Aula 7 _ Fundações Diretas_dimensionamento

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ENGENHARIA CIVIL
Fundações 
Engenharia Civil
FUNDAÇÕES 
Profº Alan de Paula 
Almeida 
E-mail_alan.almeida@fmu.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHAE MUCURI 
INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIAE TECNOLOGIA
ENGENHARIACIVIL
Prof. Alan de Paula
FUNDAÇÕES
AULA 07: Dimensionamento de sapatas rígidas
Prof. Alan de Paula
alan.almeida@fmu.br
A u l a 7 
D i m e n s i o n a m e n t o
5
A tabela apresenta os comprimentos de ancoragem em função do diâmetro, 
para diferentes classes de concreto, aplicáveis a barras nervuradas, aço CA-50 
e em zonas de boa aderência (ângulo das armaduras do pilar à 90 graus em 
relação à horizontal). Os valores da tabela foram obtidos com as expressões 
apresentadas na NBR 6118:2003
Tabela: Comprimento de ancoragem em função do diâmetro – NBR 6118:2003
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
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1. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DAS SAPATAS
1.1 Determinação das dimensões em planta 
As dimensões em planta das sapatas são definidas 
basicamente em função da tensão admissível do solo, embora 
também dependam de outros fatores, como a interferência 
com as fundações mais próximas. Na grande maioria dos casos 
as sapatas estão submetidas a cargas excêntricas, 
especialmente em virtude das ações do vento. Logo, as 
dimensões em planta devem ser tais que as tensões de 
compressão máximas no solo - calculadas com as expressões 
da flexão composta reta ou oblíqua - não superem a tensão 
admissível do mesmo. 
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS SAPATAS
Quanto à rigidez 
A NBR 6118:2003 classifica as sapatas quanto à rigidez de 
acordo com as seguintes expressões:
Figura: Dimensões típicas em sapatas 
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS SAPATAS
2.1 Sapata flexíveis
São de uso mais raro, sendo mais utilizadas em fundações 
sujeitas a pequenas cargas. Outro fator que determina a escolha 
por sapatas flexíveis é a resistência do solo. ANDRADE (1989) 
sugere a utilização de sapatas flexíveis para solos com pressão 
admissível abaixo de 150kN/m2 (0,15MPa). As sapatas flexíveis 
apresentam o comportamento estrutural de uma peça fletida, 
trabalhando à flexão nas duas direções ortogonais. Portanto, as 
sapatas são dimensionadas ao momento fletor e à força 
cortante, da mesma forma vista para as lajes maciças. A 
verificação da punção em sapatas flexíveis é necessária, pois são 
mais críticas a esse fenômeno quando comparadas às sapatas 
rígidas. 
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS SAPATAS
2.2 Sapata rígidas
São comumente adotadas como elementos de fundações em 
terrenos que possuem boa resistência em camadas próximas da 
superfície. Para o dimensionamento das armaduras longitudinais 
de flexão, utiliza-se o método geral de bielas e tirantes. 
Alternativamente, as sapatas rígidas podem ser dimensionadas à 
flexão da mesma forma que as sapatas flexíveis, obtendo-se 
razoável precisão. 
As tensões de cisalhamento devem ser verificadas, em particular 
a ruptura por compressão diagonal do concreto na ligação laje 
(sapata) – pilar. 
A verificação da punção é desnecessária, pois a sapata rígida 
situa-se inteiramente dentro do cone hipotético de punção, não 
havendo possibilidade física de ocorrência de tal fenômeno.
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.1 Sapata isolada
Transmitem ações de um 
único pilar centrado, 
com seção não 
alongada. É o tipo de 
sapata mais 
frequentemente 
utilizado. Tais sapatas 
podem apresentar bases 
quadradas, retangulares 
ou circulares, com a 
altura constante ou 
variando linearmente 
entre as faces do pilar à 
extremidade da base.
Figura: Sapatas isoladas
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.2 Sapata corrida
São empregadas para receber as ações verticais de paredes, 
muros, ou elementos alongados que transmitem carregamento 
uniformemente distribuído em uma direção. O 
dimensionamento deste tipo de sapata é idêntico ao de uma laje 
armada em uma direção. Por receber ações distribuídas, não é 
necessária a verificação da punção em sapatas corridas.
