sistemas térmicos

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP 
DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS 
www.usp.br/sisea 
 
 
 
 
 
 
 
PME – 3361 Processos de Transferência de Calor 
 
Prof. Dr. José R Simões Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o semestre/2017 
versão 1.5 
primeira versão: 2005 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
2 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 
3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 
2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de 
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. 
 
O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos 
assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de 
Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. 
Também foram utilizados outros livros-texto sobre o 
assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o 
caso do “Transferência de Calor” de Holman. 
 
O objetivo deste material é servir como um roteiro de 
estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De 
forma nenhuma substitui um livro texto, que é mais 
completo e deve ser consultado e estudado. 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
3 
 
Prof. José R. Simões Moreira 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644 
 
 
Breve Biografia 
 
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em 
Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - 
Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na 
Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da 
Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e 
Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em 
Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, 
FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do 
Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando 
principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás 
natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos 
termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor 
técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. 
MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, 
Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da 
Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização 
e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de 
Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um 
curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência 
Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima quarta edição. Tem sido 
professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, 
válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem 
participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: 
Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-
Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na 
UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - 
Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne 
(Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, 
Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em 
colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences 
Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho 
tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui 
duas patentes. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros 
“Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2017) e "Fundamentos e 
Aplicações da Psicrometria" (1999), beom como autor de um capítulo do livro "Thermal Power 
Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca 
de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de 
especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um 
número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-
científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa 
da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos. 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
4 
AULA 1 - APRESENTAÇÃO 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de 
Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a 
seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há 
diferença entre elas”? 
Para responder à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de 
aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da 
Termodinâmica. 
 
A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é 
baseada em três leis fundamentais: 
 
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de 
 temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura) 
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) 
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de 
 conversão de uma forma de energia em outra”) 
 
 
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: 
 
(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira 
 
Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é 
colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 inicial final 
 
 
 As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: 
 
Termodinâmica: TmcUQT  - fornece o calor total necessário a ser transferido 
do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor 
específico médio – APENAS ISTO! 
 
frasco 
ambientef TT  Gf TT 
t
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
5 
Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto 
tempo  t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente 
(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou 
aumentar) esse tempo? 
 
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para 
que o estado de equilíbrio da temperaturado frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja 
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para 
que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência 
de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos 
interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. 
 
De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de 
temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode 
se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um 
meio fluido. 
 
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor 
 
 
TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw  . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho 
e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos 
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), 
apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, 
como o COP: 
c
e
w
qCOP 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de 
transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: 
 
- Qual o tamanho do evaporador / condensador? 
- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? 
- Como atingir maior / menor troca de calor? 
 
compressor 
válvula 
 
condensador 
evaporador 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
6 
- Outras questões semelhantes. 
 
Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. 
 
O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: 
 
- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; 
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio 
ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de 
circuitos de refrigeração; 
- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, 
etc. 
 
 
1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e 
radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos. 
 
(a) Condução de calor 
 
- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta 
temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para 
as menos energéticas. 
- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por 
elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. 
Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E 
isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). 
 
A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822) 
 
 
 
 
dx
dTAq
x
 
 
 
 
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq 
 
T : temperatura 
 
. . 
x 
sólido 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
7 
A constante de proporcionalidade  é a condutividade ou condutibilidade térmica do 
material, k, ou seja: 
dx
dTkAqx  
 
As unidades no SI das grandezas envolvidas são: 
[
x
q ] = W , 
[ A ] = 2m , 
 [T ] = K ou Co , 
[ x ] = m . 
assim, as unidades de k são: [ k ] = 
Cm
W
o ou Km
W
 
 
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os 
valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção 
de apêndices dos livros-texto. 
 
Necessidade do valor de (-) na expressão 
 
Dada a seguinte distribuição de temperatura: 
 
Para 12 TT  
T2
T1
T
x
T
xx1 x2
 
 
0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está, 
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x) 
 
Além disso, do esquema: 0
0
0 





x
T
x
T
, daí tem-se que o gradiente também será 
positivo, isto é: 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
8 
 0
dx
dT
 mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), conclui-se que, 
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de 
Fourier) para manter a convenção de que 0xq na direção de x. 
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT  , conforme próximo esquema, a 
equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!) 
 
De forma que a Lei da Condução de Calor é: 
 
 Lei de Fourier (1822) 
 
 
 
(b) Convecção de Calor 
 
A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701) 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( TTAq S 
 
onde, a proporcionalidade  é dada pelo coeficiente de transferência de calor por 
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que: 
 
 
 
 
 
dx
dTkAq
x
 
 
)(  TThAq S
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
9 
onde: 
A : Área da superfície de troca de calor; 
ST : Temperatura da superfície; 
T : Temperatura do fluido ao longe. 
 
- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de 
muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua 
rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, 
temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no 
seu valor. 
 
 
(c) Radiação Térmica 
 
A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de 
Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e 
Boltzmann, de forma teórica (1884). 
Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica 
 
 
 (para um corpo negro) 
 
 
 constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4) 
 
Corpos reais (cinzentos) 4ATq  , onde  é a emissividade da superfície que é 
sempre menor que a unidade. 
 
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas 
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de 
meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência 
de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de 
calor da irradiação solar que atinge nosso planeta. 
 
 
4ATq  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
10 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
 
1.1 A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita 
com ferro fundido (k=80,2 W/(m K)) ou cobre (k=390 W/(m K)). Quando usada para ferver 
água, a superfície da base exposta à água encontra-se a 110ºC. Se calor é transferido do fogão 
para a panela a uma taxa de 600 W, qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para 
cada um dos dois materiais? 
 
Dados do problema: 
Diâmetro do fundo da panela: ∅ = ʹͲͲ �� 
Espessura do fundo da panela: ݁ = ͷ �� 
Condutividade dos materiais: alumínio - �௙௘௥௥௢= ͺͲ,ʹ �௠ � ; cobre - �௖௢௕௥௘ = ͵ͻͲ �௠ � 
Temperatura no fundo do lado em contato com a água: �ଶ = ͳͳͲ°� 
 
Desenho esquemático: 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Problema unidimensional 
 
 
 
 
Solução: 
Da lei de Fourier: � = −�� ݀�݀ݔ = −�� ሺ�ଵ − �ଶሻ݁ 
Sabendo que � = ͸ͲͲ�, e que � = ��24 = ͵,ͳͶ ∗ ሺ଴,ଶ ௠ ሻ24 = Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ �ଵ = �݁�� + �ଶ 
Para o ferro fundido: �ଵ = ͸ͲͲ � ∗ Ͳ,ͲͲͷ �ͺͲ,ʹ �� � ∗ Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ + ͳͳͲ = ͳͳͳ,ͻ°� 
Para o cobre: 
 �ଵ = ͸ͲͲ � ∗ Ͳ,ͲͲͷ �͵ͻͲ �� � ∗ Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ + ͳͳͲ = ͳͳͲ,ʹͷ°� 
Note-se que devido à condutividade do cobre ser maior do que a do alumínio a diferença de 
temperatura entre T1 e T2 são menores. 
 
1.2 Uma caixa de transmissão, medindo w=0,3 m de lado, recebe uma entrada de potência de 
Pent=150 HP fornecida por um motor elétrico. Sendo a eficiência de transmissão η=0,93; com o 
escoamento do ar caracterizado por T∞=30ºC e 
h = 200 W/(m2K). Nessas condições, pede-se 
qual é a temperatura superficial da caixa de 
transmissão? Dados do problema: 
Dimensões do cubo ݓ = Ͳ,͵ � 
Quantidade de faces exposta: 6 
Potência de entrada: �௘௡௧ = ͳͷͲ �� 
Rendimento da caixa de transmissão: � = Ͳ,ͻ͵ 
Temperatura do ar: �∞ = ͵Ͳ°� 
e 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
11 
Conversão de unidade: ͳ �� = ͹Ͷ͸ � 
 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Coeficiente convectivo e temperatura na superfície uniforme 
3. Transferência de calor por radiação desprezível 
Solução: 
 � = ͸ ݓଶ 
Da lei de resfriamento de Newton: � = ℎ � ሺ�௦ − �∞ሻ = ͸ ℎ ݓଶ ሺ�௦ − �∞ሻ 
A potência transmitida é dada por �௧ = �௘௡௧ �. Logo, a parte não foi transmitida se 
transformou em um fluxo de calor que pode ser obtido por: � = �௘௡௧ሺͳ − �ሻ = ͳͷͲ �� ͹Ͷ͸ ��� ሺͳ − Ͳ,ͻ͵ሻ = ͹ͺ͵͵ � 
Igualando ambos obtemos a temperatura da superfície: �௦ = �∞ + �͸ ℎ ݓଶ = ͵Ͳ°� + ͹ͺ͵͵ �͸ ∗ ʹͲͲ �� � ሺͲ,͵ �ሻଶ = ͳͲʹ,ͷ°� 
 
1.3 Considere a caixa de transmissão do problema anterior, mas agora permita a troca por 
radiação com a sua vizinhança, que pode ser aproximada por um grande envoltório a Tviz 
=30ºC. Sendo a emissividade da superfície da caixa a ε=0,8, qual é a sua temperatura? 
 
Dados do problema: 
Dimensões do cubo ݓ = Ͳ,͵ � 
Quantidade de faces exposta: 6 
Potência de entrada: �௘௡௧ = ͳͷͲ �� 
Rendimento da caixa de transmissão: � = Ͳ,ͻ͵ 
Temperatura do ar: �∞ = ͵Ͳ°� 
 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Coeficiente convectivo e 
temperatura na superfície 
uniforme 
3. Transferência de calor por 
radiação com a vizinhança 
Solução: 
Aproveitando a solução do exercício anterior: � = ͹ͺ͵͵ � e � = ͸ ݓଶ 
A transferência de calor se dá por convecção e radiação, fazendo um balanço de energia para 
regime permanente temos que: �௘௡௧௥௔ − �௦௔í = Ͳ 
Sendo que: �௦௔� = �[ ℎሺ�௦ − �∞ሻ + ��(�௦4 − ����4 )] 
 
 
 
Igualando a taxa de calor da transmissão temos (nota: as temperaturas têm que ser absolutas: 
 
 ͹ͺ͵͵ � = ͸ ሺͲ,͵Ͳሻଶ [ʹͲͲ ሺ�௦ − ͵Ͳ͵ሻ + Ͳ,ͺ ∗ ͷ,͸͹ ∗ ͳͲ−8ሺ�௦4 − ͵Ͳ͵4ሻ] 
 
 
 
Radiação Convecção 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
12 
Após tentativa e erro, obtém-se: �௦ ≈ ͵͹͵ � = ͳͲͲ°� 
 
Notamos que para a temperatura �௦ ≈ ͵͹͵ � , a �௖௢௡� ≈ ͹ͷ͸Ͳ � e �௥௔ௗ = ʹ͸͹ �, ou seja, a 
transferência de calor por convecção é predominante. E como vimos no exercício anterior, se 
desprezarmos a radiação a temperatura da superfície será de �௦ = ͳͲʹ,ͷ°�. 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
13 
AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR 
 
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k 
 
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente 
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão: 
 
x
Tkq 

 , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a 
condutividade térmica do material. 
 
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são: 
 
      x
TA
qk    
m
C
m
Wk
o
2

   
Cm
Wk
o ou Km
W
.
 
 
Sendo: 
k: condutividade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de 
forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de 
apêndice do livro-texto. 
 
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k 
isolante
x
A
Resistência 
elétrica
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
i
Pontos de medição de 
temperatura
 
q 
A 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
14 
 
 
No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica 
enrolada em torno da haste do bastão. O fluxo de calor gerado por efeito joule vai ser 
conduzido da haste para o bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de 
temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de 
temperaturas ao longo de bastão, como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente 
falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo 
de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq  2 . 
Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a 
condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso, 
x
TA
qk

 . 
 
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é 
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os 
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. 
 
Gases 
 
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais 
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a 
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento 
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica 
flui. Pode-se mostrar que. 
 
Tk 
 
 
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados 
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, 
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico. 
 
Líquidos 
 
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos 
líquidos é o mesmo do que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais 
complexa devido à menor mobilidade das moléculas. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
15 
Sólidos 
 
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: 
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais 
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons 
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de 
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente. 
 
O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade 
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de 
gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERALDA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
 
 
 
 
 
 
Balanço de energia em um 
volume de controle elementar 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
16 
BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) 
 
 
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de 
calor que calor de variação calor que 
entra no + gerada = da energia + deixa o 
 V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. 
 
 (I) (II) (III) (IV) 
 
 
Sejam os termos: 
 
(I) Fluxo de calor que entra no V.C. 
 
Direção x 
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx 

 - 
 
Direção y 
y
Tdzdxkq yy 
 
y
Tdzdxkq yy 
 Direção z y
Tdydxkq zz 
 
 
 
 
(II) Taxa de calor gerado 
 
dz q '''G  dydxEG 
 
onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume.  3mW 
 
(III) Taxa temporal de variação da energia interna 
 
t
T
cdzdydx
t
u
m
t
UEar 


 
 
 
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade. 
CkgkJ o/
 
 
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor: 
 
Direção x: xd
x
q
qq xxdxx 
 )(0 2dxdx
x
q
qq xxdxx 
 
 
Direção y: 
 dyy
q
qq yydyy 
 
z
Tdydxkq zz 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
17 
Direção z: 
 dz
z
q
qq zzdzz 
 
 
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem: 
 
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
q
t
T
cdxdydzdxdydzqqqq zz
y
y
x
xGzyx 



  ''' 
 + ordem superior 
simplificando os termos zyx qqq e , , vem: 
 
, 
''' dz
z
qdy
y
q
dx
x
q
t
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 



  
 
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor, 
 
 
dxdydzk
z
dxdydzk
y
dxdydzk
xt
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 
z
T
 
y
T
 
x
T
 
''' 


















 
 
Dividindo ambos os lados pelo volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: 
 
 
 
 
 
 
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução analítica para 
todos os casos e geometrias, porque se trata de um problema que depende das condições 
inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que 
dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) que perfazem as 
condições de contorno e inicial. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: 
),,,( tzyxTT  . A seguir são apresentados alguns casos básicos. 
 
Casos: 
 
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe 
de T) 
 
kkkk zyx  
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T '''g
T







1
2
2
2
2
2
2
2
   
 
onde, 
t
T
 
z
T
 
y
T
 
x
T
"'




















cqk
z
k
y
k
x
Gzyx  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
18 
 

= c
k
 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é: 
      s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3










  
 
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
onde: 
2
2
2
2
2
2
2
zyx 



 é o operador matemático chamado de Laplaciano no 
sistema cartesiano de coordenadas. 
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois, 
embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a 
formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado. 
Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o 
Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo, 
 
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr 







  
 
- Esférico: 2
2
222
2
2
2
 
sen 
1
 sen 
sen 
11
 













rrr
r
rr
 
 
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq 
 
 
 (Eq. de Fourier) 
 
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0

t
T
 
 
 
 (Eq. de Poisson) 
 
 
D) Regime permanente e k constante e uniforme 
 
 (Eq. de Laplace) 
 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
 
12
t
TT 
 
 
0
'''
2 
k
qT G
02  T
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
19 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
2.1 Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica de 100 W/m 
K. Supondo a manutenção de condições de regime permanente, com T1 = 400 K e T2 = 600 K, 
determine o fluxo de calor q”x e o gradiente de temperatura dT/dx para os sistemas de 
coordenadas mostrados. 
 
Dados do problema: 
T1 = 400 K ; T2 = 600 K ; k= 100 W/ 
m K ; L=100 mm. 
 
Hipóteses: 
1. Transferência de calor 
unidimensional 
2. Propriedades, k é constante 
3. Regime permanente 
4. Sem geração interna de calor 
Solução: 
A equação de transferência de calor: ��′′ = −� ݀�݀� 
O gradiente de temperatura é constante na parede é constante podendo ser representado desta 
forma: ݀�݀� = �ሺܮሻ − �ሺͲሻܮ 
Substituindo os valores numérico no gradiente, temos: 
a) ௗ�ௗ� = �మ−�భ௅ = ሺ଺଴଴−ସ଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = ʹͲͲͲ ܭ/� 
b) ௗ�ௗ� = �భ−�మ௅ = ሺସ଴଴−଺଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = −ʹͲͲͲ ܭ/� 
c) ௗ�ௗ� = �మ−�భ௅ = ሺ଺଴଴−ସ଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = ʹͲͲͲ ܭ/� 
A taxa de calor é calculada utilizando a equação da Lei de Fourier e considerando k= 
100 W/m. 
a) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺ ʹͲͲͲ ௄௠ = −ʹͲͲ ��௠మ 
b) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺሺ−ʹͲͲͲ ௄௠ሻ = +ʹͲͲ ��௠మ 
c) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺ ʹͲͲͲ ௄௠ = −ʹͲͲ ��௠మ 
 
2.2 Condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia interna 
uniforme ocorre em uma parede plana com espessura de 50 mm e uma condutividade 
térmica constante igual a 5 W/ (m K). Nessas condições, a distribuição de temperaturas tem 
a forma T (x)= a +b x +cx2. A superfície em x=0 está a uma temperatura T(0) = T0 =120°C. 
Nessa superfície, há convecção com um fluido a T∞ = 20°C com h = 500 W/(m2 K). A 
superfície em x=L é isolada termicamente. 
(a) utilizando um balanço de energia global na parede, calcule a taxa de geração interna de 
energia utilizando um balanço de energia na parede, calcule a taxa de geração interna de 
energia. 
(b) determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno na distribuição de 
temperaturas especificada. Use os resultados para calcular e representar graficamentea 
distribuição de temperatura. 
Desenho esquemático: 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
20 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Propriedades constantes e geração interna de calor constante 
4. Condição de contorno, x=L é adiabático 
 
Solução: 
(a) a geração interna de energia pode ser obtida pelo balanço de energia na parede �̇௘௡௧′′ − �̇௦௔í′′ + �̇�′′ =0 onde �̇௦௔í′′ = �௖௢௡�′′ 
Substituindo temos: ℎሺ�∞ − �଴ሻ + �̇ܮ = Ͳ 
sendo �̇ = −ℎ ሺ�∞−�బሻ௅ = −5ͲͲ �௠మ௄ ሺଶ଴−ଵଶ଴ሻ°�଴,଴ହ଴ ௠ = ͳ,ͲܺͳͲ଺ �௠య 
 
b) aplicando as condições de contorno podemos obter os coeficientes a, b e c da equação de 
distribuição de temperatura. 
 
Condição de contorno 1: quando x= 0, convecção na superfície. �̇௘௡௧′′ − �̇௦௔í′′ = �௖௢௡�′′ − ��′′ሺͲሻ = Ͳ o qual, ��′′ሺͲሻ = −� ௗ�ௗ�)�=଴ 
Substituindo ��′′ሺͲሻ(distribuição de temperatura), ℎሺ�∞ − �଴ሻ − [−�ሺͲ + ܾ + ʹܿ�ሻ�=଴] = Ͳ , assim obtemos o coeficiente b: ܾ = − ℎሺ�∞ − �଴ሻ� = −5ͲͲ �ܹଶܭ ሺʹͲ − ͳʹͲሻ°� ͳ5 �ܹܭ = ͳ,ͲܺͳͲସ ܭ� 
 
Condição de contorno 2: x=L, parede adiabática ou superfície isolada �̇௘௡௧ − �̇௦௔� = −��′′ሺܮሻ = Ͳ onde, ��′′ሺܮሻ = −� ௗ�ௗ�)�=௅ �[−Ͳ + ܾ + ʹܿ�]�=௅ = Ͳ assim obtemos c, ܿ = − ௕ଶ௅ = −ͳ,ͲܺͳͲସ ௄௠ ଵଶሺ଴,଴ହ଴௠ሻ = −ͳ,ͲܺͳͲହ ௄௠మ 
 
Desde que a temperatura em x=0 é conhecida, T(0)=T0 =120°C, obtemos: 
 �ሺͲሻ = ͳʹͲ°� = ܽ + ܾ Ͳ + ܿ Ͳ ou a =120°C obtendo o perfil de temperatura 
 �ሺ�ሻ = ͳʹͲ°� + ͳ,ͲܺͳͲସ ܭ� � − ͳ,ͲܺͳͲହ ܭ�ଶ �ଶ 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
21 
AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA 
 
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o 
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e 
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado 
na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a 
uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se 
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de 
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da 
parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2. 
 
 
 
 
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida 
na aula anterior, isto é: 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
Introduzindo as simplificações do problema, vem: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0

t
T
 
 iii. Unidimensional (1D): 
 1
 2
2
2
x

 
 
Assim, com essas condições, vem que 02
2
x
Td
, e a solução procurada é do tipo T(x). 
 
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx
dT
 
Logo, substituindo na equação, vem que 0dx
d
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
22 
Integrando por separação de variáveis vem: 
 
  1Cd , ou seja: 1C 
 
Mas, como foi definido 
dx
dT  1Cdx
dT  
Integrando a equação mais uma vez, vem: 
 
21)( CxCxT  Que é a equação de uma reta, como já antecipado. 
 
Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse 
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos 
matemáticos isso quer dizer que 
 
(A) em x = 0  1TT  
(B) e em x = L  2TT  
 
De (A): 12 TC  
e de (B): 112 TLCT   L
TTC 121
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT  , como mostrado na figura abaixo. 
 
Cálculo do fluxo de calor transferido através da 
parede 
. 
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por: 
dx
dTkq 
 
e, substituindo a distribuição de temperaturas, 
vem: 
   
L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12112


  , ou, 
em termos de fluxo de calor por unidade de área, 
temos: 
   
 mW 212''
L
TTkqq  
 
Esquecendo o sinal de (-), já que sabemos a direção do fluxo de calor, vem 
 
 
 
 
 
112 )()( TL
xTTxT  
L
Tkq ''
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
23 
 
Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: 
 
 Aumentar o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é, com k 
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L 
 
Ou diminuir o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material isolante térmico k 
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L 
 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO. 
 
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica 
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua 
aplicação é para tubos cilíndricos. 
 
 
A equação geral é da forma 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
 
 
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em 
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é: 
 
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr
G











111 '''
2
2
2
2
2 
 
Introduzindo as simplificações: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0

t
T
 
 iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou 
 seja, T não depende de z, logo 02
2


z
T
 
 iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2



T
 
 
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na 
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em: 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
24 
0


dr
dT
r
dr
d
, onde a solução procurada é do tipo )(rTT  
 
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são: 
 
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr  
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é: 
ee TTrr  
 
Solução: 
 
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em: 
 
  10 Cdrdrdr
dT
rd  1Cdr
dT
r 
 
 
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem: 
 
   21 CrdrCdT 
 
 
 
 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não 
linear como no caso da parede plana. 
 
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno: 
 
(A) ii TTrr   21 )ln( CrCT ii  
 
(B) ee TTrr   21 ) ln( CrCT ee  
 
Fazendo-se (A) – (B), temos que 
e
i
1
r
rln CTT ei  , ou 
e
i
1
r
rln
 
ei TTC  
 
Finalmente, na eq. da distribuição detemperaturas: 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de temperatura, supondo ei TT  . 
 
  21 )ln( CrCrT  
  eei TTTrT 
e
e
i r
rln
r
r
ln
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
25 
Te 
Ti 
re ri 
raio 
Lei logarítmica 
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq 
 
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da 
seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo. 
 
 rLA 2 (área da casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo 
 
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier, 
21 )ln()( CrCrT  , vem: 
 
 ])ln([2 21 CrCdr
d
rLkq   
 ou, efetuando a derivação, temos: 
 
r
kLrCq 12 1 
 ou, ainda: 12 kLCq  
 
Substituindo, 1C : 
 





e
i
r
rln
2 ie TTkLq 
 (W) 
 
 
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas! 
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área, ''q , depende da posição radial 
 





e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
qq
ln
)(
2
2
''


 
 





e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)(
''
  2mW 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
26 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, 
Çengel. 
3.1. Considere que a base do ferro de passar roupa doméstico possui uma espessura de L 
= 0,5 cm, e uma área de A = 300 cm2, o material de ferro com condutividade térmica, k 
= 15 W/m. A superfície interna da placa é aquecida por uma resistência de 1200 W e a 
superfície externa ocorre uma transferência de calor por convecção a vizinhança com T∞ 
= 20°C como apresentado na figura abaixo. Considerando um coeficiente de 
transferência de calor por convecção, h = 80 W/m2°C, e que a transferência de calor por 
radiação é desprezível, determine a distribuição de temperatura ao longo da placa e a 
temperatura da superfície interna e externa. 
Hipóteses: 
Estado estacionário 
A condução e calor é unidimensional 
As propriedades físicas constantes 
Sem geração interna de energia 
 A isolação térmica na superfície interna é 
perfeitamente adiabático 
Dados do problema: 
h = 80 W/m2°C ; L = 0,5 cm ; A = 300 cm2; T∞ = 20°C ; k 
= 15 W/m 
 
 
Solução: O fluxo de calor na superfície interna é dada por, ̇ݍ଴ = �బ̇�್ೌೞ� = ଵଶ଴଴ �଴,଴ଷ �మ = ͶͲͲͲͲ ��మ. 
A partir da equação de difusão do calor e as hipóteses admitida obtemos a equação diferencial 
abaixo: ݀ଶ�݀�ଶ = Ͳ 
Integrando a equação acima duas vezes obtemos o perfil de temperatura: ௗ�ௗ� = �ଵ . Integrando mais uma vez obtemos, �ሺ�ሻ = �ଵ� + �ଶ . C1 e C2 são as constantes de 
integração e são obtidas aplicando as condições de contorno. 
Condição de contorno 1: Na superfície interna, � = Ͳ, −� ௗ�ௗ�|�=଴ = ̇ݍ଴ , o que indica que −��ଵ = ̇ݍ଴ e �ଵ = − ௤̇బ� 
Condição de contorno 2: Na superfície externa, � = ܮ, �ሺܮሻ = �ଵܮ + �ଶ e −� ௗ�ௗ� = ℎ[�ሺܮሻ − �∞] → −��ଵ = ℎ[ሺ�ଵܮ + �ଶሻ − �∞] 
Substituindo �ଵ = − ̇ݍͲ� e resolvendo para obter C2, temos: �ଶ = �∞ + ௤̇బℎ + ௤̇బ� ܮ . Substituindo 
as constantes no perfil de temperatura obtemos: 
 �ሺ�ሻ = �∞ + ̇ݍ଴ (ܮ − �� + ͳℎ ) 
Aplicando os valores na equação acima para � = Ͳ e � = Ͳ,ͷ ܿ� encontramos a 
temperatura da superfície interna e externa respectivamente. 
�ሺͲሻ = ʹͲ°� + ͶͲͲͲͲͲ ��ଶܭ( 
 Ͳ,ͲͲͷ �ͳͷ ��°� + ͳͺͲ ��ଶ°�) 
 = ͷ͵͵°� 
�ሺܮሻ = ʹͲ°� + ቌͶͲͲͲͲ��ଶͺͲ ��ଶ°� ቍ = ͷʹͲ°� 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
27 
3.2. Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento, L=20 
m; raio interno r1= 6 cm; raio externo r2=8 cm; e condutividade térmica, k= 20W/m°C. A 
temperatura média da superfície interna e externa, T1=150°C e T2=60°C, são mantidas 
constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de 
calor do vapor por meio da parede do tubo. 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução de calor unidimensional 
3. As propriedades físicas 
4. Sem geração calor 
Solução: Da equação de difusão de calor para 
coordenada cilíndrica, ݀݀ݎ (ݎ ݀�݀ݎ) = Ͳ 
Integrando uma vez temos, ݎ ௗ�ௗ௥ = ܿଵ e integrando mais 
uma vez obtemos o perfil de temperatura: �ሺݎሻ = �ଵ ln ݎ + �ଶ 
Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes, 
C.C 1: ݎ = ݎଵ �ሺݎଵሻ = �ଵ = ͳͷͲ°� → �ଵ = �ଵ ln ݎଵ + �ଶ →�ଵ = �మ−�భln ሺೝమೝభሻ 
C.C 2: ݎ = ݎଶ �ሺݎଶሻ = �ଶ = ͸Ͳ°� → �ଶ = �ଵ ln ݎଶ + �ଶ →�ଶ = �ଵ − �మ−�భlnቀೝమೝభቁ ln ሺݎଵሻ 
Substituindo as constantes no perfil de temperatura obtemos: � ሺݎሻ = ቌln ቀ ݎݎଵቁln ቀݎଶݎଵቁቍሺ�ଶ − �ଵሻ + �ଵ 
A taxa de calor do vapor é determinada utilizando a lei de Fourier, �̇௖ = −��݀�݀ݎ = −�ሺʹ�ݎܮሻ�ଵݎ = −ʹ��ܮ�ଵ = ʹ��ܮ �ଵ − �ଶln ሺݎଶݎଵሻ 
Substituindo os valores numéricos obtemos: �̇ = ʹ� (ʹͲ ��°�) ሺʹͲ �ሻ ሺͳͷͲ − ͸Ͳሻ°�ln ሺͲ,ͲͺͲ,Ͳ͸ሻ = ͹ͺ͸ �� 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
28 
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS 
 
 
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes 
compostas. 
 
