é dada pelo intervalo real 
A) [7/2, ∞ [ 
B) ] - 9/4, ∞ [ 
C) [ - 7/2, ∞ ] 
D) [ 9/4, ∞ [ 
E) ] - ∞, 9/4 ] 
RESOLUÇÃO: 
Veja que esta função de segundo grau é uma parábola com concavidade para baixo, pois o termo x2 tem 
coeficiente negativo (a = -1). Assim, o ponto de máximo desta função é dado por: 
fmáx = - delta / 4.a 
 
O delta é: 
Delta = 72 – 4.(-1).(-10) 
Delta = 49 – 40 
Delta = 9 
 
Portanto, 
fmáx = - delta / 4.a 
fmáx = - 9 / 4.(-1) 
fmáx = 9 / 4 
 
Assim, esta função tem valor máximo igual a 9/4, e ainda pode assumir qualquer valor inferior a este. Por isso, 
sua imagem é dada pelo conjunto ] - ∞, 9/4 ]. 
Resposta: E 
 
25.FUNDATEC – CREA/PR – 2013) 
Supondo que o valor d (em milhares de reais) gasto com cimento por uma prefeitura, de janeiro a dezembro de 
2011, pode ser aproximado pelo modelo d(t) = -t² + 12t +13, 1 12t  , em que t representa o mês, com t =1 
correspondendo a janeiro, qual o mês em que a prefeitura teve o maior gasto com cimento? 
A) Janeiro. 
B) Maio. 
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C) Junho. 
D) Setembro. 
E) Dezembro. 
RESOLUÇÃO: 
Repare que d(t) é uma função de segundo grau com variável t. O seu gráfico é uma parábola com concavidade 
voltada para baixo (pois o coeficiente que multiplica t2 é negativo), de modo que temos um ponto de “pico” na 
função. A coordenada “t” deste vértice é dada por: 
tvértice = -b / 2a 
tvértice = -12 / 2.(-1) 
tvértice = 6 
 
Portanto, no mês 6 (junho) tivemos um pico no gasto “d”. 
Resposta: C 
 
26.CESPE – SEPLAG/DF – 2008) 
Para produzir mensalmente x unidades de determinado produto, uma fábrica tem um custo de 100 + x2/10 
reais. O produto é vendido por R$ 1.000,00 a unidade. Nessa situação, julgue os itens seguintes. 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o gráfico da função lucro é uma parábola com 
concavidade voltada para cima. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos definir o lucro como sendo a receita arrecada com a venda de x unidades do produto menos o custo 
de produção daquelas x unidades, ou seja: 
Lucro(x) = Receita(x) – Custo(x) 
Lucro(x) = 1000x – (100 + x2/10) 
Lucro(x) = 1000x – 100 – x2/10 
 
Note que na função lucro, a variável de maior expoente (x2) é multiplicada por um coeficiente negativo, de 
forma que a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Resposta: E 
 
 
 
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27.CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) 
A função :[ 2, 4]f R− → , definida por 
2( ) 2 3f x x x= − + + , possui seu gráfico apresentado a seguir. 
 
O valor máximo assumido pela função f é 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 1 
RESOLUÇÃO: 
Podemos obter o x do vértice assim: 
Xvértice = -b / 2a = -2 / 2.(-1) = 1 
 
Assim, o valor máximo da função é: 
2( ) 2 3f x x x= − + + 
2(1) 1 2.1 3f = − + + 
(1) 4f = 
Resposta: C 
 
28.CESPE – INPI – 2013) 
Considere que, em determinado período, a quantidade de refrigeradores no estoque de uma loja e a quantidade 
de unidades vendidas sejam dadas, respectivamente, pelas funções f(x) = x2 + bx + c, e g(x) = x + a, em que 0 ≤ x 
≤ 10. Considere, ainda, que a quantidade de refrigeradores no estoque da loja no início do dia x seja igual à 
quantidade que existia no final do dia x –1 e que o gráfico dessas funções está ilustrado na figura abaixo. 
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Com base na situação hipotética acima e nas informações contidas na figura, julgue os itens subsequentes. 
( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do período considerado, era 
superior a 40 unidades. 
( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 – 4c > 0. 
( ) A equação f(x) – g(x) = 0 possui uma única raiz real. 
( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de refrigeradores ao final do 10.º dia 
daquele período. 
( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi superior à quantidade de 
unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. 
( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c – a = 25. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do período considerado, era superior 
a 40 unidades. 
CORRETO. No momento inicial (x = 0) temos y = 54 unidades no estoque. Basta olhar a curva “f” no gráfico. 
 
( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 – 4c > 0. 
Observe que a função f(x) possui coeficientes a = 1 (multiplicando x2), b e c. Assim, o “delta” ( ) desta equação 
é: 
 = b2 – 4.a.c = b2 – 4.1.c = b2 – 4c 
Note que a função f não cruza o eixo horizontal, isto é, não possui raízes reais. Isto só ocorre quando o “delta” 
é negativo, isto é, 
0  
b2 – 4c < 0 
Item ERRADO. 
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( ) A equação f(x) – g(x) = 0 possui uma única raiz real. 
Para que f(x) – g(x) = 0, é preciso que f(x) = g(x). Note que o único ponto no gráfico onde essas duas funções se 
cruzam (isto é, são iguais), é para x = 5. Logo, este item está CORRETO. 
 
( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de refrigeradores ao final do 10.º dia daquele 
período. 
ERRADO. Note que a curva “f” tem o seu valor mínimo pouco antes de x = 5 dias. 
 
( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi superior à quantidade de unidades 
disponíveis no estoque por um período de 5 dias. 
ERRADO. A curva do estoque (f) é superior à curva de vendas (g) ao longo de todo o período. 
 
( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c – a = 25. 
Para resolver este item precisamos conhecer os coeficientes de f(x) e g(x). Vejamos como obtê-los: 
No gráfico de g(x), note que quando x = 0 temos g(0) = 29. Isto é, 
g(0) = 0 + a = 29 → a = 29 
Logo, g(x) = x + 29. 
No gráfico de f(x) vimos que para x = 0 temos f(0) = 54, logo: 
f(0) = 02 + b.0 + c = 54 → c = 54 
Assim, temos a = 29 e c = 54, de modo que c – a = 54 – 29 = 25. Item CORRETO. 
Caso fosse necessário obter o coeficiente b, bastaria notar que, para x = 5, f(x) e g(x) possuem o mesmo valor. 
Ou seja, 
f(5) = g(5) 
52 + b.5 + 54 = 5 + 29 
25 + 5b + 54 = 34 
b = -9 
Portanto, f(x) = x2 -9x + 54. 
Resposta: C E C E E C 
 
 
 
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29.CESPE – INPI – 2013) 
Acerca da função f(x) = ax2 + bx + c, em que a variável x e as constantes a, b e c são números reais, julgue os 
itens a seguir. 
( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c  0 não tem solução, independentemente dos valores de b e c. 
( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), então o ponto T(-2,2) também 
estará sobre o gráfico de f(x). 
RESOLUÇÃO:( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c  0 não tem solução, independentemente dos valores de b e c. 
ERRADO. Basta que a função f(x) possua raízes reais para que a inequação tenha solução. Como já vimos, para 
que f(x) possua raízes reais, é preciso que o seu “delta” seja maior ou igual a zero, isto é, 
b2 – 4ac  0 
Esta condição pode ser atendida mesmo que tenhamos a < 0. 
 
( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), então o ponto T(-2,2) também estará 
sobre o gráfico de f(x). 
Com os pontos fornecidos podemos obter os coeficientes a, b e c da função. Vejamos: 
P(0,2) → para x = 0, temos f(x) = f(0) = 2 
f(0) = a.02 + b.0 + c = 2 → c = 2 
Q(1,5) → para x = 1, temos f(x) = f(1) = 5 
f(1) = a.12 + b.1 + 2 = 5 → a + b = 3 
R(-1,1) → para x = -1, temos f(x) = f(-1) = 1 
f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + 2 = 1 → a – b = -1 → a = b – 1 
Com as equações a + b = 3 e a = b – 1, podemos escrever 
(b – 1) + b = 3 
b = 2 
Logo, a = b – 1 = 2 - 1 = 1. Portanto, temos a função: 
f(x) = x2 + 2x + 2 
Para verificar se o ponto T(-2, 2) faz parte da função, vejamos qual é o valor de f(-2): 
f(-2) = (-2)2 + 2.(-2) + 2 = 4 – 4 + 2 = 2 
Portanto, f(-2) = 2, de modo que o ponto T está sobre o gráfico da função. Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
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30.FUNDATEC – FISCAL PREF. SALTO – 2012) 
O valor de x na equação 
7 2( 5)
1
4 6 3
x x x− −
− = + 
A) 4. 
B) 6. 
C) 8. 
D) 10. 
E) 12. 
RESOLUÇÃO: 
Trabalhando a equação fornecida, temos: 
7 2( 5)
1
4 6 3
x x x− −
− = + 
 
