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124 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Unidade IV 7 APLICATIVOS DE INFORMÁTICA USANDO MAXIMA Software Livre Para a Fundação Software Livre América Latina1, um software é livre quando ele for licenciado por meio de termos que respeitem as seguintes liberdades de seus usuários: • a liberdade de executar o programa para qualquer propósito (liberdade nº 0); • a liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá‑lo às suas necessidades (liberdade nº 1). Acesso ao código‑fonte é um pré‑requisito para esta liberdade; • a liberdade de redistribuir cópias, de modo que você possa ajudar o seu próximo (liberdade nº 2); • a liberdade de aperfeiçoar o programa e distribuir os seus aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao código‑fonte é um pré‑requisito para esta liberdade (AUSLA, 2011). Saiba mais Você pode saber mais sobre software livre, acessando: <http://www.fsfla.org/svnwiki/about/what‑is‑free‑software.pt.html> 7.1 Maxima: o software, a instalação e os recursos básicos 7.1.1 Origens e potencialidades do Maxima Nós, professores de Matemática, durante nossa carreira profissional, utilizamos alguns softwares computacionais, seja no auxílio à preparação de aulas, resolução de problemas e exercícios, elaboração de projetos e à preparação de atividades ou aulas a serem desenvolvidas com nossos alunos. Aqui, em nosso curso de Matemática da UNIP, oferecemos uma introdução a alguns softwares livres ou gratuitos (Winplot, Maxima, Mupad) para que, no desenvolvimento de suas funções profissionais, você, já sendo possuidor de alguma familiaridade com pacotes computacionais, possa deles fazer uso e aprofundar seus conhecimentos conforme suas necessidades ou seus interesses. 1 Alexandre Oliva e Pedro Antonio Dourado de Rezende – Fundação Software Livre América Latina. Disponível em: <http://www.fsfla.org/svnwiki/texto/index.pt.html>. Acesso em: 22 jul. 2011. 125 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Nesta disciplina, apresentaremos a você o Maxima: um software livre e gratuito. O Maxima é um pacote computacional para cálculos matemáticos, semelhante aos softwares MatLab, Mathematica e Maple, que não são livres nem gratuitos e representam alto custo aos usuários. O Maxima é um sistema de álgebra computacional para trabalharmos com expressões numéricas e simbólicas. O pacote pode ser baixado no seguinte endereço: <http://maxima.sourceforge.net> e também pode ser encontrado em nosso Blackboard. O Maxima tem sua origem no sistema Macsyma (1968–1982), desenvolvido no Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT). O MIT, em 1982, remanejou uma cópia/versão do código‑fonte do Macsyma ao departamento de energia; essa versão é conhecida com Macsyma DOE (Departamento de Energia). O professor William F. Schelter (2001†) obteve, em 1998, permissão para liberar o código‑fonte sob a GNU General Public License (GPL). A sobrevivência e a abertura do código‑fonte do Maxima se deveram aos esforços e às habilidades de muitas pessoas, em especial do professor Schelter. Um grupo cada vez maior de colaboradores e usuários deram forma e disponibilizaram o Maxima a todos os que se interessassem. Para que você tenha noção da abrangência do Maxima, saiba que ele inclui: limites, diferenciação, integração, gráficos 2D e 3D, curvas de nível, séries de Taylor, transformações de Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, séries, listas, conjuntos, números complexos, vetores, matrizes, determinantes, autovalores e autovetores, raízes de polinômios, polinômio característico, entre outras. 7.1.2 Baixando e instalando o Maxima A versão que iremos usar do Maxima ficará disponível para você baixar dentro do site da própria UNIP, em nosso curso, junto com o material desta disciplina. Instalação do Maxima Após efetuar o download do software Maxima, dê dois cliques com o botão esquerdo do mouse ou selecione o ícone (figura 16) e pressione a tecla Enter: Figura 1 – Ícone do instalador do Maxima Após executar o instalador, a primeira tela que aparece é para selecionar a língua de instalação do software (figura 2); como padrão está a língua inglesa, mas clicando nas opções, pode‑se escolher a 126 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 opção Português (Brasil) (figura 3). Após selecionar a língua, basta clicar em OK para prosseguir com a instalação: Figura 2 – Línguas disponíveis para instalação Figura 3 – Selecionando a língua portuguesa: Português (Brasil) Atenção: existem algumas razões para que, mesmo seguindo os passos indicados, você não consiga ter a versão em português do Maxima (não entraremos nesse mérito). Apresentamos a imagem em português, uma vez que lhe será mais significativa. Qualquer que seja o idioma em que o pacote for instalado, a posição dos temas, das funções ou das operações será sempre a mesma. Com essa versão em português, ficará fácil para você compreender o que aparece em sua tela, caso sua versão esteja em inglês. Tudo tem um lado positivo; se sua versão ficar instalada em inglês, além de aprender a ser um usuário desse pacote computacional, você também irá agregar aos seus conhecimentos novos termos técnicos em inglês. Dessa forma, você poderá e saberá transitar em qualquer versão do Maxima e aumentará o entendimento de termos em outros pacotes computacionais. Voltemos à instalação do Maxima. O próximo passo é o Contrato de Licença de Uso; basta ler os termos, ativar a opção Eu aceito os termos do contrato e clicar em Avançar para continuar. A figura 4 mostra a tela como é apresentada e a opção Eu aceito os termos de Contrato já selecionada: 127 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 4 – Contrato de Licença de Uso Após as configurações iniciais de instalação, é apresentada uma tela de boas‑vindas do assistente de instalação (figura 5); basta clicar em Avançar e prosseguir com a instalação do software: Figura 5 – Boas‑vindas do instalador A próxima tela apresenta as seguintes informações: 1. Usuários do sistema operacional MS Windows 9X devem ler a sessão referente à falta de espaço para ambiente no arquivo Readme. 2. Se a interface do software Maxima não funcionar, ler a sessão referente a firewall no arquivo Readme. 128 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão :M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 A figura 6 ilustra a parte que contém essas informações; depois de lidas, clique em Avançar para prosseguir com a instalação: Figura 6 – Informações gerais O passo seguinte da instalação consiste em definir o diretório para instalação do Maxima. A figura 7 mostra o diretório‑padrão escolhido pelo instalador; caso deseje mudar o diretório de destino, clique no botão Procurar... e defina o diretório de sua preferência. Após definir o diretório ou aceitar o padrão, clique em Avançar para continuar com a instalação: Figura 7 – Definição do diretório de instalação do Maxima 129 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 A tela seguinte do instalador (figura 8) é referente aos componentes a serem instalados. Por padrão, é definido Full installation (ou instalação completa), que consiste em instalar todos os componentes do software Maxima. Existem outras duas opções: • Compact installation (ou instalação compacta): consiste somente no Maxima core with command line interface. • Custom installation (ou instalação customizada): o usuário pode definir quais pacotes deseja instalar. Por padrão, deixaremos a opção Full installation. Clique no botão Avançar para continuar com a instalação: Figura 8 – Componentes do Maxima A tela seguinte (figura 9) confirma o nome da pasta em que serão salvos os atalhos no Menu Iniciar. Você pode alterar o nome, clicar em Procurar e definir outro local ou aceitar o padrão. Em nosso caso, iremos clicar em Avançar para prosseguir com a instalação: 130 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 9 – Diretório do menu iniciar A próxima tela define tarefas adicionais (figura 10) de como adicionar ícones à área de trabalho. Por padrão, está definida a criação do ícone do Maxima na área de trabalho, basta clicar em Avançar e continuar com a instalação: Figura 10 – Tarefas adicionais As próximas telas mostram as definições da instalação; basta clicar em Instalar para efetuar a instalação: 131 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 11 – Definições de instalação Após clicar em Instalar, ocorrerá a instalação do software Maxima. Espera‑se a barra de progresso para o fim da instalação, conforme a figura 12: Figura 12 – Progresso da instalação Após a instalação, é exibida uma tela com informações gerais conforme a figura 13; basta clicar em Avançar: 132 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 13 – Informações gerais Concluída a instalação, é exibida a tela da