Aula 4 - Flexão - Diagramas de cortante e momento fletor

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Resistência dos Materiais II
Aula 4 - Flexão: diagramas de cortante e de
momento �etor
INTRODUÇÃO
Esta aula inicia o tema �exão que, no nosso contexto, está associado ao comportamento das vigas. As vigas são
barras que recebem cargas transversais aos seus eixos longitudinais, comumente horizontais e que tem como função
suportar estas cargas e conduzi-las em segurança aos seus apoios, normalmente pilares.
Nesta aula, vamos tratar de vigas biapoiadas (a), vigas em balanço (b) e vigas biapoiadas com uma extremidade em
balanço (c).
OBJETIVOS
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Descrever o processo de determinação das reações de apoio em vigas isostáticas;
De�nir o processo de criação do diagrama de esforços cortantes;
Descrever o processo de criação do diagrama de momento �etor.
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VIGA BIAPOIADA
Fonte da Imagem:
A viga biapoiada se caracteriza por possuir dois apoios que impedem o deslocamento vertical e liberam o giro da barra.
Para que a barra não �que livre horizontalmente, um dos apoios também impede o deslocamento horizontal. No caso
(a), o apoio da esquerda impede os 2 deslocamentos.
A viga em balanço (b) se caracteriza por ser engastada em uma de suas extremidades e livre na outra. O engaste
impede os deslocamentos (horizontal e vertical) e a rotação.
A viga biapoiada com extremidade em balanço (c) mistura as situações (a) e (b).
, Veremos os efeitos dos carregamentos nas vigas, começando pela determinação das reações de apoio e, na sequência, vamos
desenvolver metodologias para a criação dos diagramas de esforços cortantes e de momentos �etores.
CARGAS
Vamos iniciar estudando as cargas atuantes nas vigas. As cargas podem ser concentradas ou distribuídas.
As cargas distribuídas podem, para efeito de equilíbrio, ser substituídas pela sua resultante posicionada
estrategicamente no centroide da distribuição.
Portanto, para questões de equilíbrio, podemos substituir carregamentos distribuídos por concentrados “equivalentes”
(que produzem o mesmo efeito). 
Seguindo essa ideia, vamos iniciar pela distribuição mais simples: a carga uniformemente distribuída.
A CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
A resultante de uma carga uniformemente distribuída pode ser obtida pela “área” do carregamento, ou seja, pelo
produto de q (kN/m) por L(m), o que nos daria uma resultante Q (kN) = q . L.
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Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso
posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento, que, por se tratar de um retângulo, �ca exatamente
em seu centro, ou seja, em L/2.
Vamos evoluir para o caso da distribuição linear (carga triangular).
A resultante também será obtida pela “área” do carregamento que, para o caso do triângulo, pode ser computada como
qo L / 2.
Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso
posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento que, por se tratar de um triângulo, �ca exatamente a
2/3 do vértice com valor nulo, ou seja, em 2L/3.
O carregamento em forma trapezoidal só incorpora trabalho braçal, pois, na verdade, trata-se da combinação dos dois
casos anteriores.
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ANÁLISE DE SITUAÇÃO GENÉRICA
Prosseguindo, vamos para uma situação genérica, que é uma carga com variação descrita por uma função qualquer.
Na �gura, temos um trecho de viga, de comprimento L, recebendo uma carga com intensidade descrita pela função
q(x), em um intervalo que varia de a até b.
Seguindo o mesmo raciocínio, a resultante Q pode ser obtida através da “área” do carregamento. Para isso, vamos
recorrer à integração da função entre a e b.
E PARA DETERMINAR O PONTO DE APLICAÇÃO?
Podemos utilizar a geometria e o cálculo dos centroides de áreas planas estudado na aula 1. Mas também vale a pena
raciocinarmos no tema que estamos discutindo.
Vamos imaginar um elemento in�nitesimal de carga em uma posição x, a partir de a.