 
 
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o 
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as 
seguintes equações: 
 
- parede 1: 
1
21
1
)(
L
TTAkq   
Ak
qL
TT
1
1
21  
 
- parede 2: 
2
32
2
)(
L
TTAkq   
Ak
qLTT
2
2
32  
 
- parede 3: 
3
43
3
)(
L
TTAkq   
Ak
qLTT
3
3
43  
 
Assim, somando os termos _____________ 
de todas as paredes: 
Ak
L
qTT
i
i 41 
ou, simplesmente, 
 
R
Tq  
 
onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a 
resistência térmica da parede composta, dada por 
Ak
L
R
i
i 
 
ANALOGIA ELÉTRICA 
 
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos 
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: 
qi  
TU  
TÉRMICOÔHMICO RR  
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
29 
 
 
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de 
paredes podem ser resolvidas. 
 
 
 
 
Circuito elétrico equivalente 
 
 
Fluxo de calor que é: 
T
total
R
Tq  
5//1 RRRRT  
com 
432//
1111
RRRR
 
 
 
Resistência térmica de contato 
 
Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede 
composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, �௧,஼" , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, 
como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará 
por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através 
do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode 
estarpresente. 
 
 
 
q 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
30 
 
 A resistência térmica de contato é dada por 
 �௧,஼" = �஺ − �஻��" 
 
Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do 
Incropera, reproduzida a seguir. 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR 
 
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. 
 
Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 
 
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule) 
 
2RIP  (W) 
 
Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W) 
R : resistência ôhmica ( ) 
I : corrente elétrica (A) 
 
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) 
 UIP  ou 
R
UP
2
 
 
Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW , V
PqG ''' (W/m3), onde V : volume onde o 
calor é gerado. 
 
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por 
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma 
reação endotérmica, 0''' Gq . 
 
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
31 
Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). 
 
Esse é o caso de resistências elétricas planas. 
 
 Lb  
T1
T2
2
L
2
b
i
 
 
 
 
 
Equação geral 
 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2 , sendo que 0

t
T
 (regime permanente) 
 0
'''
2 
k
qT G )(xTT  
 
Condições de contorno: 
 
(1) Lx  1TT  
 
(2) Lx  2TT  
 
 
Solução 
 Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): 
dx
dT , 
Então 
k
q
dx
d G
''' 
 
Integrando essa equação por partes, vem: 
 
  1
'''
Cdx
k
qd G , mas como 1
'''
 então , Cx
k
q
dx
dT
dx
dT G  
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
32 
 
Integrando novamente: 
 
 
 
 
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas. 
 
 Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e, 
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é 
negativa  parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, 
se '''Gq for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas 
resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para 
cima. 
 
Determinação das constantes 1C e 2C : 
 
Condições de contorno 
 
(1) 
21
2'''
1 2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face esquerda conhecida 
(2) 
21
2'''
2 2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face direita conhecida 
 
Somando (1)+(2), vem: 
 
 
2
2'''
21 2Ck
Lq
TT G   
k
LqTTC G
22
2'''
21
2  . 
 
Substituindo em (1) ou (2), tem-se 
L
TTC
2
12
1
 
 
Então, a distribuição final de temperaturas é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CASOS: 
 
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma 
temperatura: STTT  21 . Daí, resulta que: 
 
 
 
21
2'''
2
)( CxC
k
xq
xT G  
22
)(
2
)()( 2112
22''' TT
L
xTT
k
xLq
xT G
 
S
G T
k
xLq
xT 
2
)()(
22'''
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
33 
 
 
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, 
ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco 
comum de uma reação endotérmica, ou '''Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo 
e, no plano central, haveria a mínima temperatura. 
 
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0
dx
dT
 
 S
G
CMÁX Tk
LqTT 
2
2'''
 
 
O fluxo de calor (lei de Fourier) 
 
dx
dTkAq  ou, o fluxo de calor por unidade de área, 
 
dx
dTk
A
qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem: 
 
 


  S
'''
G'' T
k
)xL(q
dx
dkq
2
22
, 
 
ou, simplesmente: 
 
 
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das 
condições de contorno. 
 
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q 
 
 
 
 
 
 (B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo, 
21 TT  , como ilustrado abaixo a seguir. 
'''''
Gxqq  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
34 
 
 
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) 
 
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx : 
 
0
máxx
dx
dTk ou 
 
 0
22
)()(
2
21
12
22
'''


  TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em: 
 
0
2
)( 12''' 
L
TT
x
k
q
máx
G
 
 
 
Cuja solução é: 
 
 
 
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se 
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso! 
 
 
PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer 
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. 
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não 
sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula? 
 
 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
4.1. O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre sua 
superfície interna. 
(a) Se o ar quente está a T∞,i = 40°C e o coeficiente de convecção correspondente é a hi = 30 
W/(m2 K), quais as temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro de 4 
mm de espessura se a temperatura do ar ambiente é T∞,e = -10°C e o coeficiente de convecção 
associado é he = 65 W/(m2 K)? 
'''
12
2
)(
G
máx Lq
kTT
x
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
35 
Diagrama esquemático do problema: 
 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. A transferência de calor por radiação é desprezível 
4. As propriedades físicas são constantes 
Solução: (a) O fluxo pode ser obtido por: �′′ = �∞,ଵ − �∞,ଶ�௧�௧ = �∞,� − �∞,଴ͳℎ଴ + ܮ� + ͳℎ� = ͶͲ°� − ሺ−ͳͲ°�ሻͳ͸ͷ �ܹଶܭ + Ͳ,ͲͲͶ �ͳ,Ͷ �ܹ ܭ + ͳ͵Ͳ �ܹଶ ܭ = ͷͲ°�ሺͲ,ͲͳͷͶ + Ͳ,ͲͲʹͻ + Ͳ,Ͳ͵͵͵ሻ�ଶ ܭ/ܹ = ͻ͸ͺ �ܹଶ 
Se o fluxo de calor �′′ = ℎ�(�∞,� − �∞,଴), a temperatura da superfície é: �௦,� = �∞,� − �′′ℎ� = ͶͲ°� − ଽ଺଼ ��మଷ଴ ��మ� = ͹,͹°� 
Da mesma forma obtemos para a temperatura da superfície externa: �௦,଴ = �∞,଴ − �′′ℎ� = −ͳͲ°� − ଽ଺଼ ��మ଺ହ ��మ� = Ͷ,ͻ°C 
 
4.2.Uma parede plana de espessura 0,1 m e condutividade térmica k = 25 W/(m K) com geração 
volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3 é isolada de um lado enquanto o outro lado é 
expostoa um fluido a 92°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a 
parede e o fluido é 500W/(m2 K). Determine a temperatura máxima da parede. 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Geração de energia uniforme no 
volume 
4. A superfície interna é adiabática 
 
 
Solução: A equação do perfil de temperatura é para parede plana é dado por; �ሺ�ሻ = �ଵ� + �ଶ 
Como a parede interna é adiabática, a temperatura no ponto � = Ͳ, é a temperatura máxima na 
parede que pode ser obtido com a equação: �଴ = �̇�మଶ� + �௦ 
A temperatura externa pode obtida por: �௦ = �∞ + �̇ܮℎ = ͻʹ°� + Ͳ,͵ܺͳͲ଺ �ܹଷ Ͳ,ͳ �ͷͲͲ �ܹଶܭ = ͻʹ + ͸Ͳ = ͳͷʹ°� 
Consequentemente obtemos: �଴ = Ͳ,͵ܺͳͲ଺ ௐ�య ሺ଴,ଵ � ሻమଶ௑ଶହ ��� + ͳͷʹ°� = ͸Ͳ + ͳͷʹ = ʹͳʹ°� 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
36 
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE 
GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna 
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de 
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule 
devido à passagem de corrente elétrica em fios 
elétricos, como indicado na figura ao lado. 
 
Partindo da equação geral da condução de calor: 
 t
T
k
q
T
'''
G

 
12
 (Regime permanente) 
 
Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: 
 
 2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T









  
 
Hipóteses adicionais 
- simetria radial: 02
2


 (não há influência da posição angular numa seção 
 transversal, pois há simetria radial) 
- o tubo é muito longo: 02
2


z
 (não há efeitos de borda na direção axial) 
 
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou 
seja, )(rTT  
 
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem: 
 
01
'''



k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
 
 
Ou, integrando por partes: 
 
1
'''
Crdr
k
q
dr
dT
rd G 

  , ou, ainda: 1
2'''
2
C
k
rq
dr
dT
r G  
 
Integrando novamente por separação de variáveis: 
 
2
1
'''
2
Cdr
r
C
r
k
qdT G 


   
 
 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
37 
*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: 
 
(1) STrrT  )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida 
(2) 0
0

rdr
dT
 simetria radial na linha central 
 
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, 
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha. 
 
Da segunda condição de contorno, vem que: 
 
0
2
lim 1
'''
0


  r
C
k
rqG
r
 
 
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula. 
Da primeira condição de contorno. 
 
2
2'''
4
C
k
rq
T GS  ou, k
rqTC GS 4
2
0
'''
2  
 
Finalmente, a equação da condução de calor fica: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) ! 
 
 
 
Sendo, SGmáx Tk
rqT 
4
2
0
'''
 
 
 
 
 
 
 
 
  SG TrrkqT  220
'''
4
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
38 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado 
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT . 
 
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''Gq uniforme. 
a) calcule a distribuição de temperaturas; 
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); 
c) determine a temperatura da superfície externa. 
 
 
 
Solução: 
 
Hipóteses: as mesmas que as anteriores. 
 
Eq. 01
'''



k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
 
 
Condições de contorno: 
 
 (1) ii TrrT  )( (temperatura interna constante) 
 
 
(2) 0
erdr
dT
 (fluxo de calor nulo na superfície) 
 
A solução geral, como já visto, é: 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
 
Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico: 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
39 
i
ie
ieG T
r
r
r
rr
k
rq
rT 






 ln2
4
)( 2
222'''
 
k
rq
C eG
2
2'''
1  ; 


 


 )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieG
i r
r
r
k
rqTC 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é: 
 
dr
dTkAq  
 
 
)()2( rT
dr
d
rLkq  
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem: 
 
 22''' ieG rrqLq   (W/m) 
 
A temperatura máxima é: 
 
emáx TT  
 
i
i
e
e
eieG
emáx T
r
r
r
rr
k
rq
TT 





 ln2
4 2
222'''
 
 
 
 
 
 
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada 
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de 
transferência de calor vale CmkW o2/10 . 
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua 
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
40 
CT oc 267 
 
Solução: 
 
 
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume. 
R
URiP
2
2 
 ; 
A
LR  
m 81070 
mL 3,0 , 26
232
100425,8
4
)102,3(
4
m
DA 

 
 

 

2
6
8
106111,2
100425,8
3,01070R 
kWP 830,3
106111,2
100
2   
3,0100425,8
1083,31083,3
6
33


 LAV
PqG 
3
910587,1
m
WqG  
hA
PTTTThAP PP   )( 
3,0)102,3(1010
1083,395 33
3

 PT 
CT oP 222 
k
rq
TT oGPc 4
2
 
5,224
)106,1(10587,1222
239



cT 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
41 
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações 
 
 
 
- paredes planas 
 
 
R
TTq 21  
kA
LR  
 
 
- circuito elétrico 
 
 
 
 
- paredes compostas 
 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Ainda, 
 
 
 
 
onde 
432//
1111
RRRR

 
5//1 RRRREQ  
EQR
TTq 21 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
42 
- Tubo cilíndrico 
 
 
R
TTq ei  ;kL
r
r
R i
e
2
ln 


 
 
 
 
- Tubo cilíndrico composto 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
ieq RR  
 
 
 
 
 
 
 
Para dois tubos: 
 
Lk
r
r
R
1
1
2
1 2
ln





 
Lk
r
r
R
2
2
3
2 2
ln





 
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 





 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
43 
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? 
 
 
 
Lei de convecção (Newton) 
 
)(  TThAq p e 
hA
TT
q p 1

 
onde, 
hA
1
 é a resistência térmica de convecção 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes: 
 
 
 
 
 
 
- Convecção em tubo cilíndrico 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
44 
 
Tabela-resumo de Resistências Térmicas 
 
 Circuito Elétrico 
Fluxo de 
Transferência 
de calor 
Resistências Térmicas 
Parede plana 
 
 
 
 
R
TTq 21  
kA
LR  
Parede plana com 
convecção 
 
 R
TTq 21   
321 RRRR 
AhkA
L
Ah
R
21
11  
 
 
Paredes compostas 
 
 
EQR
TTq 21 
 
5//1 RRRREQ 
432//
1111
RRRR

 
Tubo cilíndrico 
 
 
R
TTq ei  
kL
r
r
R i
e
2
ln 


 
Tubo cilíndrico 
composto 
 
 
eq
ei
R
TT
q
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 





 
Convecção externa 
em tubo cilíndrico 
 
 
eq
ei
R
TT
q
 
hAkL
r
r
R i
e
eq
1
2
ln




  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
45 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U 
 
O coeficiente global de transferência de calor é definido por: 
 
totalTUAq  
 
 
Claramente, U está associado com a resistência térmica, 
 
 
- parede plana 
 
AhkA
L
Ah
R
21
11 
 
 
TUA
R
Tq  
 
R
UA 1 ou 
RA
U 1 
Logo, 
 
21
11
1
hk
L
h
U

 
 
- tubo cilíndrico 
 
 
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à 
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são 
intercambiáveis mediante a seguinte expressão: 
 
totaliitotalee TAUTAU  
 
Logo, iiee AUAU  
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
46 
U referido à área externa: 
  
e
r
r
e
e
hkL
A
U
i
e 1
2
ln
1



 
U referido à área interna: 
 
  
ee
ir
r
i
i
hA
A
kL
A
U
i
e


2
ln
1
 
 
 
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO 
 
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio 
ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em 
custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e 
simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais 
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta 
operação. 
Como visto, o fluxo de calor é 
 
  
hLrkL
TTq
e
r
r
i
i
e
 2
1
2
ln 
  
 
ou,  
hrk
TTL
q
e
r
r
i
i
e 1ln
)(2

  
 
 
Note que o raio externo que aparece no 
denominador dessa expressão tem duas 
contribuições: uma no termo de condução e a 
outra no termo de convecção. De forma que, se 
o raio externo do isolamento aumentar, ele 
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência 
térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um 
ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre 
quando a derivada é nula, isto é, 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
47 
h
k
rcrit  
 
   








 
 
2
.
1
.
1
2
1ln
)(20
e
rherk
hrk
TTL
dr
dq
e
r
r
i
e
i
e

 
 
Assim, 
 2
11
ee hrkr

  
 
critr é o chamado raio crítico de isolamento. 
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que 
h
k
 a transferência de calor 
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio 
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao 
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de 
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão 
de fato diminuir a perda de calor. 
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por 
convecção de h = 
Cm
W
o27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos 
de isolamento para alguns isolantes térmicos. 
 
material  CmW ok critr (mm) 
Teflon 0,350 50,0 
Papel 0,180 25,7 
Couro 0,159 22,7 
Borracha macia 0,130 18,6 
Silicato de cálcio 0,055 7,9 
Lã de vidro 0,038 5,4 
Poliestireno expandido 0,027 3,9 
Folhas de papel e alumínio de 
vidro laminado 0,000017 0,0024 
 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, 
Çengel 
5.1 Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante de plástico, espessura de 
2 mm e condutividade térmica, k = 0,15 W/m°C. Medições elétricas indicam que passa uma 
corrente de 10 A pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V. O isolamento de plástico 
fica exposto ao ar com T∞ = 30°C e o coeficiente de transferência de calor, h = 12W/m2°C. 
Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolante em operação de regime 
permanente, e determine o raio crítico. 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
48 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. A condução de calor unidimensional 
3. As propriedades físicas constantes 
4. A resistência de contato entre fio e o isolante é desprezível 
5. A transferência de calor por radiação está incluída no 
coeficiente de transferência de calor 
Solução: A taxa de transferência de calor do fio para o isolante é 
igual a taxa de geração de calor produzido devido à resistência, 
assim podemos obter: 
 ܳ̇ = ܹ̇� = ܸ � = ሺͺ ܸሻሺͳͲ �ሻ = ͺͲܹ 
A área da superfície externa, �ଶ = ሺʹ � �ଶሻ� =ʹ �ሺͲ,ͲͲ͵ͷ �ሻሺͷ �ሻ = Ͳ,ͳͳͲ �ଶ 
E as resistências apresentadas são dados por: ܴ�௢௡� = ͳℎ�ଶ = ͳሺͳʹ �ܹଶ°�ሻሺͲ,ͳͳͲ �ଶሻ = Ͳ,͹͸ °�ܹ ܴ௣��௦௧��௢ = ln ሺ�ଶ�ଵሻʹ��� = ln ሺ͵,ͷͳ,ͷሻʹ �ሺͲ,ͳͷ �ܹ°� ሺͷ �ሻ = Ͳ,ͳͺ °�ܹ 
Portanto: ܴ௧௢௧�� = ܴ௣��௦௧��௢ + ܴ�௢௡� = Ͳ,͹͸ + Ͳ,ͳͺ = Ͳ,ͻͶ °�� 
 ܳ̇ = �1−�∞������ → determinando a temperatura na superfície de contato entre o fio e a capa de 
plástico: �ଵ = �∞ + ܴܳ̇௧௢௧�� = ͵Ͳ°� + ሺͺͲܹሻ ቀͲ,ͻͶ °��ቁ = ͳͲͷ°� 
 
Ainda determinamoso raio crítico do isolamento: ��௥ = �ℎ = Ͳ,ͳͷ �ܹ°�ͳʹ �ܹଶ°� = Ͳ,Ͳͳʹͷ � = ͳʹ,ͷ �� 
O raio crítico, rcr , com o aumento da espessura da capa de plástico a taxa de transferência de 
calor aumenta se a temperatura da superfície de contato permanecer constante. Este 
comportamento ocorre até que o raio da capa plástico atinja o raio crítico. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 49 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
Considere uma superfície aquecida (ou resfriada) que se deseja trocar calor com um 
fluido que a envolve que está à temperatura T∞. 
 
 
 
 
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por 
  TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a 
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe). 
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por 
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, 
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o 
fluxo de calor trocado. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato que vai se 
exigir a utilização de equipamentos de maior porte para movimentação do fluido, ou 
seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos). 
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste 
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas 
abaixo. 
 
 
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo 
aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 50 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas: 
 
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do 
“velho” fusca e motores de motocicletas; 
(2) carcaça de motores elétricos; 
(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado; 
(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de computadores; 
(5) orelhas de elefantes. 
 
 
 
 
TIPOS DE ALETAS 
 
A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem 
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao 
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc). 
 
 
 
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) 
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil 
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil 
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado 
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico 
truncado; (i) pino parabólico. 
 
 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 51 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA 
 
 
 
 
Volume de controle 
elementar, C 
 
 
Hipóteses: 
 
- regime permanente; 
- temperatura uniforme na seção transversal; 
- propriedades constantes. 
 
Balanço de energia 
 


























convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
 
 
(I) 
dx
dTkAq xx  
(II) )( 2dxodx
dx
dqqq xxdxx  expansão em série de Taylor 
(III) )TT(hAq Lc  
 )(  TThPdxqc 
 
P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da 
aleta que se encontra em contato com o fluido. 
 
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem: 
 dxTThPdxdx
dx
dq
qq xxx   )( 
0)(  TThPdx
dqx
 
 
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução: 
 
0)( 

 TThPdx
dTA
dx
dk
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 52 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
mxmx ececx  21)( 
Sendo dTdTT    
 
0

 
k
hP
dx
dA
dx
d
 Esta é a equação geral da Aleta 
 
 )(x  que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta; 
)(xAA  que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida). 
 
 
 
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR 
 
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de 
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção 
transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem: 
 
022
2
  m
dx
d
, 
kA
hP
m 2 
 
A solução é do tipo: , 
 
 
Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e 
distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo. 
 
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno: 
 
a1 Condição de Contorno 
 
 




TT
TT
xpara
bb
b
 )0(
)0(
0 
 
0
2
0
1
 ececb 
 
 
 
 
 
bcc  21 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 53 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
LEMBRETE DE CÁLCULO 
 
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes 
 
02
2
 cy
dx
dyb
dx
yd
 
 
Assume-se que nxey  
 
Substituindo essa solução, vem 
 
02  nxnxnx cebneen  nxe 
Daí, obtém-se o polinômio característico 
 
02  cbnn 
 
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos 
 
xnxn
ececy 21 21  
 
Caso 2: 1n e 2n reais iguais 
 
xnxn
xececy 11 21  
 
Caso 3: conjugados complexos 
 qipn 1 ; qipn 2 
 
 )]()cos([ 21 qxsencqxcey px  
 
Onde, 
2
bp  ; 
2
4 2bcq  
 
 
 
 
 
A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme 
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados: 
 
(a) aleta muito longa 
 Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua 
extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de 
vista matemático uma aleta muito longa pode ser 
simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, 
isto é: 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 54 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 



  
x
kA
hP
b
mx
b e
x
ex 
 )()( 
0  ouTTx 
 
Assim, 
   bmxmx
x
ccecec 2121 0lim0   
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é: 
 
 
 
 
 
Ou, substituindo a definição de  , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode 
ser calculado por dois métodos: 
 
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total 
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta) 
 
(2) dxTThPqaleta )(0 
   (o fluxo de calor total transferido é a integral do 
fluxode calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta) 
 
Usando o método (1), vem: 
 
00 

x
b
x
baleta dx
dkA
dx
dTkAq 
 
 
Mas, cteAAb  
 
0
)( 
 
x
mx
b
mx
baleta emkAedx
dkAq 
 
kA
hPkAq baleta  
 hPkAq baleta  ou )(  TThPkAq baleta 
 





 

x
kA
hP
bb
e
TT
T)x(T)x(


 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 55 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 



 

mLmL
mL
b
ee
e
c 1 
Pelo outro método (2): 
 
 dxhPqaleta  0  ; cteP  
 dxehPq mxbaleta   0  
 
  bbmbmxbmxbaleta hPkA
m
hP
e
m
hP
m
ehPdxehPq  



 1limlimlim
0
0



 



  
 
ou, )(  TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior! 
 
 
 
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática 
(finito) 
 Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na 
extremidade da aleta é muito pequena. Portanto, 
admite-se que é adiabático: 
 
 
 
LxLx dx
d
dx
dT

 0 (extremidade adiabática), ou   021  mxmx ececdxd 
 
De onde, se obtém, 
mLmL
mL
b
ee
e
c 

2 
 
Mas como bcc  21 , então: 
 
 
Logo, substituindo na equação, vem: 
mx
c
mLmL
mL
mx
c
mLmL
mL
b
e
ee
e
e
ee
e 


 
21


 
Ou    2/ 2/
)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee





 ou 
  
 mLcosh
)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb

 

 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 56 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
       )mL(senh
mk
hmLcosh
)xL(msenh
mk
h)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb 

 

 
   )mL(senh
mk
h)mLcosh(
)mL(conh
mk
h)mL(senh
)TT(hPkAq b 
 
 
Lembrete de funções hiperbólicas: 
 
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA 
)(xsenh 
2
xx ee 
 
)cosh(x 
)cosh(x 
2
xx ee 
 
)(xsenh tanhሺ�ሻ 
)cosh(
)(
x
xsenh
 
)(sec 2 xh 
 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
O mesmo resultado do caso anterior   

 
 00 cosh
)(cosh
x
b
x
aleta
mL
mxL
dx
dkA
dx
dkAq  
 
)()cosh(
)(
m
mL
mLsenhkA b   
 
)(mLtghmkA b 
)(mLtghhPkAq b 
 
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade 
 
Caso realista. 
Condição de contorno na extremidade: 
 
em 

  

)( TTh
dx
dTkLx L
Lx
 condução na extremidade = convecção 
 
Distribuição de temperaturas 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de calor 
 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 57 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
Tabela Resumo. Distribuição de temperaturas e perda de calor em aletas de seção 
transversal uniforme. 
 