figura 14; clique em Concluir. O ícone do Maxima pode ser encontrado na área de trabalho, como na figura 15: Figura 14 – Instalação concluída 133 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 15 – Ícone do Maxima 7.1.3 A interface do Maxima A interface wxMaxima é planejada para facilitar o uso do Maxima. A tela do programa é como está aparecendo a seguir (figura 16), que é a padrão para esta versão; possui doze botões de atalho na parte inferior da tela abaixo da Entrada. Informo aos “futuros amantes do Maxima” que esta quantidade pode ser aumentada: Figura 16 – Interface do wxMaxima Caso deseje visualizar ou trabalhar com a versão completa, você deve clicar em Editar e selecionar Configurar no painel de botões; selecione a opção Completo (como ilustrado na figura 17) e clique em OK. Caso não deseje, tudo bem, não vamos usar esses botões de atalho em nossa excursão pelo Maxima: 134 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 17 – Configuração do Maxima Na sequência, você deve fechar o programa e abri‑lo novamente. Após seguir os procedimentos listados até agora, irá visualizar uma janela semelhante à que apresentamos na figura 18: Figura 18 – Interface do wxMaxima com painel de botões completo Nessa imagem, pode‑se observar a existência de vinte botões de atalho. Você também tem a opção de ocultar todos os botões de atalho. 135 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 O Maxima foi desenvolvido em C++ e possui o código‑fonte aberto, o que lhe permite ser modificado e aprimorado por qualquer pessoa que se interesse e desenvolva o conhecimento suficiente para fazê‑lo. Caso, no futuro, você queira desenvolver algum trabalho nesse sentido, este poderá ser configurado como um projeto de iniciação científica, tanto na Matemática quanto na Computação, que são ciências social e culturalmente construídas. O Maxima também possui potencialidades a serem desenvolvidas e existem características a melhorar. Saiba que é usual aprimorar programas computacionais. Existem pelo mundo pessoas investindo tempo, inteligência e paixão para fazê‑lo. Um exemplo desses esforços está na busca por modificações com o intuito de aumentar o número de funções existentes no programa hoje. Na versão que escolhemos para apoiar nossa disciplina, existe uma interface gráfica que permite ao Maxima trabalhar com matrizes de forma semelhante à que ocorre com o Winmat. Outras equipes se envolvem em fazer traduções2 em diversas línguas para as versões que são aprimoradas. Para ter acesso ao manual virtual do Maxima, você pode clicar sobre o ícone na barra de ferramentas. Uma segunda forma é colocar o cursor na região Entrada, digitar o símbolo da interrogação (?), dar um espaço e teclar Enter. Se estiver com uma dúvida específica sobre um comando, você deve colocar o cursor na região Entrada, digitar o símbolo da interrogação (?), dar um espaço, digitar a primeira letra (também pode ser mais de uma) do comando pretendido e clicar Enter; o manual virtual abrirá na página com a sequência em ordem alfabética das funções que apresentam,como início, a(s) letra(s) que você digitou. Para sair do manual, basta clicar no ícone no canto superior direito da tela. 7.1.4 Recursos básicos no Maxima Você pode apoiar seus estudos, tanto no que se refere aos de cálculo quanto aos conteúdos de álgebra. No que se refere aos conteúdos de cálculo, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima para: • representação gráfica de uma função em duas ou três dimensões; • calcular o limite de uma função; • calcular a(s) derivada(s) de uma função; • calcular a integral indefinida e/ou definida de uma função; 2 “Para contribuir com a equipe do Maxima na tarefa de manter a tradução para o português sempre atualizada, envie um e‑mail para <maxima@math.utexas.edu>.” A fonte dessa informação está na página 1 do manual virtual dessa versão do Maxima. 136 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 • encontrar as frações parciais de uma equação racional; • resolver equações diferenciais. Sei que são muitos conceitos novos, mas saiba que no curso de Matemática irão se construir campos de compreensão e aplicação em cada um deles. Mantenha a calma, estude sistematicamente, assista aos vídeos das aulas, participe ativamente do fórum de discussão, resolva reflexivamente as atividades solicitadas, faça suas pesquisas pessoais que esses conceitos, com o tempo, se constituirão como seus. Estude e tenha a postura que recomenda Walter Franco em uma de suas canções: mantenha “a mente quieta, a espinha ereta e o coração tranquilo”. Iremos desenvolver esses temas mais adiante. No que se refere aos conteúdos de álgebra, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima para: • calcular determinantes; • operar com matrizes; • operar com vetores; • resolver sistemas lineares; • encontrar as raízes ou zeros de um polinômio. 