3 2( 7) 12 8( 5)
12 12 12 12
x x x− −
− = + 
 
3 2 14 12 8 40
12 12
x x x− + + −
= 
 
3 2 14 12 8 40x x x− + = + − 
 
14 8 28x x+ = − 
 
42 7x= 
 
6 x= 
Resposta: B 
 
 
 
 
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31. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2012) 
Seja f: A → R uma função dada por 2( ) 16 ( 2)f x x= − − , onde A é o domínio tal que qualquer outro domínio 
possível para f seja um subconjunto de A. Se pudermos escrever A pela notação [a, b], então o valor de b − a 
será 
(A) − 8 
(B) − 4 
(C) − 2 
(D) 6 
(E) 8 
RESOLUÇÃO: 
Temos: 
2( ) 16 ( 2)f x x= − − 
2( ) 16 ( 4 4)f x x x= − − + 
2( ) 16 4 4f x x x= − + − 
2( ) 4 12f x x x= − + + 
 
Veja que a equação de segundo grau –x2 + 4x + 12 está dentro de uma raiz quadrada. Como não é possível 
calcular raiz quadrada de números negativos (no conjunto dos números reais), é preciso que este fator seja 
maior ou igual a zero. Isto é, 
–x2 + 4x + 12  0 
 
Igualando a zero, podemos obter as raízes: 
–x2 + 4x + 12 = 0 
24 4 4.( 1).12
2.( 1)
x
−  − −
=
−
 
4 64
2
x
− 
=
−
 
4 8
2
x
− 
=
−
 
x = -2 ou x = 6 
 
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Veja que f(x) = –x2 + 4x + 12 é uma função de segundo grau com concavidade para baixo. Ela só será maior ou 
igual a zero no trecho entre as duas raízes, ou seja, entre x = -2 e x = 6. Portanto, o domínio [a,b] procurado é 
simplesmente [-2, 6]. Deste modo, 
b – a = 
6 – (-2) = 
8 
Resposta: E 
 
32.CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) 
 
Sejam f(x) = - 2x2 + 4x + 16 e g(x) = ax2 +bx + c funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão 
representados acima. A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xp , 0) e M(xM , 0), e g(x), nos 
pontos (1,0) e Q(xQ , 0). Se g(x) assume valor máximo quando x = xM, conclui-se que xQ é igual a 
a) 3 
b) 7 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
RESOLUÇÃO: 
As raízes da função f(x) podem ser obtidas assim: 
- 2x2 + 4x + 16 = 0 
24 4 4.( 2).16
2.( 2)
x
−  − −
=
−
 
4 12
4
x
− 
=
−
 
x = 4 ou x = -2 
 
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Portanto, veja que no ponto M temos x = 4. Este é o xvértice da função g(x). Sobre esta segunda função, sabemos 
que uma de suas raízes é x = 1, como vemos no gráfico. A parábola descrita pela função g é simétrica em relação 
ao seu vértice. Isso nos permite dizer que a distância da raiz x = 1 até o ponto M (que é x = 4) é a mesma distância 
entre M e Q. Veja isso no gráfico: 
 
