Desigualdade de Claussios Teoria

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Enunciado do Teorema de Clausius
T1
T2
T3
T4
T5
Tn Q1
Q2
Q3
Q4Q5
S realiza uma 
transformação 
cíclica
Qn
- S é um sistema termodinâmico que realiza uma transformação cíclica;
- Q1, Q2, ..., Qn são as quantidades de calor trocadas entre S e n
fontes de calor às temperaturas T1, T2, ...Tn, respectivamente;
- Qi > 0, se S recebe calor; Qi < 0 se S perde calor
0
1
≤∑
=
n
i i
i
ciclo
T
Q
A soma dos calores recebidos ou cedidos pelo sistema S, 
tomados com os respectivos sinais, e divididos pelas temperaturas 
absolutas das fontes de calor que os cederam ou receberam, é
sempre negativa ou nula, i.e.,
0
1
≤∑
=
n
i i
i
ciclo
T
Q
A igualdade na expressão anterior só se verifica se os processos 
que constituem o ciclo forem todos reversíveis.
No caso de o sistema ser posto em contacto com um número infinito de 
fontes de calor, com cada uma das quais o sistema troca um calor 
infinitesimal dQ, então a Igualdade e Desigualdade de Clausius tomam a 
forma:
0≤∫
fonteT
Qδ
Fonte quente
Fonte fria
Máquina
térmica
W
Q1
Q2
Nota: caso das máquinas térmicas
Para uma máquina que utilize apenas 2 fontes 
de calor e que não seja reversível:
Logo,
0
2
2
1
1 <+
T
Q
T
Q
2
1
2
1
2
1
2
1
||
||
11
T
T
Q
Q
T
T
Q
Q
>⇔−<−=η
rendimento da máquina de 
Carnot
i) Ciclo reversível: pode ser percorrido num ou noutro sentido sem 
que se alterem os valores numéricos dos calores (e trabalhos) 
trocados, apenas os seus sinais algébricos.
0≤∫
fonte
d
T
Qδ
Para o ciclo percorrido num certo sentido, d
0≤∫
fonte
e
T
Qδ
Para o ciclo percorrido no sentido inverso, e
∫
∫
∫
=⇒






≥
≤
⇒−= 0
0
0
fonte
d
fonte
d
fonte
d
de
T
Q
T
Q
T
Q
QQ
δ
δ
δ
δδ
Além disso, para que cada transferência de calor seja reversível, 
Tfonte = T onde T é a temperatura do sistema.
0=∫ T
Qrevδ Igualdade de Clausius, 
válida para um ciclo reversível
ii) Ciclo irreversível: pelo menos um dos processos que constituem 
o ciclo deu-se irreversivelmente. Pode acontecer, por 
exemplo, que na troca de calor com a fonte i Ti ≠≠≠≠ T. Nesse 
caso deve ser Ti a aparecer na desigualdade de Clausius.
0<∫
fonte
irrev
T
Qδ Desigualdade de Clausius, 
válida para um ciclo irreversível
A entropia como função de estado
Deslocamento generalizado, X
Força generalizada, Y
R1, R2 →→→→ caminhos (processos) 
reversíveis
qualquer que seja o 
caminho reversível R
⇓⇓⇓⇓
∫=−
f
i
rev
R
if
T
Q
SS
δEntropia, S
∫∫ =
f
i
rev
R
f
i
rev
R
T
Q
T
Q δδ
21
→→→→ Integral independente do caminho
∫ ∫∫ =+=
21
21
0
RR
i
f
rev
R
f
i
rev
R
rev
T
Q
T
Q
T
Q δδδ
Igualdade de ClausiusIgualdade de Clausius
↓
Processos reversíveis:
Variação infinitesimal de entropia:
T
Q
dS rev
δ
=
1/T é o factor integrante de δδδδQrev
Processos irreversíveis:
Deslocamento generalizado, X
Força generalizada, Y
R →→→→ caminho reversível
I →→→→ caminho irreversível
∫>−
f
i fonte
irrev
I
if
T
Q
SS
δ
Processos infinitesimais:
fonte
irrev
T
Q
dS
δ
>
∫ ∫∫ <+=
−
IR
SS
i
f
rev
R
f
i fonte
irrev
Ifonte
irrev
fi
T
Q
T
Q
T
Q
0
43421
δδδ
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
↓
Princípio da Não Diminuição da Entropia
Processos reversProcessos reversííveisveis
00; =∆⇒==− ∫
∆
SQ
T
Q
SS rev
f
i
rev
R
S
if δ
δ
321
Processos irreversProcessos irreversííveisveis
00; >∆⇒=>− ∫
∆
SQ
T
Q
SS irrev
f
i
irrev
I
S
if δ
δ
321
0≥∆ adiabS
Logo, num processo adiabático qualquer
Princípio da não diminuição da entropia ou 
Lei do aumento da entropia
Processos infinitesimais:Processos infinitesimais: 0≥adiabdS