Análise Dimensional e Semelhança

Prévia do material em texto

Análise Dimensional 
e Semelhança 
Aula 19 
Motivação 
 O PROBLEMA 
 Pretende-se determinar a força que um fluido exerce 
sobre um cilindro de seção circular que nele se desloca 
com velocidade constante. 
 
 Mais especificamente, pretende-se determinar a força de 
arrasto - D - por unidade de comprimento, isto é, a 
componente da força fluidodinâmica que atua na direção 
do movimento; esta componente opõem se ao 
movimento do cilindro. 
V 
D 
L F 
d 
FLUIDO 
-Temperatura T 
- Massa específica  
-Coeficiente de 
Viscosidade  
FORÇA DE ARRASTO 
Motivação 
- Cada valor apresentado nas tabelas representa a média de 
três valores medidos! 
- Assim sendo uma tabela com 7 pares de valores representa a 
 realização de 42 medidas realizadas! 
AR 
(300K) =1.16 =1.85E-05 
AGUA 
(20oC) =998 =1.E-03 
V(m/s) D D V(m/s) D D 
d=0,1m d=0,2m d=0,05m d=0,1m 
0,159 1,48E-03 2,80E-03 0,02 0,010 0,019 
0,319 0,00561 0,0118 0,04 0,038 0,08 
0,638 0,0236 0,0543 0,08 0,16 0,369 
1,595 0,179 0,357 0,2 1,212 2,425 
3,19 0,714 1,42 0,401 4,85 9,619 
4,784 1,59 3,18 0,601 10,822 21,571 
7,974 4,41 
FORÇA DE ARRASTO: Alguns resultados experimentais 
Motivação 
0,00E+00 
5,00E-01 
1,00E+00 
1,50E+00 
2,00E+00 
2,50E+00 
3,00E+00 
3,50E+00 
4,00E+00 
4,50E+00 
5,00E+00 
0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 
A
rr
a
s
to
 (
N
) 
Velocidade (m/s) 
Cilindros no ar 
d=0,1m d=0,2m 
0,000 
5,000 
10,000 
15,000 
20,000 
25,000 
0 0,2 0,4 0,6 0,8 
A
rr
a
s
to
 (
N
) 
Velocidade (m/s) 
Cilidros na água 
d=0,05m d=0,1m 
FORÇA DE ARRASTO: Representação gráfica 
Motivação 
Objetivos 
 Estabelecer os parâmetros necessários 
para guiar estudos experimentais; 
 
Apresentar a técnica usada para aplicar 
os resultados de estudos de modelos a 
protótipos para uma variedade de situação 
de escoamento; 
 Extrair os parâmetros do escoamento das 
equações diferenciais e condições de 
contorno usados para guiar estudos 
computacionais; 
Objetivos 
 Fornecer exemplos e problemas que 
ilustrem a utilização de parâmetros 
adimensionais dos escoamentos, como 
estudos de modelo e permitir prever 
quantidades de interesse em um protótipo e 
verificar o uso de equações diferenciais 
normalizadas; 
Objetivos 
 Homogeneidade dimensional: Condição 
em que todos os termos de uma equação 
têm as mesmas dimensões. 
Introdução 





2
2
2
2
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
2
1 z
p
g2
V
z
p
g2
V
22
2
2
22






Introdução 
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
z
z
z
p
gz2
V
1
z
p
gz2
V





Dividindo por z1 





2
2
2
2
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
2
1 z
p
g2
V
z
p
g2
V
22
2
2
22






Analise 
Dimensional 
Adimensionalização de uma equação 
s
p1
s
u
u
t
u









 EXEMPLO: Equação do movimento de Euler 
 
GRANDEZAS CARACTERÍSTICAS 
L  Comprimento característico 
V  Velocidade característica 
T =L/V  Tempo característico 
GRANDEZAS ADIMENSIONALIZADAS 
 
L
s
*s 
L
Vt
T
t
*t  *t
V
L
t 
V
u
*u  *Vuu 
2
2
1 V
p
*p

 *pV
2
1
p 2
 
  s = Ls*
 
 
 

 
 
 
 
 
Adimensionalização de uma equação 
s
p1
s
u
u
t
u









EXEMPLO: Equação do movimento de Euler (continuação) 
 
SUBSTITUIÇÃO NOS TERMOS DA EQUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
*t
*u
L
V
L
V
*t
*u
V
dt
*dt
*t
*u
V
t
*)Vu(
t
u 2














*
*
*
*
*
*
*
*)(
*)(
2
2
s
u
u
L
V
ds
ds
s
u
uV
s
Vu
Vu
s
u
u











 
*s
*p
L
V
2
1
ds
*ds
*s
*p
V
2
1
s
*p
V
2
1
s
*pV1
s
p1 222
2
2
1
















Adimensionalização de uma equação 
s
p1
s
u
u
t
u









EXEMPLO: Equação do movimento de Euler (continuação) 
 