7.1.4.1 Iniciando e conhecendo o Maxima Para abrir o programa, você deve clicar sobre o ícone ; desse modo, aparecerá o que se retrata na figura 19: Figura 19 – Inicializando o Maxima 137 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Leia e feche a dica do dia. Ao iniciá‑lo, saiba que você estará em um ambiente de trabalho que recebe e armazena os dados segundo linhas de comando. Você irá, o tempo todo, ler e interpretar as linhas de comando simbolizadas das seguintes formas (%i1), (%i2), [...], (%iN); N é um número natural. O i é uma abreviação da palavra input, termo da língua inglesa usado para designar entrada de dados. As respostas às entradas serão dadas nas seguintes etiquetas: (%o1), (%o2), [...], (%oN); no qual o é uma abreviação da palavra output, que significa saída de dados. Uma vantagem dessa simbologia é que você pode fazer referência a uma entrada ou a um resultado passado relacionando‑os apenas pela etiqueta (figura 20): Figura 20 – Uso de etiquetas e a mensagem do Maxima O texto em inglês que aparece na figura 20 é sobre a versão do software. O local no qual se encontra oficialmente armazenado, informa que o mesmo é livre e de domínio público e apresenta uma dedicatória à memória do professor William Schelter, um incansável defensor dos sotfwares livres e um dos responsáveis por incentivar o aprimoramento e a disponibilidade pública do Maxima. Caso deseje iniciar suas atividades sem que a mensagem‑padrão ocupe a tela do seu computador, basta clicar em Editar, selecionar a opção limpar a tela e não verá mais a mensagem na sessão aberta. Aliás, você pode realizar o procedimento de limpar a tela sempre que considerar necessário, independentemente do que esteja nela registrado. A única imagem que ficará visível é a indicação de qual será sua próxima “linha de comando”. Embora não visíveis na tela, as contas, as equações ou os comandos inseridos permanecem na memória virtual do Maxima e você pode retomá‑los posicionando o cursor sobre a janela Entrada e clicando sobre a seta ↑ (sentido para cima) em seu teclado. Se teclar uma vez, aparecerá na região de 138 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 entrada o conteúdo (fórmula e/ou operação) do código da última linha de comando inserida, mesmo sem que a linha esteja visível na tela. Clicando duas vezes, você recuperará o conteúdo do código da penúltima linha de comando e assim sucessivamente. Exemplo Veja como efetuamos as seguintes operações: a) 220 b) 3+5 c) 5–13*2 d) 10/2–3 e) 2,5*2 Figura 21 – Exercícios Para realizar os cálculos, inserimos na Entrada: para o item: • 2^20 e teclamos Enter, a resposta é automática; • 3+5 e teclamos Enter, a resposta é automática; • 5–13*2 e teclamos Enter, a resposta é automática; 139 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 • 10/2–3 e teclamos Enter, a resposta é automática; • 2.5*2 e teclamos Enter, a resposta é automática. Lembrete Porém, quando inserimos 2,5*2 e teclamos Enter, a resposta foi um alerta: Improper argument (em português, esse alerta está chamando sua atenção para o fato de você ter inserido um argumento impróprio, ou seja, você cometeu um erro). Observação Nunca se esqueça de que no Maxima, assim como ocorre nas calculadoras, os números decimais são escritos com ponto (no lugar da vírgula); por exemplo: 3,1415 [...]