 
Caso 
Condição de 
contorno na 
extremidade ሺ� = �ሻ 
 
Distribuição de Temperatura 
 
Fluxo de Calor 
 
a 
 
Aleta muito 
longa 





 
 xkA
hP
bb
e
TT
TxTx )()(


 
)TT(hPkAq baleta  
 
b 
Extremidade 
adiabática 
 
 mL
xLm
TxT
TxTx
bb cosh
)(cosh
)(
)()( 
 
 )mL(tghhPkA)TT(q b  
 
 
c 
Convecção na 
extremidade 
(caso real) 
       )(cosh )()(cosh)( )()( mLsenh
mk
hmL
xLmsenh
mk
hxLm
TxT
TxTx
bb 

 

 
   )()cosh( )()()( mLsenh
mk
hmL
mLconh
mk
hmLsenh
TThPkAq b 
 
 
� = √ℎ��� 
 
 
 
Comprimento Corrigido de Aleta 
 
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática – 
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da 
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta, 
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples. 
b
t
L t/2
Lc=L+t/2
 
 
2/tLLc  
L t/2
Lc
 
O erro introduzido por 
essa aproximação será 
menor que 8% desde que 
5,0
k
ht
 
 Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
6.1 Tubos de cobre estão fixado à placa absorvedora de um coletor solar plano, conforme 
mostrado na figura. 
A placa absorvedora feita com a liga de alumínio (2024-T6) possui 6 mm de espessura e é 
isolada termicamente na sua superfície interior. Há vácuo no espaço que separa a superfície 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 58 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
superior da placa e a placa de cobertura transparente. Os tubos encontram-se espaçados entre si 
por uma distância L de 0,02 m e água escoa nos tubos para remover a energia coletada. A água 
pode ser suposta estar a uma temperatura uniforme Ta=60°C. Em condições de operação em 
regime estacionário, nas quais o fluxo radiante liquido na superfície absorvedora é de �௥௔ௗ′′ =ͺͲͲ W/m2, quais são a temperatura máxima na placa e taxa de transferência de calor para a água 
por unidade de comprimento do tubo? Note que �௥௔ௗ′′ representa o efeito líquido da absorção da 
radiação solar pela placa absorvedora 
e da troca de radiação entre placa 
absorvedora e a placa de cobertura. 
Você pode supor que a temperatura da 
placa absorvedora exatamente acima 
de um tubo seja igual à da água. 
Hipótese: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Absorção de radiação uniforme 
na superfícia da placa 
4. A perda por cndução no 
isolamento é desprezível 
5. A perda de calor por convecção é desprezível 
6. A temperatura da placa absorvedora no ponto x=0, a temperatura da placa é igual da água 
na entrada 
Solução: Pela tabelas de propriedades, temos que: �௣ = ͳͺͲ ��°� , a placa absorvedora atua 
como uma superfície extendida, e a equação diferencial que descreve a distribuição de 
temperatura pode ser obtida com o balanço de massa no volume de controle: 
Obtemos: ��′ + �௥௔ௗ′′ ሺ��ሻ − ��+ௗ�′ = Ͳ , sendo que ��+ௗ�′ = ��′ + ௗ௤�′ௗ� �� e , ��′ = −�� ௗ�ௗ� 
Então temos: �௥௔ௗ′′ − ௗௗ� [−�� ௗ�ௗ�] = Ͳ ou ௗమ�ௗ�మ + ௤���′′�� = Ͳ 
Integrando duas vezes, a solução geral para a distribuição de temperatura é dada por: �ሺ�ሻ = − �௥௔ௗ′′ʹ�� �ଶ + ܥଵ� + ܥଶ 
Aplicando as condições de contorno: �ሺͲሻ = �௔ → ܥଶ = �௔ ௗ�ௗ�|�=ಽమ = Ͳ →ܥଵ = ௤���′′ �ଶ�� 
Consequentemente: �ሺ�ሻ = ௤���′′ଶ�� �ሺܮ − �ሻ + �௔ , a temperatura máxima na placa absorvedora, o 
qual ocorre em � = �ଶ, é dado por: ��௔� = � (ʹܮ) = �௥௔ௗ′′ ܮଶͺ�� + �௔ 
A taxa de energia coletada por tubo pode ser obtido a equaçãod a lei de Fourierno ponto, � = Ͳ. 
Essa é a energia transferido para o tubo por condução proveniente da placa absorvedora, 
portanto: �′ = ʹ [−� � ௗ�ௗ�|�=଴] consequentemente, multiplicando-se por 2, pois, o calor vem dos dois 
lados temos: �′ = −ܮ �௥௔ௗ′′′ 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 59 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
Portanto: ��௔� = 8଴଴ ��మሺ଴,ଶ �ሻమ8 [ଵ8଴ ��಼]ሺ଴,଴଴6 � ሻ + ͸Ͳ°ܥ ou ��௔� = ͸͵,͹°ܥ �′ = −Ͳ,ʹ � 8଴଴��మ ou �′ = −ͳ͸Ͳ �� 
6.2 Uma barra de latão de 100 mm de comprimento de 5 mm de diâmetro se estende 
horizontalmente de um molde de fundição a 200°C. a barra está noar ambiente com T∞=20°C e 
h=30 W/m2K. Qual é a temperatura da barra a 25, 50 e 10 mm a partir do molde? 
Hipótese: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Propriedades físicas e, h, 
são constantes 
4.Radiação é desprezível 
Da tab ela de propriedades dos materiais, latão k=133 W/mK. 
� = [ ℎ���௖]ଵଶ = [ ℎ�ܦ�� ܦଶͶ ]
ଵଶ = [Ͷℎ�ܦ]ଵଶ = [ Ͷܺ͵Ͳ �ܹଶܭͳ͵͵ �ܹܭ ሺͲ,ͲͲͷ �ሻ]
ଵଶ
 � = ͳ͵,Ͷ͵ �−ଵ 
Ainda de acordo com a tabela de resumo de distribuição de temperatura, a distribuiçãod e 
temperatura tem a seguinte forma: � = c୭s୦ �ሺ�−�ሻ+ሺℎ/��ሻ s୧୬୦ �ሺ�−�ሻc୭s୦ ��+ቀ ℎ��ቁ s୧୬୦ �� �௕ as relações ℎ�� = ଷ଴ ��మ಼ଵଷ,ସଷ �−భ ቀଵଷଷ ��಼ቁ = Ͳ,Ͳͳ͸ͺ 
Sabendo que �௕ = ͳͺͲ°ܥ, a distribuição de temperatura é dada por: � = cosh �ሺܮ − �ሻ + Ͳ,Ͳͳ͸ͺ sinh �ሺܮ − �ሻʹ,Ͳ͹ ሺͳͺͲ°ܥሻ 
A partir da equação descrita acima é possivel encontrar a temperatura para cada distância 
obtendo a tabela abaixo: 
m (m) Cosh m(L-x) Sinh m(L-x) � �ሺ °ܥሻ �ଵ = Ͳ,Ͳʹͷ 1,55 1,19 136,5 156,5 �ଶ = Ͳ,Ͳͷ 1,24 0,725 108,9 128,9 ܮ = Ͳ,ͳ 1 0 87 107 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
60 
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS 
 
 
Eficiência de Aleta 
 
A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para 
o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, 
existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal 
constante. Seções geométricas irregulares ou que envolvem condições de contorno mais 
complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral 
da aleta. Porém, existe um método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado 
método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por 
 
 
idealcasobase.tempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaleta/potransmitidcalordefluxo
A 

 
 
 
 
q
qb qb= cte
L
 
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2 
 
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a 
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em: 
 
c
c
bc
cb
A
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(  q
q , com 
kA
hP
m 
 
 
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por 
 
btbP 2)(2  (para t << b, aleta fina), sendo btA  , de onde se obtém: 
cc Lkt
h
mL 2
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
61 
Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta 
 
Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode 
ser obtido por meio de maxqq AA  , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é 
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é: 
 
bahAq qmax , 
 
onde, Aa é a área total exposta da aleta e  TTbbq 
 
 
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é: 
 
baaA hAq q 
 
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação. 
Na sequência deste texto há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. 
 
 
Deve-se usar aleta quando: 
 
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) 
 
(2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e 
alumínio, por razões que veremos adiante. 
 
O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. 
 
 
 
 
Exemplo de Aplicação 
 
Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas 
aletas circulares de alumínio por um processo de 
soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 
cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como 
ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100oC e o 
coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, 
calcule o fluxo de calor transferido pela aleta. 
 
 
Solução 
 
Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de 240 W/mK 
(obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos 
calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 63 à frente. 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
62 
m
tLLmL
mt
c 0155,02
 015,001,0
2
)5,25,5(
 001,0


 
    255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,0 5,055,12123c25   PcP kAhLmtLA
 
Para o uso do gráfico (pg.63), precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o 
raio interno da aleta. 
 
24,2
25,1
2/1,075,22/
1
2
1
2 
r
tr
r
r c
 Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos 
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: 
, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA  q Já que a área exposta da aleta, vale,  . 00394,02 22122 mrrA ca   
 
Exemplo de Aplicação (cont...) 
 
Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor 
total transferido pelo tubo, se o mesmo for de 1 m de comprimento. 
 
Solução 
 
O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo 
anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será: 
 
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq  
 
  221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa   
 
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065  
 
O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100  
 
Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será 
 
Wqqq casaT 5,209417506,344  e %6,83%1002095
1750%  
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
63 
 
 
 
 
Ap – área de seção transversal de aleta 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo 
 Aa área total exposta da aleta 
b – largura da 
aleta 
Lc = L-corrigido 
t = espessura 
Retangular cbL2 
Triangular   2/122 )2/(2 LLb  
Parabólica   2/122 )2/(05,2 LLb  
Anular   2/121222 rrb c  
 
Fluxo de calor transmitido 
pela aleta: 
 
baahAq q
Área total da aleta
Eficiencia da aleta 
(f da figura)
 
 TTbbq
base
 
Aa é a área total exposta da 
aleta 
 
 
Para obter a eficiência da 
aleta, use os dados 
geométricos disponíveis e 
os indicados nos gráficos. 
Uma vez obtida a eficiência 
da aleta, calcule o fluxo real 
de calor através da simples 
expressão acima. 
 
Comentários: 
 
Aleta triangular (y ~ x) 
requer menos material 
(volume) para uma mesma 
dissipação de calor do que a 
aleta retangular. Contudo, a 
aleta de perfil parabólico é a 
que tem melhor índice de 
dissipação de calor por 
unidade de volume (q/V), 
mais é apenas um pouco 
superior ao perfil triangular 
e seu uso é raramente 
justificado em função de 
maior custo de produção. 
A aleta anular é usada em 
tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
64 
Efetividade da Aleta 
 
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de seleção de tipos de 
aletas, já que uma tabela, gráficoou equação fornece as eficiências das aletas e os cálculos 
se dão a partir desse ponto. Mas, é preciso continuar com a análise para determinar se, de 
fato, haverá incremento ou não da transferência de calor com a instalação de aletas. Claro 
que está informação é crucial para que o engenheiro decida pela instalação de aletas. Para 
que se possa seguramente tomar uma decisão sobre a vantagem ou não da instalação de 
aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, . Nesse método, compara-
se o fluxo de calor devido através da aleta com o fluxo de calor que o ocorreria caso ela 
não houvesse sido instalada. Lembrando que caso a aleta não existisse, a transferência de 
calor em questão ocorreria através da área da base da aleta, Ab. Assim, define-se a 
efetividade como sendo a razão entre o fluxo de calor através da aleta pelo fluxo de calor 
através da base da aleta, ou seja: 
 
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q
q  / 
 
 
 
 
Ab, Tb
 
 
O fluxo de calor sem a aleta, q
 s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, conforme ilustração 
acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2. 
 
 
Para aleta retangular da extremidade adiabática 
 
bb
cb
hA
mLtghhPkA
q
q )( 
 
Nesse caso: A = Ab e, portanto, 
kPhA
mLtgh c
/
)(
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
65 
 
 
Exemplos de Aplicação 
 
Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L = 
5 cm e r = 1 cm, é submetida à três condições de resfriamento, quais sejam: 
 
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K 
B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K 
C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K 
 
Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados: 
 
- k aço inox = 19 W/m K (obtido de uma tabela de propriedades de transporte) 
- Comprimento corrigido: Fórmula 2/rLLc  
 
L= 5cm
 
 
Solução: 
 
kPhA
mLtgh c
/
)( , com 
 
hh
kr
h
rk
rh
kA
hP
m 24,3
01,0.19
222
2  

 e  2/01,005,024,3  hmLc , ou 
seja: hmLc 178,0 . 
 
No denominador tem-se: hh
k
hr
rk
rh
kP
hA 0162,0
19.2
01,0.
22
2
 

. 
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem: 
 
h
htgh
0162,0
)178,0(
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
66 
 
 
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h) 
 
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0
145,1
1
50000162,0
)5000178,0(  tgh 
 
 
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5
162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(  tgh 
 
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10
051,0
510,0
100162,0
)10178,0(  tgh 
 
Comentário 
 
- Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No caso 
A, por exemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já que ε<1. Um 
critério básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de 
aletas. 
 
Caso (A)  31,1
kP
hA
 
Caso (B)  026,0
kP
hA
 
Caso (C)  00262,0
kP
hA
 
 
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente 
de transferência de calor, que é também o de maior resistência térmica. 
 
 
 
Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja 
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h 
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade para cada caso. 
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: 
 
A – Cobre  k = 368 W/m K 
B – Aço inox  k = 19 W/m K 
C – Alumínio  k = 240 W/m K 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
67 
Solução: 
 
kkkr
h
m
4,141
01,0.
100.22  e, portanto,  
kk
mLc
76,72/01,005,04,141  
 
No denominador, agora temos: 
kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
 
 
Substituindo ambos os resultados, obtém-se: 
 
)/76,7(2 ktghk 
 
 
 
Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 
 
Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 
 
Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 
 
Comentário: 
 
O material da aleta é bastante importante no que tange a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio). 
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais 
como: 
 
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado; 
(2) Tem custo relativamente baixo; 
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do equipamento; 
(4) Tem excelente condutividade térmica. 
 
Em algumas situações as aletas podem ser parte do projeto original do equipamento e 
serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores elétricos 
e os cilindros de motores resfriados a ar, por exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do 
mesmo material da carcaça do motor. 
 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência de 
calor e massa, Incropera 
7.1 Como mais e mais componentes são colocados em um circuito integrado individual (chip), a 
quantidade de calor que é dissipado tende a aumentar. Por outro lado, esse aumento está limitado 
pela temperatura máxima permitida de operação do chip, que é aproximadamente 75°C. Para 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
68 
maximizar a dissipação de calor propõe-se utilizar uma matriz 4x4 de aletas de cobre em forma 
de pino que podem ser fixadas através de processos metalúrgicos à superfície externa de um chip 
quadrado de 12,7 mm de lado. 
(a)Esboce o circuito térmico equivalente para a montagem pino-chip-placa, admitindo condições 
de estado estacionário unidimensional e resistência de contato desprezível entre os pinos e o chip. 
Numa forma variável, enumere as resistências apropriadas, temperaturas e taxas de calor. 
(b)Para as seguintes condições: Rt,c=10-4 m2K/W, Lb= 5 mm, kb = 1 W/mK, T∞,0= T∞,i = 20°C; 
hi=40W/m2K, h0=250W/m2K, qual é a máxima taxa na qual o calor pode ser dissipado no chip 
quando os pinos estão no lugar? Isto é, qual é o valor de qc para Tc=75°C? O diâmetro e o 
comprimento do pino são Dp=1,5 mm e Lp=15 mm. 
 Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. A resistência de contato entre o chip 
e pino é desprezível 
4. Propriedades físicas são constante 
5. A resistência térmica do chip é 
desprezível 
6. A temperatura no chip é uniforme 
 
Solução: a) O esquema da resistência térmica é dado pela figura abaixo: 
 
Tendo a dissipação de calor 
pela a placa inferior, qi, e a 
dissipação e calor pelas aletas, 
qt. 
 
A energia dissipada pela placa é dada por: �� = �೎−�∞,�( భℎ�+�೟,೎′′ +ಽ್�್ )/�೎ 
Já a energia dissipada pelas aletas é dada por: �௧ = �೎−�∞,బ�೟,బ 
A resistência das aletas é dada por �௧,଴ = ሺߟ଴ℎ଴�௧ሻ−ଵ, onde ߟ଴ = ͳ − ே�ೌ�೟ ሺͳ − ߟ௔ሻ; �௧ = ܰ�௔ + �௕ e �௔ = ��௣ܮ௖ = ��௣ሺܮ௣ + ஽�ସ ሻ. 
b) Fazendo alguns cálculos para aleta e substituindo os valores na equações acima, obtemos �௖. 
 � = ��; � = √ ℎబ�௄ೌ�೎ೌ ; ߟ௔ = tanh �௅೎� ௅೎ ; �஼௔ = �஽� మସ;�௖ = �௕ = �ଶ; �௔ = ͶͲͲ ��௄ 
Resolvendo as equações obtemos que �௧ = ͳ͸,͵ͷ � e �� = Ͳ,ʹͻͷ͹ �, consequentemente �௖ =ͳ͸,͸Ͷ � 
 
7.2 Água é aquecida através de um tubo de cobre de 50 mm de diâmetro submerso em um tanque. 
Nos Gases quentes de combustão (Tg=750 K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a 
transferência de calor para água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme formando um 
cruzamento são inseridas em cada tubo. As aletas possuem 5 mm de espessura e também são 
feitas de cobre (k = 400 W/mK). Se a temperatura da superfície do tubo é Ts =350 K e o coeficiente 
de transferência de calor por convecção do lado do gás é hg = 30W/m2K, qual a taxa de 
transferência de calor para á água por metro de tubo? 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
69 
 Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Propriedades físicas constantes 
4. A radiação é desprezada 
5. O coeficiente de convecção são constantes 
6. O tubo cilíndrico pode ser adotado como uma 
placa plana com aletas retangulares e com a 
superfície da ponta adiabática 
Solução: 
 
A taxa de transferência de calor por unidade de tubo: �௧′ = ߟ଴ℎ�௧′ ሺ�� − �௦ሻ ߟ଴ = ͳ − ே�೑′�೟′ ሺͳ − ߟ௔ሻ ܰ�௔′ = Ͷ ሺʹܮሻ = ͺሺͲ,Ͳʹͷ � ሻ = Ͳ,ʹͲ � �௧′ = ܰ�௔′ + �௕′ = Ͳ,ʹͲ � + ሺ�� − Ͷ�ሻ = Ͳ,ʹͲ � + ሺ� x Ͳ,Ͳͷ� − Ͷ x Ͳ,ͲͲͷ � ሻ = Ͳ,͵͵͹ � 
Para aletas com a ponta adiabática temos, ߟ௔ = ௤ೌ௤�ೌ� = ெ tanhሺ�௅ሻℎሺଶ௅ x ଵሻሺ�೒−�ೞሻ , lembrando que, �௖ = ܮ x �, e neste problema está sendo calculado 
por metro de tubo, ou seja, ܮ = ͳ �. ܯ = √ℎ�ܭ�௖ߠ௕ = [ʹℎሺͳ � + �ሻ� ሺͳ � x �ሻ]ଵଶ(�� − �௦)≈ [͵Ͳ ��ଶܭ ሺʹ �ሻͶͲͲ ��ܭ ሺͲ,ͲͲͷ �ଶሻ]ଵଶ ሺͶͲͲ ܭሻ = Ͷ͵ͺʹ� �ܮ = √ ℎ���௖ = {ʹℎሺͳ � + �ሻ� ሺͳ � x �ሻ }ଵ/ଶ ܮ = [ ͵Ͳ ��ଶܭ ሺʹ �ሻͶͲͲ ��ܭ ሺͲ,ͲͲͷ �ଶሻ]
ଵ/ଶ Ͳ,Ͳʹͷ � = Ͳ,ͳ͵͹ 
E ainda temos que tanhሺ�ܮሻ = Ͳ,ͳ͵͸ ߟ௔ = ସଷ଼ଶ � ሺ଴,ଵଷ଺ሻଷ଴ ��మ಼ሺ଴,଴ହ �మሻሺସ଴଴ ௄ሻ = ହଽହ �଺଴଴ � = Ͳ,ͻͻʹ ߟ଴ = ͳ − ଴,ଶ଴,ଷଷ଻ ሺͳ − Ͳ,ͻͻʹሻ = Ͳ,ͻͻͷ 
 �௧′ = Ͳ,ͻͻͷ ቀ͵Ͳ ��మ௄ቁ Ͳ,͵͵͹ � ሺͶͲͲ ܭሻ = ͶͲʹͷ �� 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
71 
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO 
 
Introdução 
 
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas 
condições de temperatura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiente de 
temperatura diferente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio 
térmico. Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, 
tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, materiais inseridos em fornos, entre 
outros. No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma 
temperatura uniforme T0. Subitamente, é exposto a um ambiente que está a uma 
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está 
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de 
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência 
pessoal. 
 
T0
1T
10  TT
Tempo t=0
2T
2T
T0
t
t
T(t)
 
 
 
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo 
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo pode não ocorrer de 
forma uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma ilustrativa a 
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
72 
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é 
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da 
difusão interna do calor é um pouco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser 
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simples, como será visto 
na próxima aula. Casos mais complexos podem ser resolvidos de forma numérica. 
Entretanto, o interesse da aula de hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para 
um grande número de casos práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha 
uma única temperatura uniforme a cada instante. Esta hipótese é chamada de sistema 
concentrado, objeto de análise na sequência. 
 
2T
T0
t
Ts
T0
TC
2T
T
T0
Sistema
Concentrado
TC
 
 
 
Sistema Concentrado 
 
A hipótese é que a cada instante t, o sistema tenha uma só temperatura uniforme T(t). 
Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua resistência interna à 
condução desprezível face à resistência externa à troca de calor externa que, geralmente se 
dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um 
corpo a uma temperatura inicial T0 e que, subitamente, é exposto a um ambiente de 
temperatura T∞, de forma a que ocorra transferência de calor convectiva. 
 
T0
T
q convecção
 
TS 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
73 
 
 
O balanço de energia fornece o seguinte esquema 
 
Balança de energia 
 
 
 = 
 
 
 
 
Termo (I): 
 
dt
dT
c
dt
du
dt
du
m
dt
dU   
 
m = massa do corpo; 
U = energia interna do corpo; 
u = energia interna específica do corpo; 
ρ = densidade do corpo; 
= volume do corpo; 
c = calor específico do corpo. 
 
Termo (II): 
 
)(  TThAqconv 
 
h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; 
A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; 
T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); 
T = temperatura ao longe do fluido. 
 
Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem: 
 
)(  TThAdt
dT
c
 
 
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0. 
 
Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem: 
 
dt
c
hA
TT
dT

   
Taxa temporal de 
variação de energia 
interna do corpo 
(I) 
Fluxo de calor 
Trocado por 
convecção 
(II) 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
74 
 
Por simplicidade, seja dTdTT    , então: 
 
dt
c
hAd
 

 , ou 
 

t
t
dt
c
hAd
00



, do que resulta em: 
 
t
c
hA






0
ln . 
Finalmente, 
 
t
c
hA
e 
 

0
 ou 
t
c
hA
e
TT
TT 

 
 
0
 
 
Analogia Elétrica 
 
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo 
ocorrem em diversas sistemas físicos, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia 
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor, 
como ilustrado no esquema abaixo. 
V
t
V0 C R
V0
 
 
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada). 
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R. 
A solução desse circuito RC paralelo é 
 
RC
t
e
V
V 
0
 
 
Note a Analogia 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea- © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
75 
Elétrica Térmica 
Tensão, V TT 
Capacitância, C c 
Resistência, R hA/1 
 
Circuito térmico equivalente 
V
t
T0
V0
c hA/1

T
 
Constante de tempo do circuito elétrico,  
 
RC 
 
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rapidamente o 
capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de, t , e é o instante em que a tensão do 
capacitor atingiu o valor de e-1 ~ 0,368 
 
368,011
0
 
e
ee
V
V 

 
 
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico 
abaixo que indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto 
maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de 0,368V0. 
 
V
t
V0 
I
II
III
IV
1 2 3 4
0,368V0
 
 
Por analogia, a constante de tempo térmica será: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
76 
 
t
t
t
c
hA
ee
TT
TT  

 

0
 → hA
c
t
 
 
 
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica. 
t
t
TT
TT0
)(368,0 0 TT
 
 
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da 
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem 
de dois fios unidos pelas suas extremidades que formam uma junção. Essa junção é exposta 
ao ambiente que se deseja medir a temperatura. Suponha, de forma ilustrativa, um ambiente 
que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado pela linha cheia no 
esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de período em período (onda 
quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível 
o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note 
que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente não “sente” as variações de 
temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as 
variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um motor de combustão 
interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e combustão dos gases. 
Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante térmica. 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
77 
t
10 TT
TT
20 TT
tP 2tP 3tP
12   1
13  
 
 
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter 
a seguinte forma 
FoBie
TT
TT
 
0


 

 
Onde, Bi é o número de Biot, definido por 
k
hLBi  , e Fo é o número de Fourier, definido 
por 2L
tFo 
 (trata-se de um “tempo” adimensional). Sendo, 
h = coeficiente transferência de calor por convecção; 
 = difusividade térmica; 
k = condutividade térmica; 
L = comprimento característico do corpo; 
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência 
externa à convecção. 
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca 
de calor. 
expostaárea 
corpodoolume 

 v
A
VL
 
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema 
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável 
desde que: 
1,0Bi
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
78 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1) 
 
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são 
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas 
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise, 
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para 
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K, 
c = 400 J/kg K e  = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25oC e é 
inserido na corrente de gás quente a 200oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o 
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9oC seja indicada pelo 
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K. 
 
SOLUÇÃO 
Comprimento característico: mD
A
VL 4
3
10167,1
6
107,0
6
  
Número de Biot: 3
4
10333,2
20
10167,1400  
k
hLBi 
Da expressão da temperatura, vem 76,3200
20025
2009,199ln
10333,2
1ln1 3
0










 

TT
TT
Bi
Fo 
Dado que 610883,5
4008500
20
 
 c
k
 e 2L
tFo  , vem: 
 
s
LFo
t 4,7
10883,5
10167,176,3200
6
242

 

 
 
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi . 
Um tempo de 7,4 s é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que 
aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade? 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2017 
 
79 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2 
 
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma 
melancia a 25oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5oC. Você 
acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de 
alguns minutos a fatia da mesma estará em temperaturas diferentes? Para efeito de 
estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades de 
transporte sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor 
interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2oC. 
 
 
Solução: 
 ܭá��� = Ͳ,Ͳʹͷ �/�°ܥ 
Cálculo do Nº de Biot 
 ܤ� = ℎ௅௄ , sendo ܮ = �଺ 
 ܮ = Ͳ,͸͵ = Ͳ,Ͳͷ� 
 
 
D= 0,3 m 
 ܤ� = 0,0ହ×ହ0,02ହ = ͳͲ 
 
 
 Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua 
experiência? 
 
 
 
D = 0,3 m 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
80 
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO 
 
 
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito 
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas 
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui 
dimensões maiores e propriedades de transporte tais que a resistência interna à 
condução não pode ser desprezada face à resistência externa à convecção (Bi > 0,1). 
Soluções analíticas existem para casos em que uma das dimensões é predominante e 
muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esquema abaixo 
de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor (à esquerda) e sua dimensão 
se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face exposta sofre 
bruscas mudanças de condição de contorno, como se verá. 
 
Condições de contorno 
 
(A) Temperatura constante na face exposta: 
 
TiT0
x
 
Solução: T(x, t) 
 
Equaçãogeral condução de calor 
 
t
T
k
qT 
 
1'''2
 
 
Por não haver geração interna de calor, vem que 
t
T
x
T




1
2
2
, a qual é submetida as 
seguintes condições: 
 
- Condição inicial: iTxT )0,( 
- Condição de contorno: 0),0( TtT  
 
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de 
temperaturas é dada por: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
81 




t
x
erf
TT
TT
i 20
0
, 
 
Onde, erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por: 
 
 

 t
x
de
t
x
erf

 
2
0
22
2
 
 
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento. 
 
 
 
 
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera 
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”. 
 
Tabela B-2 do Incropera 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
82 
 
Fluxo de calor numa posição x e tempo t 
 
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a 
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas 
acima, na equação de Fourier, isto é: 











 

  t
x
iix de
x
TTkA
t
x
erfTTT
x
kA
x
TkAq

 
2
0
000
22)()
2
()( 




 
t
x
x
e
TTkA
t
x
i


2
)(2 40
2
, do que, finalmente, resulta em: 
 
 
t
x
i
x e
t
TTkA
q 
40
2)( 
 
 
 
(B) Fluxo de calor constante na face exposta: 
 
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor 
constante, 
 
Tiq0
qx
x
 
 
 
Partindo da equação da condução de calor 
t
T
x
T




1
2
2
, submetida às seguintes 
condições: 
 
- Condição inicial: iTxT )0,( 
- Condição de contorno: 0
0
q
x
TkA
x



 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
83 
A solução é: 
 









t
x
erf
kA
xq
kA
e
tq
TT
t
x
i 

 
2
1
2
0
4
 
0
2
 
 
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!! 
 
 
(C) Convecção de calor na face exposta 
 
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face 
exposta à esquerda. 
 
Ti
qx
x
T
 
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem: 
t
T
x
T




1
2
2
, a qual é submetida às seguintes condições: 
 
- Condição inicial: T (x,o) = Ti 
- Condição de contorno:  


 TtThA
x
TkA
x
),0(
0
 (condução interna = 
 Convecção) 
 
A solução é: 
 







 






 


 k
th
t
x
erfe
t
x
erf
TiT
TT k
th
k
hx
i 


2
1
2
1
2
2
 
 
 
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier! 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
84 
Outros casos de condução transitória de interesse 
 
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças 
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de 
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação 
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler 
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo. 
 
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler 
 
Placas cuja espessura é 
pequena em relação as outras 
dimensões 
Cilindros cujos diâmetros são 
pequenos quando comparados 
com o comprimento 
Esferas 
 
T0 Te
x
2L
T
 
T
Te r0
 
r0
r
Te
T
 
 
 
  TtrTouTtxT ),(),(  
 TTii 
 TT00 
 TTee 
Número de Biot: k
hLBi  
 
L – dimensão características (dada no gráfico) 
 
Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por 
 
22 cL
kt
L
t
Fo 
 
 
 
Calor total trocado pelo corpo Qi 
 
iii cTTcQ    )( 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
85 
 
 
 
 
 
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e 
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
86 
 
Exemplo: 
 
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de 
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente, 
T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa 
e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min. 
 