Figura: Sapata corrida sob carregamento linear distribuído
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.3 Sapata associada ou combinada
Transmitem as ações de dois ou mais pilares adjacentes. São utilizadas quando 
não é possível a utilização sapatas isoladas para cada pilar, por estarem muito 
próximas entre si, o que provocaria a superposição de suas bases (em planta) 
ou dos bulbos de pressões. Neste caso, convém empregar uma única sapata 
para receber as ações de dois ou mais pilares. O centro de gravidade da sapata 
normalmente coincide com o centro de aplicação das cargas dos pilares. Para 
condições de carregamento uniformes e simétricas, as sapatas associadas 
resultam em uma sapata corrida simples, de base retangular. Entretanto, 
quando as cargas dos pilares apresentam diferenças relevantes, a imposição de 
coincidir o centróide da sapata com o centro das cargas dos pilares conduz ou a 
uma sapata de base trapezoidal (em planta) ou a sapatas retangulares com 
balanços livres diferentes (em planta). Usualmente, as sapatas associadas são 
projetadas com viga de rigidez (enrijecimento), cujo eixo passa pelo centros de 
cada pilar. 
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.3 Sapata associada ou combinada
Figura: Sapata associada retangular 
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.4 Sapata com viga de equilíbrio
No caso de pilares posicionados junto à divisa do terreno, o momento 
produzido pelo não alinhamento da ação com a reação deve ser absorvido 
por uma viga, conhecida como viga de equilíbrio ou viga alavanca, apoiada 
na sapata junto à divisa e na sapata construída para pilar interno. Portanto, 
a viga de equilíbrio tem a função de transmitir a carga vertical do pilar para 
o centro de gravidade da sapata de divisa e, ao mesmo tempo, resistir aos 
momentos fletores produzidos pela excentricidade da carga do pilar em 
relação ao centro dessa sapata. 
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3. QUANTO A SUA POSIÇÃO
3.4 Sapata com viga de equilíbrio
Figura : Sapata com viga de equilíbrio
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4. SAPATA SOB CARGA CENTRADA 
Ocorre quando a carga vertical do pilar passa pelo centro de 
gravidade da sapata. Neste caso, admite-se uma distribuição 
uniforme e constante das tensões do solo na base da sapata, 
igual à razão entre a carga vertical e a área da sapata (em 
planta). 
Figura: Sapata sob carga centrada
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5. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
Para calcular as armaduras longitudinais da sapata, define-se, em 
cada direção ortogonal, uma seção de referência S1 entre as 
faces do pilar, conforme a figura:
Figura: Seções para o cálculo das armaduras longitudinais de flexão
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5. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
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5. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
De acordo com a figura, o problema recai em determinar os momentos solicitantes em 
balanços de vãos iguais ao balanço livre acrescido de 0,15 vezes a dimensão do pilar na 
direção analisada. Ou seja, os momentos solicitantes nos engastes (MSda e MSdb) 
fornecem os momentos para o cálculo das armaduras da sapata. De posse dos 
momentos solicitantes, as armaduras longitudinais da sapata podem ser calculadas 
utilizando-se as tabelas clássicas da flexão simples ou ainda por expressões 
simplificadas, conforme a seguir: 
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5. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
onde d é a altura útil na direção analisada. 
Os valores calculados devem ser ainda comparados com os valores de 
armadura mínima recomendados para as lajes, conformeo item 19.3.3.2 da 
NBR 6118:2003. Apesar da norma fazer distinção entre armaduras positivas e 
negativas, e de lajes armadas em uma ou duas direções, pode-se admitir, para 
todos esses casos, uma taxa de armadura mínima igual a 0,15% (em relação a 
área bruta). As barras longitudinais não devem ter diâmetros superiores 1/8 da 
espessura da laje (sapata). O espaçamento máximo entre elas não deve ser 
superior a 20cm nem 2*h, prevalecendo o menores desses dois valores. 