EQUAÇÃO ADIMENSIONALIZADA 
 
 
 
 
 
 
 
*s
*p
*s
*u
*u
*t
*u








a solução da equação adimensionalizada fornece, por 
exemplo, p* que independe do valor particular de L, V, s, t, 
, etc.; depende apenas dos valores de u*, s* e t* que 
representam combinações específicas das variáveis 
dimensionais (L, V, s, t, , etc.): 
 
 p* =  ( u*,s*, t*) 
ADIMENSIONALIZAÇÃO 
Exemplo 2: Eq. de Navier-Stokes 
2
2
s
u
s
p1
s
u
u
t
u












EQUAÇÃO DE NAVIER STOKES: Equação do movimento 
 
GRANDEZAS CARACTERÍSTICAS 
L  Comprimento característico 
V  Velocidade característica 
T =L/V  Tempo característico 
GRANDEZAS ADIMENSIONALIZADAS 
L
s
*s 
L
Vt
T
t
*t  *t
V
L
t 
V
u
*u  *Vuu 
2
2
1 V
p
*p

 *pV
2
1
p 2
 
 
  s = Ls*
 
 
 

 
 
 
 
 
ADIMENSIONALIZAÇÃO 
Exemplo 2: Eq. de Navier-Stokes 
EQUAÇÃO DE NAVIER STOKES : Equação do movimento 
 
SUBSTITUIÇÃO NOS TERMOS DA EQUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
*t
*u
L
V
L
V
*t
*u
V
dt
*dt
*t
*u
V
t
*)Vu(
t
u 2














*s
*u
*u
L
V
ds
*ds
*s
*u
*uV
s
*)Vu(
*)Vu(
s
u
u
2
2











 
*s
*p
L
V
2
1
ds
*ds
*s
*p
V
2
1
s
*p
V
2
1
s
*pV1
s
p1 222
2
2
1
















2
2
s
u
s
p1
s
u
u
t
u












2
2
22
2
2
2
*s
*u
L
V
s
*)Vu(
s
u








ADIMENSIONALIZAÇÃO 
Exemplo 2: Eq. de Navier-Stokes 
EQUAÇÃO DE NAVIER STOKES : Equação do movimento 
 
EQUAÇÃO ADIMENSIONALIZADA 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
*s
*u
Re
1
*s
*p
*s
*u
*u
*t
*u











a solução da equação adimensionalizada fornece, por exemplo, 
p* que independe do valor particular de L, V, s, t, , , etc.; 
depende apenas dos valores de u*, s* e t* que representam 
combinações específicas das variáveis dimensionais (L, V, s, t, 
, , etc.): 
 p* =  ( u*,s*, t*, Re) 
2
2
s
u
s
p1
s
u
u
t
u















UL
Re
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões 
Comprimento l L 
Tempo t T 
Massa m M 
Força F ML/T2 
Velocidade V L/T 
Aceleração a L/T2 
Freqüência w T-1 
Gravidade g L/T2 
Área A L2 
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões 
Vazão Q L3/T 
Fluxo de massa M/T 
Pressão p M/LT2 
Tensão t M/LT2 
Massa específica  M/L3 
Peso específico  M/L2T2 
Viscosidade  M/LT 
Viscosidade cinemática n L2/T 
m
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões 
Trabalho W ML2/T2 
Potencia, fluxo de calor ML2/T3 
Tensão superficial s M/T2 
Módulo da elasticidade 
volumétrica 
B M/LT2 
Q,W 
Teorema p de Buckingham 
)x,...,x,x,x(fx n4321 
)h,d,,,V(fp 
Dependente 
Independentes 
n- número de variáveis 
É o teorema que nos permite determinar os números 
adimensionais a partir da função característica. 
Teorema p de Buckingham 
)mn(K 
),...,,(f mn3211 pppp
K - Grupos adimensionais; 
n – numero de variáveis(grandeza / quantidade); 
m - número dimensões básicas; 
Partindo-se da função 
característica, f (F, V, ρ, µ, 
d) = 0, a aplicação do 
teorema dos π respeita a 
seguinte seqüência: 
1º PASSO: 
Determinar o número de variáveis 
que influenciam o fenômeno - n 
n = 5 
 
2º PASSO: 
Escrevemos a equação 
dimensional de cada uma das 
variáveis. 
[F] = F 
[V] = L x T-1 
[ρ] = F x L-4 x T2 
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
 
Teorema p de Buckingham 
 
 
3º PASSO: 
 
Determinamos o número de 
dimensões envolvidas no 
fenômeno - m. 
m = 3 
 
4º PASSO: Determinamos o 
número de adimensionais que 
caracterizam o fenômeno - 
K 
K = n - m ∴ K = 2 
 
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos 
números adimensionais. 
 