. Para inserirmos esse valor, devemos usar 3.1415; isso vale tanto no Maxima quanto no Mupad, no Maple etc. Isso se deve ao fato de a programação interna desses pacotes (e de boa parte das calculadoras) seguirem o padrão da língua inglesa. Nunca use vírgula ao inserir um número, seja em calculadoras eletrônicas, seja em pacotes computacionais de nível internacional; o único pacote que foge a essa regra é o Excel. Portanto, se você digitar uma vírgula ao inserir um número, agora você já sabe o que acontece. Veja no quadro a seguir: Quadro 1 (%i13) 3,1415; Improper argument to ev:1415 ‑‑ an error. To debug this try debugmode(true); O programa está informando que você usou um argumento impróprio e avisa que é um erro. O que você deve fazer para corrigi‑lo? Posicione o cursor na Entrada e clique sobre a seta ↑ (sentido para cima) em seu teclado; recuperando a expressão 3,1415, delete a vírgula (,) e a substitua pelo ponto (.), depois tecle Enter. Para ocultar qualquer entrada e sua correspondente saída, basta clicar na etiqueta, por exemplo, (%i13) de entrada que aparecerá em vermelho a seguinte mensagem (%i13). << Unfold >>. Para recuperar a imagem ocultada, basta clicar sobre a mensagem << Unfold >> que novamente você terá, nesse exemplo: Quadro 2 (%i13) 3,1415; Improper argument to ev:1415 ‑‑ an error. To debug this try debugmode(true); 140 Unidade IV Re vi são: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Atenção: após inserir o comando desejado na Entrada, deve‑se pressionar o botão Enter para que o comando seja executado pelo Maxima. 7.1.4.2 Salvando arquivos e Maxima como editor de texto matemático simbólico Salvando arquivos O procedimento para salvar as operações e variáveis (inputs e outputs) que você realizou por meio do Maxima é muito simples; basta clicar sobre a barra de ferramentas na opção Arquivo e depois Salvar como (caso seja a primeira vez), depois será mostrada uma tela para você selecionar o diretório em que deseja salvar e o nome que deseja dar ao arquivo. Vale lembrar que a extensão com que o arquivo é salvo é a extensão WXM, que é uma sessão do wxMaxima: Figura 22 – Salvando uma sessão do wxMaxima Após salvo a primeira vez por meio do procedimento descrito anteriormente, basta clicar no ícone do disquete para salvar o arquivo: Durante alterações de uma sessão já salva, basta clicar neste ícone para salvar as alterações. Figura 23 – Salvar sessão 141 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Usando o Maxima como editor simbólico matemático Em nossos textos como professores de Matemática, muitas vezes precisamos escrever fórmulas, expressões e símbolos. Fazemos isso tanto em exercícios que propomos aos nossos alunos quanto ao elaborarmos provas, trabalhos e/ou projetos. Se nos apoiarmos no Maxima para verificarmos nossas propostas, podemos usá‑lo também como editor de fórmulas e expressões simbólicas. Veja como proceder com o exemplo a seguir: Exemplo Escrever a equação do segundo grau e copiar as fórmulas e expressões simbólicas obtidas por meio do Maxima: x2–2x+4=0 Solução: • passo 1: digitamos a equação do segundo grau no campo de Entrada:, conforme a figura 24: Figura 24 – Entrada da equação Após a entrada da equação, obtemos a saída do Maxima de acordo com o exemplo a seguir, sendo %o1 a primeira equação na forma matemática que desejamos copiar: Figura 25 • passo 2: para copiarmos a equação %o1, damos um clique sobre ela (selecionamos a equação), de tal forma que ela fique com um fundo cinza, conforme a figura 26: Figura 26 – Calculando a equação Após selecionar a equação, vamos à opção Editar da barra de menu e selecionamos a opção Copiar como, para então poder colar a equação, conforme a figura 27: 142 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 27 – Procedimento para copiar a equação Depois disso, colocamos as duas raízes da equação na entrada do Maxima (fórmula de Baskhara) e efetuamos o passo 2 para as duas raízes, conforme as figuras 28; 29; 30 e 31: Figura 28 – Primeira raiz da equação x b ac b a 1 4 2 2 = − − − Figura 29 – Equação da primeira raiz Figura 30 – Segunda raiz da equação x b ac b a 2 4 2 2 = − − Figura 31 – Equação da segunda raiz 143 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Observação Vale ressaltar que as fórmulas para as raízes da equação obtidas por meio do Maxima diferem da convenção adotada pelas literaturas, isto é, as raízes precedem o valor de –b no numerador. 7.1.4.3 Operando numérica e algebricamente Nesta sessão, aprenderemos, apoiados em exemplos, a usar alguns comandos do Maxima para realizar uma série de operações matemáticas. Operadores aritméticos Apresentaremos no quadro a seguir uma série de exemplos de como operar no Maxima. Serão vistas tanto a sintaxe (como ordenar de forma escrita que algo seja feito no pacote computacional) quanto a prioridade (ordem de precedência) do operador: Quadro 3 Operador Ação Exemplo No Maxima Resultado no Maxima Prioridade + Adiciona 2/3 + 1/21 2/3 + 1/21; 5/7 1 ‑ Subtrai 2/3 ‑ 1/21 2/3 ‑ 1/21; 13/21 1 * Multiplica 2/3 * 1/21 2/3 * 1/21 2/63 2 / Divide (2/3) / (1/21) (2/3) / (1/21); 14 2 ! Fatorial 5! 