Função

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Função: Definição, Domínio, Imagem e os Tipos
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Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B.
Índice do Artigo
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· Produto Cartesiano
· Relação
· Definição
· Funções definidas por fórmulas
· Domínio e Imagem
· Gráficos de Funções
· Como construir o gráfico de uma função?
· Reconhecimento do Gráfico de uma Função
· Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu Gráfico
· Estudo do Sinal
· Função Crescente, Decrescente e Constante
· Tipos de Funções
· Injetora ou Injetiva
· Sobrejetora ou Sobrejetiva
· Bijetora ou Bijetiva
· Composta
· Inversa
· Modular
· Par
· Ímpar
· Afim ou Polinomial do Primeiro Grau
· Quadrática ou Polinomial do Segundo Grau
· Exponencial
· Exercícios
Produto Cartesiano
Chamamos de produto cartesiano, o produto A x B, sendo A e B conjuntos não vazios, tendo como resultado um conjunto de pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B.
Sendo assim, o produto cartesiano pode ser definido assim:
· A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Relação
Uma relação de R de A em B entre dois conjuntos A e B, não vazios, é um subconjunto de A x B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A e B:
· A = {1, 2, 3}
· B = {1, 3}
Então:
· A x B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}
As duas relações de A em B poderiam ser:
· R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1), (3, 3)}
· R2 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1} = {(2, 3)}
Definição
Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de função a correspondência f ou relação binário entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ A possui um único correspondente y ∈ B, que é a imagem de x.
Podemos ilustrar a definição anterior através do diagrama de flechas para um melhor entendimento. Então, temos:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-1.png" alt="diagrama de flechas" class="wp-image-486"/>
Cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento em B.
Analisando a figura, podemos definir o seguinte:
· O conjunto A é o domínio;
· O conjunto B é o contradomínio;
· Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A é chamado de imagem da função.
Funções definidas por fórmulas
É frequentemente encontrado algumas funções que são definidas por fórmulas.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A e B:
· A = {1, 5}
· B = {2, 3, 4, 6}
Seja f a função que associa cada elemento de A acrescido de 1. Dessa forma, sendo x um elemento de A e y um elemento de B, que corresponde a imagem no conjunto B, temos a seguinte expressão:
· y = x + 1
· Para x = 1 ⇒ y = 1 + 1 ⇒ y = 2
· Para x = 5 ⇒ y = 5 + 1 ⇒ y = 6
Podemos ver melhor no diagrama de flechas abaixo:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-2.png" alt="diagrama de flechas" class="wp-image-487"/>
A variável x é chamada de variável independente, e y, a variável dependente. Portanto, a variável y é dita em função de x, e assim escrevemos y = f(x).
Domínio e Imagem
Sabendo que toda função f de A em B é uma relação binária, isto é, para cada elemento em A existe somente um elemento em B relacionado a ele, então f tem um domínio e uma imagem.
O domínio é o conjunto D formados pelos elementos x ∈ A, de forma que existe y ∈ B, tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.
O conjunto A é o domínio, o conjunto de partida, assim temos que:
· D = A
A imagem de uma função é o conjunto Im formado pelos elementos y ∈ B de forma que existe x ∈ A tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.
O conjunto Im é subconjunto do contradomínio B, isto é:
· Im ⊂ B
Veja na imagem abaixo:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-2.png" alt="Domínio e Imagem" class="wp-image-487"/>
· D = A = {1, 5}
· Im = {2, 6}
O domínio D é igual ao conjunto A e o conjunto imagem Im é subconjunto do contradomínio B.
Gráficos de Funções
O gráfico de f: R → R é formado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano de forma que y = f(x).
Exemplos de gráficos de funções:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-3.png" alt="Gráficos de funções" class="wp-image-488"/>
Como construir o gráfico?
Para construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores para a variável que representa um valor do domínio da função e com isso encontraremos o valor que representa a imagem para aquele elemento do domínio.
Exemplo:
Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. Sendo A = [0, 5], represente esta função no plano cartesiano e desenhe o seu respectivo gráfico.
Resolução:
Para encontrar os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, devemos atribuir os valores do domínio A que estão dentro do intervalo [0, 5]. Assim:
· Para x = 0: 2(0) – 2 = -2
· Para x = 1: 2(1) – 2 = 0
· Para x = 2: 2(2) – 2 = 2
· Para x = 3: 2(3) – 2 = 4
· Para x = 4: 2(4) – 2 = 6
· Para x = 5: 2(5) – 2 = 8
Esses valores formam a seguinte tabela:
	x
	y
	0
	-2
	1
	0
	2
	2
	3
	4
	4
	6
	5
	8
Onde:
· x é um valor do domínio da função;
· y é um valor da imagem.
Marcando os valores dos pares (x, y) no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos formados pelos pares ordenados (x, y), temos o seguinte gráfico:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-4.png" alt="Como construir o gráfico de uma função?" class="wp-image-489"/>
Reconhecimento do Gráfico de uma Função
Vamos observar os seguintes gráficos e fazer uma discussão a respeito deles:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-5.png" alt="Reconhecimento do Gráfico" class="wp-image-490"/>
O gráfico I não representa o gráfico de uma função, pois os elementos do domínio do função no eixo x estão relacionados com mais de um elemento do eixo y.
Como sabemos pela definição, cada elemento do domínio só pode está relacionado a um único elemento do conjunto imagem.