Definição de base - É um 
conjunto de variáveis 
independentes comuns aos 
adimensionais a serem 
determinados, com exceção dos 
seus expoentes.Variáveis independentes- São 
aquelas que apresentam as suas 
equações dimensionais diferentes 
entre si de pelo menos uma 
grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como 
variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
 
 
Teorema p de Buckingham 
Bases possíveis para o 
exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ 
V D. 
Para obtermos os 
adimensionais já 
estabelecidos para os 
estudos de Mecânica dos 
Fluidos, geralmente 
adotamos a base ρ V D, ou a 
que mais se assemelha a 
esta. Para o exemplo, 
adotamos a base ρ V D. 
6º PASSO : 
Escrevemos os 
números adimensionais, 
multiplicando a base 
adotada por cada uma 
das variáveis que 
restaram na função 
característica após a 
sua retirada. 
 
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ 
Teorema p de Buckingham 
Para obtermos os expoentes da base, 
substituímos cada uma das variáveis por sua 
respectiva equação dimensional, inclusive o 
número adimensional. 
Para p1 tem-se: 
Teorema p de Buckingham 
Para p2 tem-se: 
Teorema p de Buckingham 
Grupos Adimensionais 
FORÇAS ENCONTRADAS NOS FLUIDOS EM ESCOAMENTO 
Significado Físico 
inercial força
pressão de força
Eu 
viscosa força
inercial força
Re 
gravidade da força
inercial força
Fr 
Escoamento nos quais a queda 
pressão é significativa 
Escoamento influenciados por 
efeitos viscosos 
Escoamento influenciados pela 
gravidade:escoamento de 
superfície livre 
Significado Físico 
ilidadecompressib de força
inercial força
M 
inercial força
centrífuga força
St 
lsuperficia tensão de força
inercial força
We 
Compressibilidade 
importante V >0,3c 
Componente não permanente se 
repete periodicamente 
A tensão superficial 
influencia o 
escoamento 
Parâmetros Adimensionais Comuns 
s


w









lV
 We Weber,de Número
V
l
St Strouhal, de Número
c
V
M Mach, de Número
lg
V
Fr Froude, de Número
lV
Re Reynolds, de Número
V
p
 Eu Euler, de Número
2
2






s
w




 lV
,
V
l
,
c
V
,
lg
V
,
lV
f
V
p 22
12
Exercício 
A queda de pressão (∆P), para escoamento em 
regime permanente, incompressível e 
viscoso, através de um tubo retilíneo 
horizontal, depende do comprimento do tubo 
(l), da velocidade média (V), da viscosidade 
do fluido (μ), do diâmetro (D), da massa 
específica (ρ), e da altura média da 
rugosidade (e). Determine um conjunto de 
grupos adimensionais que possa ser usado 
para correlacionar os dados. 
Semelhança 
Estudo da previsão das 
condições do protótipo 
a partir de observações 
de modelos 
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais 
obtidos da análise dimensional 
Modelo em escala de 
edifícios grandes de uma 
cidade. O escoamento de 
ar ao redor dos edifícios é 
estudada. Os elementos 
ásperos no chão geram a 
turbulência desejada nas 
paredes. 
Exemplos 
TESTES COM MODELOS 
Semelhança 
 Semelhança geométrica 
36 
HP 
LP 
BP 
MODELO EM ESCALA 
REDUZIDA 
Hm 
Lm 
Bm 
PROTÓTIPO 
p
m
p
m
p
m
H
H
B
B
L
L

ESCALA GEOMÉTRICA 
OBSERVAÇÃO: O modelo pode ser reduzido ou aumentado 
TESTES COM MODELOS 
Semelhança 
 Semelhança cinemática 
37 
PROTÓTIPO 
MODELO EM ESCALA REDUZIDA 
VP 
Vm 
TESTES COM MODELOS 
Semelhança 
 Semelhança dinâmica 
38 
PROTÓTIPO 
MODELO EM ESCALA REDUZIDA 
VP 
Vm 
Dp 
Dm 
 D = f(L,B,H, , , V) 
CD =  (B/L, H/L, 
Re) 
p
p
m
m
L
B
L
B

p
p
m
m
L
H
L
H

p
ppp
pm
m
mmm
LV
ReRe
LV





pp
2
pp2
1
p
pDmD
mm
2
mm2
1
m
HBV
D
CD
HBV
D



Aplicação 
 O arrasto de um transdutor de sonar deve ser 
previsto bom base em testes em túnel de 
vento. O protótipo, uma esfera de 1 ft de 
diâmetro, deve ser rebocado a 5 nós (milhas 
náuticas por hora) na água do mar a 40 °F. O 
modelo tem 6 in de diâmetro. Determine a 
velocidade de teste requerida no ar. Se a 
força de arrasto sobre o modelo nas 
condições de teste for 0,60 lbf, estime a força 
de arrasto sobre o protótipo.