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A tabela apresenta os comprimentos de ancoragem em função do diâmetro, 
para diferentes classes de concreto, aplicáveis a barras nervuradas, aço CA-50 
e em zonas de boa aderência (ângulo das armaduras do pilar à 90 graus em 
relação à horizontal). Os valores da tabela foram obtidos com as expressões 
apresentadas na NBR 6118:2003
Tabela: Comprimento de ancoragem em função do diâmetro – NBR 6118:2003
5. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
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Sapatas
◼ Sapata Isolada
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CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DAS SAPATAS
Sapata Isolada
Quanto à locação em planta, dois requisitos devem ser 
atendidos: 
• O centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro 
de gravidade do pilar central; 
• Deve-se fazer uma estimativa da área da base, supondo a 
sapata submetida à carga centrada (sem momentos):
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Dimensionamento de Sapatas
◼ Dimensionamento como placa
❑ Peças flexíveis
❑ Verificação quanto ao puncionamento
◼ Dimensionamento pelo método das Bielas
❑ Peças rígidas e de grandes dimensões
◼ Ambos os métodos
❑ Pode-se considerar pressões de contato uniformes
❑ Exceto se for rocha
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Sapatas Rígidas – Mais utilizadas
❑ Ocorre flexão nas duas direções 
da sapata
❑ As armaduras são uniformemente 
distribuídas
❑ Há esforços cortantes, mas a 
ruptura se dá por compressão 
diagonal
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❑ Surgiu a partir de ensaios realizados por Lebelle (1936)
❑ A carga é transferida do pilar para a base da sapata a partir 
de bielas de concreto comprimido que induzem tensões de 
tração na base da sapata
Método das bielas
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Método das bielas
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a) Adotar altura mínima (h) para se ter peça rígida
h = dmin + d '
dmin = altura útil da sapata
d’ = distância da base da sapata ao centro de
gravidade da armadura (adota-se 5cm)
3
min

L − l
d
3
min

B − b
d
a
P

mind 1,44
1,96
ck
a
f
Onde  = 0,85
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Método das bielas
b) Determinar os esforços de tração (T)
c) Determinar área de aço (As)
P(B −b)
d
M
8d
y
xT = +
d8d
x
yT = +
P(L − l) M
yk
=
1,61Tx
x
f
As
yk
=
1,61Ty
y
f
As
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Projetos de Sapatas
◼ Recomendações
❑ As armaduras devem ser uniformemente distribuídas ao longo
das dimensões (L,B) da sapata
❑ 10cm ≤ espaçamento ≤ 20cm
❑ Edificações de baixo porte:
◼ Ferro de 6,3mm com 15cm
❑ Edificações de grande porte:
◼ Ferro de 10mm com 15cm
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Método das bielas - Exemplo
◼ Dimensionar e detalhar a sapata centrada
❑ P = 3500 kN (permanente)
❑ Mx = 400 kN.m (vento)
❑ My = 100 kN.m (vento)
❑ Pilar = 50cm x 20cm
❑ B = 2,9m x A = 3,20m
❑ Concreto C-25 e fyk = 50 kN/cm²
❑ Ferro de 16mm
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Método das bielas - Exemplo
a) Adotar altura mínima (h) para se ter peça rígida
 0,9md min
3,2 − 0,5
→ d
min
1,96
h = dmin + d '→ h = 0,9 + 0,05→ h = 0,95m
3500
minmin
0,85
25000
d 1,44 → d  0,82m
 0,9md
3
min
3

2,9 − 0,2
→ d
min
d = 0,9m
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Método das bielas - Exemplo
b) Determinar os esforços de tração (T)
P(B −b)
d
M
8d
y
xT = +
) M
d8d
x
yT = +
P(L − l
8 0,9 0,9
Tx =1423,61kN
x
T =
3500(2,9 − 0,2)
+
100
yT =
3500(3,2 − 0,5)
+
400
8 0,9 0,9
Ty =1756,94kN
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Método das bielas - Exemplo
c) Determinar área de aço (As)
=
1,611423,61
= 45,84cm²
50
x
Tx =1423,61kN As
yT =1756,94kN =
1,611756,94
= 56,57cm²
50
As y
23 ϕ16mm c/ 14cm
29 ϕ16mm c/ 10cm
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Método das bielas - Exemplo
c) Determinar área de aço (As)
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Método das bielas - Exemplo
d) Detalhamento
Programa para calculo de fundação FTOOL. 
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Imagine que temos que dimensionar uma sapata para um 
pilar com seção de 40 cm x 80 cm com uma carga total de 
120 toneladas (força), onde a tensão admissível do solo é de 
2,3 Kgf/cm² (pressão):
Primeiramente, temos que majorar a carga através de um 
coeficiente de segurança de 1,1, ou seja, consideramos 10% 
a mais de carga, mas fica a critério de cada projetista :
Essa carga extra de 10% é considerada como sendo o peso 
próprio da sapata.