Dados: 
k = 43,2 W/mK 
α = 1,19 x 10-5 m2/s 
x
5 cm
h
 
 
Solução: 
 
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m 
 
1,0289,0
2,43
025,0500 
k
hLBi 
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para 
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são: 
 
45,3
289,0
11 
Bi
 e 43,3
025,0
1801019,1
2
5
20 


L
tF  
 
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem: 
 
 
 
e CCC  22745,0.)65425(65 . Assim, 
CT o2270  Na linha de centro após 3 mim 
Do gráfico para uma posição qualquer x: 
 
45,3/1 iB 
5,0
025,0
0125,0/ Lx 95,00


 
 
95,0)65227(6595,0)( 0   CCTTTT 
CT o9,218 p/ min3,5,0  t
L
x
 
45,3
165,0
11 
iB
 
43,30 F 
45,00 
i

 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 87 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
PERMANENTE BIDIMENSIONAL 
 
 
Condução Bidimensional 
 
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor 
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição espacial 
da temperatura para além de uma dimensão. Também foram estudados os casos 
transitórios em uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas reais são bi ou 
tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de problemas de 
condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser resolvidos 
de forma numérica. Entretanto, neste curso introdutório é importante que o estudante 
tenha uma visão das soluções analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema 
clássico que é o método da separação das variáveis para uma placa retangular 
bidimensional. 
 
O Método da Separação de Variáveis 
 
Seja uma placa retangular, submetidaàs condições de contorno ilustrados, isto é, todos 
os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2. 
 
y
b
T2
T1
T1
T1
L
T(x,y)
x
 
 
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) 
 
Equação da condução de calor 
 
t
T
k
qT 
 
1'''2
 
Hipóteses: 
 
(1) Regime permanente 
(2) Sem geração interna de calor 
(3) Bidimensional 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 88 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
As hipóteses resultam em: 02  T ou 02
2
2
2



y
T
x
T
 
 
Condições de contorno – temperaturas dos quatro lados 
 
(1) T(0,y) = T1 
(2) T(L,y) = T1 
(3) T(x,0) = T1 
(4) T(x,b) = T2 
 
É conveniente realizar uma mudança de variáveis 
 
12
1
TT
TT

 
 
Condições de contorno na nova variável θ são: 
 
(1) θ(0,y) = 0 
(2) θ(L,y) = 0 
(3) θ(x,0) = 0 
(4) θ(x,b) = 1 
 
A variação elementar de temp. é d
TT
dT  12
 
 
Então, 02
2
2
2



yx

 Esta é a equação da condução na nova variável θ. 
 
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas θ(x,y) 
seja o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções exclusivas 
apenas das variáveis do problema x e y, isto é: 
    yYxXyx ),( 
 
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são: 
 
Primeira derivada: 
dx
dXY
x


 
Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
XdY
x

 
 
 
Analogamente em relação à y: 
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
YdX
y

 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 89 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da 
condução, vem: 
 
02
2
2
2

dy
YdX
dx
XdY 
 
ou, dividindo-se pelo produto XY, vem: 
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y

 
 
É digno de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y e 
o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da equação são 
sempre iguais. Isto implica dizer que cada lado da equação não pode ser nem função de 
x, nem de y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. 
De forma que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se 
usa o símbolo 2 . Dessa forma, tem se: 
2
2
21 
dx
Xd
X
 e 
 
2
2
21 
dy
Yd
Y
 
 
Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações 
diferenciais comuns ou ordinárias. As soluções dessas duas novas equações são bem 
conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são: 
   xsenCxCxX  21 cos  , e 
  yy eCeCyY  43   
 
De forma que, voltando à variável original,    yYxXyx ),( , a solução global é: 
 
    yy eCeCxsenCxCyx  4321 .cos,   
 
A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim: 
 
Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0 
 
     0.0.0.cos,0 4321   yy eCeCsenCCy  
 
De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 90 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0 
   432 .0 CCxsenC   
 
de onde se obtém que  043 CC 43 CC  
 
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0 
   )(.0 42 yy eeCLsenC   
 
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é: 
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen  
 
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são:  nL  
ou, seja 
L
n 
 n = 1,2,3, ..... 
 
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. λ são os autovalores. 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é: 
 
 


)(
42 2
2,
L
yn
senh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
x
nsenCCyx
n










 



 
ou, seja   )()(,
L
y
nsenh
L
x
nsenCyx nn   
 
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as 
constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. 
 
Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções. 
 
  




 L
yn
senh
L
xn
senCyx
n
n

1
, 
 
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é: 
 





 L
bn
senh
L
xn
senC
n
n

1
1
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 91 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para 
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das 
funções ortogonais, revista abaixo. 
 
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS 
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa  , se 
 b
a
nm nmpdxxgxg /0)()( (dica: note que se parece com produto escalar de vetores: 
o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo) 
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(
L
x
nsen 
 e )cos(
L
x
n
 em 
Lx 0 
 
Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, 
ou seja: 



1
)()(
m
mm xgAxf 
 
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma: 
 
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade: 
 



1
)()()()(
m
mmnn xgAxgxfxg 
 
(2) Integra-se no intervalo de interesse: 
 
dxxgAxgdxxfxg b
a
m
mmn
b
a
n   



1
)()()()( 
 
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja: 
 nmsedxxgxg
b
a
nm  0)()( 
 
Pode-se eliminar a somatória, então: dxxgAdxxfxg b
a
mm
b
a
m   )()()( 2 
 
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas: 
 
dxxg
dxxfxg
A b
a
m
b
a
m
m 

)(
)()(
2
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 92 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
Voltando ao problema, tem-se: 
 







1
1
n
n L
bn
senh
L
xn
senC  (A) 
 
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que 
 
,....2,1;)( 

 n
L
xn
senxg
ortogonalfuncão
n


 
 
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem 
 
1
1



n
n L
xn
senA 
 
 
Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima: 
 
ndx
L
xn
sen
dx
L
xn
sen
A
n
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0 












 
 
Então, 
11)1(2
1
1





n
n
L
xn
sen
n

 (B) 
 
Comparando (A) com (B), vem: 
 
 










1
1
1
1)1(2
n
nn
n L
xn
sen
nL
bn
senh
L
xn
senC 

 
 
Então, da igualdade das séries: 
  
,....3,2,1;1)1(2
1






n
L
bn
senhn
C
n
n 
 
 
De forma que a solução final do problema é: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 93 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 












1
1 1)1(2),(
n
n
L
bn
senh
L
yn
senh
L
xn
sen
n
yx 


 
 
É interessante ver o gráfico desta função 
y
b
L
x
1
75.0
50.0
25.0
10.0
0
0 0
 
 
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de 
calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é: 
 
i
x
Tkqx


 e j
y
Tkq y


 . Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq   e o 
módulo do fluxo de calor será    22 yx qqq  em W/m2 
 
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt 
 
 
Método Gráfico 
 
O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de 
contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir 
uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. 
Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície 
interna é mantida a T1 e a externa T2. 
T2
T1
 
 
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema 
tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 94 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
T2
T1
SIMETRIA
SIMETRIA
 
 
(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção 
perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor 
constante. 
T2
T1
PAREDES 
ADIBATICAS
 
 
(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são 
perpendiculares às linhas de fluxo constante. 
 
T2
T1
 
 
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados 
curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de 
temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham 
aproximadamente, o mesmo comprimento. 
 
 
 
qX
DL
LINHAS DE 
FLUXO CTE.
(ADIABÁTICO)
(OU QUADRADO 
CURVILÍNEO)
 
 
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o 
ângulo formado pelas duas superfícies 
 


T
T
LINHA DE 
FLUXO CTE.
 
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo 
ilustrado é: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 95 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
 



D
DD
l
Tlkqi (1) 
qi
DL
DL
 
 
 
 
O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas 
mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que. 
 
 
N
TTT 12 D
 (2) 
T1
T2
 
 
 
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). 
Assim, de (1) 
 
N
TTkqi
)( 12  (3) 
 
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas 
adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5) 
 
)( 12
1
TTk
N
Mqq
M
i
i 

 
 
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim: 
 
)(5 12 TTkq  
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência de 
calor e massa, Incropera 
10.1. Um forno longo, construído de tijolo refratário com condutividade térmica de 1,2 W/mK, 
possui a seção transversal mostrada com temperatura de superfície interna e externa de 600 e 
60°C, respectivamente. Determine o fator de forma e a taxa de transferência de calor por unidade 
de comprimento utilizando o método de representação gráfica do fluxo. 
Hipóteses: 
1. Condução bidimensional 
2. Propriedades físicas constantes 
3. Comprimento do forno, l 
Solução: Considerando o forno simétrico, podemos fazer a análise em um quarto do forno. 
Portanto a fluxo de transferência de calor por unidade de comprimento, l, é dada por: �′ = �� = Ͷ �� ݇ ሺ ଵܶ − ଶܶሻ , onde, S é fator de forma para a seção simétrica. Escolhendo 3 
incrementos de temperatura, N, podemos plotar o gráfico do fluxo abaixo: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 96 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
 
 
Da equação do fator de forma temos: ܵ = ெ�ே ou �� = ெே = 8,5ଷ = ʹ,ͺ͵ 
 
Assim podemos obter o fluxo de calor, �′ = Ͷ � ʹ,ͺ͵ �ͳ,ʹ �݉ � ሺ͸ͲͲ − ͸Ͳሻ°� = ͹,͵Ͷ ݇�݉ 
Obs*: O fator de forma também pode ser estimado a partir da tabela 4.1 do livro fundamentos de 
transferência de calor e massa do Incropera. A seção consiste em duas paredes (uma horizontal e 
outra na vertical) com um canto de junção. Utilizando as relações da tabela obtemos: ܵ = Ͳ,͹ͷ ݉Ͳ,ͷ ݉ ݈ + Ͳ,ͷͶ݈ + Ͳ,ͷͲ,ͷ ݈ = ͵,ͲͶ ݈ 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
97 
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINITAS 
 
 
Como estudado na aula anterior, a solução da equação da condução de calor em 
configurações bi e tridimensional é bastante complexa e, verdadeiramente, na maioria dos 
casos práticos não existe nem solução analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos 
numéricos de solução. Há uma grande variedade de métodos disponíveis na literatura, mas 
vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das diferenças finitas. 
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinada em pontos discretos ou 
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado 
no esquema abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo original em um meio discreto 
formado por uma matriz de pontos com propriedades térmicas que “concentram” as 
informações do meio contínuo original naqueles pontos. Considerando o esquema a seguir, 
considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-1,n) à 
esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A distância entre os pontos 
nodais é x e y, nas duas direções principais. 
 
 
m,n
 
 
 
x
ym,n
m+1,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
y,n
x,m
Pontos Nodais
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
98 
A equação da condução de calor em RP, 2-D é dada por 02
2
2
2



y
T
x
T
. Ela pode assim 
ser assim discretizada: 
 
x
TT
x
T nmnm
nm 

 

)(
,1,
,
2
1
 (Primeira derivada na direção x – face esquerda) 
 
x
TT
x
T nmnm
nm 

 

)(
,,1
,
2
1 (Primeira derivada na direção x – face direita) 
Assim, 
 
x
x
T
x
T
x
T nmnm





  ,21,21
2
2
 (Segunda derivada na direção x – centro) 
 
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,
2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnmnm



 
 
 
 
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,
2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm



 
 
 
Assim, a equação original da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma 
equação algébrica, 
 
 



2
2
2
2
y
T
x
T 04
,1,1,,1,1   nmnmnmnmnm TTTTT , se Δx = Δy 
 
 
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, 2-
D. Note que a temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas 
da sua redondeza. 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
99 
 
O que acontece nas regiões de contorno do problema? 
 
 
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a 
superfície ou no contorno do meio. 
 
m,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
Convecção
T
 
 
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão 
 
)()(
2
)(
2
)(
,
1,,1,,,1,

 


 TTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TT
yk nm
nmnmnmnmnmnm
 
 
se Δx = Δy 
 
0)2(
2
12 1,1,,1, 

   nmnmnmnm TTTTk
xh
k
xhT
 
 
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas. 
 
Por exemplo, um canto superior à direita: 
 
m,nm-1,n
m,n-1
Ty
x
x = y
 
 
 
0)(212 1,,1, 

   nmnmnm TTTk
xh
k
xhT
 
 
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias. 
Tabela 4.2 do Incropera. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
100 
 
 
 
Uma vez que as equações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se um 
sistema de N equações por N incógnitas do tipo: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
101 
NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa



...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
 
 
Ou, em notação simplificada matricial, vem: 
 
][]].[[ CTA  
 
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera) 
 
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado 
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero: 
 
0...2211  nnmnmm cTaTaTa 
 
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o seguinte procedimento de solução: 
 
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura; 
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado; 
3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura 
do ponto nodal correspondente; 
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura; 
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero. 
 
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um 
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o 
método de eliminação gaussiana. 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
102 
Exemplo Resolvido 
 
Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se 
calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que: 
 
h = 200 W/m2 ºC 
T = 20 ºC 
k = 10 W/m ºC 
 x =  y = 10 cm 
5 6 7 6 5
3 4 3
1 2 1
20T C  
100°C
100°C
100°C
 
 
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número) 
 
Solução: 
 
Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação: 
 
04
,1,1,,1,1   NMNMNMNMNM TTTTT 
Portanto, 
 
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321




TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
 
 
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação 
 
0)(2
,1, 

   fixonmnm TTTk
xh
k
xhT 
 
nó 5: 0)100(20
10
1,02002
10
1,0200
65 

  TT , ou 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
103 
01404 65  TT 
 
Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação: 
 
  02
2
12
,1,11,, 

   nmnmnmnm TTTTk
xh
k
xhT 
 
nó 6:   02
2
120
10
1,02002
10
1,0200
7536 

  TTTT , ou 
 
  02
2
120
10
1,02002
10
1,0200
7536 

  TTTT , ou ainda, 
 
040
2
14
2
1
7653  TTTT 
 
nó 7: 0)22(
2
1404 647  TTT , ou 
 
0404 764  TTT 
Em forma de Matriz temos: 
























































40
40
140
0
100
100
200
4101000
2
14
2
10100
0140000
1004210
0101401
0001042
0000114
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
 
 
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana 
 
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT







7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1







 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
104 
AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR CONVECTIVA 
 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de 
resfriamento de Newton, dada por: 
 
)(  TTAhq S 
onde, 
 
Ts, T∞ – temperaturas da superfície aquecida e do fluido ao longe; 
A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; 
h = coeficiente de transferência de calor por convecção. 
 
Nota-se que a expressão para o cálculo da transferência de calor é consideravelmente 
mais simples que a da condução. De forma que basta resolver uma equação algébrica 
simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se conheça o valor de h, 
enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação diferencial da condução 
de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois, em geral, h é função 
de um grande número de variáveis, tais como as propriedades de transporte do fluido 
(viscosidade, densidade, condutividade térmica), velocidade do fluido, geometria de 
contato, entre outras. Assim, pode-se afirmar de uma forma ampla que o problema 
fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do valor de h 
para o problema em análise. Nessa e nas demais aulas, serão apresentados expressões e 
métodos de obtenção dessa grandeza para diversas condições de interesse prático. Mas, 
antes, vamos apresentar os números adimensionais que controlam a transferência de 
calor convectiva. 
 
Análise Dimensional 
 
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema 
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto é, 
tratam-se de númerosadimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
105 
familiarizado são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, e os números de Biot 
e de Fourier. 
A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação 
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser 
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta 
do problema em análise. 
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões 
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em 
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas 
MLtT, sendo: 
Comprimento L 
Tempo t 
Massa M 
Temperatura T 
 
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes 
dimensões: 
Força ML/t2 
 
O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse: 
 
Condutividade térmica ML/t3T 
Calor ML2/t2 
Velocidade L/t 
Densidade M/L3 
Velocidade M/Lt 
Calor específico a pressão constante L2/t2T 
Coeficiente De transmissão de calor M/t3T 
 
 
Teorema dos Π ou de Buckingham 
 
Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema. 
É dado por: 
M = N – P 
Onde, 
M – número de grupos adimensionais independentes; 
N – número de variáveis físicas dos problemas; 
P – número de dimensões primárias; 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
106 
 
Sendo  um adimensional genérico, pode-se escrever, então: 
 0),...,( 21 mF  
Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões 
primarias. Logo, M = 5-3 = 2, de onde se obtém: 
0),( 21 F ou 
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma. 
)( 21  f 
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como 
ilustrado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizarem experimentos com 
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar o comportamento ou 
dependência do adimensional 1. Com isso, reduz-se drasticamente o número de 
experimentos. Caso contrário, seria necessário fazer experimentos envolvendo as 5 
variáveis originais do problema. 
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
 
 
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. 
Nesse caso, tem-se: 
0),,( 321 F , ou ),( 321  f 
 
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variar 2, 
observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
107 
2
tesconsdecurvas tan31
 
 
Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada 
 
Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura 
abaixo. 
 
fluido
V
Tubo
aquecido
D
 
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: 
 
 
 Variáveis Eq. Dimensional 
D Diâmetro do Tubo L 
k Condutividade térmica do fluido ML/t3T 
V Velocidade do fluido L/t 
ρ Densidade do fluido M/L3 
μ Viscosidade do fluido M/Lt 
CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T 
h Coef. de transferência de calor M/t3T 
 
Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em: 
 
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) 
 
Seja um grupo adimensional genérico do tipo: 
 
gf
p
edcba hcVKD   
 
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
108 
 
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
MLL 












 32
2
33 
 
ou, após rearranjo, vem: 
     gfbgfecbfedcbagedb TtLM  32323 
 
Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é: 
 







0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
 
 
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O 
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto 
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo, 
 
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de 
valores 




0
1
dc
g
 
 
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: 
 
a = 1 
b = -1 
e = f = 0 
 
Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por: 
 
Nu
k
Dh 1 
 
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores 
 






0
1
0
f
a
g
 
 
(para não aparecer h) 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
109 
 A solução do sistema fornece: 
 
b = 0 
c = d = 1 
e = -1 
 
De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de 
Reynolds, dado por: 
 
D
VD Re2  
 
 
(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores 
 
 e = f =1 
 b = -1 
 
Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de 
Prandtl. 
Pr3  k
cp
 
Então, há uma função do tipo 
 
0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF . 
 
Isolando o número de Nusselt, vem: 
 
 
),( PrReDfNu  
 
 
Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os 
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno). 
Vimos, então, que: 
),( PrReDfNu  
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima 
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo. 
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no 
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser 
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
 
110 
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar 
com outros fluidos, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis. 
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleo
ar
3<ReD<100
10
0,01
Re
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
111 
AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBREUMA 
PLACA OU SUPERFICIE PLANA 
 
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma 
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno. 
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De 
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), que pode ser obtida de forma 
experimental ou analítica em algumas poucas situações. 
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser 
obtida de forma analítica e exata para o caso do escoamento forçado sobre uma 
superfície plana. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais que regem a 
transferência de calor em regime laminar. Depois será indicada a solução dessas 
equações. Para começar o estudo, considere o escoamento de um fluido sobre uma 
superfície ou placa plana, conforme ilustrado a seguir. Admita que o fluido tenha um 
perfil uniforme de velocidades (retangular) antes de atingir a placa. Quando o mesmo 
atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai desacelerar as porções de fluido adjacentes 
à placa, dando início a uma camada limite laminar, cuja espessura cresce à medida que 
o fluido escoa ao longo da superfície. Note que esta camada limite laminar vai crescer 
continuamente até que instabilidades vão induzir a uma transição de regime para dar 
início ao regime turbulento, se a placa for comprida o suficiente. Admite-se que a 
transição do regime de escoamento laminar para turbulento ocorra para a seguinte 
condição 5105Re  
xu
xtransição (às vezes também se usa 3 105), onde x é a 
distância a partir do início da placa (borda de ataque). 
y
u
laminar
x
Transição Turbulento 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
112 
 
 
No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a 
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por 
dy
du  
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de 
escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir. 
 
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar 
 
Hipóteses principais: 
 
- Fluido incompressível 
- Regime permanente 
- Pressão constante na direção perpendicular à placa 
- Propriedades constantes 
- Força de cisalhamento na direção y constante 
 
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL), 
como indicado. 
 
x
y
dy
dx
 
 
Equação da continuidade ou da conservação de massa. 
 
dydx
x
u
u )( 

dxdy
y
v
v )( 

vdx
udy
dx
d
y
 
 
Como entrasai mm   , então substituindo os termos, vem: 
dxdy
y
v
vdydx
x
u
uvdxudy )()( 

 
. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
113 
 
Simplificando, tem-se 
 
0


y
v
x
u
 ou 0VDiv  
 
onde, o operador matemático Div é definido por, 
y
j
x
iDiv 

  . 
 
Equação da conservação da quantidade de movimento 
 
Da 2ª lei de Newton, tem-se que 
 
 extF Variação do fluxo da quantidade de movimento 
 
Note que essa lei é uma equação vetorial, isto é, o balanço deve ser feitos nas diversas 
direções (x, y, z). No caso, nos interessa o balanço de forças e de quantidade de 
movimento na direção paralela à placa, ou, seja a direção x. 
 
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível) 
dxdy
y
)( 
 
dx
pdy
dydx
x
pp )( 

 
 
dydx
x
ppdxdxdy
y
pdyFx )()( 

  
 
ou, simplificando, dxdy
x
pdxdy
y
Fx 

  
 
Mas, admitindo um fluido newtoniano, tem-se 
y
u

 
 que, substituindo, vem. 
 
dxdy
x
pdxdy
y
uFx 

 22 
 
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x) 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
114 
 
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))(( 


vudx
dydx
x
u
u 2)( 
dyu2
 
 
 
Juntando todos os termos, tem-se o fluxo líquido de quantidade de movimento na 
direção x: 
 
superior ordem de termos2
)( 
)(2
))(()(
2
222
22

















dxdy
y
v
udxdy
y
u
vdxdy
x
u
u
uvdxdxdy
y
u
y
v
dxdy
y
v
udxdy
y
u
vvudxdyudydx
x
udxdy
x
u
udyu
uvdxdxdy
y
u
udy
y
v
vdyudydx
x
u
u




 
 
Ainda é possível simplificar esta equação para obter 
 
dxdy
y
v
x
u
udxdy
y
u
v
x
u
u
decontinuida

0
)()(





 
 
dxdy
x
u
v
x
u
u )( 

 
 
 
Portanto, agora podemos igualar os termos de resultante das forças externas com a 
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação: 
 
x
p
y
u
y
u
v
x
u
u 




2
2
)( 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
115 
 
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica 
 
- Condução na direção x desprezível 
- Energia cinética desprezível face à entalpia 
 
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))(( 


dydx
x
u
u 2)( 

dxdy
y
u
u ))(( 
  )( 2
2
dy
y
T
y
Tkdx 


dx
dy
y
Tkdx 
dxuvhdx
uhdy
 
 
Potência (térmica) líquida das forças viscosas 
 
dydx
y
u
uu
y
dydx
y
udxudxdy
y
u
u 











 )()(  
 
Conservação de energia: 
 






























 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeo deixa
 que energia de fluxo
 tempode unidade
 na realizado
líquido trabalho
 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeno entra
 que energia de fluxo
 
 
Agora, vamos tratar cada termo em particular 
 
Fluxo de energia que entra 
 
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível –não é 
verdade no caso de metais líquidos) 
 
y
Tkdxuhdyvhdx 
  
 
Taxa de trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas) 
 
dxdy
y
u
u
y 






  
 
dydy
x
hhdy
x
u
u ))(( 


dydy
y
hhdy
y
u
u ))(( 


Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
116 
Fluxo de energia que entra 
 
)())(())(( 2
2
dy
y
T
y
Tkdxdydx
x
hhdx
x
u
udxdy
y
hhdy
y
v
v 





  
 
Desprezado os termos de ordem superior 
 
dxdy
x
ukdxdy
y
vhdxdy
y
h
vdxdy
x
uhdxdy
x
h
udydx
y
u
u
y 2
2
00 










  
2
2
0
)(
x
uk
y
v
x
uh
x
h
v
x
h
u
y
u
u
y
decontinuida















 
Com Tch p e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma 
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo: 
 
 











y
u
u
yy
Tk
y
T
vc
x
T
uc pp  2
2
 
 
 
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível 
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia). 
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada 
para: 
 
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u 


  
 
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o 
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como: 
 
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u 


 
 
 
onde, 
  é a viscosidade cinemática 
 
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando   , ou seja, 1Pr  

 
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de 
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0  . 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
117 
 
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada 
limite laminar são: 
 
 
Conservação de massa 0


y
v
x
u
 
 
 
Conservação da quantidade de movimento 
direção x 
x
p
y
u
y
u
v
x
u
u 




2
2
)(  
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u 


  Pressão constante 
 
Conservação de energia 2
2
y
T
y
T
v
x
T
u 


  
 
 
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do 
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius. 
 
 
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes: 
 
Espessura da camada limite hidrodinâmica (CLH): 
x
x
Re
5 ; 
 
Coeficiente local de atrito local: 2/1
,
Re664,0  xxfc ; 
 
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 
2/1
0
,,
Re328,1*21   Lf
L
xfLf LxCdxCL
c ; 
 
Razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 
3/1Pr
t

; 
 
Número de Nusselt local:  Pr6,0PrRe332,0 3/12/1xxNu 50 
 
Número de Nusselt médio: 3/12/1
0
PrRe664,0*21 L
L
LxxL NudxNuL
uN    . 
 
Definição do coeficiente de atrito: 
2/2

u
c sf 

, s tensão de cisalhamento na parede 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2017 
 
118 
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número 
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH. 
 Tu ,
)1(Pr T
)1(Pr  T
)1(Pr T
x
 
 
C.L.T C.L.H
 
 
 
Temos as seguintes relações: 
x
C xf
1
,
 , e 
x
h xf
1
,
 . 
 
TS 
T u 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
119 
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO 
INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN 
 
 
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os 
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi 
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução. 
Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada no método integral, também 
conhecida como solução de von Karman. 
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x paralela ao 
escoamento, cuja altura H se estenda para além da camada limite, isto é, H , 
conforme ilustrado na figura abaixo. 
x
y
1 2
A A
dx
H
 
 
Leis de conservação na camada limite laminar do elemento diferencial acima: 
 
Balanço de massa 
 
Fluxo mássico na face 1 – A: H udy
0
 
 
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudy
dx
d
udy
HH



 
00

 
Fluxo mássico na face A – A: dxudy
dx
d H



 
0

 
 
Balanço de fluxo de quantidade de movimento na direção x 
 
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: H dyu
0
2 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
120 
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyu
dx
ddyu
HH



 
0
2
0
2 
 
 
 
 Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudy
dx
d
u
H



 
0

 
 
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle 
 
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) = 
 
Fluxo liquido de Q. M. = dxudy
dx
d
udxdyu
dx
d HH






  
00
2 
 
 
Lembrando da regra do produto de diferenciação, vem que: 
 
)()()(  ddd  ou 
)()()(  ddd  
 
Fazendo  u 
  H udy
0
 , vem 
 
dx
dx
du
udydxudyu
dx
ddxudy
dx
d
u
HHH

 








 
000

 
 
dxudy
dx
dudxudyu
dx
d HH






  
00

 
 
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem: 
 
dxudy
dx
dudxudyu
dx
ddxdyu
dx
dMQfluxo
HHH









  
000
2
.. 
 
 
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma 
mais compacta: 
 
dxudy
dx
dudxudyuu
dx
dMQfluxo
HH






   
00
)(.. 
 