5!; 120 3 2 + 2 * 5! 2+2*%; * 242 3, 2, 1 ^ Potência 2 ^ 10 2 ^ 10; 1024 3 (1/4) ^ (1/2) (1/4) ^ (1/2); 1/2 3 a a= 1 2 Clacula a raiz quadrada de a 1024 sqrt (1024) 32 3 (1024) ^ (1/2) (1024) ^ (1/2); 32 3 a amn m n = Calcula a raiz enésima de a elevado a n 10 1054 5 4 = 10^(5/4); 10 * 10^(1/4) 3 *Caso queira resgatar o resultado de um cálculo imediatamente anterior, basta usar o símbolo %. % Resgata o último resultado (UR) 5 + (UR) 5 + %; depende do (UR) (UR) * 3 % * 3; depende do (UR) Operação em cadeia 5! 5!; 120 3 2 + 2 * 5! 2 + 2 * %; * 242 3, 2, 1 144 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Precedência dos operadores Ao avaliar uma expressão, o Maxima leva em conta a prioridade das operações; veja a última coluna do quadro anterior. As operações de maior prioridade (3 no quadro) são realizadas em primeiro lugar. Operações de mesmo grau de prioridade são realizadas na ordem em que aparecem na expressão, da esquerda para a direita. O uso de parênteses altera a prioridade. Você já deve ter percebido isso quando realizou os procedimentos das letras 5–13*2 e 10/2–3, do exemplo anterior. Analisando as informações do quadro, você pode verificar que colocamos duas linhas para ação fatorial. Nossa intenção era trazer ao seu conhecimento o comando % que resgata o último valor calculado e o insere em uma nova operação. Lembrete Revelo a você que eu, ao redigir o presente livro‑texto, o faço com o Maxima aberto em outra janela. Recomendo que, ao ler esse texto, faça‑o com o Maxima aberto e vá realizando cada atividade à medida que as lê ou estuda. Já tendo calculado 5! em meu computador, resolvi fazer uma conta em que conseguíssemos ter o resultado por cálculo mental, de modo que usasse tal resultado. Essa é a razão que bastou para que eu digitasse 2+2*%. Tentei esclarecer tal comando (%) na parte inferior da tabela. Resultados numéricos oferecidos pelo Maxima O Maxima é programado para devolver os resultados mais exatos, porém, nem sempre é possível. Isso significa que algumas vezes ele devolve uma expressão simbólica no lugar de um valor numérico. Veja os exemplos a seguir: I. (%i3) sqrt(2); (%o3) sqrt(2) II. (%i4) log(10); (%o4) log(10) III. (%i5) 2/3; (%o5) 2/3 Porém, muitas vezes não interessa saber o valor fracionário como no exemplo III, mas sim um valor aproximado. Para forçar o Maxima a nos devolver um resultado aproximado, usamos aexpressão float (comando de entrada). Veja como ficam nossos exemplos: Quadro 4 I. (%i6) float(2/3); (%o6) 0.66666666666667 II. (%i7) float(sqrt(2)); (%o7) 1.414213562373095 III. (%i8) float(log(10)); (%o8) 2.302585092994046 145 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 O quadro a seguir ilustra como inserimos constantes e/ou símbolos especiais no Maxima: Quadro 5 Algumas notações no Maxima Nome Símbolo Representação no Maxima Comando: valor aproximado Valor aproximado Número de Euler e %e float(%e); 2.718281828 Pi πp %pi float(%pi); 3.141592654 Raiz quadrada de 2 2 sqrt(2) float(sqrt(2)); 1.414213562 Logaritmo de 3 na base e ln3 log(3) float(log(3)); 0.477121255 Infinito ∞∞ inf i: nº complexo i = −1 %i Observação Você deve ter observado que até agora o símbolo % teve duas funções: chamar o último resultado obtido para inseri‑lo em novo cálculo e para indicar que um símbolo é uma constante. Mas e % como porcentagem... se você entrar com 10% na caixa de Entrada do Maxima. (%i1) 10%; Incorrect syntax: % is not an infix operator10%; ^ => ele não entende que é 0,1 e chama a sua atenção ao fato de que você está cometendo um erro. Fique atento! Diferentemente de outras, esta versão diferencia letras maiúsculas de minúsculas: A: e a: são entendidas como declaração de variáveis diferentes. Consequentemente, se você entrar com sen(pi), ele procederá de forma diferente se entrar com sen(PI). Isto é, sen(PI) ≠ sen(pi). Abreviamos seno por sin em pacotes computacionais que têm a língua inglesa como base. Veja os resultados obtidos: (%i18) sin(%PI); (%o18); sin(%PI) Já (%i19) sin(%pi); (%o19) 0 146 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Lembrete Há versões do Maxima que não diferenciam letra maiúscula de minúscula. Observação I. (a – b)* c é diferente de a – b*c. II. O Maxima é um sistema no qual trabalhamos em linhas de comando. Você informa um comando na Entrada, obtém uma resposta e pode inserir o próximo comando. III. Se quiser saber um valor aproximado, precisa usar a expressão float [...]