Ou seja, 
xM – 1 = xQ - xM 
4 – 1 = xQ – 4 
3 = xQ – 4 
7 = xQ 
Resposta: B 
 
33. CESPE – BASA – 2012) 
A matemática financeira é o ramo da Matemática que se dedica a estudar as operações financeiras, 
entendendo-se estas como interações entre dois agentes: o financiador, que empresta uma quantia C0 — o 
principal —, ao outro, o tomador, em determinado momento bem definido, esperando recebê-la mais tarde, 
acrescida de uma remuneração. A forma de devolução do principal acrescido de remuneração depende da 
combinação entre tomador e financiador, que consiste em determinar uma função crescente C(t), medida em 
reais, que determine o valor do dinheiro t meses após o empréstimo e tal que C(0) = C0. Supondo que, na 
negociação entre os dois agentes, o principal acompanhado da remuneração a ser devolvido ao financiador seja 
expresso pela função C(t) = 3.000(1 + 0,01t2), julgue os itens seguintes. 
( ) O tempo, em meses, necessário para que o valor do principal acompanhado de remuneração seja o dobro do 
principal será superior a 12 meses 
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RESOLUÇÃO: 
Para que o valor total C(t) seja igual a 6000 reais, vejamos quanto tempo é preciso: 
C(t) = 3000(1 + 0,01t2) 
6000 = 3000(1 + 0,01t2) 
2 = 1 + 0,01t2 
1 / 0,01 = t2 
100 = t2 
t = 10 meses 
Item ERRADO, pois t < 12 meses. 
Resposta: E 
 
34.FGV – PREF. CONTAGEM – 2011) 
Considere o conjunto A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 – 5x + 6 = 0. 
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a sentença aberta p(x). 
(A) {0,5} 
(B) {2,4} 
(C) {3,5} 
(D) {2,3} 
RESOLUÇÃO: 
Devemos substituir x por cada um dos números do conjunto A para verificar se eles satisfazem a igualdade. Por 
outro lado, podemos calcular as raízes de p(x) através da fórmula de Báskara: 
( 5) 25 4 6 1 5 1
2 1 2
x
− −  −   
= =

 
Portanto, temos x1 = 3 e x2 = 2, como vemos na letra D. 
Resposta: D 
 
35. FUNDATEC – CRA/RS – 2010) 
A trajetória de uma bola, em um chute a gol, pode ser descrita por uma função quadrática. Supondo que sua 
altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por 
 
temos que a altura máxima atingida pela bola é: 
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A) 4m. 
B) 2m. 
C) 3m. 
D) 2,5m. 
E) 1,5m. 
RESOLUÇÃO: 
Temos a função de segundo grau: 
h(t) = -t2 + 4t 
Comparando essa função com a forma h(t) = a.t2 + b.t + c, temos os coeficientes a = -1, b = 4 e c = 0. 
O seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, afinal o coeficiente que multiplica t2 é negativo. 
Assim, temos um ponto de MÁXIMO. O valor da coordenada “t” do vértice é dada por: 
tvértice = -b / 2a = -4 / 2.(-1) = 2 
 
Portanto, a altura máxima é aquela obtida para t = 2, ou seja, 
h(2) = -22 + 4.2 = 4m 
Resposta: A 
 
36.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
Uma loja de eletrodomésticos possui 1.600 unidades de liquidificadores em estoque. Uma recente pesquisa de 
mercado apontou que seriam vendidas 800 unidades a um preço de R$300,00, e que cada diminuição de R$ 
5,00, no valor do produto, resultaria em 20 novas vendas. Qual valor de venda, em reais, permite que a receita 
seja máxima? 
 a) 230,00 
 b) 240,00 
 c) 250,00d) 270,00 
 e) 280,00 
RESOLUÇÃO: 
Imagine a função f(p) = a.p + b, onde p é o preço de venda de cada liquidificador e f(p) é o número de unidades 
que poderiam ser vendidas naquele preço. 
Foi dito que para o preço p = 300 reais temos f(300) = 800 unidades vendidas. Uma queda de 5 reais no valor do 
produto (p = 295 reais) levaria a 20 vendas adicionais, ou seja, f(295) = 820 unidades. Assim, temos: 
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f(300) = a.300 + b 
f(295) = a.295 + b 
 
800 = a.300 + b 
820 = a.295 + b 
 
b = 800 – 300a 
820 = 295a + (800 – 300a) 
20 = -5a 
a = -4 
 
b = 800 – 300.(-4) 
b = 2000 
 
Assim, temos f(p) = -4p + 2000. 
 
