EXPERIMENTO LEIS DE KEPLER P02

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA
IFBA | CAMPUS SALVADOR
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I | P02
Bruna Luana Fonseca da Rocha
Carine Gomes de Andrade
Isabele Guedes
Mayara Andréa Santos Salomão
LEIS DE KEPLER
EXPERIMENTO V
Salvador
2021
3
Bruna Luana Fonseca da Rocha
Carine Gomes de Andrade
Isabele Guedes
Mayara Andréa Santos Salomão
LEIS DE KEPLER
EXPERIMENTO V
Relatório apresentado como requisito parcial de avalição da turma FIS211-P02 na disciplina de Física Experimental, solicitado pelo docente Roberto Menezes, para a graduação em Engenharia Química.
Salvador
2021
1. INTRODUÇÃO
O movimento dos corpos celestes é objeto de fascínio e estudo pela humanidade desde o começo de sua História, sendo descrito por pensadores como Aristóteles e Ptolomeu que afirmavam que a Terra se encontraria, parada, no centro do sistema solar. Avançando na História, em 1609, Johannes Kepler (1571-1630), a partir de seus estudos e de extensos dados astronômicos de observações feitas por Tycho Baher, bem como das contribuições de diversos outros cientistas, apresentou sua obra Astronomia Nova para descrever os movimentos planetários a fim de validar o modelo de Copérnico das órbitas em torno do Sol, e com isso, explicar a dinâmica do sistema solar. 
Assim, a Terra e os outros planetas e astros estão em movimento em torno do Sol, sendo esse movimento planetário descrito por três leis. Somente três gerações seguintes, com o auxílio do Cálculo Diferencial Issac Newton (1642-1727), ao estudar o movimento dos planetas descobriu que todas as leis de Kepler poderiam ser deduzidas, já que elas são decorrentes das Leis de movimento de Newton e da Lei da Gravitação Universal.
Este relatório visa auxiliar no estudo das leis de Kepler, que possuem o intuito de descrever com precisão como qualquer corpo em órbita ao redor de outro corpo, não se se aplicando somente nas órbitas dos planetas ao redor do Sol, a partir do referencial em que o corpo celeste central está em repouso e quando a interação entre os corpos é gravitacional, como luas orbitando planetas
Para então entender as três leis de Kepler, foi utilizado um simulador, que ampara no entendimento prático como Kepler chegou a descoberta destas leis empíricas que descrevem sobre o movimento dos planetas, assim possibilitando que o usuário obtenha diversos dados para que por meio deles seja possível validar o conhecimento obtido acerca desse assunto.
A relevância do assunto está na aplicação ao movimento de diversos corpos celestes, o que possui aplicação nos satélites artificiais que orbitam a Terra e são causa de tecnologias como o GPS. 
As seções do relatório são o desenvolvimento teórico que apresenta a definição de conceitos, deixando claro a ligação entre os assuntos. Já o tratamento de dados apresenta o obtido a partir da simulação e a discussão de algumas questões. Finalizando, a tem-se a conclusão que expõe a realização dos objetivos. Ultrapassando a maneira de avaliação do grupo, este relatório possibilita uma compreensão e esclarece os conceitos utilizados na física para análise de fenômenos que são vislumbre do ser humano e representam indescritíveis avanços tecnológicos.
2. OBJETIVOS
a) Objetivo Geral
Facilitar a compreensão das Três Leis de Movimento de Kepler.
b) Objetivos Específicos
- Estudar a relação entre a velocidade e a força com as órbitas;
- Realizar um estudo sobre as três leis de Kepler.
3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
A primeira Lei de Kepler, denominada Lei das órbitas elípticas, versa que a trajetória dos planetas ao redor do Sol é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Isso se aplica também a trajetória de satélites ao redor dos planetas, e nesse caso o corpo que está sendo orbitado ocupa um dos focos da elipse. A figura abaixo ilustra o exposto: 
Figura 1. Esquema da trajetória elíptica dos planetas ao redor do Sol
De acordo com o esquema acima, o ponto de maior proximidade do planeta em relação ao Sol é denominado de periélio, enquanto que o ponto mais afastado é o afélio. A partir do centro, a distância ao periélio ou afélio define o semieixo maior da elipse, e além disso, a distância do foco ao centro é a distância focal. Cabe ressaltar, que a primeira lei de Kepler não elimina a possibilidade de trajetórias circulares, uma vez que a circunferência é um caso particular de elipse. 