. Exemplos Resolva as operações a seguir, e expresse cada resultado nas formas fracionária e decimal: a b) _ * ) , 2 3 2 1 4 2 2 5 15 2 4 3 2 2 3 2 2 3 1 + + ( ) − + + − − 33 3 10 3 11 2 2 c) ! * Resolução: a) (%i10) (2/3)^2–2*(1/4) + sqrt(2); (%o10) sqrt(2) – 1/18 Usando a tecla que tem a seta para cima “↑”, resgatamos o resultado já digitado. Na sequência, digitamos a palavra ou comando float e inserimos o comando já digitado em (i%10) dentro dos parênteses. Tecle Enter. (%i11) float((2/3)^2 – 2*(1/4)+sqrt(2)); (%o11) 1.35865800681754 b) Para evitar erros de digitação ou que você venha a se perder nos parênteses, sugerimos que faça esse item em partes: 147 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Parte 1: (%i15) ((2^3)/5)^2; (%o15) 64/25 Parte 2: queremos resultado fracionário, logo, usamos o 1,5 na forma de fração 3/2 e obtemos: (%i16) (3/2)^(–2); (%o16) 4/9 Parte 3: subdivida e faça passo a passo para ser mais didático: (%i17) ((2^3)/(4+3/2))^(–1); (%o17) 11/16 (%i18) ((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1; (%o18) 27/16 (%i19) (((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1)^2; (%o19) 729/256 Parte 4: fazer a operação entre as partes: (1)+ (2) – (3): (%i20)(64/25) + (4/9) – (729/256) (%o20) 9031/57600 (%i21) float(%); (%o21) 0.15678819444444 c) (%i22) sqrt((10!)/(3*11^2)); (%o22) (240*sqrt(21))/11 (%i23) float(%); (%o23) 99.9834697081274 Resultados algébricos e simbólicos oferecidos pelo Maxima O Maxima efetua operações simbólicas, isto é, realiza operações algébricas como fatorar polinômios, expandir expressões algébricas, calcular raízes de uma equação polinomial, resolver sistemas de equações etc. Uma das mais importantes características desse aplicativo é que ele manipula e simplifica expressões algébricas. Podemos usar os operadores aritméticos para efetuar a simplificação de uma expressão algébrica. Exemplo 1 Simplifique a expressão: 3 1 3 2 2 x a x a+ − + Tabela 3 Expressão 3 1 3 2 2x a x a+ − + Sintaxe 3*x^2+a‑x^2+(1/3)*a; Resultado 2 4 3 2x a + 148 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Dicas de formatação de fórmulas Podemos dar espaço entre os operadores para melhorar a visualização das expressões na tela sem nenhum problema: • (%i11) (1 + sqrt (3))^2; (%o11) 3 1 2 +( ) Se colocada uma expressão, o Maxima conservará a forma simbólica: • (%i10) (1+sqrt(3))^2; (%o10) 3 1 2 +( ) Se inserirmos o símbolo dólar ($) no final da linha de comando antes de teclar Enter, o Maxima omitirá o aparecimento do resultado na tela. Esses artifícios são usados quando pretendemos otimizar tempo e aparência da tela que exibe os cálculos. Exemplo 2 Decompor 10! em função de seus fatores primos: Sabemos que 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800. O Maxima irá fazer a decomposição para nós; basta colocarmos o prompt na caixa de entrada e digitar a palavra factor(número); veja abaixo: Tabela 4 Sintaxe factor(10!); Resultado 28 34 52 7 Lembrete Para decompor um número em fatores primos, esse número obrigatoriamente tem de ser um número natural. Exemplo 3 Decompor: x2–1 O Maxima também realiza decomposição de expressões algébricas. Para isso, basta digitar a palavra factor(expressão); veja: 149 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Tabela 5 Sintaxe factor(x^2‑1); Resultado (x – 1)(x + 1) Uma limitação do comando factor é que ele não é um bom resolvedor de expressões, caso o componente numérico da fatoração seja um número não inteiro. Veja os dois exemplos: • (%i20) factor(x^2+1); (%o20) x^2+1: aqui, não foi feita a fatoração. • (%i21) factor(x^2–1/4);(%o21) ((2*x–1)*(2*x+1))/4: aqui, a resposta mais simples seria (x–1/2)*(x+1/2). Exemplo 4 Determine a forma expandida de (x–2)4 Para obter a forma expandida de uma expressão qualquer, basta usar o comando expand (expressão) e clique Enter, veja: Tabela 6 Expressão (x–2)4 Sintaxe expand((x‑2)^4); Resultado x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 Exemplo5 Determine a decomposição parcial fracionária de 1 22x x+ − Para obter a decomposição parcial fracionária simples de expressões fracionárias, fazemos uso do comando partfrac e procedemos da seguinte forma: na caixa de entrada, digitamos partfrac (expressão, variável) e teclamos Enter. Veja no exemplo: Tabela 7 Expressão 13 25 62 x x x − + − Sintaxe