Força = 120 000 kgf * 1,1 = 132000 kgf
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Temos então:
A = 
132000 𝑘𝑔𝑓
2,3 𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚²
= 57.391,30 𝑐𝑚2
Ou seja, a área da base da sapata deverá ser igual 
ou maior a 57.391,30 cm² (5,73 m²).
57.391,30 
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O próximo passo é calcular as dimensões A (lado maior) e B (lado 
menor) da sapata através das seguintes fórmulas:
Onde:
B é a menor dimensão da base da sapata (cm);
A é a maior dimensão da base da sapata (cm);
b° é a menor dimensão da seção do pilar (cm);
a° é a maior dimensão da seção do pilar (cm), e;
Asapata é a área da base da sapata (calculada no passo 
anterior).
B =
(𝑏°−𝑎°)
2
+ √
(𝑏°−𝑎°)
4
+ Asapata ou A – B = a° - b° ( feito em sala de 
aula neste método)
pilar 80 cm
40 cm
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B =
(𝑏°−𝑎°)
2
+ √
(𝑏°−𝑎°)
4
+ Asapata
B = 
(40−80)
2
+ √
(40−80)
4
+ 57.391,30 cm²
B = -20 + √57.381,30 = 219,54 cm
Adotamos então o valor de 220 cm para B.
A – 220 = 80 – 40
A = 260 cm
pilar 80 cm
40 cm
260 cm
220 cm
Podemos ainda fazer 
uma conferência da 
área:
260*220 = 57.200 cm²
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Com a base calculada, podemos então calcular a altura total e 
a altura da aba da sapata:
H°
H
h ≥ 
A – a°
3
=
h ≥ 
260 – 80
3
= 60 cm de altura total, caso fosse 61,00 arredondar para 65 cm 
Onde:
h é a altura da sapata (cm);
A é a maior dimensão da sapata (cm), e;
a° é a maior dimensão da seção do pilar (cm)
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Já a altura da aba da sapata deve ser o maior valor entre:
h ≥ 
A – a°
3
=
h° = {≥ 15cm≥ h/3 = 60/3 = 20 cm 
Onde:
h é a altura total da sapata, e;
ho é a altura da aba da sapata.
20 cm
60 cm
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Com as dimensões da sapata definidas, passamos então para a fase 
de verificações:
Ancoragem do pilar (Lb):
A armadura longitudinal do pilar deve ser ancorada na sapata, ou 
seja, a armadura do pilar deve se estender para dentro da sapata 
conforme a tabela abaixo:
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Para o nosso exemplo vamos considerar um concreto com Fck de 30
MPa e vamos considerar também que a armadura será de 16 mm e
ancorada com ganchos, como no desenho abaixo:
Onde:
23 vem da tabela, já que consideramos 
um Fck de 25 MPa, e;
1,6 é o diâmetro da armadura em cm.
Lb = 23 * 1,6 = 36,80 cm
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Altura útil (d):
É a distância entre o topo da sapata e o centro de gravidade da armadura, como no desenho
anterior e é calculado da seguinte maneira:
d = h – c -
∅𝑐𝑚
2
=
d = 60 – 5 -
1,25
2
=
d = 54,37 cm
Com a ancoragem do pilar(Lb) e a altura útil (d) calculadas, podemos verificar então que:
d > Lb
54,37 > 36,80
Caso a ancoragem tivesse um resultado superior à altura útil, deveria-se aumentar o Fck do 
concreto ou a altura da sapata até d seja maior que Lb.
Onde:
d é a altura útil (cm);
h é a altura total da sapata (cm);
c é o cobrimento que, para o nosso 
exemplo, vamos adotar 5 cm, e;
Ø é o diâmetro das barras que, para o 
nosso exemplo, vamos adotar 1,25 
cm (12,5 mm).
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Método das bielas:
O método das bielas é um dos métodos mais utilizados para o 
dimensionamento de uma sapata.
Bielas são vetores de compressão, que transmitem uma força linear de 
compressão;
Tirantes são vetores de tração, que transmitem uma força linear de tração.
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Método das bielas:
Temos que fazer três verificações para garantir a aplicabilidade 
do método das bielas através das seguintes fórmulas:
d ≥ { 1,44 * 𝑃
𝜎𝑎
em que 𝜎𝑎 = 0,85 ∗
𝐹𝑐𝑘
1,96
𝑎 − 𝑎°
4
e
𝑏 − 𝑏°
4
Onde:
d é a altura útil (cm);
a é a maior dimensão da sapata (cm);
a° é a maior dimensão do pilar (cm);
b é a menor dimensão da sapata (cm);
b° é a menor dimensão do pilar (cm);
P é a carga do pilar (KN), e;
fck é a resistência à compressão do concreto (KN/m²).