 
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos 
considerar as forças de pressão e de atrito. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
121 
- força resultante da pressão: dx
dx
dPH 
 
- força de cisalhamento na parede: -dx
0

y
p y
udx 
 
 
 
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser 
escrita (2ª lei de Newton): 
 
dxudy
dx
dudxudyuudx
dx
dPH
y
udx
HH
y






 
  
 000
)( 
 
 
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento 
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa 
hipótese não é válida): 0
dx
dP
 
 
A hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja 
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou 
cte
uP  
2 
 
De forma que, na forma diferencial: 00
2
2   duduudP 
Assim, a equação da conservação da Q.M. se resume a: 









  
H
y
udy)uu(
dx
d
y
u
00

 
 
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então: 
 
00
)(

 


 
yy
u
udyuu
dx
d 

 
 
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M. válida para o escoamento 
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o 
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se 
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
122 
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar 
hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da 
borda de ataque, (x). 
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de 
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção 
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de 
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia 
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem 
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a 
analisar as condições de contorno do problema, que são: 
0/0
/0
/
0/0
2
2







yp
y
u
yp
y
u
ypuu
ypu


 
 
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira 
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a 
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser 
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação 
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula 
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são 
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de 
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por: 
 
3
4
2
321)( yCyCyCCyu  
 
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado 
de velocidades: 
3
2
1
2
3)( 


 
yy
u
yu
 
 
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem: 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
123 
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
31

 







 




 


yy
udyyyyy
dx
d
u 

 
Do que resulta, após algum trabalho: 
 

  

 u
u
dx
d
2
3
280
39 2
 
 
Integrado essa equação por partes, lembrando que para x = 0  δ = 0 (a CL começa 
na borda de ataque): 
 
  xdxdu 0084078   
 
ou, 


u
vx
x 64,4)( , ou 
x
x
x
Re
64,4)( 
 
 
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornece: 
x
x
x
Re
5)( 
 
 Ver Holman Apêndice B ou Incropera 
 
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável. 
 
 
 Camada Limite Térmica Laminar 
 
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora se pode resolver o problema 
térmico, tendo sempre como alvo a obtenção do coeficiente de transferência de calor, h. 
Note que junto à superfície todo calor transferido da superfície para o fluido se dá por 
condução de calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que se 
podem igualar os dois termos da seguinte maneira: 
0
)(

 

y
p y
TkTTh , ou 
 






TT
y
Tk
h
p
y 0
 
 
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a 
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso 
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
124 
Condições de contorno 
 
0/0
/
/0
0/
2
2







yp
y
T
ypTT
yp
y
T
ypTT
t
t
p


 
 
Método integral (aproximado) 
 
x
y
x0
t 
u
T
cteTp 
 
 
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um 
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico, 
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem: 
(ver Holmam) 
00
2
0
)(

 









  
y
H
p
H
y
Tdy
dy
du
c
udyTT
dx
d 

 
 
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e 
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 
3
2
1
2
3)()(





 ttp
p yy
TT
TyTy


 
 
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas) 
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as 
espessuras de camadas limites: 
 
3/14/3
03/1 1Pr
026,1
1



 

 
x
xt


 
 
Se a placa for aquecida ou resfriada desde a borda, x0 = 0, temos 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
125 
3/1Pr
026,1
1 
 t
 
 
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos 
11
11
/Pr


 t
 
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de 
velocidades, calculada junto à parede 
 












tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
Tk
h 

 2
3
2
3
2
3
)(
)(0 , ou 
3/14/3
0
3/1
1Pr026,1
2
3




 


x
xkhx  , ou ainda 
 
3/14/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0





 




x
x
x
ukhx  
 
Lembrando da definição do número de Nusselt, 
k
xhNu xx  , vem: 
3/14/3
02/13/1 1RePr332,0




 


x
xNu xx 
 
As equações anteriores são para valores locais. 
 
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0: 
 
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
 




0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0 
, ou 
 
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
L
u
hL






, ou finamente: 
 
LxL hL
uh  


 

 2Pr332,02
2/1
3/1
 
 
Analogamente, para esse caso: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
126 
312166402 //LLxL PrRe,Nuk
Lh
uN  
 
 
Note que é a mesma expressão da solução exata! 
 
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as 
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf 
 
2
 TTT pf 
 
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se: 
 
31214530 //LL PrRe,k
hLNu 
 
 
Note que as dependências de Re e Pr são as mesmas, variando somente a constante de 
multiplicação (0,453 no lugar de 0,664). 
 
Ver exercíciosresolvidos do Holmam 5.4 e 5.5 
 
 
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom) 
 
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa 
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma 
temperatura de 90ºC. Determine: 
 
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica  ao final da placa 
(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa 
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa 
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida. 
 
São dados: 
Propriedades calculadas a CT f 0652
9040  
 = 7,3810-8 ms/s 
fk = 0,213 W/m
oC 
 = 6,510-5 m2/s 
 = 9,57102 kg/m3 
 = 6,2210-2 N.s/m2 
pC = 3016 Ck
J
g
 
 
 
 
CTp  90
u
T

t
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
127 
Solução 
 
Verificação se o escoamento é laminar ao final da placa 
 
)105(Re5538
105,6
606,0Re 55 
  transiçãoL
Lu
 É laminar! 
 
 
Método Exato Método Aproximado 
a) 
x
x Re
5 ; x = L = 6m 
m40,0
5538
65  
x
x Re
64,4 ; x = L = 6m 
m37,0
5538
664,4  
b) 
3/1
8
5
3/13/1 881
1038,7
105,6)/(Pr 

 




 
 t
 
mt 042,0881
4,0
3/1  
3/1Pr
026,1
1 
 t 
mt 037,0881
37,0
026,1
1
3/1  
c) 2/1
3/1Pr332,0 

 
L
ukhx  
Cm
W
hx




 
2
2/1
5
3/1
4,8
6105,6
06,0)881(213,0332,0
 
Cm
Whh LxL   28,164,822 
2/1
3/1Pr332,0 

 
L
ukhx  
Obs*: Tanto a solução exata como a 
aproximada leva a constante ao 
mesmo valor de 0,332 
Cm
Whx  24,8 
Cm
Whh LxL   28,164,822 
d) )(  TThAq s 

m
W
TTLh
L
q
s
p
5040
)4090(68,16)(

 
 
)(  TThAq s 

m
W
TTLh
L
q
s
p
5040
)4090(68,16)(

 
 
 
 
Analogia de Reynolds – Colburn ou Analogia entre Transf. de Calor e Atrito 
 
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento 
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta 
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta seção. Essa é a 
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com 
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição 
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
128 
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os 
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor. 
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por: 
 
2
2


u
C pf 

 
 
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso), 
a tensão de cisalhamento na parede é: 
 
0

y
p y
u 
 
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja: 
3
2
1
2
3 


 
yy
u
u
, 
temos que a derivada junto à parede resulta em: 




 u
y
u
y 2
3
0
 
 
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da 
camada limite, isto é, 
x
x Re
64,4 que, mediante substituição na definição da tensão de 
cisalhamento na parede, resulta em: 
x
uu x
p
Re
323,0
2
3    
 
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem: 
 
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re323,0
2 2





 
 
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de 
Nusselt, 2/13/1 RePr332,0 xxNu  que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como: 
2/13/2 RePr332,0
PrRe
 x
St
x
x
x
Nu

, onde Stx 


uc
h
p
x
 é o número de Stanton. Então, 
reescrevendo de forma compacta: 
x
xSt Re
332,0Pr 3/2 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
129 
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a 
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta 
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter: 
 
2
Pr 3/2 fxx
c
St  
 
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito 
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa 
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de 
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será 
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no 
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido – continuação do anterior 
 
Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior. 
 
 
Sabe-se que 3/2Pr
2
tS
C f  
 
Por outro lado, 52 1070,906,030161057,9
8,16 

 uc
h
tS
p
L
 
 
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92  fC , de forma 
que a tensão de cisalhamento na superfície é: 
 
2
2
222
1007,3
2
)06,0(9571078,1
2 m
NuC fp


  
 
 
Finalmente, a força de atrito por unidade de largura é: 
 
m
NL
L
F
p
p
184,061007,3 2  
 
______________________________________________________________________ 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
130 
AULA 15 –CAMADA LIMITE TURBULENTA E 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO 
EXTERNO 
 
 
 
Camada Limite Turbulenta 
 
A transferência de calor convectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente 
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da 
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três 
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo: 
 
x
y
turbulenta
Camada amortecedora
Sub camada laminar
 
 
A CLT é subdividida em: 
- Subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular 
- Camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas 
- Turbulento – misturas macroscópicas de fluido 
 
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o 
comportamento da oscilação da velocidade local (isto é, em um ponto do escoamento), 
o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo. 
t
u
u
 
 
Do gráfico ilustrado, depreende-se que a velocidade instantânea, u, flutua 
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato da flutuação da 
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa 
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades no equacionamento e no 
que se chama “problema da turbulência”. Para analisar o problema, costuma-se dividir a 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea- © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
131 
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação, 
como indicado: 
velocidade na direção paralela: 'uuu  
 
velocidade na direção transversal: 'vvv  
 
O mesmo se faz com o termo de oscilação da pressão local: 
 
pressão:   
fluctuacàomedio
táneoins
valor
PPP '
tan
 
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e uma apóstrofe, 
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças 
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser 
consideradas na análise. 
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da 
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar, em que o fluido se 
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções” 
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para 
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna 
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção” correspondente (2) desce para 
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de 
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada 
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem. 
 
 
 
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do 
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise 
mais profunda. No entanto, abaixo se mostram os passos principais da modelagem. 
O primeiro passo é escrever as equações diferenciais de conservação – aula 13. Em 
seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos correspondentes de média e 
flutuação, isto é, 'uuu  , 'vvv  e 'PPP  . Esse procedimento é chamado de 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
132 
médias temporais de Reynolds. Começando pela equação da conservação da quantidade 
de movimento, tem-se: 
x
P
y
u
y
u
v
x
u
u 






1
2
2
 
Agora, substituindo a decomposição das grandezas, 'uuu  , 'vvv  e 'PPP  , 
           PP
x
uu
y
uu
y
vvuu
x
uu 




 
1
2
2
 
 
x
P
x
P
y
u
y
u
y
u
v
y
u
v
y
u
v
y
u
v
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u















11
2
2
2
2
 
Neste ponto é conveniente realizar uma média temporal sobre um intervalo de tempo 
T = t2 - t1 longo o suficiente para capturar as informações relevantes de flutuação do 
escoamento. Para isso, define-se, a seguinte média temporal sobre uma grandeza 
instantânea f (ou sua derivada espacial) qualquer: 
 2
1
1 t
t
dt )t(f
T
f
 
As seguintes propriedades se aplicam: 
011112121 

 f e 
s
f
s
f
 ,ff ,fCCf ,ffff 11
 
sendo, C uma constante no intervalo de tempo e s é uma coordenada espacial (x, y ou z). 
Assim, aplicando a média temporal sobre a equação anterior, vem: 
x
P
x
P
y
u
y
u
y
u
v
y
u
v
y
u
v
y
u
v
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u















11
2
2
2
2
 
Usando as propriedades de média temporal, obtém-se a seguinte equação: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
133 
  
 00
2
2
2
2
00
0
11
x
P
x
P
y
u
y
u
y
u
v
y
u
v
y
u
v
y
u
v
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u
















 
Reescrevendo, vem: 











y
u
v
x
u
u
x
P
y
u
y
u
v
x
u
u 
1
2
2
 
Ainda, vamos tratar em separado as médias temporais que envolvem as flutuações 
(termos entre parênteses). O seguinte artifício matemático pode ser escrito: 
 
x
v
u
x
vu
x
u
v e 
x
u
u
x
uu
x
u
u 





 
De forma que aqueles termos podem ser escritos como: 
 

0










x
v
x
u
u
x
vu
x
uu
x
u
v
x
u
u 
O termo entre parênteses do lado direito é nulo pela lei da conservação de massa. 
Substituindo a igualdade acima, obtém-se a forma da equação diferencial turbulenta da 
conservação da quantidade de movimento: 











x
vu
x
uu
x
P
y
u
y
u
v
x
u
u 
1
2
2
 
 
Como indicado acima, no processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média 
temporal das flutuações e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que 
envolvem a média temporal da derivada do produto das flutuações, que são os termos 
entre parênteses. Por fim, ainda existe uma última simplificação que envolve a camada 
limite. Para o caso do escoamento bidimensional verifica-se que o gradiente do produto 
das flutuações na direção principal x (primeiro termo dos parênteses) é desprezível em 
relação ao segundo termo, de forma que a equação final da conservação da quantidade 
de movimento turbulenta é: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
134 
x
vu
x
P
y
u
y
u
v
x
u
u 






1
2
2
 
 
 Aqui reside grande parte do problema da turbulência que é justamente se estabelecer 
modelos para estimar o gradiente da média temporal do produto das flutuações das duas 
componentes de velocidade. Este termo dá origem às chamadas tensões aparentes de 
Reynolds que têm um tratamento à parte. 
De forma análoga, pode-se estabelecer a equação da energia para a camada limite 
turbulenta, o que resulta em: 



 









'T'vC
y
Tk
yy
T
v
x
T
uC pp  
 
Por semelhança ao caso laminar, definem-se: 
 
Viscosidade turbilhonar: uvy
u
M 

 e 
Difusividade turbilhonar: Tvy
T
H 

 
Assim, definem-se a tensão de cisalhamento total turbulenta por:   y
u
Mt 
 
, 
e transferência de calor total turbulenta:   y
TCq Hpt 
 
 
Distante da parede, o domínio da viscosidade e da difusividade turbilhonares é superior 
em relação às grandezas moleculares, isto é,  M e  H . De forma que se 
pode definir um número de Prandtl turbulento, HMt /Pr  aproximadamente 
unitário. Isso indica que os transportes de energia e de quantidade de movimento nessa 
região ocorrem na mesma proporção e que os perfis de temperatura e de velocidade 
médios sejam mais uniformes nesta região. 
O estudo das grandezas turbilhonares dão origem aos perfis de velocidade e temperatura 
universais. Importante frisar, que as muitas análises indicam que a analogia de 
Reynolds-Colburn entre atrito superficial e transferência de calor pode ser estendida 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
135 
para região turbulenta. É objeto dos estudos de turbulência adequadamente modelar os 
efeitos das variações instantâneas das grandezas, o que foge do escopo destas notas de 
aula. 
É importante saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e 
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões 
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela 
7.9 do Incropera e Witt. 
 
Resumo das expressões de transferência de calor para regime turbulento sobre 
superfícies planas: 
 
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu  60Pr6,010Re 8 x 
Médio :   318,0 Pr871Re037,0  LLNu 810Re L 
2,0Re37,0  x
x
 810Re L 
Nota: para outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula. 
 
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média 
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105 
 
_____________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido (Holman 5-7) 
Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de 
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa. 
Propriedades avaliadas à CT  40
2
6020
 
Ckg
kJ
cp  007,1 3128,1 m
kg 7,0Pr  
Cm
Wk  02723,0 
ms
kg
x 510007,2  
610475,1Re xVLL  

 
2055)871Re037,0(Pr 8,03/1  LL k
LhNu 
CmWNu
L
kh L  2/6,74 
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(   
______________________________________________________________________ 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
136 
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos 
 
No caso do escoamento externo cruzado 
sobre cilindros e tubos, a análise se torna 
mais complexa. O número de Nusselt 
local, dado em função do ângulo de 
incidência , isto é, Nu(), é fortemente 
influenciado não só pela formação das 
camadas limites, como também pelo efeito 
do descolamento da camada limite. A 
figura ao lado indica o que acontece com o 
número local de Nusselt. Para ReD  105, o 
número de Nusselt decresce como 
consequência do crescimento da camada 
limite laminar (CLL) até cerca de 80o. 
Após este ponto, o escoamento se descola 
da superfície destruindo a CLL e gerando 
um sistema de vórtices e mistura que 
melhora a transferência de calor (aumento de Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transição 
de laminar para turbulento e, portanto, a formação da camada limite turbulenta (CLT). 
Na fase de transição (80o a 100o) ocorre a melhora da transferência de calor. Uma vez 
iniciada a CLT, novamente se verifica a diminuição do coeficiente local de transferência 
de calor devido ao crescimento da CLT para, em torno de 140o, descolar o escoamento 
da superfície que destrói a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e mistura que 
volta a melhorar a transferência de calor. No caso turbulento há, portanto, dois mínimos. 
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante 
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de 
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de 
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da 
correlação empírica de Hilpert, dada por: 
3
1
PrRemDD Ck
DhNu 
 
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como 
função do número de Reynolds. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
137 
ReD C m 
0,4 – 4 0,989 0,330 
4 – 40 0,911 0,385 
40 – 4.000 0,683 0,466 
4.000 – 40000 0,193 0,618 
40.000 – 400.000 0,027 0,805 
 
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma 
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na 
próxima tabela (Jakob, 1949). 
 
 
 
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão 
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por 
 
4/1
Pr
PrPrRe 



s
nm
DD CNu válida para 




610Re1
500Pr7,0
D
, 
 
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são 
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se 
Pr  10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
138 
ReD C m 
1 – 40 0,75 0,4 
40 – 1.000 0,51 0,5 
1.000 – 2105 0,26 0,6 
2105 – 106 0,076 0,7 
 
____________________________________________________________ 
 
Escoamento sobre Banco de Tubos 
 
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor. 
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula 
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é 
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio. 
Arranjos em linha ou quicôncio 
 
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos. 
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para 
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente, 
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão: 
4/1
36,0
max, Pr
PrPrRe 



s
m
DD CNu 
válida para 











6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
 
 
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é 
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre 
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
139 
Configuração ReD,max C m 
Alinhada 10-102 0,80 0,40 
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40 
Alinhada 
Em quicôncio 
102-103 Aproximado como um único 
102-103 cilíndro (isolado) 
Alinhada 
(ST/SL>0,7)a 10
3
-2105 0,27 0,63 
Em quicôncio 
(ST/SL<2) 10
3
-2105 0,35(ST/SL)1/5 0,60 
Em quicôncio 
(ST/SL>2) 10
3
-2105 0,40 0,60 
Alinhada 2x105-2106 0,021 0,84 
Em quicôncio 2x105-2106 0,022 0,84 
a
 Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados. 
 
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir 
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme 
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo. 
20220   LL NDND NuCNu 
 
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103) 
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que 
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em 
V
DS
SV
T
T
max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em 
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máximapode ocorrer em duas regiões, 
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição 
for satisfeita )()(2 DSDS TD  que, após uma análise trigonométrica simples, se 
obtém a seguinte condição equivalente 
22
212
2 DSSSS TTLD




 

 . Se isso 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
140 
acontecer, então: V
DS
SV
D
T
)(2max  . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a 
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS
SV
T
T
max . 
 
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt) 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
141 
 
 
______________________________________________________________________ 
Exercício de Aplicação 
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C. 
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de 
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C. 
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro 
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais 
condições são mantidas. Pede-se: 
(a) Em qual caso a troca de calor é maior. 
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos. 
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na 
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua 
resposta através de um memorial de cálculo. 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
142 
Solução 
Propriedades do ar à C
TT
T p   45
2
 
ν = 1,68 x 10-5 m2/s 
k = 2,69 x 10-2 W/mK 
Pr = 0,706 
 
Placa 
L=0,25m
CTp  60
smu /4
CT  30
 
 
critL x
Lu Re1095,5
1068,1
25,04Re 45 
  
5105 
 
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1  xNu LL 
Assim CmW
L
kNuhL  2/56,15
25,0
02697,02,144
 
 
Cilindro 
 
D
CTs  60
 Tu ,
 
 
πD = L  D = 0,25/π = 0,0796 m 
 
Assim, 45 10895,11068,1
0796,04Re 
 D 
 
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b) 
 
3/1PrRemDD CNu  p/ReD=1,895104 C = 0,193 
 m = 0,618 
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu 
de forma que: KmW
D
kNuh DD 2/63,25
0796,0
02697,063,75  
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh  e a área de troca de 
calor é a mesma. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
143 
b) 
Placa 
 
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(


 
 
Cilindro 
 
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(


 
 
 
c) Porção laminar 5
,
105Re Lcrit 
Note que 51059,1Re/ReRe  DLD  sendo equivalente ao crítico. 
 
3/12/1 PrRe664,0 LL L
kh  (A) 
 
m
D
m
DD CL
kC
D
kh RePrRePr
3/1
3/1  (B) 
Portanto de (A), 2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k  , que, pode ser subst. em (B), para obter 
L
m
D
D
L
m
D
D hC
hCh 5,02/1 Re669,2Re664,0
Re  

 
 
Ou 5,0Re669,2  mD
L
D C
h
h
 para o caso laminar na placa 
 
 
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105 
 
3/18,0 Pr)871Re037,0(  LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista) 
 
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0(  LLk
Lh
 e 
871Re037,0
Pr
8,0
3/1
 L
Lh
L
k
 (C) 
 
sub. em (B), vem 
871Re037,0
Re
8,0  L
L
m
D
D
hCh  
 
Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0
Re
8,0  L
m
D
L
D C
h
h 
 
 
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa 
 
871Re037,0
Re
8,0  L
m
D
L
D C
h
h 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2017 
 
144 
Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões 
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e, 
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do 
cilindro (na faixa de validade das expressões) 
 
 
ReD C m hD/hL regime 
4 0,898 0,33 2,09 laminar 
40 0,911 0,385 1,59 “ 
4000 0,683 0,466 1,38 “ 
40000 0,193 0,618 1,8 “ 
159000 0,027 0,805 2,78 “ 
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb 
400000 0,027 0,805 1,43 “ 
 
 
 
 
 
L
D
h
h
 
 
ReD 
 
 
 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 145 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR 
DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR 
 
 
 
Considerações hidrodinâmicas do Escoamento 
 
Diferentemente do escoamento externo sobre corpos e superfícies, a camada limite 
interior tem início e crescimento sobre a superfície interna do tubo ou duto que, 
dependendo do comprimento do tubo, vai se coalescer na linha central, como ilustrado 
abaixo. O comprimento até que isso ocorra é chamado de comprimento de entrada. A 
partir desse ponto, diz-se que o escoamento é plenamente desenvolvido. 
 
Desenvolvimento da camada limite laminar 
 
 
xe – comprimento de entrada 
 
x > xe – escoamento plenamente desenvolvido 
 
O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é: 

 Du
D Re , sendo u – velocidade média 
O caso laminar vai ocorrer para 2300Re D e, nesse caso, o comprimento de entrada 
se estende até DeD
x
Re05,0 
 
Desenvolvimento da camada limite turbulenta 
No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, 
essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na 
figura abaixo. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 146 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
 
Nesse caso, Dxe 10 . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento, 
quando seu valor será superior a 4000, isto é, 4000Re D . Entre 2300 e 4000 ocorre 
transição laminar-turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento 
turbulento a partir de 2300. 
 
TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA 
 
No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de 
calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos 
ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando 
em consideração a temperatura da superfície, Ts, e do fluido ao longe, T∞, que é 
constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior de tubos e dutos. Não 
existe uma temperatura ao longe constante, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica 
pela lei de resfriamento de Newton. Deve-se, portanto, utilizar uma temperatura 
representativa do fluido na seção de interesse, Tm. Não se pode ser a temperaturamédia 
aritmética simples, pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura que 
efetivamente represente a temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura 
média de mistura ou de copo. 
 
)(
cte
s TThAq 
T
sT
C.L.
externo
 
 
 
)( ms TThAq 
sT
interno
 
 
 
Para se entender como obter a temperatura média de mistura, considere os seguintes 
perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido: 
 
sT
cT
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 147 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede, porém nessa região é 
exatamente onde ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples 
 TdAATm 1 não representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura 
efetiva da seção, considere o exercício mental em que uma porção da seção transversal 
do tubo com fluido é colocada dentro de um copo. Há de se concordar que a 
temperatura efetiva que representa a seção é aquela temperatura decorrente do equilíbrio 
térmico daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo 
de temperatura de copo (“cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo 
original). 
dx
(copo)
mequilibrio TT 
 
 
Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE , na seção transversal 
dado por:   Ah uhdAmhdE
0
 . 
Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por: 
mh
A
m hmEuhdA
m
h   0
1  
 
Mas, sabendo que mpm Tch  , então:  A P
P
m TdAuC
mC
T
0
1  
Se CP= cte., vem que  Am uTdAmT 0
1  
Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por  A udAm
0
 
Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou 
temperatura de copo, qual seja: 


 A
A
m
udA
uTdA
T
0
0


 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 148 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por 
rdrdArA  22  que, substituindo na expressão acima, resulta em: 



r
r
m
urdr
uTrdr
T
0
0


 (Válida para tubo circular) 
 
Além do mais, se ρ= cte, vem 


 R
R
m
urdr
uTrdr
T
0
0
 (válida para tubo circular) 
Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto 
 
Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se 
determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de 
velocidade e de temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar 
fornece tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de 
velocidades ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se um balanço de forças para o 
elemento de fluido. 
 
ra
q
r
 
Elemento de fluido
)2( rdx
dx
2)( rdpp )( 2rp 
 
 
 
Um balanço de forças, resulta em: )2(2 rdxdpr   , ou dx
dr
du
rdp 2 , ou ainda: 
dr
dx
dprdu 2 
Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção 
transversal, isto é, p p(r), vem que C
dx
dpr
u  4
2
 
A constante C é determinada da condição de parede, isto é, 
 
u = 0 
r = r0 dx
dprC 4
.
2
0 
 
r0 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 149 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Assim, )(
4
1)( 220 rrdx
dp
ru   
 
Velocidade no centro do tubo, u0: dx
dpr
u 4
2
0
0  
Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se: 
2
0
2
0
1)(
r
r
u
ru 
 O perfil de velocidades é parabólico (2º grau)!! 
 
Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0
dx
dq p
 
 
Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em: 
 
x
T
r
T
r
rr 








11
 
 
Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: cte
x
T 

 
 
Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 0
0


rr
T
 e, na parede do 
tubo cteq
r
Tk p
rr


 0
 
 
Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil 
laminar de temperaturas: 
 













4
0
2
0
2
00
0 4
1
4
1)(
r
r
r
rru
x
TTrT  
 
Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r), 
na equação da definição da temperatura média de mistura  00
00
rr
m urdruTrdrT 
Após algum esforço, se obtém 
x
TruTTm 
 
2
00
0 96
7
 (para fluxo de calor constante na 
parede). 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 150 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de 
parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em: 
x
T
ruTTp 
 2000 16
31
 (fluxo de calor constante) 
 
Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com 
propriedades constantes, fluxo de calor constante na parece, e escoamento plenamente 
desenvolvido pode ser calculado, a partir da sua própria definição: 
 
0
)(
rr
mp
r
TkATThAq

 , ou  mp rrTT
r
Tk
h 


  0 
 
 
Substituindo as expressões, vem: 
 





























 
    
mP TT
rr
x
TruT
x
T
ruT
r
r
r
rru
x
TT
r
k
h


2
00
0
2
000
4
0
2
0
2
00
0
96
7
16
31
4
1
4
1
0
 
 
Após se efetuarem os cálculos, vai-se chegar a 
D
kh 364,4 ou, 364,4DNu . Este é 
um resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente 
desenvolvido, propriedades constantes, submetido a um fluxo de calor constante não 
depende do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem 
efetuados para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3DNu . 
Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são 
apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado. 
Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as 
temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 
2
msme
m
TTT  quando as diferenças de 
temperatura não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar 
o conceito de diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, visto adiante. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 151 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
No caso de seções transversais não circulares, define-se o chamado diâmetro hidráulico, 
Dh, de acordo com: 
P
ADh
4 , onde A é a área da seção transversal do tubo e P é o chamado perímetro 
molhado (o perímetro que abarca o fluido que está em contato com a parede da 
tubulação). 
Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está 
plenamente desenvolvido e deve-se usar a expressão corrigida. O gráfico abaixo ilustracomo o número de Nusselt varia, começando da entrada, até que o escoamento se torne 
plenamente desenvolvido. 
Relação para tubo curto:   3/2PrRe)/(04,01
PrRe)/(0668,066,3
D
D
D LD
LDNu  
 
Nu
x
Plenamente desenvolvido
 
Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 152 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO 
 
Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura 
média de mistura varia ao longo do tubo. Isto é obtido, mediante um balanço de energia, 
conforme ilustrado na figura abaixo. É válida para qualquer regime de escoamento, pois 
decorre de uma análise da Primeira Lei da Termodinâmica. Note que, nesta seção, h 
refere-se à entalpia específica e não ao coeficiente convectivo de calor. 
dx
dxxhm x
hm
pdAq"
 
Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ... dxdx
dhhh xxdxx 
 
Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm "  , que substituindo a expansão, já 
desprezando os termos de ordem superior, tem-se 
px
x
x dA"qhmdxdx
dhhm 

   
ou, simplesmente px dA"qdxdx
dh
m  , sendo Ap = área em contato com o fluido. 
Mas, por outro lado PdxdA  ; onde P é o perímetro molhado. 
De forma que Pdxqdx
dx
dh
m x " 
Ou, ainda, Pq
dx
dh
m x " . Assumindo cteC/pdTCdh ou,TCh PPmp  , tem-se 
 
dx
dTCm
dx
dTAuCPq mPmP  " 
 
Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de 
contorno impostas na parede do tubo. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 153 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
(I) Fluxo de calor constante na parede. cteq"  
 
Integrando a equação, vem ctex
AuC
Pq
xT
P
m  
")( 
 
Para x = 0, Tm = Te, de forma que e
P
m TxAuC
Pq
xT  
")( 
 
 
(II) Temperatura de parede constante Tp = cte 
 
Nesse caso, )(" mpxx TThq  que, substituindo na expressão Tm, vem 
dx
dTCmTTPh mPmpx  )( 
Ou, dx
cm
Ph
TT
dT
p
x
mp
m
 , cuja integração resulta em ctexCm
PhTT
P
c
mp  )ln( 
 
Para x = 0, Tm = Te, de forma que 



P
c
ep
mp
Cm
Pxh
TT
xTT
exp
)(
 
 
T Tp
Te
Tm
h
h
 
Fluxo de calor constante na superfície 
T
x
Tp
Te
 
Temperatura de parede constante 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
154 
AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR 
DE DUTOS - TURBULENTO 
 
 
Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de 
Reynolds-Colburn 
 
 
 
 
No caso laminar, a transferência de calor da parede para o fluido (ou vice-versa) é dada 
por condução, segundo a lei de Fourier, isto é, 
dr
dTk
A
q  , ou 
dr
dT
cA
q
p
  
 
No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão análoga que tem a seguinte 
forma 
 
 
dr
dT
cA
q
H
p
  
 
em que, artificialmente, define-se H como difusividade térmica turbilhonar. 
 