O gráfico II representa o gráfico de uma função, pois para cada elemento em x, existe somente um elemento em y. Isto é, cada elemento do domínio está relacionado a apenas um elemento da imagem.
Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu Gráfico
Considere o seguinte gráfico de uma função qualquer:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-6.png" alt="Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu Gráfico" class="wp-image-491"/>
Pelo gráfico acima, podemos afirmar que a função possui um domínio limitado no intervalo [1, 3], para valores no eixo x (eixo das abcissas). Os valores do intervalo [1, 4], no eixo y (eixo das ordenadas), é a imagem da função.
Dessa forma, temos que:
· Domínio: D = [1, 3]
· Imagem: Im = [1, 8]
Estudo do Sinal
Ao estudar o sinal de uma função conseguimos determinar quando a função assume valores correspondentes em y negativos, nulos ou positivos, para quais valores de x.
Exemplo:
Seja o gráfico de uma função f: R → R:
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-7.png" alt="Estudo do Sinal da Função " class="wp-image-492"/>
Pelo gráfico temos que:
· Para x < -2 ou x > 3: os valores de y são positivos;
· Para -2 < x < 3: os valores de y são negativos;
· Para x = -2 ou x = 3: os valores de y são nulos. Também chamados de raízes ou zeros da função.
Função Crescente, Decrescente e Constante
Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico em: crescente, decrescente e constante.
· Crescente: uma função é crescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x1) < f(x2).
· Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam.
· Exemplo: 
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-8.png" alt="Função crescente" class="wp-image-493"/>
· Decrescente: uma função é decrescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x2) < f(x1).
· Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y diminuem.
· Exemplo:
<imgsrc="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-9.png" alt="Função decrescente" class="wp-image-494"/>
· Constante: uma função é constante quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, temos que f(x1) = f(x2).
· Isto que dizer que quando os valores de x aumentam, os valores de y permanecem iguais.
· Exemplo: 
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-10.png" alt="constante" class="wp-image-495"/>
Tipos de Funções
Podemos classificar as funções de acordo com as propriedades específicas que elas possuem. Essas propriedades retratam o comportamento que elas terão em certas condições.
Injetora ou Injetiva
Um função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, os elementos distintos em A possuem elementos distintos em B.
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-injetora.png" alt="Injetora ou Injetiva" class="wp-image-496"/>
Como podemos ver pelo diagrama de flechas que todo elemento de B possui somente uma flecha apontada para ele.
Sobrejetora ou Sobrejetiva
Temos que f : A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-sobrejetora.png" alt="Sobrejetora ou Sobrejetiva" class="wp-image-497"/>
Pelo diagrama de flechas vemos que todos os elementos de B é atingido por pelo menos uma flecha de pelo menos um elemento de A.
Bijetora ou Bijetiva
Um função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A.
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-bijetora.png" alt="Bijetora ou Bijetiva" class="wp-image-498"/>
Como vemos no diagrama de flechas que todos elemento de B é imagem de apenas um elemento de A, assim sendo injetora e sobrejetora e, portanto, bijetora.
Composta
Sejam os conjuntos A, B e C e duas funções f : A → B e g : B → C, chamamos de composta uma função h = gof: A → C, definida por R = gof(x) = g(f(x)).
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-composta.png" alt="Composta" class="wp-image-499"/>
Exemplo:
· Considere as seguintes funções: 
· f(x) = x² + 2x – 1 e g(x) = 3x + 1. Encontre fog(x). 
· Resolução: 
· fog(x) = f(g(x)) = g(x)² + 2g(x) – 1 = (3x + 1)² + 2(3x + 1) – 1 = 9x² + 6x + 1² + 6x + 2 – 1 = 9x² + 12x + 2 
Inversa
Seja f : A → B, definimos a inversa de f por f-1: B → A. Ou seja, é a função que leva os elementos da imagem de f aos elementos do domínio de f.
Dessa forma, f : A → B é inversível ⇔ f é bijetora.
Leia mais sobre função inversa.
Modular
Temos uma função modular quando os seus números são sempre positivos. O módulo é representado por duas barras verticais.
Exemplo:
· y = |x|
· y = |-(x . y)|
· y = |-x³|
· y = |x²|
Leia mais sobre função modular. 
Par
Uma função é chamada par quando f(x) = f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens iguais.
Exemplo:
· f(x) = x²
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-par.png" alt="Função Par" class="wp-image-500"/>
· f(2) = f(-2)
Ímpar
Uma função é chamada de ímpar quando f(x) = -f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens opostas.
Exemplo:
· f(x) = x³
<img src="https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/funcao-impar.png" alt="Função Ímpar" class="wp-image-501"/>
· f(1) = -f(-1)
Afim ou Polinomial do Primeiro Grau
A função afim é do tipo polinomial do primeiro grau se for definida como:
f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
· y = 2x + 2
· f(x) = x + 1
· y = -4x
· f(x) = 7x – 3
Quadrática ou Polinomial do Segundo Grau
A função quadrática é do tipo polinomial do segundo grau se for definida como:
f : R → R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R e a ≠ 0.
Exemplos:
· y = 2x² + 2x + 1
· f(x) = x² – 3x + 3
· y = -4x² -3x + 4
· f(x) = 7x² – 3x – 3
Exponencial
Uma função exponencial é definida da seguinte forma:
f : R → R*+ tal que f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1.
Exemplos:
· y = 2x
· f(x) = 4-x
· f(x) = (1⁄2)x