CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - A2

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1. Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos 
realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse 
trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a 
função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a 
alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma 
raiz pertencente ao intervalo . 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para 
a função , verificamos que o número mínimo de iterações com a 
tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir: 
 
 
0 0,1 -2,2025851 11 
1 0,30023501 -0,9029547 4,33072417 0,20023501 
2 0,50873472 -0,1670939 2,965661 0,20849971 
3 0,56507759 -0,0057146 2,76966848 0,05634287 
4 0,56714088 -6,65E-06 2,76323032 0,00206329 
5 0,56714329 -9,003E-12 2,76322283 2,4066E-06 
 
• 5. 
 
2. Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de 
comprimento 1, isto é, e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) 
aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de iteração apropriada. 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear 
e calculando a função de iteração igual a , encontramos , 
conforme a tabela a seguir: 
 
 
0 1,4 
1 1,10048178 0,299518223 
2 1,08125569 0,019226082 
 
• 1,08125569. 
 
3. Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação: 
 
Se , e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação 
dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz 
num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e inteiros) e . 
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear 
e calculando a função , encontramos , conforme a tabela 
a seguir: 
 
 
0 -1 
1 -0,4128918 0,587108208 
2 -0,3999897 0,012902141 
3 -0,3996868 0,000302884 
• -0,3996868. 
 
4. Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o 
método de Newton. Sendo assim, considere a função e uma 
tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações 
necessárias para encontrar uma raiz pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa 
correta. 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para 
a função , percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 
3, conforme tabela a seguir: 
 
 
0 3,3 1,60892373 6,52810763 
1 3,05353903 0,06096316 6,03339181 0,24646097 
2 3,04343474 0,00010247 6,01310873 0,01010429 
3 3,0434177 2,9149E-10 6,01307452 1,7042E-05 
• 3 
 
5. Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da 
Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação 
de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: 
 
Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule a 
raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para 
isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) 
e . 
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração 
linear e calculando a função , encontramos , conforme 
a tabela a seguir: 
 
 
0 0,2 
1 0,6596008 0,459600799 
2 0,78384043 0,124239632 
3 0,81180133 0,027960901 
4 0,8176584 0,005857072 
• 0,8176584. 
 
6. Quando não dispomos de métodos analíticos capazes de calcular as raízes de uma função, 
podemos recorrer aos métodos numéricos, entre os quais está o método da iteração linear. 
Considerando , e uma função de iteração convenientemente 
escolhida. Aplique o método da iteração linear e as sequência de raízes , calcule . Assinale a 
alternativa correta. 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração 
linear e calculando a função , encontramos , conforme a 
tabela a seguir: 
 
 
0 1,5 
1 1,24998326 0,250016739 
2 1,33177094 0,081787682 
• 1,33177094. 
 
7. Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos 
algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante 
disso, considerando , e uma função de iteração convenientemente 
escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes . Assinale a alternativa 
que corresponde ao valor de . 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear 
e calculando a função , encontramos , conforme a seguinte 
tabela: 
 
 
0 1,9 
1 1,16133316 0,738666842 
2 1,36761525 0,206282096 
3 1,29009217 0,077523087 
4 1,31685381 0,026761642 
• 1,31685381 
 
8. O número de bilhões de indivíduos de determinada bactéria poluente está decaindo em função do 
tempo t (a partir de t=0), em um lago por intermédio da função . 
Aplique o método de Newton com uma tolerância e o menor número possível de iterações 
para estimar o tempo necessário que a quantidade de bactérias seja reduzida para 5 bilhões de 
indivíduos. Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método de Newton à 
equação , determinamos que satisfaz a 
tolerância informada, conforme a tabela a seguir: 
 
 
0 2 0,636864727 -5,3890249 
1 2,1181781 0,05174436 -4,5384018 0,1181781 
2 2,12957955 0,000425232 -4,4640208 0,01140145 
3 2,12967481 2,93452E-08 -4,4634047 9,5258E-05 
• 2,12967481 
 
9. Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que 
ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de 
Newton para a função , e sabendo que a raiz . Assinale a 
alternativa que indica qual o valor de . 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para 
a função , podemos verificar, por meio da tabela seguir, que
. 
 
 
0 -1,4 -1,0600657 2,97089946 
1 -1,0431836 -0,0362392 2,72802289 0,35681642 
2 -1,0298995 -8,952E-05 2,7144945 0,01328407 
3 -1,0298665 -5,6E-10 2,71446054 3,2978E-05 
• -1,0298665. 
 
10. Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o 
método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial em um 
intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, Calcule a quarta ( ) 
aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear 
e calculando a função de iteração , encontramos , 
conforme a tabela a seguir: 
 
 
0 1,4 
1 1,10048178 0,299518223 
2 1,08125569 0,019226082 
3 1,07998603 0,001269666 
 
• 1,07998603.