Qual é o momento produzido por essa carga in�nitesimal em relação ao ponto a?
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Basta multiplicar a carga por x!
Fonte:
Se somarmos os momentos em relação ao ponto a produzidos por todos os elementos in�nitesimais existentes entre a
e b, o valor obtido será o momento produzido por todo o carregamento em relação ao ponto a.
A seguinte integração expressa o momento em relação ao ponto a produzido pelo carregamento distribuído de acordo
com a função q(x):
Estamos buscando um posicionamento para a resultante Q, já conhecida, que produza exatamente o mesmo momento
Ma gerado pelo carregamento.
Para descobrirmos qual é o ponto em que devemos posicionar a força para obter o mesmo momento, basta perceber
que:
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PRÁTICA 1
Chegou a hora de praticar.
Vamos analisar uma viga com um carregamento bem variado. O objetivo é substituir cada carga distribuída por uma
carga concentrada “equivalente”, ou seja, que produza o mesmo efeito para �ns de equilíbrio.
CARREGAMENTO 1
Carga com variação linear iniciando com valor nulo e variando até 5kN em 3m.
Resultante: Q = 3 . 5 / 2 = 7.5kN
Posição: Considerando o apoio esquerdo na posição x=0, a resultante �ca a 2/3 do início do carregamento, ou seja
( ̅x 2𝑚 ).
CARREGAMENTO 2
Carga uniforme com valor de 5kN em 2m.
Resultante: Q = 2 . 5 = 10.0kN
Posição: A resultante �ca no centro do carregamento, ou seja ( ̅x 4𝑚 ).
CARREGAMENTO 3
Carga com variação linear com valor inicial de 5kN e �nal de 8,0kN em 1,8m.
Vamos dividir o carregamento em dois que se estendem por 1,8m, sendo um uniforme de 5,0kN e outro com variação
linear iniciando com valor nulo e variando até 3.0kN.
Resultante: Q = 1,8 . 5 = 9.0 kN e Q = 1,8 . 3 / 2 = 2.7 kN
Posições: A resultante Q �ca no centro do carregamento, ou seja ( ̅x = 3+2+0,9=5,9𝑚) e a resultante Q �ca a 2/3
do início do carregamento, ou seja, ( ̅x = 3+2+1,2=6,2𝑚).
1
1
1
2
3a 3b
3a 3a 3b
3b
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CARREGAMENTO 4
Carga com variação segundo a função q(x) iniciando com valor 8, evoluindo para um valor nulo em 4m.
Considerando a função, percebe-se que, em x=0, ela vale 8 e, em x=4, vale 0.
Portanto, esses serão os limites da integração.
Resultante:
Posição:
Portanto, a resultante Q deve ser posicionada em ( ̅x = 8,3𝑚).
RESUMO:
REAÇÕES DE APOIO
4 4
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Matematicamente, os apoios são incógnitas que podem ser calculadas em função do equilíbrio da viga.
O somatório das forças aplicadas e das reações deve ser nulo, assim como o momento em um apoio simples extremo.
Com essa ideia, conseguimos construir as equações e calcular as reações de apoio.
Fonte:
Como você já deve conseguir reduzir um carregamento distribuído em uma carga concentrada estrategicamente
posicionada, como acabamos de ver, esse é o primeiro passo para o cálculo das reações.
Na sequência, devemos construir as equações de equilíbrio e determinar o valor das reações.
Inicialmente, vamos pensar em uma viga com uma carga concentrada.
Para garantirmos o equilíbrio, podemos a�rmar que:
Dessa forma, podemos a�rmar que:
Ra + Rb = 15
Se Ma = 0, então Rb . 8,5 = 15. 5, o que nos dá um valor de 𝑅 =(15 . 5 )/8,5=8,82 𝑘𝑁
Logo, Ra = 15 - 8,82 = 6,18 kN
Também poderíamos ter considerado Mb=0 e, assim, montado a expressão
Ra . 8,5 = 15 . 3,5. Isso nos daria 𝑅 =(15 . 3,5)/8,5=6,18 𝑘𝑁
Repare que podemos, para efeito de simpli�cação, adotar, de forma genérica uma regra:
b
a
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Agora, só falta veri�carmos como �caria uma carga posicionada em um trecho em balanço.