Analogamente à tensão de cisalhamento , tem-se: 
 
dr
du
dr
du
m )( 
  
em que, m é a viscosidade turbilhonar. 
 
 
 
Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportados a 
uma mesma taxa, ou seja, H = m e Ȟ = α, então tem-se que Pr = 1. De forma que, 
dividindo as equações anteriores, vem: 
 
du
dT
Ac
q
p
 ou dTduAc
q
p
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
155 
 
Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o 
cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que 
ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é: 
 
ppP
p
P AC
q
AC
q
  ou dTduAC
q
ppP
p  
 
As condições de contorno do problema são: 
 u = 0 , T = Tp 
 u = um , T = Tm 
 
De forma, que é possível integrar a equação:   m
p
m T
T
u
pPp
p dTdu
CA
q
0
 
 
que resulta em mpm
pPp
p TTu
CA
q  
mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq  . Agora 
igualando as duas expressões, tem-se: 
mpm
ppp
mpp TTu
cA
TThA 
)(
 que resulta em p
p
m
c
hu 
 (A) 
 
Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido ilustrado abaixo resulta em: 
LrrP p 0
2
0 2  , ou PL
r
p  2
0 
 
Lrp 02
p
2
0)( rPP 20rP
L
 
 
Mas, da mecânica dos fluidos, sabe-se que a perda de pressão distribuída é dada por: 
 
2
2
0
mu
d
LfP  , 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
156 
sendo, f = fator de atrito (sai do diagrama de Moody ou de uma expressão de ajuste – 
Colebrook, Churchill, entre outras) 
Assim, comparando as duas expressões, vem que 
 
2
8 mp
u
f   (B) 
 
Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim: 
 
2
8 mp
m u
f
C
hu 
 
Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o 
fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por 
rearranjar a equação acima, para obter: 
 8
f
uC
h
mp

 
Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas, 
conforme indicado abaixo: 
 
8
1 f
DuC
k
k
hD
mp









 
 
que, pode ainda ser manipulada para obter: 8 
11 f
/uD/k
hD
m








 
Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos: 
8
f
RePr
Nu
D
D  , ou 
8
fSt  
 
Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo 
com dados experimentais para gases (Pr ~ 1). Com base em dados experimentais 
Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até 
100). Lembre-se que essa analogia já havia sido desenvolvida para escoamento laminar. 
8RePr 31
fNu
D
D  , ou 
8
Pr 32 fSt  
 
Na faixa de Reynolds entre 2 104, para tubos lisos, f pode ser aproximado pela seguinte 
equação de ajuste 
2,0Re184,0  Df . 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
157 
Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada) 
 
3/18,0 PrRe023,0 DDNu  
 
Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo 
 
n
DDNu PrRe023,0
8,0
 
sendo, 
n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado 
n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido 
 
Para tubos rugosos, usar o diagrama de Moody, como mostrado abaixo, para obter f. 
 
Ou uma expressão de correlação, como por exemplo as expressões de Churchill ou 
Colebrook: 
Expressão de Churchill:  
121
5,1
12
1
Re
88 







BA
f
D
 
em que, 
   
16
9,0 27,0Re7
1ln457,2 







 DA D 
 
e 
16
Re
530.37




D
B 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
158 
A expressão acima tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-
turbulento 
 
Expressão de Colebrook (clássica): 


  2/12/1 Re
51,2
7,3
/log0,21 f
D
f D

 
 
 
 
 
 
Correlações válidas considerando a região de entrada para tubos lisos: 
 
0,5 < Pr < 1,5 ��̅̅ ̅̅ � = Ͳ,Ͳʹͳ4ሺ���ସ/ହ − ͳͲͲሻ��ଶ/ହ [ͳ + (��)ଶ/ଷ] 
0,5 < Pr < 1,5 
 ��̅̅ ̅̅ � = Ͳ,Ͳͳʹሺ���0,଼଻ − ʹ8Ͳሻ��ଶ/ହ [ͳ + (��)ଶ/ଷ] 
 
 
CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS 
 
(A) Laminar 
 
As propriedades são calculadas à temperatura de mistura. Acontece que algumas 
propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da 
água: 
 
ȝ (T = 25°C) ~ 8,90 x 10-4 kg/ms 
ȝ (T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4 kg/ms 
 
Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. 
 
Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em 
consideração. 
 
n
p
m
cor NuNu 


 

 
 
ȝm = viscosidade à temperatura da mistura. ȝp = viscosidade à temperatura da parede 
Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 
 
(B) Turbulento 
 
n
p
m
cor
T
TNuNu 


 
 
Ver tabela de correlações para outras 
configurações 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
159 
T – temperatura absoluta 
n = 0 (resfriamento de gases) 
n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) 
 
se 0,5 < Tm / Tp < 2,0 
 
Líquidos 
11,0
Pr
Pr




p
m
cor NuNu 
 
 
 
Exemplos resolvidos 
 
(1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e 
sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de 
parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a 
transferência de calor e a temperatura de saída do ar. 
 
0,6m
Te Ts
CTp  38
 
 
Calcule as propriedades à temperatura média 
2
se
m
TTT  
 
Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu  (1) 
 
Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh   (2) 
 
Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) 
 
Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, 
conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se 
todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado 
da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída. 
Admite Ts Calcula Tm Calcula da eq. (1)
Nova Ts
h
Compara Ts
com eq. (2)
fim
igual
diferente
 
 
Ts = 21ºC  Tm = 18ºC 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
160 
Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação 
 
ρ = 1,2191 kg/m3 γ = 14,58 x 10-6 m2/s Pr = 0,72 
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C 
 
5
6 10029,11058,14
05,030Re x
x
xVD
D   turbulento !!!! 
34,206)72,0()5^10029,1(023,0PrRe023,0 4,08,04,08,0  xNu DD 
Cm
W
D
kNuh D  24,10505,0
02554,0*34,206
 
 
De (2)
 
    C
x
TT
mc
hATT mp
p
es 
 7,171838
100056,1072,0
6,005,04,10515 3

 
 
Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária 
 
Assumindo agora Ts = 18ºC 
 
Logo, Tm = 16,5ºC, assim: 
 
ρ = 1,2262 kg/m3  = 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711 
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C 
 
51004,1Re xD  skgm /072,0 CmWh  2/27,105 
CTs  95,17 OK! Agora, confere 
 
Realizando os próximos cálculos. Pela lei de resfriamento 
 
WTTAhq mps 3,213)5,1638(6,005,027,105)(   
 
Pela 1ª. Lei 
WTTcmq esp 2,217)1518(6,1005072,0)(   
 
As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das 
propriedades. 
 
 
 
 
(2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. 
A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 
90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é 
longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
161 
Solução 
 
As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de 
misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. 
 
ρ = 992,3 kg/m3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C ȝ = 6,531 x 10-4 kg/ms Pr = 4,34 
 
 
O número de Reynolds do escoamento é 
 
4
4 10039,310531,6
3,99202,01Re 
 
VD
D 
O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de 
Dittus-Bolter, vem. 
 
4,08,0 PrRe023,0
D
DNu  
 
Assim,   5,15934,410039,3023,0 4,08,04 DNu 
 
As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção 
deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades 
constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97. 
 
0,174
97,1
34,45,159
Pr
Pr 11,0
11,0






P
m
cor NuNu 
O coeficiente médio de transferência de calor é 
 
Cm
W
D
kNuh cor 
 21,546802,0
6286,00,174
 
 
 
  2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p  
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
162 
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT 
 
 
No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido 
varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima 
foram apenas aproximados, pois usamos uma temperatura média representativa do 
fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e a 
de saída. No entanto, prova-se (ver próxima aula) que nestes casos deve-se usar a 
diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por: 
 
 
 es
es
TT
TTDMLT 

ln
 
 
sendo, sps TTT  e epe TTT  
 
T
x
Tp
Te
 
 
Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq  
 
Refazendo o exercício, vem:   CDMLT o2,477030ln
7030  - compare com CT o40 
 
Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq  
 
Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e 
saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender à diferença entre a temperatura de 
parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída. A DMTL será 
estudada detalhadamente na próxima aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
163 
Outro exemplo de Aplicação 
 
Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante 
de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm. 
 
1) se a água entra no tubo a skgm /01,0 e Tm,1 = 20°C. Qual ocomprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2 
= 80°C? 
2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída? 
 
Solução 
 
L
Ts
skgm /01,0
CTm  201
CTm  802
 
 
1) 1º Lei TCmQ p  , com DLqQ "  e, portanto, TCmDLq p  " 
De forma que: 
Dq
TCm
L p"
  , ou m,
,
,L 3113
0601000
604181010 
  
2) )(" 2,2, mps TThq  ou 2,2, " msp Th
qT   
 
Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h 
 
Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds: 
 D
m
D
DmDum
D
 44Re 2  
da tabela 2680 /10352 mNsC   , então 
2300603
1035206,0
01,04Re 6 
 D - Laminar !! 
 
Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4
k
DhNuD 
Assim, 
D
kh 364,4 , mas CmWk C  /670,080 
Logo, CmWxh  2/73,48
06,0
67,0364,4
 
 
Finalmente, CTp  5,1008073,48
1000
2, 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 164 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
AULA 18 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA 
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE 
TEMPERATURA – DMLT 
 
 
O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área 
superficial necessária para transferir o calor de um fluido quente para um fluido frio, 
conhecidas as vazões de pelo menos um dos fluidos e as temperaturas dos fluidos. Este 
trabalho é facilitado pelo uso do coeficiente global de transmissão de calor, U, já 
definido anteriormente, que é: 
 
TAUq  
 
Onde, T é uma “diferença média efetiva ou representativa das temperaturas” dos 
fluidos para todo o trocador de calor; U já foi definido e representa a inverso das 
resistências térmicas. Para as configurações usuais mais encontradas, temos: 
 
Paredes plana: 
21 /1//1
1
hkLh
U  
 
Parede cilíndrica: 
   00000 /1//ln/
1
hkrrrhrr
U
iii 

 , ( TAUq oo  ) 
   ooioiiii hrrkrrrhU ///ln/1
1
 , TAUq ii  
 
Onde os índices i e o representam as superfícies interna e externa do tubo, 
respectivamente. 
A tabela a seguir fornece valores aproximados de U para alguns fluidos utilizados em 
trocadores de calor. As faixas relativamente largas de U resultam da diversidade dos 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 165 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configuração 
geométrica. 
 
Fluido (U – W/m²K) 
Óleo para óleo 170-312 
Orgânico para orgânico 57-340 
Vapor para 
 Soluções aquosas 567-3400 
 Óleo combustível, pesado 57-170 
 Óleo combustível, leve 170-340 
 Gases 28-284 
 Água 993-3.400 
Água para 
 Álcool 284-850 
 Salmoura 567-1.135 
 Ar comprimido 57-170 
 Álcool condensado 255-680 
 Amônia condensado 850-1.420 
 Freon 12 condensado 454-850 
 Óleo condensado 227-567 
 Gasolina 340-510 
 Óleo lubrificante 113-340 
As figuras abaixo mostram alguns tipos de trocadores de calor. 
 
 
 
 
 
 
 Corrente paralela Contra-corrente 
 
 
 Corrente cruzada Corrente cruzada 
 
 
 
 
 
 Casco e tubo 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 166 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
 Trocador de placas 
 
 
O TROCADOR DE CALOR DE CORRENTES PARALELAS 
 
Antes de serem efetuados os cálculos da transferência de calor, é necessário definir 
“diferença média efetiva ou representativa das temperaturas” T . Seja, por exemplo, 
um trocador de calor de correntes paralelas, cujos perfis de temperatura estão mostrados 
na seguinte figura. 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 167 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Para a configuração acima considerar que: 
1. U é constante ao longo de todo o trocador. 
2. O sistema é adiabático ocorrendo troca de calor somente entre os dois fluidos. 
3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e 
podem ser representadas pela temperatura de mistura. 
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes. 
Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os fluidos quente (q) e frio (f) para 
uma espessura infinitesimal dx é: 
( )q fdq U T T dA  
 
onde dA é a área elementar de troca de calor. O fluxo de energia recebida pelo fluido 
frio é igual à fornecida pelo fluido quente, isto é, 
 
qqqfff dTcmdTcmdq   
 
onde m é o fluxo mássico e c é o calor específico. Da equação anterior resulta: 
 
1 1( )q f
q q f f
d T T dq
m c m c
       
 
 
Substituindo dq da equação de transferência de calor, resulta: 
 
( ) 1 1
( )
q f
q f q q f f
d T T
U dA
T T m c m c
        
 
 
Cuja integração é igual a 
 
2
1
1 1ln
q q f f
T UA
T m c m c
        
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 168 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
onde, 1 qe feT T T   e 2 qs fsT T T   , como indicado no gráfico de distribuição de 
temperaturas da figura anterior (“e” refere-se à entrada e “s”, à saída). Por meio de um 
balanço de energia em cada fluido, tem-se: 
 
( ) ( )q q f fqe qs fs fe
q q
m c m c
T T T T
   
Substituindo-se estas expressões na equação anterior: 
 
2
1
( ) ( )
ln qe qs fs fe
T T T TT UA
T q
     
Ou: 
 12
12
ln TT
TTUAq 

 
 
Comparando-se este resultado com a primeira equação, nota-se que “diferença média 
efetiva ou representativa das temperaturas” T , procurada é dada por: 
 
  DMLTTT
TTT 

12
12
ln
 
 
Esta diferença média efetiva ou representativa de temperatura é chamada de diferença 
média logarítmica de temperatura (DMLT). 
 
 
O TROCADOR DE CALOR EM CONTRA-CORRENTE 
 
As distribuições de temperaturas nos fluidos quente e frio associadas a um trocador de 
calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figura abaixo. Note que a 
temperatura de saída de fluido frio (Tfs) pode ser maior que a temperatura de saída de 
fluido quente (Tqs). 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 169 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
 
De forma similar que para o caso de correntes paralelas pode-se demonstrar o DMLT 
para o caso contra-corrente que a taxa de transferência por conservação de energia 
infinitesimal e convectivo são respectivamente: 
 
q q q f f fdq m c dT m c dT    e ( )q fdq U T T dA  
Subtraindo o segundo e terceiro termos da equação de conservação infinitesimal e 
substituindo a segunda equação juntamente com a equação de conservação, tem-se 
 
1 2 1 21 1( ) ( ) q q f fq f q f
q q f f
T T T T
d T T dq U T T dA
m c m c q q
                  
 
ou 
1 1 2 2
( ) ( ) ( )( )
q f
q f q f
q f
d T T U T T T T dA
T T q
        
Substituindo a equação anterior em termos das seções 1 e 2 do gráfico acima:( )
1 2
( )
( )q f
q f
d T U T T dA
T q


     
 
Integrando a equação acima, obtém-se: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 170 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
ATT
q
U
T
T )(ln 21
1
2 





 
ou 
DMLTAUq  onde  12
12
ln TT
TTDMLT 

 
Onde 1 qe fsT T T   e 2 qs feT T T   
 
Para as mesmas temperaturas de entrada e saída, a DMLT em contra-corrente é maior 
que para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para 
uma determinada taxa de transferência de calor é menor para um trocador em 
contracorrente. 
 
Exemplo resolvido (do Incropera): 
 
Um trocador de calor de tubos concêntricos com configuração em contracorrente é 
utilizado para resfriar o óleo lubrificante do motor de uma grande turbina a gás 
industrial. A vazão da água de resfriamento do tubo interno (Di = 25 mm) é de 0,2 kg/s, 
enquanto a vazão do óleo através da região anular (De = 45 mm) é de 
0,1 kg/s. O óleo e a água entram às temperaturas de 100 °C e 30 °C, respectivamente. O 
coeficiente de transferência de calor por convecção na região anular (do óleo) é de 
38,4 W/m²K. Qual deve ser o comprimento do trocador se a temperatura de saída do 
óleo deve ser de 60°C? 
 
Solução 
Considerações: 
 Perda de calor para a vizinhança desprezível. 
 Mudanças nas energias cinética e potencial desprezíveis. 
 Propriedades constantes. 
 Resistência térmica na parede do tubo e efeitos da deposição desprezíveis. 
 Condições de escoamento completamente desenvolvidas na água e no óleo (U 
independente de x). 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 171 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
 
Propriedades do óleo de motor novo ( qT = 80 °C) 
cp = 2.131 J/kg-K; μ = 0,0325 N.s/m²; k = 0,138 W/m K. 
Propriedades da água ( cT 35 °C) , primeira aproximação! 
cp = 4.178 J/kg K; μ = 0,000725 N.s/m²; k = 0,625 W/m K; Pr = 4,85. 
 
,
( )q p q qe qsq m c T T  
0,1 2131 (100 60) 8.524q W    
 
 
A temperatura de saída da água é: 
,
fs fe
f p f
qT T
m c
  
8524 30 40,2
0,2 4178fs
T    °C 
 
Por tanto a primeira aproximação de fT = 35 °C foi uma boa escolha. 
A DMLT é igual a: 
  
C
TT
TT
TTTT
DMLT
feqs
fsqe
feqsfsqe 










 2,43
30
98,5ln
308,59
ln
)()(
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 172 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
O coeficiente de transferência global é dado por (já desprezando a condução de calor 
através da parede): 
ei hh
U
/1/1
1
 
 
Para o escoamento da água através do tubo, 
4 4 0, 2Re 14.050
0,025 0,000725
c
D
e
m
D  
    (Turbulento) 
Usando a expressão de Dittus-Boelter modificada para aquecimento (da água), vem^: 
 
9085,414050023,0PrRe023,0 4,05/44,05/4  DDNu 
 
Assim: 
KmW
D
kNuh
i
Di ²/250.2025,0
625,090 
 
 
Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é: 
KmWU ²/8,37
4,38/1250.2/1
1  
 
A área necessária para a troca de calor é de: 
DMLTU
qA  
E o comprimento será de: 
 
m
DMLTUD
qL
i
5,66
2,438,37025,0
524.8   
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 173 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
O MÉTODO F 
 
Para trocadores de calor mais complexos, como os multitubulares, diversos passes na 
carcaça ou correntes cruzadas, a determinação da diferença média efetiva de 
temperatura é tão difícil que o procedimento usual é modificar a equação acima através 
de um fator de correção F, resultando em: 
 
DMLTFAUq  
 
onde, DMLT é aquela para um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente com 
as mesmas temperaturas de entrada e saída da configuração mais complicada. As figuras 
a seguir fornecem os fatores de correção para diversas configurações. Nestas figuras, a 
notação (T, t) representa as temperaturas das duas correntes de fluido, pois não importa 
se o fluido quente escoa nos tubos ou na carcaça. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 174 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 175 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 176 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
AULA 19 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA 
EFETIVIDADE - NUT 
 
 
O método estudado de cálculo térmico de trocadores de calor estudado na aula anterior, 
DMLT, é útil quando as temperaturas de entrada e saída dos fluidos frio e quente são 
conhecidas. Porém, se mais de uma das temperaturas de entrada ou saída do trocador de 
calor forem desconhecidas, o método DMLT é trabalhoso, necessitando de um método 
iterativo do tipo tentativa e erro até a convergência final. Nesta aula, vamos ver um 
segundo método que dispensa o conhecimento de todas aquelas temperaturas. Trata-se 
do método da efetividade () e do número de unidades de transferência (NUT). Para 
isso, considere a seguinte definição de efetividade: 
máx
real
q
q
possívelcalordetrocamáxima
realcalordetroca  
 
Sendo que a máxima troca de calor possível é aquela que resultaria se um dos fluidos 
sofresse uma variação de temperatura igual à máxima diferença de temperaturas 
possível, o que ocorre com a temperatura de entrada do fluido quente (Tq) menos a 
temperatura de entrada do fluido frio (Tf). Este método emprega a efetividade  para 
eliminar a temperatura de saída desconhecida e fornece a solução para a efetividade em 
termos de outros parâmetros conhecidos ( m , c, A e U). 
Seja a capacidade definida como cmC  . Então, pela 1a Lei da Termodinâmica, tem-
se: 
 
( ) ( )
real q qe qs f fs feq C T T C T T    
 
O que indica que o fluxo de calor cedido pelo fluido quente é aquele recebido pelo 
fluido frio. A máxima troca de calor ocorre quando o fluido de menor C sofrer a maior 
variação de temperatura possível, isto é, 
 
min ( )máx qe feq C T T  
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 177 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Esta troca de calor seria conseguida num trocador de calor de contracorrente de área 
infinita. Combinando as equações acima, obtém-se: 
 
min ( )real qe feq C T T  
 
Trocador de Calor de Correntes Paralelas 
Considere o trocador de calor simples de correntes paralelas como aquele da figura 
abaixo: 
 
 
As seguintes hipóteses simplificadoras são válidas: 
1. O coeficiente global de transf. de calor U é constante ao longo de todo o trocador. 
2. O sistema é adiabático; ocorre transferência de calor somente entre os dois fluidos. 
3. As temperaturas de ambos os fluidos são uniformes numa dada seção transversal e 
podem ser representadas pela temperatura de mistura. 
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes. 
Note que são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálculo de DMLT. 
Combinando as equações acima, são obtidas as duasexpressões para a efetividade: 
 
min min
( ) ( )
( ) ( )
q qe qs f fs fe
qe fe qe fe
C T T C T T
C T T C T T
     
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 178 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o fluido quente quanto para o fluido 
frio, existem dois valores possíveis para a efetividade: 
 
:
qe qs
q f q
qe fe
T T
C C
T T
    
:
fs fe
q f f
qe fe
T T
C C
T T
    
 
Os índices de  indicam qual fluido tem o valor mínimo de C. Para um TC muito 
grande ( A ) 
 
 
 
Retomando a equação da DMLT, esta pode ser escrita em função de C da seguinte 
maneira: 
 
2
1
1 1ln
q q f f
T UA
T m c m c
        
, (eq. da DMLT) 
 
1 1ln qs fs
qe fe q f
T T
UA
T T C C
        
 
 
Ou 
 
1 q
q f
CUA
C Cqs fs
qe fe
T T
e
T T
        
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 179 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
Se considerado que o fluido quente tem o valor mínimo de C, a partir da equação da 
efetividade, obtém-se: 
 
feqe
fefs
feqe
fsqs
feqe
feqe
feqe
qsfsfsfefeqe
esqe
qsqe
q TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TTTTTT
TT
TT





 
 
qq
real
f
real
feqe
fsqs
feqe
fefs
feqe
fsqs
q
C
q
C
q
TT
TT
TT
TT
TT
TT

 


 11 
Rearranjando, 
 
feqe
fsqs
f
q
q TT
TT
C
C




  11 
ou 
 
1
1
1 /
q
q f
CUA
C C
q
q f
e
C C

        
 
Se o fluido frio tem o valor mínimo de C: 
 
qf
C
C
C
UA
f C/C
e q
f
f





 
1
1
1

 
Ou generalizando: 
máx
C
C
C
UA
CC
e máx
/1
1
min
1 min
min





 

 
 
Denomina-se Número de Unidades de Transferência (NUT) ao agrupamento: 
minC
AUNUT 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 180 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Então temos para um T.C de corrente paralela: 
máx
C
CNUT
CC
e máx
/1
1
min
1 min





 
 
 
 Note que, para um evaporador ou condensador, C = Cmin/Cmáx=0, porque um dos 
fluidos permanece numa temperatura constante, tornando seu calor específico (aparente) 
efetivo infinito. 
 
Outras Configurações 
Expressões para a efetividade de outras configurações estão na seguinte tabela, em que 
C = Cmin/Cmáx. NUT (na tabela NUT está escrito como NTU – number of transfer units). 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 181 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 182 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Exemplo 
 
Uma fluxo de água de 0,75 kg/s entra num TC de tubo duplo, em contra-corrente, a 
temperatura de 38 °C. A água é aquecida por um fluxo de óleo de 1,51 kg/s (cp=1,88 
kJ/kgK) que entra no TC a 116 °C. Para uma área de 13 m² e U=340 W/m²K determinar 
o fluxo de calor total transferido. 
 
Solução: 
 
Cágua = 0,75 x 4184 = 3138 W/oC = 3,138 kW/ oC 
Cóleo = 1,51 x 1880 = 2838,8 W/oC = 2,8388 kW/ oC 
Logo, Cmin = Cóleo 
Então, 
NUT = UA/Cmin = 340 x13/2838,8 = 1,557 
 
C = Cmin/Cmax = 2838,8/3138 = 0,905 
 
Da expressão ou do gráfico do TC em tubo duplo, em contra-corrente: 
 � = ͳ − �−�௎்ሺଵ−�ሻͳ − ܥ × �−�௎்ሺଵ−�ሻ = ͳ − �ଵ,557ሺ଴,9଴5−ଵሻͳ − Ͳ,ͻͲͷ × �ଵ,557ሺ଴,9଴5−ଵሻ = Ͳ,͸ʹ͹ 
 
kW,)(,,qq maxreal 813838116838826270   
 
As temperaturas de saída das correntes quente e fria são obtidas da equação de 
conservação de energia: 
 
C,
,
,
C
qTT
óleo
real
qeqs  16783882
8138116
 
C,
,
,
C
qTT
água
real
fefs  2821383
813838 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 183 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Correntes paralelas 
Considere o mesmo TC, mas agora na configuração de correntes paralelas. 
 
