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30/03/2016
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Funções
Nelson Carnaval
Função Sobrejetora
Seja f uma função de A em B; f diz-se sobrejetora se e somente se
Im(f) = B.
• Observe o gráfico abaixo
• f é sobrejetora  Im(f) = CD(f)
• Interpretação gráfica
• Note que se f é sobrejetora, para todo
elemento y de B existe pelo menos um
elemento x de A tal que f(x) = y, isto é, todo y
de B é imagem de “pelo menos um” x de A.
f : R→ [- 4,+∞)
• Observe que:
1. f não é injetora, pois a reta r, paralela ao eixo Ox
intercepta o gráfico de f em dois pontos.
2. No entanto, f é sobrejetora, pois toda reta
paralela
ao eixo Ox e que passa por um ponto de ordenada
y, com , intercepta o gráfico.
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• Função Injetora
• Uma função y = f(x) é injetora quando
elementos distintos do seu domínio , possuem
imagens distintas, isto é:
• X1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2) .
• Exemplo:
• Interpretação gráfica
• Note que se f é injetora, um elemento y de B
não é necessariamente imagem de algum
elemento x de A, mas, se for, é imagem de um
único x de A, mas, se for, é imagem de um
único x de A.
f : [1,4]→ [0,6]
• 1. f é injetora, pois toda reta paralela ao eixo
Ox que
intercepta o gráfico de f o faz em um único
ponto.
• 2. f não é sobrejetora, pois a reta r, paralela ao
eixo
Ox e que passa por um ponto de ordenada y,
com , não intercepta o gráfico.
• Função Bijetora
• Uma função é dita bijetora , quando é ao
mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
Interpretação gráfica
Note que se f é bijetora, para todo elemento y de B existe um e um só
elemento x de A tal que f(x) = y, isto é, todo y de B é imagem de um e um só
x de A.
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f : [-1,6]→ [1,8]
EXERCÍCIOS
01.(PUC-SP) Seja a função f de
D= {1,2,3,4,5} em IR definida por f(x) = (x-2)(x-4).
Determine o seu conjunto imagem.
02. Dados os conjuntos A {-1,0,1,2} e B {1,2,3,4,5}, assinale o
que for correto.
0-0) A função f: A em B definida por f(x) = x+3 é sobrejetora.
1-1)A função f: A em B definida por f(x) = x+2 é bijetora.
2-2) A relação de A em B definida por Y = X2 + 3 , com X em A
e Y em B, representa uma função de A em B.
3-3)A função definida por f(x) = x + 3 é injetora.
4-4) O conjunto imagem da função F de A em B definida por
f(x) = x2 + 1 é im {1,2,5}.
Função Inversa
1. para obter a função inversa , basta permutar as
variáveis x e y .
2. o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f
.
3. o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f
.
4. os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em
relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro
quadrante .
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• Regra prática para se obter a lei da função inversa.
1.Troca-se x por y e y por x , em y = f(x) e obtém-se x = f(y).
2.Isola-se a variável y, obtendo-se, então, f-1(x).
Observe o exemplo:
01.Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 y-1 = (x-3)/2, que define a função inversa da
função dada.
01.Sendo as funções abaixo bijetoras ,
determine suas inversas.)
02.Determine as inversas de:
Interpretação gráfica da inversa
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Função Composta
Dadas as funções f : A  B, g : B  C, denomina-se
função composta de g com f à função h : A  C, tal que
h(x) = g (f(x)).
Notação:
(g o f) (x) = g [f(x)] ou (f o g) (x) = f [g(x)]
A composição de funções não é uma operação comutativa g o f  f o g
01.Sejam f e g funções reais de variável real tais que
f(x) = 3x+1 e g(x) =x2 - 3x.
Determine :
A)(gof) (x)
B)(fog) (x)
C)(fof)(x).