Nesse caso, Ra + Rb = 15
Ma = 0, então Rb . 8,0 = 15 . 11,5, o que nos dá um valor de 𝑅 =(15 . 11,5)/8,0=21,56 𝑘𝑁
Logo, Ra = 15 – 21,56 = -6,56 kN, o que nos indica que a reação do apoio a está invertida (é para baixo), pois quando
pressionamos a ponta do balanço, a outra extremidade tende a levantar.
Nesse caso, não poderíamos considerar Mb=0 porque o momento ali vale 15 . 3,5 = 52,5kNm.
Pela convenção de sinal normalmente adotada, esse momento é negativo, pois produz uma tendência de giro no
sentido horário.
Dessa forma, poderíamos ter montado a expressão Ra . 8,0 = -52,5, o que nos daria um valor de -6,56kN para Ra.
E no caso de termos várias cargas concentradas?
Não tem problema. É só trabalho braçal.
Vamos ter que calcular as reações para cada carga concentrada e acumular os valores de Ra e Rb até o �nal.
Vamos agora para a prática 2, que será continuação da prática 1.
Prática 2
Vamos calcular as reações da viga utilizada na prática 1.
b
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Seguindo a sugestão, vamos calcular 𝑅 =(𝑃.𝑏)/𝐿 para cada carga e organizar os dados em uma tabela:
MOMENTOS FLETORES E ESFORÇOS CORTANTES
As cargas que atuam nas vigas provocam nas seções internas tensões normais e de cisalhamento.
As tensões normais, parte de tração e parte de compressão, podem ser substituídas por um binário resultante que, por
sua vez, pode ser visto como um momento, que é denominado momento �etor.
As resultantes das tensões de cisalhamento, que atuam no plano das seções, podem ser vistas forças cortantes.
Os momentos �etores e os esforços cortantes variam ao longo da viga e, como eles são fundamentais ao projeto, você
terá que aprender a construir a melhor forma de representá-los, que é através da visualização grá�ca, os conhecidos
diagramas de cortantes e de momentos.
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES
O que é um esforço cortante?
É a resultante de tensões cisalhantes presentes nas seções transversais das vigas.
Como podemos avaliá-las?
Uma das formas é utilizarmos o método das seções já estudado em disciplinas anteriores. Vamos recordar! 
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejamos avaliar o esforço cortante em uma
determinada seção, o procedimento mais comum é:
Calcular as reações de apoio (que acabamos de estudar);
a
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Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra
à direita;
Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso signi�ca considerar o somatório de forças e de momentos nulos
na seção.
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicado na seção.
A força é o esforço cortante e o momento é o momento �etor.
O signi�cado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção)
exercia sobre a seção analisada. 
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais:
Exemplo:
Considere uma viga biapoiada com vão L e carga distribuída q.
Vamos determinar as reações de apoio.
A carga total é obtida pelo produto de q e L. Como ela é uniformemente distribuída, as reações serão iguais, cada uma
com metade da carga total.
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Chegou a hora de promover o corte na seção de interesse e trabalhar a porção esquerda da seção escolhida.
Vamos imaginar uma seção genérica, situada a uma distância x do apoio esquerdo.
Equilíbrio da porção à esquerda da seção. O somatório de forças verticais deve ser nulo.
Quais são as forças que agem sobre a porção que estamos analisando?
A reação de apoio;
A parte do carregamento que �cou à esquerda do corte;
O esforço cortante, que é a força proveniente da seção cortada e dispensada (da direita);
Para o equilíbrio ser �nalizado precisaríamos equilibrar o momento, mas vamos deixar esse passo para quando formos
estudar os momentos �etores.