 
 
 
4980
90501
1
1
1 9050155711
,
,
e
C
e ,,CNUT
q 



 
 
kW ,)(,,qq maxreal 311038116838824980   
 
C,
,
,
C
qTT
óleo
real
qeqs  07783882
3110116
 
 
C,
,
,
C
qTT
água
real
fefs  1731383
311038 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Continuação 
Calcule o fluxo de calor do trocador de calor do exemplo anterior usando o método F-
DMLT da aula anterior. Admita as temperaturas de entrada do problema e as de saída 
que foram obtidas para as configurações de contra-corrente e de correntes paralelas. 
Comente. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 184 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
Solução 
 
Contra-corrente ௤ܶ௘ = ͳͳ͸°ܥ ௤ܶ� = ͸͹,ͳ°ܥ ௙ܶ௘ = ͵ͺ°ܥ ௙ܶ� = ͺʹ,ʹ°ܥ ∆ ଵܶ = ௤ܶ௘ − ௙ܶ� = ͳͳ͸ − ͺʹ,ʹ = ͵͵,ͺ°ܥ ∆ ଶܶ = ௤ܶ� − ௙ܶ௘ = ͸͹,ͳ − ͵ͺ = ʹͻ,ͳ°ܥ ܦܯܮ �ܶ� = ͵͵,ͺ − ʹͻ,ͳ݈� ቀ͵͵,ͺʹͻ,ͳቁ = ͵ͳ,Ͷ°ܥ ��� = ܷ × � × ܦܯܮ �ܶ�= ͵ͶͲ × ͳ͵ × ͵ͳ,Ͷ ��� = ͳ͵ͺ,ͺ݇� 
 
Correntes paralelas ௤ܶ௘ = ͳͳ͸°ܥ ௤ܶ� = ͹͹,Ͳ°ܥ ௙ܶ௘ = ͵ͺ°ܥ ௙ܶ� = ͹͵,ͳ°ܥ ∆ ଵܶ = ௤ܶ௘ − ௙ܶ௘ = ͳͳ͸ − ͵ͺ = ͹ͺ°ܥ ∆ ଶܶ = ௤ܶ� − ௙ܶ� = ͹͹,Ͳ − ͹͵,ͳ = ͵,ͻ°ܥ ܦܯܮ �ܶ௣ = ͹ͺ − ͵,ͻ݈� ቀ͹ͺ͵,ͻቁ = ʹͶ,͹°ܥ ��௣ = ܷ × � × ܦܯܮ �ܶ௣= ͵ͶͲ × ͳ͵ × ʹͶ,͹ ��௣ = ͳͲͻ,ʹ ݇� 
 
Comentários 
(1) Nas configurações contra-corrente e correntes paralelas os valores do fluxo de 
calor são os mesmos, como era de se esperar. A diferença (110,3 e 109,2 kW) no 
caso de corrente paralela se deve pelo número de casas decimais usadas. 
(2) Evidentemente, esse era um resultado esperado, pois os dois métodos são 
equivalentes e devem levar ao mesmo resultado. 
(3) Note que, em geral, a configuração de contra-corrente tem uma capacidade 
maior para a mesma carga térmica de trabalho, mantidas as demais condições 
operacionais. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
185 
AULA 20 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE 
 
Nos casos anteriormente estudados, os de convecção interna e externa, havia o 
movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento 
forçado pode ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou 
outra máquina de fluxo. A força da gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito 
sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em 
repouso e em contato com uma superfície aquecida (ou resfriada) a transferência de 
calor da superfície para o fluido deverá ocorrer de forma não forçada. Nesse caso o 
número de Reynolds é nulo e as correlações desenvolvidas para a convecção forçada 
não se aplicam. Assim, o movimento do fluido junto à superfície vai ocorrer como 
resultado de outro fenômeno, originário da variação de densidade do fluido como 
consequência de gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto, 
considere uma superfície vertical em contato com um fluido em repouso. A região em 
contato com a superfície aquecida também vaise aquecer e, como consequência, haverá 
uma diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as menos 
aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas 
tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e 
hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da CLH, as 
condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície 
e também na extremidade da camada limite, como ilustrado. 
 
 
Equações diferenciais 
 
 
 
Quantidade de movimento 
 
2
2
y
ug
x
p
y
u
v
x
u
u 







 
 
 
x
y
CLH
CLT
Tœ 
uœ = 0
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
186 
Mas, g
x
p

  , de forma que substituindo na equação da QM, vem 
 
2
2
)(
y
ug
y
u
v
x
u
u 







  
 
Mas o coeficiente de expansão voluntária,  , pode ser escrito como: 
 












TTT p




11
, ou )(   TT (aproximação de 
Boussinesq), logo, 
 
2
2
)(
y
uTTg
y
u
v
x
u
u 



  
 
 
Note que para gás perfeito, ][K 11 1-
TRT
P
TP
RT
T pp
GP 







  
 
A equação da Energia: 2
2
y
T
y
T
v
x
T
u 






 
 
 
Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da 
convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da 
energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo  TTg
acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da solução dessas 
camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9.4 do livro do Incropera, como ponto de 
partida para aquele aluno mais interessado. De forma que, a partir desse ponto, lança-se 
mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório. 
 
O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional 
chamado número de Grashof, Gr, por 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
187 
2
3)(

xTTgGr sx 

 
 
Este adimensional representa a razão entre as forças de empuxo e as forças viscosas na 
convecção natural. Ele desempenha um papel semelhante ao do número de Reynolds na 
convecção forçada, o qual representa a razão entre as forças de inércia e as forças 
viscosas. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e da energia pode 
ser escrita da seguinte forma geral: 
 
Pr),(GrfNu  
 
A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar, 
resulta em: 
4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu  
 
e o valor médio de Nusselt 
 
Lxx
L
xL NuGrdxNuL
uN 
   34Pr)952,0(Pr677,01 4/14/12/10 
Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas 
limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é 
910Pr critGr 
 
 
Relações Empíricas 
 
Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser 
relacionadas da seguinte forma. 
 
,Pr)( mm CRaGrCuN  
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
188 
sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a 
temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de 
Rayleigh  

v
LTTgGrRa s
3
Pr.  
 
 
a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas 
 
 
Geometria Ra C m obs 
4/1
35
LGrL
D  Cilindros e placas verticais 10
4
 – 109 0,59 ¼ Laminar 
109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento 
 Cilindros horizontais 104 – 109 0,53 ¼ Laminar 
109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento 
 
b) Fluxo de calor constante 
 
Grashof modificado: Gr* 2
4
*
. 

k
xqgNuGrGr Bxx  
 
Laminar, placa vertical:   5/1* Pr.60,0 xx GrNu  11*5 1010  xGr 
 
Turbulento, placa vertical:   4/1* Pr.17,0 xx GrNu  16*13 10Pr10.2  xGr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
189 
Sumário de correlações (Incropera) 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
190 
____________________________________________________________________ 
Exemplo sugerido 
 
Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de 
Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD  para 
cilindros horizontais. 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
191 
Espaços Confinados 
 
 
Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes 
verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas 
por uma distância . A figura seguinte mostra os perfis de 
velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com 
MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado 
na distância  entre as placas: 
 
2
3
21 )(

 TTgGr  
 
 
 
 
Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção 
diminuem com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é 
transferido por condução de calor. Outros regimes de convecção também existem, 
dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é expresso em 
 
 
T2 T1 
21 TT 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
192 
função da distância das placas, isto é: 
k
hNu   . Conforme indicado por Kreith, 
algumas correlações empíricas podem ser empregadas: 
 
 
Gr - número de Grashof baseado na distância  entre as placas. 
 
 
No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não 
haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e, 
nesse caso, a transferência de calor se dará por meio de condução de calor simples. Já 
no caso recíproco, isto é, temperatura da placa inferior maior que a da placa superior, 
haverá convecção. Para um número de Grashof baseado na distância  entre as placas, 
Gr, inferior a 1700 haverá a formação de células hexagonais de convecção conhecidas 
como células de Bernard, como ilustrado abaixo. O padrão das células é destruído pela 
turbulência para Gr  50000. 
 
 
Segundo Holman, há certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços 
confinados pode ser expressa por meio de uma expressão geral do tipo: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
193 
  mn LGrC
k
hNu 

 

 Pr 
C,m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman 
adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica. 
 
 
 
CONVECÇÃO MISTA 
 
Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente. 
Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações e os fenômenos vão 
ocorrer mediante a presença das forças que o controlam (forças de empuxo, atrito e 
inercial). De forma que existem determinadas situações em que os dois efeitos 
convectivos são significativos, para as quais se dá o nome de convecção mista. 
Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 LLGr . As formas 
combinadas dessas duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias 
gerais: (a) escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas 
formas de convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com 
movimento forçado ascendente de ar); (b) escoamento oposto se dá quando os 
movimentos induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas 
(exemplo de uma placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); (c) 
escoamento transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
194 
cilindro aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto 
seja resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e 
natural, NuN, segundo a seguinte expressão: 
 
n
N
n
F
n NuNuNu 
 
 
Onde, o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para 
escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas), 
respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais, 
enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos. 
 
 
 
Exemplo 
 
Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm 
de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de 
TS = 69 oC e é circundada por água a T∞ = 25 oC. Determine o fluxo de calor total em 
watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações: 
(a) a água está em repouso; 
(b) a água se movimenta com uma velocidade ascendente de U∞ = 0,04 m/s; 
(c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada? 
 
 Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natural (livre) e 
forçada. Para isso, verifique se a condição em que os dois efeitos são significativos dado por GrD ≈ReD2 e 
use a expressão Nu3 = NuF3 + NuN3, onde, NuN é o número de Nusselt calculado como se houvesse apenas 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
195 
convecção natural e NuF se houvesse apenas convecção forçada. Todos os números de Nusselt são 
baseados no diâmetro da esfera. 
 
Solução 
(a) Propriedades da água a CTTT sf   472
2569
2
 
mKWksmxK /627,0/1082,5/0004366,0 27   
smxKkgJcp /10515,1)7,0(84,3Pr/4182 27  
 
  116
77
33
101014,2
1051,11082,5
01,0)2569(0004366,081,9 
  xxxv
DTTgRa s 

 
 
22
84,3
469,01
)1014,2(589,02
Pr
469,01
589,02 9/416/9
4/16
9/416/9
4/1




 






 


 xRaNu N 
KmW
D
kNuh NN
2/1379
01,0
627,022  
 
222 0003140010 m,,DAs   
    W,,TTAhq ssNN 119256900031401379   
 
(b) 
  556398)1082,5(
01,0)2569(0004366,081,9
27
3
2
3
  xv
DTTgGr sD

 
 
687
1082,5
01,004,0Re 7   xv
DU
D 
 
121,1
687
556398
Re 22

D
DGr
 
 
mskgmskgx s /10400/10557 66    
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2017 
 
196 
    25,04,05,05,025,04,03/25,0
400
55784,368706,06874,02PrRe06,0Re4,02 





s
DDFNu 

28,30FNu 
 
74,33
333  NuNuNuNu NF 
 
KmW
D
kNuh 2/2115
01,0
627,074,33  
 
    W,,TThAq ss 229256900031402115   
 
(c) 
1
Re2

D
DGr
  portanto, assumindo 01,0
Re2

D
DGr
 
01,0
Re 1 DD
GrDU   
sm
Gr
D
U D /434,0
01,0
556398
01,0
1082,5
01,0
7




 (ou maior) 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
197 
AULA 21 – INTRODUÇÃO À RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
 
A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor existente. Das 
três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por causa da radiação térmica que o 
planeta Terra é aquecido pelo Sol e, como consequência, vida se mantém em nosso 
planeta. Mais intrigante ainda, é que todos os corpos emitem radiação térmica, pois a 
emissão de radiação térmica depende da temperatura absoluta do corpo, mais 
precisamente de sua temperatura absoluta elevada à quarta potência. Assim, tudo que 
está ao nosso redor nesse exato momento está emitindo radiação térmica, incluindo nós 
mesmos. Finalmente, diferentemente dos outros dois modos de transferência de calor, a 
radiação térmica não precisa de um meio material para ocorrer. Assim é com a radiação 
que chega do Sol ao planeta Terra através do espaço. 
 Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela 
radiação térmica (e por radiação, de uma forma mais ampla). Em determinadas 
experiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por 
ondas eletromagnéticas e, em outros experimentos, como sendo transportada por fótons. 
É a chamada dualidade onda-partícula. No entanto, sabe-se que ela viaja à velocidade 
constante da luz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada 
fóton é hȞ, onde h é a constante de Planck, que vale h = 6,625.10-34 Js. E a freqüência, 
Ȟ, está relacionado com o comprimento de onda, Ȝ, por meio de: 
 
c = Ȝ Ȟ, 
 
onde, c é a velocidade da luz que vale c = 3108 m/s no vácuo. Uma unidade corrente do 
comprimento de onda é o Angstron que vale mA 10
o 
10 1  . Um submúltiplo de Ȝ é o 
micrômetro, ou m que vale 1 m = 10-6 m, que será usado. 
Classificam-se os fenômenos de radiação pelo seu comprimento de onda (ou 
freqüência). Claro que a radiação e seu comprimento de onda característico, ou 
comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi produzida. Elétrons de alta 
freqüência quando bombardeiam uma superfície metálica produzem raios X, enquanto 
que certos cristais podem ser excitados para produzirem ondas de rádio em grandes 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
198 
comprimentos de onda. Entretanto, a radiação térmica é aquela que é produzida por um 
corpo em virtude tão somente da sua temperatura absoluta. O esquema a seguir ilustra 
os diversos tipos de radiação. 
 
 
(b) 
 
(a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de 
acordo com sua faixa; (b) detalhe da radiação térmica na faixa de 
comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível. 
(Kreith e Bohn, 2003 e infoescola). 
 
 
Radiação gama – é uma forma de radiação de alta freqüência(baixos comprimentos 
de onda) que é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na 
medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos. 
Raios X – sua origem se dá no movimento dos elétrons e seus arranjos eletrônicos. 
Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrutura 
cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios produzidos pelo Sol. 
 Radiação ultravioleta – faixa de radiação compreendida entre 0,01 e 0,4 m e que é 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
199 
produzida pelas reações nucleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre 
absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (possível causa de câncer de pele). 
 Radiação visível (luz): é a faixa da radiação que somos capazes de “enxergar” e está 
compreendida entre os comprimentos de onda 0,4 e 0,70 m. 
 
 
A luz “branca” do sol é a combinação de várias “cores” (ilustração do Wikipedia). 
 
Radiação infravermelha - faixa de radiação compreendida entre 0,7 e 1000 m. 
Também pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação 
térmica é contínua para todos os comprimentos e não se situa em uma faixa específica 
apenas. 
 
Microondas – faixa de radiação de se estende para além dos 1000 m. 
 
Ondas de rádio – faixa de freqüência usada para radio e telecomunicações de 
comprimento de onda superiores a 1 m. 
 
Corpo Negro 
 
A radiação térmica é a forma de radiação emitida por um corpo em virtude tão somente 
da sua temperatura absoluta. A pergunta natural seguinte é: dois corpos à mesma 
temperatura (digamos 300 K) emitem a mesma quantidade de radiação térmica? A 
resposta é: não! Então, a outra pergunta natural que segue é: Existe, então, algum corpo 
que naquela temperatura (suponhamos ainda os 300 K) emita a maior quantidade 
possível de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de 
corpo negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor que percebemos do corpo 
(ou a ausência de cor). O brilhante sol, por exemplo, é um corpo com características 
próximas de um corpo negro. Assim, um corpo negro, ou irradiador ideal, é um corpo 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
200 
que emite e também absorve, a uma dada temperatura, a máxima quantidade possível de 
radiação térmica em qualquer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna uma 
idealização para efeito de cálculos, pois que, dada uma temperatura, sabe-se que ele vai 
emitir (e também absorver) a maior quantidade de radiação térmica. De forma que os 
corpos reais podem ser comparados contra o corpo negro para saber o quanto eles 
emitem (e absorvem) de radiação térmica relativamente ao corpo negro. É possível 
calcular o quanto um corpo negro emite de radiação térmica em uma dada temperatura e 
comprimento de onda por unidade de área de superfície do corpo. Essa quantidade é 
definida como poder emissivo espectral ou monocromático, EnȜ, onde o índice “n” se 
refere ao fato de ser um corpo negro e, “Ȝ”, ao fato de ser espectral (para um 
comprimento de onda do espectro). As unidades de EnȜ são W/m2m. Planck mostrou 
que o poder emissivo espectral do corpo negro se distribui segundo a seguinte 
expressão: 
,)1( /5
1
2  TCn e
CE   
 
onde: C1 = 3,7415108 W(ȝm)4/m2 = 3,741510-16 W.m2 
 C2 = 1,4388104 ȝm.K = 1,438810-2 m.K 
 
A expressão da lei de Planck permite extrair algumas informações bastante relevantes 
sobre a radiação térmica, destacando-se: 
 
(1) – A radiação térmica emitida por um corpo negro (poder emissivo 
espectral, EnȜ) é contínua no comprimento de onda. Isto é, trata-se de uma 
grandeza que se distribui desde Ȝ = 0 até o maior comprimento de onda 
possível (∞); 
(2) – A um dado comprimento de onda, Ȝ, EnȜ aumenta com a temperatura; 
(3) – A região espectral na qual a radiação se concentra depende da 
temperatura, sendo que comparativamente a radiação se concentra em 
menores comprimentos de onda; 
(4) – Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, o qual pode ser 
aproximado por um corpo negro a 5800 K, se encontra na região visível 
(0,35 a 0,7 ȝm). 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
201 
 
As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a expressão de 
Planck no gráfico di-log a seguir que tem o poder emissivo espectral no eixo das 
coordenadas e o comprimento de onda no eixo das abscissas. Os pontos de máximo 
poder emissivo espectral estão unidos por uma linha pontilhada, chamada de lei de 
deslocamento de Wien, dada por: 
 








 0)1( /5
1
2
T
TC
T
n
e
CE


 
KmT .10898,2 3max

 lei de deslocamento de Wien 
 
 
 
Uma vez que se conhece a distribuição espectral da radiação de corpo negro (poder 
emissivo espectral), é possível calcular o poder emissivo total de corpo negro, En, isto é, 
a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para uma dada 
temperatura. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim: 
 

  de
CdEE TCnn
0
/5
1
0 )1( 2
 
4TEn  
po
de
r 
em
iss
iv
o
 
es
pe
ct
ra
l, 
E n
Ȝ W
/m
2 m
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
202 
 
Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,66910-8 W/m2K4 é a 
constante de Stefan-Boltzamann (S-B). 
Supondo que o Sol seja um corpo negro a 5800 K, qual é o seu poder emissivo total? De 
acordo com a lei de S-B, o seu poder emissivo é: 
./64/104,6580010669,55800 227484 mMWmWEsol   
Então, o Sol lança ao espaço a inimaginável quantia de 64 MW por metro quadrado da 
sua superfície! Isto significa que em cerca de 39 m2 de superfície solar há uma emissão 
energética equivalente à taxa de calor necessária (com rendimento de 40%) para acionar 
uma usina termelétrica de 1 GW. 
Outra pergunta relevante é a seguinte: quanto de radiação térmica solar atinge o planeta 
Terra? Nesse caso, a emissão total do sol para o espaço é solsolsol AEQ  . Esta quantia 
é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a superfície aproximadamente esférica 
que contém a órbita média da Terra, Aterra. Nota: não se trata da área da superfície da 
Terra, mas da superfície esférica (aproximada) que engloba a órbita do movimento da 
Terra. Assim, 
onde ,
R
REqAqAE.constQ
terra
sol
solterraterraterrasolsolsol
2



 
Rsol é o raio do sol (7105 km); Rsol é o raio da esfera aproximada que contém a órbita 
da Terra (150106 km) e qterra é o fluxo de calor na forma de radiação térmica solar que 
chega por unidade de área na esfera que contém a órbita da terra. Assim, 
./ 1400
150
7,0000.000.64 2
22
mW
R
REq
terra
sol
solterra 




 
Então, chega-se à cerca de 1400 W/m2 de fluxo de calor solar irradiante na região do 
espaço onde se encontra a Terra. Claro que a parte que chega na superfície da Terra é 
menor que essa quantia, pois depende da latitude da região e da época do ano, além 
desse valor também ser atenuado devido às absorções de radiação da atmosfera. 
A fração de radiação térmica emitida por um corpo negro no intervalo de comprimentode onda [0-λ1], isto é, F[0-Ȝ1], vale 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
203 
4
0
/5
1
0
]0[
)()1( 2
,1
1 T
d
e
c
E
E
F
TC
n
n



 



 
 
Os valores de F[0-Ȝ1], são mostrados na tabela seguinte. Se for preciso calcular a fração 
de radiação emitida no intervalo Ȝ1 - Ȝ2, ou seja, dentro de uma janela espectral, então: 
 
F[Ȝ1-Ȝ2] = F[0-Ȝ2] - F[0-Ȝ1] 
 
 
.103K 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
204 
Exemplo: 
A radiação solar tem aproximadamente a mesma distribuição espectral que a de um 
corpo negro irradiante ideal a uma temperatura de 5800 K. Determine a quantidade de 
radiação solar que está na região visível (use 0,4 a 0,7 μm) 
Usando a tabela acima, vem 
4919,0406058007,07,00
1245,0232058004,04,00
]7,00[2
]4,00[1




FT
FT


 
 
A fração de radiação no faixa visível é F[0,4-0,7] = 0,4919 – 0,1245 = 0,3674 
 
En = 0,367464,1610-6 = 23,57106 W/m2 
 
36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faixa do visível! O gráfico di-log 
anterior nos induz a pensar que é a quantia de radiação solar no visível é pequena. 
Porém, um gráfico em escalas naturais nos daria o aspecto quantitativo de forma mais 
precisa. 
 
Outro exemplo (extraído de Kreith e Bohn, 2003): 
 
Vidro de sílica transmite 92% da radiação solar incidente na faixa de comprimentos de 
onda compreendida entre 0,35 e 2,7 ȝm (portanto, engloba todo o espectro visível) e é 
opaco para comprimentos de onda fora dessa faixa. Calcule a porcentagem de radiação 
solar que o vidro vai transmitir. 
 
Pra a faixa de comprimentos de onda indicada, tem-se 
 
 
97,01566058007,270,20
067,02320580035,035,00
]7,20[2
]35,00[1




FmKT
FmKT
tabela
tabela


 
 
Assim, F[0,35-2,7] = 0,97 – 0,067 = 0,903. Isto significa que 90,3% da radiação solar 
incidente atinge o vidro e 0,9030,92=0,83, ou 83% dessa radiação incidente será 
transmitida pelo vidro. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 205 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
AULA 22 – PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
Propriedades da Radiação 
Quando energia radiante incide a superfície de um material, parte da radiação térmica 
vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilustrativo 
abaixo. 
refletida
incidente
absorvida
transmitida 
 
Dessa forma, definem-se as seguintes propriedades da superfície: 
 
ρ – refletividade ou fração de energia radiante que é refletida da superfície; 
α – absortividade ou fração de energia radiante que é absorvida pela superfície; 
τ – transmissividade ou fração de energia radiante que é transmitida através da superfície; 
 
De forma que a somatória das três parcelas deve ser unitária, isto é: 
ρ + α + τ = 1 
 
Essas propriedades também podem ser espectrais ou monocromática, ou seja: 
 
1   
O gráfico abaixo mostra o exemplo da aula passada sobre a transmissividade do vidro 
mencionado. 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 206 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Muitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, ou seja τ = 0. Para estes casos 
de corpos opacos à radiação térmica, tem-se: 
ρ + α = 1 
A radiação térmica emitida por uma superfície varia em função da natureza da 
superfície e da direção. Entretanto, é uma boa hipótese assumir que a radiação térmica é 
difusa, ou seja, a emissão da radiação se dá uniformemente em todas as direções. 
 
Irradiação 
 
A taxa de radiação que atinge uma dada superfície, G. Ela pode ser espectral ou 
monocromática Gλ, ou total, G. De forma que: 

0
dGG 
 
Lei de Kirchoff – Relação entre Emissividade e Absortividade 
Considere um grande recipiente isotérmico com temperatura superficial Tsup, que se 
comporta como uma cavidade negra com poder emissivo En (que é função da 
temperatura Tsup). Agora, coloca-se um corpo no seu interior que está em equilíbrio 
térmico com a cavidade. Esse corpo recebe uma irradiação G = En 
 
 
 
No equilíbrio, tem-se que a radiação térmica total emitida pelo corpo, isto é, o produto 
do seu poder emissivo total pela sua área, EA, deve ser igual à irradiação, G, absorvida 
pelo corpo, isto é: 
 
EA = αGA 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 207 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Ou, como, no equilíbrio, G = Em, vem: 
EA = αEnA 
 
Agora dividindo uma expressão pela outra, obtém-se: 
 
E/En = α 
 
O que significa dizer que a razão entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de um 
corpo negro idêntico, En, é igual à absortividade do corpo, α. Mas, por outro lado esta é 
a própria definição da emissividade do corpo, ε: 
 
ε = E/En 
 
então, chega-se a uma importante relação ente a emissividade e a absortividade, isto é: 
 α = ε 
 
A igualdade acima é a chamada lei de Kirchoff. 
 
As emissividades e absortividades são propriedades medidas dos materiais. Na 
realidade, a emissividade de um corpo varia com a temperatura e o comprimento de 
onda. Pode-se definir a emissividade espectral ou monocromática como sendo a razão 
entre os poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma 
temperatura. 
ελ = Eλ/Enλ 
De forma que pode-se definir a emissividade total, da seguinte forma: 
 
4
0
0
0
..
T
dE
dE
dE
E
E n
n
n
n 






 

 


 
 
A emissividade é uma propriedade do material e do seu acabamento superficial, além da 
temperatura. A título de exemplo, a 300K, a emissividade vale 0,03 para alumínio 
altamente polido, vale 0,05 para folhas brilhantes e 0,84 para superfície anodizada. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 208 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livro-
texto. Na figura seguinte mostra-se a variação da emissividade em função da 
temperatura. 
 
 
 
Corpo Cinzento 
Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfície são independentes do 
comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos 
reais são aproximados por corpos cinzentos, exceto em caso de estudos mais detalhados. 
De forma que, para o corpo cinzento, é válida a seguinte relação: 
 
ε = ελ = constante e α = αλ = constante 
 
O gráfico abaixo ilustra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando que a 
emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma 
temperatura, pode ver que o corpo real tem um espectro de emissividade 
monocromática que depende de vários fatores como natureza da superfície, incluindo o 
material e acabamento e tem um padrão geral como ilustrado (em azul). O corpo negro é 
aquele que possui emissividade unitária (total e monocromática) e seu poder emissivo 
espectral segue a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais que é o corpo 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferênciade Calor e Massa 209 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
que possui emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilustrado em 
cor laranja), sendo menor que a unidade. 
P
o
d
e
r 
e
m
is
s
iv
o
 e
s
p
e
c
tr
a
l
)( m
Corpo negro 1
Corpo real f()
Corpo cinzento cte
 
 
Mostra-se na figura seguinte a variação da absortividade ou emissividade 
monocromática, com o comprimento de onda para isolantes elétricos. A emissividade 
espectral pode ser medida em laboratório. 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 210 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Radiosidade – Quantidade de radiação que deixa um corpo 
 
refletida
G
radiosidades
G
Eb
G G
 
A radiosidade consiste nas parcelas de reflexão da radiação G da radiação incidente e 
da radiação própria emitida pela superfície, nE . Trata-se, portanto, do fluxo total de 
radiação que deixa a superfície de um corpo, ou seja: 
GEJ n   [W/m2] 
 
Exemplo 1 
Uma rodovia asfaltada recebe 600 W/m2 de irradiação solar num certo dia de Verão. A 
temperatura efetiva do céu vale 270 K. Uma leve brisa de ar a 30ºC passa pela rodovia 
com um coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m2 ºC. Assuma que nenhuma taxa 
de calor seja transmitida para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar 
vale 0,93, enquanto que a emissividade média da superfície asfáltica vale 0,13. 
Determine a temperatura de equilíbrio do asfalto. 
Solução 
Gsol
asfalto
Gsol
Eb
Gceú
Gcéu
"convq
"soloq
V.C.
 