A receita é dada pela multiplicação do número de unidades vendidas, isto é, f(p), pelo preço unitário p: 
Receita(p) = f(p) x p 
Receita(p) = (-4p + 2000) x p 
Receita(p) = -4p2 + 2000p 
 
Note que a equação acima é uma função de segundo grau do tipo y = ax2 + bx + c, onde a = -4, b = 2000 e c = 0. 
Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo, pois a < 0. Para descobrirmos a receita máxima, basta 
encontrarmos o vértice desta parábola. 
O valor de x do vértice é xvértice = -b / 2a, ou seja: 
pvértice = -2000 / (2 x -4) = 250 reais 
 
Portanto, o preço p = 250 reais é aquele que leva ao máximo da função Receita(p), ou seja, gera a receita 
máxima. Se você quisesse ainda descobrir o valor desta receita máxima, bastaria calcular o valor de 
Receita(250). 
Resposta: C 
 
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37. FUMARC - SEE/MG – 2018) 
Numa indústria farmacêutica, um tanque está cheio com 10.000 L de um composto para produção de um 
xarope. Uma bomba retira 10% do líquido a cada hora. Depois de 4 horas, quanto restará do composto no 
tanque? 
(A) 6.000 L 
(B) 6.429 L 
(C) 6.561 L 
(D) 7.000 L 
(E) 7.290 L 
RESOLUÇÃO: 
Como são retirados 10% a cada hora, restarão 90% do líquido a cada retirada. O enunciado pede o quanto 
restará após 4 horas, ou seja, após 4 retiradas. Portanto: 
Restante = 10.000 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 
Restante = 10.000 x 0,94 
Restante = 10.000 x 0,6561 
Restante = 6.561 Litros 
Resposta: C 
 
38.FUMARC - SEE/MG – 2018) 
A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém 
decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura. Considerando ∆T0 a diferença de 
temperatura no instante t = 0 e ∆T(t), a diferença em um instante t qualquer, essa lei se traduz pela expressão 
∆T(t) = ∆T0.𝑒
−𝑘𝑡, em que a constante k depende do corpo. Suponha que, em uma cozinha, cuja temperatura 
ambiente constante é de 30ºC, um bolo é retirado do forno e colocado sobre a pia. Nesse momento, a 
temperatura do bolo é de 100ºC. Após 5 minutos, verifica-se a temperatura do bolo e o termômetro marca 
65ºC. Se o bolo estiver no ponto para servir quando sua temperatura atingir 37ºC, depois de quanto tempo, a 
partir do momento em que foi colocado sobre a pia, ele estará pronto para ser servido? (Considere log 2 = 0,3.) 
(A) 14 min 08 s 
(B) 14 min 14 s 
(C) 16 min 06 s 
(D) 16 min 40 s 
(E) 20 min 10 s 
RESOLUÇÃO: 
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A função é dada por ΔT(t) = ∆T0.𝑒
−𝑘𝑡. Sabemos que no instante t = 0, a temperatura do bolo está 100º e a do 
meio 30º. Portanto: 
ΔT(0) = ∆T0.𝑒
−𝑘0 
100 – 30 = ∆T0. 1 
∆T0 = 70 
Reescrevendo a lei dessa função, fica: ΔT(t) =70.𝑒−𝑘𝑡. Aos 5 minutos, ΔT = 65 – 30 = 35. Logo: 
ΔT(5) =70.𝑒−𝑘.5 
35 = 70. 𝑒−𝑘.5 
½ = 𝑒−𝑘.5 
2-¹= 𝑒−𝑘.5 
ln 2-¹= -k.5 
Vamos mudar ln 2-¹ para a base 10. Fica: 
ln2-¹ = 
𝑙𝑜𝑔 2−¹
log 𝑒
 = 
−1 x 𝑙𝑜𝑔 2
log 𝑒
 = 
−1 x 0,3
log 𝑒
 
ln2-¹ = 
− 0,3
log 𝑒
 
Como ln2-¹ = -k.5, achamos k: 
-k x 5 = 
− 0,3
log 𝑒
 
k = 
 0,3
5 × log 𝑒
 
Quando a temperatura do bolo está em 37º, ΔT = 37 – 30 = 7º. Assim, temos: 
ΔT(t) =70.𝑒−𝑘.𝑡 
7 = 70.𝑒−𝑘.𝑡 
1/10 = 𝑒−𝑘.𝑡 
ln10-¹= -k.t 
−1 × 𝑙𝑜𝑔 10
log 𝑒
 = - 
 0,3
5 × log 𝑒
 x t 
Sabemos que log10 =1. Simplificando log 𝑒 dos dois lados, fica: 
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-1 = - 
 0,3
5 
 x t 
0,3 x t = 5 x 1 
t = 
 5
0,3 
 =
 50
3 
 = 
 48
3 
 + 
 2
3 
 