Considerando que a distância da seção estudada até o apoio da esquerda vale x, a resultante do carregamento atuante
é obtida pelo produto q x e posicionada exatamente em x/2.
O equilíbrio das forças verticais nos leva a um valor para V que deve ser igual à diferença entre a reação e a resultante
do carregamento à esquerda da seção, pois:
Forças para cima devem ser iguais às forças para baixo:
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Com isso:
Fonte:
Se generalizarmos e imaginarmos que x pode de�nir qualquer seção entre x=0 e x=L, teremos, na verdade, uma função
V(x) que podemos desenhar.
Não precisamos de muitos recursos matemáticos para observar de que se trata de uma função linear que, para x=0,
vale zero e, para x=L, vale - 𝑞𝐿/2 .
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INTERPRETAÇÃO DO DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES
Agora vamos interpretar este grá�co que é denominado Diagrama de Esforços Cortantes. Ele apresenta a variação do
valor da força cortante ao logo do eixo longitudinal da viga.
Qual a melhor forma de construí-lo?
Vamos iniciar da extremidade esquerda, marcando o valor da reação de apoio. Como a força é para cima, marca-se seu
valor também para cima. Agora vamos seguir varrendo a viga aumentando o valor de x. Como só temos um
carregamento, o comportamento é o mesmo ao longo de toda a viga.
A ação da carga aplicada é equivalente a acumular o valor q a cada metro que caminhamos para a direita. Portanto,
iniciamos com o valor da reação de apoio e, a cada metro, perde-se um valor equivalente a q. Por isso, a variação
linear. 
O que nos leva a uma situação matemática em que se pode a�rmar que:
Fonte:
Isso signi�ca dizer que a inclinação do diagrama de esforços cortantes em cada ponto da viga tem o mesmo valor da
carga distribuída no mesmo ponto, com valor negativo.
EXEMPLO
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Fonte da Imagem:
Vamos ver um exemplo numérico.
Como sempre vamos iniciar pelas reações de apoio. Para isso, temos que calcular a resultante e a posição da carga
distribuída.
Por se tratar de carga distribuída, basta multiplicar seu valor pelo seu comprimento. Portanto, o valor será de 25kN,
aplicados a 7,5m do apoio A.
Dessa forma:
 Ou simplesmente:
Seguindo o raciocínio desenvolvido, vamos iniciar a construção do diagrama da esquerda para a direita, marcando o
valor da reação de apoio para cima.
Como não há carga aplicada até o meio do vão, o valor da reação permanecerá inalterado até lá.
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No meio do vão tem uma carga aplicada de 15kN concentrada para baixo. Como o diagrama está com valor positivo de
13,75, �cará com valor de 1,25 negativo.
Agora entraremos na região da carga distribuída, que produz uma diminuição de valor igual a 5kN/m. Portanto, em 5m,
teremos uma diminuição de 25kN, levando o diagrama de -1,25 até -26,25 kN.
Para fecharmos o diagrama, temos que aplicar a reação do apoio B, que é exatamente 26,25kN, que fechará o
diagrama em equilíbrio com valor nulo.
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DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES
O que é um momento �etor? 
As tensões normais geradas nas seções transversais das
vigas têm como resultante um binário que pode ser visto
como um momento, que é denominado momento �etor.
Como podemos avaliá-los? 
Uma das formas é utilizarmos o método das seções visto
anteriormente.
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejarmos avaliar o momento �etor em uma
determinada seção, o procedimento mais comum é:
Calcular as reações de apoio (vistas nesta aula);
Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra
à direita;
Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso signi�ca considerar o somatório de forças e de momentos nulos
na seção.
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicados na seção.
A força é o esforço cortante e o momento é o momento �etor.
O signi�cado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção)
exercia sobre a seção analisada.
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais para os momentos:
EXEMPLO:
Agora vamos ao mesmo exemplo desenvolvido para o cisalhamento.
Considere uma viga biapoiada com vão L e carga distribuída q.