1º Lei: 
εEn 
εEn 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 211 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
 = 
 
 
nasoloconvcéucéusolsolceúsol EqqGGGG   ""  
 
 na
nulo
soloconvceúceúsolsol EqqGG
ceúsol


 "")1()1(  
 
( ) 044   aaacéuceúsolsol TTThTG  
 
( ) 01067,513,015,30352701067,513,060093,0 4848   aa TT 
 
após solução dessa equação polinomial do quarto grau, obtém-se a temperatura do 
asfalto igual a 389 K ou 115,8 oC. (Dá para fritar ovos...) 
 
Troca de Calor por Radiação Térmica entre duas Superfícies Paralelas Infinitas 
 
T1
J1 J2
T2
 
 
Fluxo líquido de calor trocado entre as duas superfícies: 
A
JJAJAJQ
/1
21
221121
 já que A1 = A2 = A 
 
No caso de superfícies negras, tem-se que: ε1 = ε2 = 1 e α1 = α2 = 1 (corpo negro), 
já que τ1 = ρ1 = 0. De forma que 
)( 424121 TTA
Q   
 
taxa de energia 
que entra no V.C. 
taxa de energia 
que deixa o V.C 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 212 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da 
superfície de acordo com: 
J = εEn + ρG = εEn + (1-ε)G 
 
Onde, foi usado o fato de que ρ = 1-ε = 1- α 
De forma que, isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como 



1
nEJG 
Olhando somente para uma superfície, pode-se estabelecer que a taxa líquida de calor 
transferido da superfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da 
mesma, isto é: 
 
A
JEJEAEJJAGJAQ nnn 



/)1()(11)( 


 



 (a) 
 
Mas, a taxa de calor cedida por uma superfície deve ser igual à recebida pela outra que, 
no caso de placas paralelas e infinitas, é: 
 
A
JE
A
JEQ nn
22
22
11
11
/)1(/)1(  

 (b) 
As equações (a) e (b) apresentam três incógnitas, quais sejam, Q, J1 e J2, uma vez que 
as temperaturas das superfícies e, portanto, seus poderes emissivos de corpo negro, 
juntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As duas radiosidades 
podem ser obtidas por meio das soluções simultâneas destas equações (a equação b é, na 
verdade, duas equações). Entretanto, antes de prosseguir nessa linha, note a analogia 
elétrica: 
 
J1 J2
1
1
1
A


 1
A
2
2
1
A



En1 En2
 
 
De forma que o fluxo de calor total, Q, que “circula” pelo circuito é dado por: 
 
Q 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 213 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
( )
2211
4
2
4
1
2
2
1
1
21
111 RRR
TT
AAA
EEQ nn 







 
 
Note que existem “resistências” entre os potenciais En e J de uma mesma superfície, as 
quais dependem da sua emissividade (além da área) e, portanto, são resistências 
“superficiais” que, no exemplo, são R1 e R2, dadas por: 
 
 
1
 geral forma deou 1 1
2
2
1
1
1
1
ii
i
i A
R
A
Re
A
R 




  
 
A outra resistência é a resistência “espacial” que indica a posição relativa das 
superfícies. Mais será dito sobre esse tipo de resistência quando for incluído o conceito 
de fator de forma à frente. Para esse caso, trata-se apenas do inverso da área das 
superfícies. (Nota: claro que a área infinita é só uma aproximação, caso contrário não há 
sentido.) 
 
 
1
21 A
R  
 
Exemplo 2 
Determine as radiosidades e o fluxo de calor trocado entre duas superfícies cinzentas e 
opacas mantidas à 400 K e 300 K, respectivamente. As emissividades valem 0,5 e há 
vácuo entre elas. 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 214 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Solução 
 
 1
5,0
5,0
 
1
1
1
1  
AR 
 12 AR 
 
3
 
111
AAAA
RT  
 
/3
)( 424121
21 A
TT
R
EEQ
T
nn   
 
3
)300400(1067,5 44821 

A
Q
 
 /75,330 22121 mWA
Qq  
2
1
2
21111
1
11
21 /77,1120 75,330400 mWJqRAEJAR
JEq nn  
2
2
2
21222 /62,790 75,330300 mWJqRAEJ n   
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
215 
AULA 23 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO 
TÉRMICA 
 
 
Considere o caso de duas superfícies negras quaisquer que trocam calor por radiação 
térmica entre si. Suponha que as mesmas possuam orientação espacial qualquer como 
ilustrado na figura abaixo 
1 1cosdA 
1,2 1 1F J A
1
rnormal
dA1
A1
dA2
A2
2
normal
 
Primeiramente, considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos 
de área indicados, dA1 e dA2. Os elementos são unidos por um raio vetor r que formam 
ângulos 1 e 2 com as respectivas normais. 
Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, In, como sendo a energia de 
radiação térmica emitida por unidade de área, na unidade de tempo, para um ângulo 
sólido unitário numa dada direção especificada, como indicado na figura abaixo. 
ndA
Direção da intensidade
de radiação
2
r
dAdw n
1
1dA
normal
Energia que deixa dA1 
na direção do ângulo 
1=IbdA1cos1
projecção
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
216 
Assim, a energia radiante que deixa dA1 na direção 1, é dwdAIdAE nn  111 cos que 
representa a radiação térmica que chega em algum elemento de área dAn a uma distância 
r de A1. Mas, 2
r
dAdw n , onde, dAn é o elemento de área projetada sobre o raio vetor. 
Então: 211111 coscos
r
dAdAIdwdAIdAE nnnn   
ndA
rd
rsen 
1 dr
1dA
normal
 
Por outro lado, tendo a figura acima em mente pode se escrever a seguinte relação 
trigonométrica:  rddsenrdAn  . De forma que, substituindo-a na expressão 
anterior, vem: 
 dd
r
senrdAIdAE nn 2
2
11 cos  
Integrando em todas as direções, vem 

 
ddsendAIdAE nn    2
0
2/
0
11 cos , ou nn IE  
 
Voltando ao problema, projetando dA2 na direção radial, vem: 
 
22 cos dAdAn 
 
Assim o fluxo de energia radiante que deixa A1, atinge A2 é dado por: 
122
2
1
1 2
1
21
cos
cos dAdA
r
EdQ
A A
n     
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
217 
E o fluxo de energia radiante que deixa A2 e atinge A1, é: 
212
1
2
2 1
2
12
cos
cos dAdA
r
EdQ
A A
n      
 
e o fluxo liquido de energia radiante trocado entre as duas superfícies é: 
 
  
212121
2
2
1
1
2
21
21)(21
coscos)(
FAFA
A A
nnliq dAdA
r
EEQ

      
Note que a integral dupla se refere à tão somente um problema trigonométrico espacial 
que considera a posição relativa entre as duas superfícies, bem como as suas dimensões. 
Trata-se, portanto, de um problema de “forma geométrica”. O cálculo dessas integrais 
foi realizado para uma série de condições e constituem os chamados fatores de forma de 
radiação. Fatores de forma são disponíveis na forma gráfica, expressões algébricas ou 
tabelas para muitas situações e geometrias simples (veja gráficos e tabelas mais 
adiante). O fator de forma Fij deve ser entendido como a fração de energia radiante que 
deixa a superfície i e atinge a superfície j. Claro que o fator de forma é sempre menor ou 
igual à unidade, pois é uma “fração” da energia radiante que deixa a superfície. 
Também como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada “lei 
da reciprocidade” entre os fatores de forma, ou seja: 
212121 FAFA  
 
De forma que, a transferência liquida de calor por radiação entre as duas superfícies é 
 
)()( 2121221121)(21 nnnnliq EEFAEEFAQ  
 
Generalizando, a lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para duas superfícies m 
e n quaisquer como 
nmnmnm FAFA  
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
218 
Quando as superfícies formam um invólucro fechado, então: 
 
0iiF
Invólucro 
fechado 1
1



N
j
jiF
 
 
Fica claro que a somatória das frações de energia radiante que deixa a superfície 1 deve 
ser unitária. 
1...
,13,12,11,1  nFFFF 
 
Essa é a chamada Lei de Fechamento. Se a superfície de interesse i for plana ou 
convexa, então Fii =0. No caso de superfície côncava, Fii não é nulo, pois parte da 
radiação emitida pela superfície i volta a atingi-la novamente. 
 
Fatores de Forma para alguma situações (outras situações – ver livro-texto) 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
219 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
220 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
221 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
222 
 
 
 
EXEMPLO 1: Determine o fator de 
forma F1,2 e F2,2 para a configuração 
mostrada na figura ao lado de dois 
tubos concêntricos. 
 
Solução: 
Em particular, como toda radiação que deixa a superfície interna 1 atinge 
necessariamente a superfície externa 2, temos que F1,2 =1. A partir da lei de fechamento 
temos: 
12221  FF , então: 
212,2 1 FF  
Mas, pela lei da reciprocidade 
2
1
2
1
21
2
1
12122211 1 D
D
LD
LDF
A
AFFAFA   

 
Finalmente, 
2
1
2,2 1 D
D
F  
 
 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
223 
EXEMPLO 2: Determine o fator de forma F1,2 para a configuração mostrada na figura 
abaixo. 
 
 
 
Solução: 
31213,21   FFF  
gráfico
FFF 313,2121   
 
15,02
5,0
1
;2
5,0
1
: 3,213,21   FX
Y
X
ZF 
 
1202
50
11
50
50
3131 ,F
,X
Y
;
,
,
X
Z
:F  
 
 
%)ou(,,,F 303012015021  
Isto significa que apenas 3% da radiação térmica que deixa a superfície 1 
atinge a superfície 3. 
 
 
 
 
 
OUTRO EXEMPLO 
Uma pequena lata é formada por dois discos paralelos que 
são conectados por uma superfície cilíndrica como mostra 
na figura abaixo. Determine a fração de energia radiante 
que deixa a superfície cilíndrica e atinge a sua própria. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
224 
 
Solução: 
Cálculo de áreas: 
 
23
22
21 10854.74
1,0
4
m
DAA   
23
3 1071,1505,01,0 mDLA   
Lei de fechamento para a superfície 3: 2,31,33,33,32,31,3 11 FFFFFF  
Vamos avaliar 2,31,3 FeF 
 lei da reciprocidade: 3,111,33 FAFA  
lei de fechamento para a superfície 1: 12,13,1  FF 
mas,. do gráfico do fator de forma de dois discos paralelos: 
 1
5
5
1

r
L
 e 12 
L
r
  38,02,1 F 
logo 62,038,013,1 F  31,062,01071,15
1085,7
3
3
3,1
3
1
1,3 
 

F
A
AF 
Lei de fechamento para a superfície 2: 11,23,2  FF e, por simetria, 1,22,1 FF  
Logo, 62,038,0111 2,11,23,2  FFF 
31,062,0
1071,15
1085,7
3
3
3,2
3
2
2,3 
 

F
A
AF 
38,031,031,01 3,33,3  FF 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
225 
AULA 24 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO 
TÉRMICA- cont... 
 
Na aula anterior, estudamos o caso de fatores de forma e como se pode calcular a troca 
líquida de calor por radiação entre duas superfícies. Vamos explorar mais este ponto 
nesta aula e ampliar para mais superfícies e outra situações. 
 
Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas 
 
1 1J A
2 2J A
1,2 1 1F J A
2,1 2 2F J A
 
221,2112,1)(21 JAFJAFQ liq  
 
Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA 
 
122
21
211
21
)(21 /1/1 


FA
JJ
FA
JJQ liq 
 
O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial entre as superfícies. Mas, tem-se 
também que 
 
11
1
11
1 1
A
JEQ n


 é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 1. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
226 
11
1
1
1
A
R 
 é a resistência da superfície 1. 
 
22
2
22
2 1
A
JEQ n


 é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 2. 
22
2
2
1
A
R 
 é a resistência da superfície 2. 
 
De forma que: 
 
22
2
21111
1
4
2
4
121
)(21 111
)(
AFAA
TT
R
EEQ nnliq








  
 
J1 J2
1
1
1
A


 1
A
2
2
1
A



4
1T 42T
 
 
 
 
Transferência de calor por radiação térmica entre três superfícies que formam um 
involucro fechado 
 
 
 
121
1
FA
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
227 
Analogia elétrica: 
Para resolver este sistema linear, primeiramente adotam-se direções das taxas de calor 
quaisquer, como indicado na figura. 
 
 
 
33
3
3
22
2
2
11
1
1
1
;
1
;
1
A
R
A
R
A
R 




  
311
31
322
32
211
21
1
;
1
;
1





  FARFARFAR 
Usa-se o fato de que a taxa de calor em cada nó tem que se conservar, isto é: 
Nó 1: 31121   QQQ 
Nó 2: 032212   QQQ 
Nó 3: 32313   QQQ 
mas, 
1
11
1 R
JEQ n 
 , 
2
22
2 R
JEQ n 
 , 
3
33
3 R
JEQ n 
 
e 
31
13
31 

R
JJQ
 , 
32
23
32 

R
JJQ
 , 
21
21
21 

R
JJQ
 
O sistema linear acima tem 9 equações e 9 incógnitas e pode ser resolvido por qualquer 
método conhecido. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
228 
SUPERFÍCIE NÃO –CONDUTORA e REIRRADIANTE 
 
Define-se uma superfície não-condutora e reirradiante como uma superfície adiabática, 
ou seja, não transporta calor para ou do meio por outra forma que não seja radiação 
térmica. Por exemplo, no esquema anterior se a superfície 2 fosse não condutora 
reirradiante, então Q2 = 0 . Isto implicaria que sua radiosidade seria o seu próprio poder 
emissivo de corpo negro, isto é, J2 = En2. O exemplo seguinte vai fixar este conceito. 
 
 
EXEMPLO 
A tampa do invólucro (lata) do exemplo da aula anterior é mantida a uma temperatura 
uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma 
temperatura de 60°C (333,2 K). A superfície cilíndrica, que une as duas tampas, é não-
condutora e reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa 
de calor transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da 
superfície não-condutora e reirradiante. 
 
Solução 
O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as 
superfícies do invólucro está mostrado abaixo. Os valores dos fatores de forma podem 
ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o circuito são 
 
 
2
3
11
1 /188,84)10854,7(6,0
6,011
m
A

 

 
 
2
3
22
2 /188,84)10854,7(6,0
6,011
m
A

 

 
 
2
3
3,223,11
/14,205)62,0)(10854,7(
111
m
FAFA
  
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
229 
4
11 TEn 
1J
2J
11
11
A

211
1
FA
22
21
A

4
22 TEn 
322
1
FA
311
1
FA 1J
2J
88,84
4)2,333(
4)2,523(
4,205
1,335
4,205
88,84
1J
2J
88,84
4)2,333(
4)2,523(
6,184
88,84
 
 
Os valores das resistências, bem como das resistências equivalente também estão 
indicados. A resistência equivalente é 
 
2/16,184
1,3358,410
)1,335(8,410
mRe  
 
A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado 
usando 

 R
EEQ nnliq 21)(21 
 
A soma das resistências entre as duas superfícies é 
 
2/14,35488,846,18488,84 mR  
 
A taxa de calor transferido é 
 
  WQ liq 02,104,354 2,3332,5231067,5
448
)(21 

 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
230 
 
As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por 
 
 111
11
)(21 /)1( A
JEQ nliq 
 
 
ou 
 
8884
2523106750210 1
48
,
J),(,
,


 
 
42
1 /398.3 KmWJ  e  222
22
)(21 /)1( A
EJQ nliq 
 
 
O que dá J2 = 1.549 W/m2K4. O valor de J3, que é igual a 43T , é obtido usando 
 
42
3132
312321
3
31
31
32
23 /5,2473 KmW
RR
RJRJJ
R
JJ
R
JJ 




 
4
33 TJ   T3 = 457,0 K (183,8°C) 
 
Comentário 
 
Uma parte da taxa total de calor por radiação transferido entre a tampa e o fundo 
acontece diretamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante é trocado com a 
superfície não-condutora e reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo. 
A taxa de transferência direta é 
W
FA
JJQD 5,51,335
14593398
)/1( 2,11
21  
 
E a indireta é 
 
W
FAFA
JJQID 5,44,2054,205
15493398
)/1()/1( 3,223,11
21 

 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
231 
OUTRO EXEMPLO 
Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em 
uma superfície cilíndrica fechada mantida em vácuo, como indicado na figura abaixo. A 
esfera tem 10 cm de diâmetro com uma emissividade de 0,8 e é mantida a uma 
temperatura uniforme de 300°C (573,2 K). A superfície interna do cilindro, cuja área é 
de 2 m2, tem uma emissividade de 0,2 e é mantida a uma temperatura uniforme de 20°C 
(293,2 K). 
 
1
2
1nE 1J 2J
11
11
A

211
1
FA 22
21
A

2,05,0
8,0031,0
2
2
2
1
2
1




mA
mA
2nE
 
Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada. 
 
Solução 
O circuito de radiação equivalente está mostrado na figura anterior. A área da esfera 
pode ser rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1, 
já que toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície cilíndrica. A taxa de 
transferência de calor é obtida através de 
 
  W,
,
,,,
)(,/),()(,/),(,/),(
,,,
A/)(FA/A/)(
)TT(
R
EEQ nn)liq(
7134
3248
2293257310675
220201103101031080801
2293257310675
111
448
448
222121111
4
2
4
121
21







   
 
 
 
 
 
2 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea- © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
232 
PEQUENA SUPERFÍCIE ENVOLVIDA POR OUTRA MUITO MAIOR 
 
Uma simplificação pode ser adotada quando uma pequena superfície A1 é 
completamente envolvida por outra superfície A2 que é muito maior. Nesse caso, a 
resistência equivalente, Re, pode assim ser simplificada. Lembrando que pelo fato da 
superfície 1 ser completamente envolvida pela superfície 2, tem-se, também, F12 = 1. 
 
 112
2
0
2
1
1
1
1
22
2
12111
1
11111
111
A
)(
A
A)(
A
R
A
)(
FAA
)(
R
e
e




















 
De forma, que neste caso, a troca de calor por radiação térmica será, aproximadamente: 
 
)TT(A
R
EEQ
e
nn 4
2
4
111
21
21  
 
Confira com o resultado acima, do último exemplo! 
 
 
 
RADIAÇÃO TÉRMICA EM CAVIDADE – CORPO NEGRO 
 
Uma cavidade é uma abertura de um invólucro por onde entra radiação térmica, como 
ilustrado no esquema abaixo. Dessa forma, a cavidade é uma forma geométrica que 
visa otimizar a absorção de radiação. Para isso, uma pequena abertura permite a entrada 
de radiação térmica para dentro da cavidade, o que causa que a radiação incidente seja 
absorvida e refletiva diversas vezes no interior da cavidade até que seja totalmente 
absorvido. Nesse processo uma temperatura (adiabática) de equilíbrio é estabelecida. A 
absortividade efetiva da cavidade tende para unidade, independentemente do material 
construtivo da cavidade, desde que a razão entre a área de abertura e a área interna total 
da cavidade seja muito pequena. Isto é, a cavidade se comporta como um corpo negro. 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
233 
Fator de forma da área de abertura para a área interna da cavidade: ��−� = ͳ 
Fluxo total de calor incidente: �� = �′′�� , onde: [�′′] = ��మ (fluxo de radiação incidente) �� – área da abertura [�ଶ] �� – área da cavidade [�ଶ] �� – absortividade da cavidade �� – emissividade da cavidade (superfície interna) 
Pela Lei de Kirchoff, tem-se que �� = ��, como já visto. 
 
Circuito elétrico equivalente: 
 
 �� = �′′�� = ா�−ா��೐� (A) 
onde, �௘� = ଵ−������ + ଵ��ி�−�, ou rearranjando �௘� = ଵ�� [ͳ + ���� ቀଵ−���� ቁ] (B) 
 
Subst. (B) em (A) → �′′�� = ா�−ா�భ��[ଵ+����ቀభ−���� ቁ] → �′′ = �(��4−�∞4 )ଵ+����ቀభ−���� ቁ 
 
seja, a absortividade efetiva da cavidade definida por: �௘௙ = ଵଵ+����ቀభ−���� ቁ 
logo, 
 �′′ = �௘௙�ሺ��ସ − �∞ସ ሻ 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
234 
Sendo, �௘௙ = ଵଵ+����ቀభ−���� ቁ 
 
Independentemente da absortividade do material interno da cavidade, ��, se a razão das 
áreas da abertura para a cavidade ���� for muito pequena, então �௘௙ ≈ ͳ, como pode ser 
visto pela análise da equação anterior por meio do gráfico a seguir para várias 
absortividades do material interno da cavidade. Isto significa que a cavidade se 
comporta como um corpo negro tendo toda a radiação térmica incidente na área de 
abertura sendo absorvida, �௘௙ ≈ ͳ 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Para uma cavidade cilíndrica de abertura 3 cm, diâmetro interno de 10 cm e 
comprimento 30 cm, a razão de áreas é bem pequena e, por isso, a absortividade do 
material escolhido para a cavidade tem pouca influência na sua absortividade efetiva. 
 
 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
235 
 
 
 
Neste caso, ���� = Ͳ,ͲͲ͸ͷ e a absortividade segue a tabela abaixo: 
 �� 
(absortividade 
do material) 
�ࢋࢌ 
(absortividade 
efetiva) 
0,9 0,999 
0,5 0,994 
0,2 0,975 
0,1 0,945 
 
Exemplo 2: 
Supondo que a cavidade do exemplo anterior seja atingida por uma irradiação de �′′ = ͳͲ଺ �/�ଶ (1000 sois, sendo 1 sol = ͳͲଷ �/�ଶ) por meio de um concentrador 
paraboloide e, desprezando todas as perdas de calor por condução e convecção, 
determine a temperatura de equilíbrio da cavidade. Considere a temperatura ambiente de 
300 K. 
 
Solução: 
Como �′′ = �௘௙�ሺ��ସ − �∞ସ ሻ → �� = √ �′′�೐೑� + �∞ସభ4 �� = √ ଵ଴6ଵ×ହ,଺଻×ଵ଴−8 + 3ͲͲସభ4 = 2049 K 
 
Comentário: Percebe-se que temperaturas bastante elevadas podem ser alcançadas em 
cavidades por meio de concentração solar, o que as tornam um forma interessante de 
promover reações químicas endotérmicas, entre outras. Na prática, haveria o problema 
desafiador de fazê-la completamente adiabática. 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 236 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
AULA 25 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMBINADA 
E BLINDAGEM DE RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
Efeito da radiação na medida da temperatura 
 
Quando um termômetro ou outro elemento sensor de temperatura é colocado em uma 
corrente do gás para medir sua temperatura, o valor da temperatura indicado pelo sensor 
é determinado pelo balanço global de energia no bulbo desse elemento. 
Considere o sensor mostrado na figura abaixo. A temperatura do gás é T∞, a temperatura 
da superfície envolvente é Ts e a temperatura indicada pelo termômetro é Tt. 
 
Gás 
Th, AT
sT
 
Elemento sensor da temperatura de um escoamento 
 
 
Admitindo que Tt seja maior que Ts, então a energia será transferida por convecção para 
o termômetro e, deste, para o meio envolvente na forma de radiação térmica. Portanto, o 
balanço de energia pode ser escrito como: 
 
)()( 44 stt TTATThA   
 
Onde, A é a área superficial do sensor e ε a sua emissividade. A equação anterior foi 
obtida considerando-se que a superfície envolvente seja muito grande, como discutido 
na aula anterior. 
Supondo que a parede esteja a 200 °C e a temperatura indicada pelo elemento sensor 
seja de 450 °C, o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o gás e o 
sensor igual a 150 W/m2 °C, calcular a temperatura real do gás. 
 
)TT(A)TT(Ahq partTtTc 44    
 
Tt 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 237 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
)TT(
h
TT part
c
t
44   
)473723(
150
1067,58,0723 44
8


T 
 
CouKT  3,5175,790 
 
Blindagem de radiação 
 
Uma maneira de reduzir a transferência de calor por radiação entre duas superfícies se 
dá pelo emprego de materiais altamente refletivos, isto é de baixa emissividade ε. 
Alternativamente, um outro método de redução da transferência de calor por radiação 
consiste na instalação de blindagens de radiação entre as superfícies de transferência de 
calor. Estas blindagens não fornecem ou removem calor do sistema, mas apenas 
introduzem uma resistência no circuito térmico. 
Considere dois planos paralelos e infinitos para ε1= ε2= ε, como indicado do lado 
esquerdo da figura abaixo. Então, temos que a troca de calor por radiação entre essas 
duas superfícies é dada por: 
 
1)1(2
)( 4241




 TT
A
q
 
 
Aq /
1 2
a)
Aq /
1 2
b)
3
 
Radiação entre planos paralelos infinitos com e sem blindagem de radiação 
 
Agora, considere a introdução de um terceiro plano 3 entre as superfícies originais, 
como indicado do lado direito da figura anterior. Assim, o fluxo de calor transferidoPlano de 
blindagem 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 238 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
neste caso será calculado considerando a entrada dessas novas resistências associadas à 
terceira superfície. 
 
1nE 1J 3J
1
11


31
1
F 3
31


2nE
'
3J
2J
32
1
F 2
21


3nE
3
31


 
Circuito elétrico analógico da radiação para dois planos paralelos separados 
por uma blindagem de radiação formada por um terceiro plano 3 
 
Como a blindagem não fornece ou retira calor do sistema. O calor transferido entre a 
placa 1, a blindagem e a placa 2 será: 
 
A
q
A
q
A
q 
 2331
 
ou 
1)1(2
)(
1)1(2
)( 42434341









 TTTT
A
q
 
 
Obtendo-se: 
 
2/)( 424143 TTT  
 
 
1122
1 43
4
1





)(
)TT(
A
q
 
 
Portanto, tem-se que a blindagem reduz à metade o fluxo de calor inicial (desde que 
todas as superfícies tenham a mesma emissividade ε). 
 
blindagemsblindagemc A
q
A
q
// 2
1 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 239 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
No caso da introdução de n planos de blindagem entre as duas superfícies originais 1 e 
2, tem-se que a redução do fluxo de calor será: 
blindagn/sblindaens"n"/c A
q
nA
q
 1
1
 PROVE ISTO! 
EXEMPLO 
 
Um tubo de diâmetro D1 = 20 cm transporta um líquido criogênico que está a 77 K. 
Para evitar perdas de calor, este tubo está inserido dentro de um tubo maior com 
D2 = 50 cm e T2 = 300 K, o espaço entre eles está evacuado. Pede-se o ganho de calor 
pelo tubo criogênico. Dados ε1 = 0,02 e ε2 = 0,02. 
Após a aula de transf. de calor, um aluno sugeriu inserir um terceiro tubo com D3 = 35 
cm entre os dois anteriores afirmando que haveria uma diminuição do ganho de calor. 
Sendo ε3 = 0,03. Verifique se isto é verdade e, em caso positivo, qual seria a 
diminuição. 
 
 
 
Solução: 
 
a) circuito analógico com os dois tubos ou alguns. 
 
1nE 1J 2J
11
11
A

211
1
FA 22
21
A





2nE
 
 
121 F ; 
eq
nn
R
EEq 21  ; 
A resistência equivalente é: 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 240 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
L
L
D
D
LD
D
D
A
AFAA
Req
6,948
50
20
04,0
04,011
02,0
02,01
02,0
1
1111
1
1
111
111
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
22
2
21111
1



 


 


 
















 
Logo,   mW
L
q /482,0
7,536.1
773001067,5 448 

 
 
b) circuito analógico com a introdução do terceiro tubo de blindagem. 
1bE 1J 3J
11
11
A

311
1
FA 33
31


A

2bE
'
3J
2J
323
1
FA 22
21


A

3bE
33
31


A

 
 
131 F ; 123 F e 
eq
nn
R
EEq 21  
L
L
D
D
D
D
LD
D
D
D
D
D
D
A
Req
7,536.1
50
20
04,0
04,01
35
20
03,0
)03,01(2
02,0
02,01
02,0
1
1)1(2111
11)1(2
1
111
2
1
2
2
3
1
3
3
1
1
1
2
1
2
2
3
1
3
1
3
3
1
1
1



 


 


 














 
1nE 2nE 3nE 
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa 241 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2017 
 
Assim,   mW
L
q /298,0
7,536.1
773001067,5 448 

 
 
o ganho diminui em torno de 
482,0
298,0482,0 
 
 
 38,3 %