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Método das bielas:
Temos que fazer três verificações para garantir a aplicabilidade 
do método das bielas através das seguintes fórmulas:
54,37 ≥ { 1,44 * (√1200 /10841,84) =
54,37 ≥ { 1,44 √0,11 = 0,477 m = 47,70cm
Caso alguma das três condições não seja verdadeira, será 
necessário alterar as dimensões da sapata até que as três condições 
sejam atendidas.
260 − 80
4
= 45 cm
220 − 40
4
= 45 𝑐𝑚
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Método das bielas:
Cálculo da armadura:
Primeiro devemos calcular as tensões aplicadas em cada direção através 
das seguintes fórmulas:
Tx = 
𝑃 ∗( 𝑎 −𝑎°)
8 ∗𝑑
e Ty = 
𝑃 ∗( b −b°)
8 ∗𝑑
Onde:
Tx é a força de tração na base da sapata na direção X (Kgf);
Ty é a força de tração na base da sapata na direção Y (Kgf);
P é a carga do pilar (Kgf);
a é a maior dimensão da sapata (cm);
b é a menor dimensão da sapata (cm);
a° é a maior dimensão do pilar (cm);
b° é a menor dimensão do pilar (cm), e;
d é a altura útil da sapata (54,37 cm).
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Método das bielas:
Cálculo da armadura:
Primeiro devemos calcular as tensões aplicadas em cada direção 
através das seguintes fórmulas:
Tx = 
132.000 ∗( 260 − 80)
8 ∗54,37
= 
23.760.000
434,96
= 54.625,71 Kgf 
Ty = 
𝑃 ∗( 220 − 40)
8 ∗54,37
= 54.625,71 Kgf 
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Método das bielas:
Esses resultados serão utilizados para calcular a área de aço:
Asx = 
1,61 ∗𝑇𝑥
𝐹𝑦𝑘
( Armadura paralela ao lado a )
Asy = 
1,61 ∗𝑇𝑦
𝐹𝑦𝑘
( Armadura paralela ao lado b )
Onde:
Asx é a área de aço na direção x (cm);
Asy é a área de aço na direção y (cm);
Tx é a força de tração na base da sapata na direção X (Kgf);
Ty é a força de tração na base da sapata na direção Y (Kgf), e;
Fyk é a resistência à tração do aço (Kgf/cm²).
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Método das bielas:
Fyk é a resistência à tração do aço (Kgf/cm²).
Considerar C 50 = 50 kN/cm²
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Método das bielas:
Esses resultados serão utilizados para calcular a área de aço:
Asx = 
1,61 ∗54.625,71
5000
= 17, 589 cm²
Asy = 
1,61 ∗54.625,71
5000
= 17, 589 cm²
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Método das bielas:
Com as áreas de aço calculadas, podemos utilizar a seguinte 
tabela:
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Método das bielas:
Utilizaremos barras de 12,5 mm, como definimos no início.
Calculamos a quantidade de barras em cada direção:
X = 
17,589
1,277
= 13,77 barras ---- 14 barras
Y = 
17,589
1,277
= 13,77 barras ---- 14 barras
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D i m e n s i o n a m e n t o
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D i m e n s i o n a m e n t oMétodo das bielas:
Calculamos o espaçamento entre as barras em cada direção, que 
deve ficar entre 10 e 20 cm:
X = 
220(𝑏) – 5 ∗ 2
15 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 −1
= 15 cm
Y = 
260(𝑎) – 5 ∗ 2
15 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 −1
= 17,85 cm igual a 18 cm
Resultados:
Para a sapata do nosso exemplo temos os seguintes resultados:
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D i m e n s i o n a m e n t o
Método das bielas:
Resultados:
Para a sapata do nosso exemplo temos os seguintes resultados:
X: 14 Ø12,5mm c/15cm
Y: 14 Ø12,5mm c/18cm
260
220
210
250
14 N1 ∅ 12,5 𝑐/18 c=210
1
4
 N
1
 ∅
1
2
,5
𝑐/
1
5
c=
2
5
0
8
0
40
5 cm adotado da forma 
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