A segunda Lei de Kepler, ou Lei das áreas diz que a reta que liga o centro do Sol ao centro dos planetas “varre” áreas iguais em intervalos de tempo também iguais. Isto é, a taxa de variação da área em função do tempo é constante para todos os planetas fisicamente, isso significa que a velocidade orbital, ou seja, de translação dos planetas não é uniforme, porém varia de maneira regular, dessa forma, quanto mais distante o planeta estiver do Sol, mais devagar ele se move. Com isso, as velocidades devem ser maiores na região de periélio e menores na região de afélio. A figura abaixo mostra o exposto:
 
Figura 2. Lei das Áreas
Em sua terceira lei (1618), também denominada de Lei harmônica, Kepler diz que o quadrado do período de revolução (T) dos planetas é diretamente proporcional ao cubo dos raios médios (R) de suas órbitas – distancia média ao Sol. Sendo assim, temos, como raio médio, e em sequência a expressão matemática da Lei:
Figura 3. Raio médio orbital
Equação 1. Expressão matemática da terceira Lei
A partir dessa Lei, é possível inferir que os planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol, e então, a força de atração entre o planeta e o Sol decresce com a maior distância do planeta ao Sol.
O valor de k depende da constante da gravitação universal (G = 6,7x10-11 N.m2/kg2) e da massa do corpo que está sendo orbitado. Para o Sistema Solar, a partir do período de revolução dos planetas em anos terrestres e o raio médio das órbitas em unidades astronômicas (ua), o valor da constante para todos os planetas é próximo de 1.
A Lei da Gravitação Universal foi formulada pelo físico Isaac Newton, de acordo com a qual todos os corpos do universo que possuem massa atraem outros corpos que também possuem massa, com uma força que é diretamente proporcional as suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre esses corpos, como ilustrado pela figura abaixo:
Figura 4. Lei da Gravitação Universal
A partir do exposto é possível aplicar a teoria aos dados obtidos durante a simulação experimental realizada.
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para realização do experimento foi utilizado o simulador Ophysics, mais especificamente na seção de Forças: Órbitas elípticas e 2ª lei de Kepler, esta plataforma permite a simulação de um planeta orbitando um sol. As condições que são: velocidade inicial do planeta, a massa do sol e a distância inicial do centro do planeta ao centro do sol, podem ser ajustadas, no caso deste ensaio a primeira condição foi fixada em , a segunda em , a terceira e última condição foi fixada inicialmente em , mas foi acrescida em a cada órbita.
5. TRATAMENTO DOS DADOS
Tabela 1. Distância de P-S, Semieixo Maior, Distância Focal por 2 e Período de cada Órbita
	Órbita
	Distância P-S (m)
	a (m)
	c (m)
	T (s)
	1
	2,00
	2,00
	0,00
	2,38
	2
	2,20
	2,48
	0,28
	3,21
	3
	2,40
	3,00
	0,60
	4,34
	4
	2,60
	3,80
	1,20
	6,16
	5
	2,80
	4,75
	1,95
	8,57
	6
	3,00
	6,15
	3,15
	12,61
Tabela 2. Tempos Gasto pelo Planeta para Percorrer cada uma das Áreas Hachuradas
	Órbita
	Δ t1 (s)
	Δ t2 (s)
	Δ t3 (s)
	Δ t4 (s)
	1
	0,63
	0,58
	0,59
	0,60
	2
	0,77
	0,79
	0,81
	0,78
	3
	1,05
	1,09
	1,08
	1,07
	4
	1,54
	1,53
	1,56
	1,55
	5
	2,12
	2,14
	2,15
	2,11
	6
	3,17
	3,18
	3,16
	3,14
a) 1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas
É possível observar por intermédio da tabela três, que devido aos acréscimos finos de 0,2 m na distância inicial do planeta ao sol as órbitas apresentam caráter menos circular e mais elíptico, isso ocorre uma vez que os valores das excentricidades aumentam se distanciando de zero, que corresponde a excentricidade de umaórbita circular. Contudo, é importante destacar que somente a primeira orbita apresentou característica circular.
Tabela 3. Excentricidade de cada Órbita
	Órbita
	Excentricidade
	1
	0,00	
	2
	0,11	
	3
	0,20	
	4
	0,32	
	5
	0,41	
	6
	0,51	
Ajustando os dois parâmetros iniciais (distância inicial do planeta ao sol e velocidade inicial do planeta) e mantendo a massa do sol como nos outros experimentos foi possível obter uma nova orbita circular, destacando que ajustando todos os parâmetros é possível obter novas orbitas circulares com valores diferentes de eixos.
Inicialmente, os sistemas propostos por Cláudio Ptolomeu, Nicolau Copérnico e Tycho Brahe consideravam orbitas circulares, pois, o círculo era considerado como a figura ideal, contudo os cálculos não batiam e os estudos não avançam. Mas a partir dos estudos de Kepler descobriu-se que a elipse era uma forma que contemplava os cálculos e explicava melhor as orbitas dos corpos, e com essas informações ele criou sua primeira lei.
Desse modo, baseando-se na primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas que tem como enunciado “Todos os planetas movem-se ao redor do Sol em órbitas elípticas, estando o Sol em um dos focos.”, não é possível que haja órbitas totalmente circulares de modo natural. Ou seja, as orbitas dos planetas no nosso sistema solar sempre terão caráter elíptico mesmo que haja orbitas com formas muito próximas as circulares, excentricidade próxima a 0, mas seu caráter geral será elíptico.