t = 16 + 
2
3 
 minutos 
Vamos achar quanto segundos correspondem a 2/3 minutos: 
1 minuto --- 60 segundos 
2/3 minutos --- X segundos 
X = 60 x 2/3 
X = 120/3 
X = 40 segundos 
Portanto, 16 minutos e 40 segundos. 
Resposta: D 
 
39.FUMARC - SEE/MG – 2018) 
O valor da expressão A = log 
1
10
 + log 
1
150
 - log 0,05 + log 0,25 + log 3 é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) -1 
(E) -2 
RESOLUÇÃO: 
Vamos desenvolver a expressão, adotando o valor já fornecido na questão anterior: log 2 = 0,3. Vale lembrar 
algumas características de log: 
log 10 = 1 
log(a x b) = log a + log b 
log(a ÷ b) = log a – log b 
log 𝑎𝑏 = b.log a 
 Portanto, vamos reescrever os logs fornecidos: 
A = log 10-¹ + log 
2
300
 – log 
5
100
 + log 
25
100
 + log 3 
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A = -1.log10 + log2 – log 300 – log 
1
20
 + log 
1
4
 + log 3 
A = -1 + 0,3 – log (3 x 100) – log (20)-¹ + log 4-¹ + log 3 
A = -0,7 – (log 3 + log 100) – log (2 x 10)-¹ + (-1)log 2² + log 3 
A = - 0,7 – log 3 – log 10² - (-1)log (2 x 10) – 2.log 2 + log 3 
A = - 0,7 – 2.log10 + log 2 + log 10 – 2.0,3 
A = - 0,7 – 2+ 0,3 + 1 – 0,6 
A = - 2 
Resposta: E 
 
40.CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional 
denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a 
base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x = 𝑙𝑜𝑔𝑒x tem inúmeras aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir: 
() A função exponencial g(x) = ex, função inversa de ln x, é uma função crescente. 
() A equação ln x = -4 tem uma única solução. 
 () Se a > 0 e ln a Є [10, 20), então ln a² Є [100, +∞). 
() Se h(x) = |x| é a função módulo, então o domínio da função composta (fºh)(x) = ln |x| é o conjunto dos números 
reais. 
RESOLUÇÃO: 
() A função exponencial g(x) = 𝑒𝑥, função inversa de ln x, é uma função crescente. 
Como o número de Euler é maior do que 1, essa função exponencial será crescente (a>1). O esboço de g(x) fica: 
 
Item CORRETO. 
 
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 () A equação ln x = -4 tem uma única solução. 
Desenvolvendo a equação, temos: 
𝑙𝑛 𝑥 = -4 
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = -4 
x = 𝑒−4 
Logo, x assume um único valor. Item CORRETO. 
 
() Se a > 0 e ln a Є [10, 20), então ln a² Є [100, +∞). 
Sabe-se que ln a² = 2 x ln a. Os valores de ln a² serão o dobro dos valores do intervalo de ln a. Portanto: ln a² Є 
[20, 40). Item ERRADO. 
 
() Se h(x) = |x| é a função módulo, então o domínio da função composta (fºh)(x) = ln |x| é o conjunto dos números 
reais. 
A função composta pode ser reescrita como: 
f[(h(x)] = f (|x|) 
Portanto: f(|x|) = ln |x|. 
Sabendo que o gráfico de uma função “ln x” será sempre para x>0 (conforme abaixo), o domínio dessa função 
será formado pelo conjunto dos reais POSITIVOS. Item ERRADO. 
 
Item ERRADO. 
Resposta: CCEE 
41.CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Cada j = 0, 1, …, 11 representa um mês do ano de 2017, isto é, j = 0 = janeiro, j = 1 = fevereiro, e assim 
sucessivamente. Se o