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Já vimos o cálculo das reações.
Vamos promover o corte na seção de interesse e trabalhar a porção esquerda da seção escolhida.
Vamos imaginar uma seção genérica, situada a uma distância x do apoio esquerdo.
Fonte da Imagem:
Equilíbrio da porção à esquerda da seção:
O somatório de forças verticais deve ser nulo, assim como o de momentos na seção de interesse.
Quais são as forças que agem sobre a porção que estamos analisando?
A reação de apoio;
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A parte do carregamento que �cou à esquerda do corte;
O esforço cortante, que é a força proveniente da seção cortada e dispensada (da direita);
Para que o equilíbrio seja atingido, o momento M destacado na �gura terá o mesmo valor da soma dos momentos das
forças atuantes em relação à seção, em sentido contrário.
A distância da seção estudada até o apoio da esquerda vale x.
O momento na seção devido à reação de apoio é:
(sentido horário)
A resultante do carregamento atuante é obtida pelo produto q x e posicionada exatamente em x/2, o que gera um
momento na seção de:
(anti-horário)
Equilíbrio (soma dos momentos horários = soma dos momentos anti-horários):
Com isso:
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Fonte:
Se generalizarmos e imaginarmos que x pode de�nir qualquer seção entre x=0 e x=L, teremos, na verdade, uma função
M(x) que podemos desenhar.
Não precisamos de muitos recursos matemáticos para observar de que se trata de uma função quadrática (parabólica)
que, para x=0, vale zero e para x=L, também vale zero.
Agora vamos interpretar esse grá�co que é denominado diagrama de momentos �etores. Ele apresenta a variação do
valor do momento �etor ao longo do eixo longitudinal da viga.
No Brasil, o diagrama de momentos é desenhado de forma invertida. O momento positivo para baixo e o negativo para
cima.
Portanto, se encontrar em algum livro o diagrama invertido, não estranhe.
Isso signi�ca dizer que a inclinação do diagrama de momentos �etores em cada ponto da viga tem o mesmo valor do
esforço cortante.
De maneira inversa, o valor do momento em qualquer ponto da viga é igual à área acumulada do diagrama de cortantes
da extremidade até a seção analisada.
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Vamos ver o mesmo exemplo numérico.
Já sabemos o valor das reações
Bem como o diagrama de esforços cortantes.
O primeiro trecho de 5m da viga não possui carga. Portanto, a sua variação acontece apenas pela multiplicação da
reação pela distância, que varia de 0 a 5m. Como a reação vale 13,75kN, o momento máximo nesse trecho vale 13,75 .
5 = 68,75kNm.
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A construção do trecho seguinte tem mais detalhes porque entram 2 carregamentos, a carga de 15kN e o
carregamento uniformemente distribuído de 5kN/m.
Vamos raciocinar com uma seção com x entre 5 e 10m:
Fonte da Imagem:
A distância da reação até a seção será x;
A distância da carga concentrada até a seção será x-5;
O comprimento da carga distribuída será x-5;
O momento nesse trecho será 𝑀=13,75𝑥−15(𝑥−5)−5 (𝑥−5)((𝑥−5))/2;
Aplicando x=5, temos o valor de 68,75 kN;
Aplicando x=10, temos valor nulo;
O trecho possui forma parabólica.
, Clique (galeria/aula4/docs/a04_t48.pdf) para ver algumas atividades sobre o tema.
1 - Para a viga da �gura, determine a menor reação de apoio:
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/gon556/galeria/aula4/docs/a04_t48.pdf
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1000N
500N
750N
1250N
1500N
Justi�cativa
2 - Para a viga da �gura, determine o esforço cortante máximo:
1000N
2000N
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1750N
1250N
1500N
Justi�cativa
3- Para a viga da �gura, determine o momento �etor máximo:
2,500kNm
1,531kNm
3.125kNm
2,153kNm
1,250kNm
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Justi�cativa
Glossário