Figura 5. Nova Órbita Circular
b) 2ª Lei de Kepler: Lei da Áreas
Sabe-se que a segunda Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das áreas, relata que o Sol sendo um referencial fixo possuindo uma reta que o liga ao centro de um determinado planeta e varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Desta forma, a partir dos dados obtidos na realização do experimento pode-se avaliar se a Lei das Áreas foi obedecida, essa averiguação pode ser feita a partir da tabela 2. 
Ao analisar os dados acima nota-se que a uma variação de tempo é muito pequena entre os tempos , , e na avaliação de cada um dos orbitais, com isso pode-se afirmar que a lei das áreas é obedecida, pois observando a imagem a seguir:
Figura 6. Imagem Ilustrativa para Avaliar a Lei das Áreas de Modo Geral
Percebe-se que, apesar das áreas hachuradas possuírem formatos distintos, essas quatro áreas possuem o tamanho com isso possibilitando com que sejam varridas em tempos semelhantes.
Porém nota-se que não existe uma uniformidade na velocidade do orbital, já que quando o simulador executa o experimento observa-se que quando o planeta está mais perto do Sol ele se move mais rapidamente criando uma área hachurada mais larga e quando este planeta se encontra mais distante do Sol sua velocidade é menor formando uma área hachurada mais estreita. Sendo assim, conclui-se que por meio dessa variação regular da velocidade que as áreas padrões diferentes sejam percorridas em tempos iguais.
c) 3ª Lei de Kepler: Lei dos Períodos
A terceira lei de Kepler enuncia que o quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita, sendo assim, quanto mais distante o planeta estiver do sol, mais tempo ele levará para completar a translação.
Representando o período orbital de um planeta como T e sua distância média ao Sol (que equivale ao comprimento do semieixo maior da órbita) como r, tem-se:
Equação 2. Expressão matemática da terceira Lei
Figura 7. Gráfico do Quadrado dos Períodos em Função do Cubo de suas Distâncias Médias do Sol
A constante de Kepler no caso deste ensaio foi obtida a partir do coeficiente angular da equação linear do gráfico dos quadrados dos períodos em função dos cubos de suas distancias medias do sol, mas poderia ser calculada a parti da média das constantes de cada órbita como mostra a tabela abaixo: 
Tabela 4. Constante de Kepler de cada Órbita
	Órbita
	Constante de Kepler
	1
	0,71	
	2
	0,68	
	3
	0,70	
	4
	0,69	
	5
	0,69	
	6
	0,68
Por meio de substituições na equação da força gravitacional do sol sobre o planeta e do valor da constante de Kepler encontrada calculou-se o que seria a massa do sol para que fosse possível conferir com o valor que foi inserido no simulador, que se aproximou ratificando o valor da constante, mas apresentou uma pequena diferença provavelmente por erros cometidos durante o processo de medição do período.
i. Expressão matemática da terceira lei de Kepler
Valor de k: 0,68
Valor de G: 
	
ii. Massa do Sol
	
6. CONCLUSÃO
Dado o exposto foi possível, realizar estudo das Leis de Kepler, a partir do simulador Ophysics, plataforma que permite a simulação de um planeta orbitando um sol. A primeira Lei, ou Lei das Órbitas foi demonstrada pelos cálculos de excentricidade, ratificando o seu enunciado que todos os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas elípticas, estando o Sol em um dos focos. Em seguida, a Lei das Áreas foi verificada mostrando que o tempo para percorre-las é igual devido a variação regular da velocidade. Já a Lei dos períodos foi aplicada para o cálculo da constante de Kepler e para determinara a massa do sol, tendo sido encontrado respectivamente os valores de 0,68 e de .
7. REFERÊNCIAS
HUGH D. YOUNG, ROGER A. FREEDMAN. Física II, Sears e Zemansky: termodinâmica e ondas. 14. ed. São Paulo: Pearson Education.
LEIS DE KEPLER. UFSM, 2020. Disponível em: <https://www.ufsm.br/cursos/graduacao/santa-maria/fisica/2020/02/20/leis-de-kepler/>. Acesso em: 21 de junho de 2021.
RIFFEL A. R. INTRODUÇÃO À ATOMÍSTICA. UFSM, 2020. Disponível em:<http://w3.ufsm.br/rogemar/fsc1057/aulas/aula5_kepler.pdf>. Acesso em: 21 de junho de 2021.
LEIS DE KEPLER. If. UFRGS. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20041/Diomar/kepler.html >. Acesso:22 de junho de 2021.
LEIS DE KEPLER E LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL. If.ufrgs. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/~tiberio/disciplinas/fis02004/Leis_de_Kepler_e_Gravitacao-Caren.pdf >. Acesso:22 de junho de 2021.
LEIS DE KEPLER DO MOVIMENTO PLANETÁRIO. Astro.iag. Disponível em: <http://www.astro.iag.usp.br/~aga0215diurno/pdfs/cap02_02.pdf>.Acesso em: 22 de junho de 2021