partfrac((13*x‑25)/(x^2+x‑6),x); Resultado 64 5 3 1 5 2x x+( ) + −( ) 150 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Outros exemplos Usando a função factor do Maxima, decomponha os pares de números a seguir e determine o MMC: a) 473 e 96. b) 112 e 108. Respostas: a) 473 = 43*11 e 96 = 2^5*3 MMC = 45408 b) 112 = 247e 108 = 2233 MMC = 3024 7.1.4.4 Variáveis, funções, constantes e expressões no Maxima Se desejarmos definir variáveis e funções no Maxima, deveremos proceder como exemplificaremos em diversos subitens a seguir. Atribuindo valores a variáveis e calculando numericamente o resultado de expressões Para calcular x10, por exemplo, quando (i) x = 2; (ii) x = 0,5: (%i1) x : 2;(%o1) 2 (%i2) x^10; (%o2) 1024 ou (%i3) x : 2$ (%i4) x^10; (%o4) 1024 Digitamos na caixa de entrada, x, dois pontos (:), 2 e $. Dessa forma, o Maxima vai entender que todo x que você colocar em uma expressão daqui para frente, nessa sessão de trabalho, tem valor numérico 2. O símbolo de $ é para que ele oculte a saída de x:2 (x=2). Na sequência, voltamos à caixa de entrada e fazemos a potência x10, digitando x^10; é só aguardar o resultado. (ii) (%i5) x: 0.5$ (%i6) x^10; (%o6) 9.765625*10^–4 Exemplo Sejam a = –1; b = 4; c = 0,5; d = 2; e = –3. Calcule, usando no Maxima, o valor de cada expressão a seguir. Antes de pedir ao Maxima que realize as contas, devemos informá‑lo do valor das variáveis. Na sequência, inserir a variável, depois os dois pontos (:) e, por fim, o valor da variável: (%i9) a : –1$; (%i10) b : 4$; (%i11) c : 0.5$; (%i12) d :2$; (%i13) e : –3 151 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Tabela 8 – a) Expressão − + −b b ac a 2 4 2 Sintaxe (‑b+sqrt(b^2‑4*a*c))/(2*a); Resultado ‑0.12132034355964 Tabela 9 – b) Expressão − − −b b ac a 2 4 2 Sintaxe (‑b‑sqrt(b^2‑4*a*c))/(2*a); Resultado 4.121320343559642 Tabela 10 – c) Expressão 1 2 3 4 5 2 3 4 5 − + − + −b b b b b ! ! ! ! Sintaxe 1‑b+(b^2)/2!‑(b^3)/3!+(b^4)/4!‑(b^5)/5!; ou 1‑b+b^2/2!‑b^3/3!+b^4/4!‑b^5/5!; Resultado ‑53/15 Tabela 11 – d) Expressão ( ) ( ) 2 3b a a d e d c − + Sintaxe ((2*b‑3*a)^d)/(a*(d+e)^c); Resultado ‑121/(‑1)^0.5 Definindo e operando com funções matemáticas Lembrete Para definir uma função de uma variável, usaremos o comando := a) Dada a função f(x)= x2–2x–3, determine f(0) e f(–1/2): Tabela 12 Expressão F(x)= x2–2x–3(i) f(0)=? e (ii) f(–1/2)=? Sintaxe F(x):=x^2–2x–3; f(0); f(–1/2); Resultado (i) –3 e (ii) –7/4 152 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 b) Dada a função f(x)= x2–2x–3, determine f(x+h): Tabela 13 Expressão F(x)=x2–2x–3 f(x+h)=? Sintaxe f(x):=x^2–2*x–3; f(x+h); Resultado 1 (x+h)2 – 2(x+h) – 3 Vamos expandir o resultado que acabamos de obter? Tabela 14 Sintaxe expand(%); Resultado 2 x2+2hx–2x+h2–2h–3 c) Dada a função f(x, y) = (x–1)2+y2, determine f(2, 3) Tabela 15 Expressão f(x, y)= (x–1)2+y2 e f(2, 3) = ? Sintaxe f(x, y):=(x–1)^2+y^2 ; f(2, 3); Resultado 10 d) Dada a função f(x) = cos(2x), determine f(pi) Tabela 16 Expressão f(x)= cos(2x) e f(pi) = ? Sintaxe f(x):=cos(2*x); f(%pi); Resultado 1 Destacamos que é bem simples operarmos com limites, derivadas e integrais no Maxima. Recomendamos que, independentemente dessa disciplina, você aprofunde seu conhecimento do Maxima. Esse pacote computacional pode ser um importante aliado seu nos estudos de outras disciplinas e em nosso curso de Matemática. Boa diversão! 7.1.4.5 Funções internas ao Maxima O Maxima contém muitos comandos e funções internas – algumas destas vimos na seção anterior. Vale lembrar que o nome das funções deve ser digitado sempre em letras minúsculas. Destacamos que os parâmetros de uma função devem ser delimitados por parênteses e que basta digitar a abertura dos parênteses que o fechamento é inserido automaticamente. Logo, mesmo que você seja desatento, não terá muitos problemas com isso. 153 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 A seguir, apresentamos uma lista de exemplos: Quadro 6 Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função abs(x) | x | acos(x) arccos(x) sinh(x) senh(x) asinh(x) arcsenh(x) sqrt(x) x asin(x) arcsen(x) cosh(x) cosh(x) acosh(x) arcosh(x) log(x) ln(x) atan(x) arctan(x) tanh(x) tgh(x) atanh(x) arctanh(x) sec(x) sec(x) asec(x) arcsec(x) sech(x) sech(x) asech(x) arcsech(x) csc(x) cosec(x) acsc(x) arccosec(x) csch(x) csch(x) acsc(x) arccosech(x) cot(x) cotg(x) acot(x) arccotg(x) coth(x) cotgh(x) acoth(x) arccotgh(x) Quadro 7 Sintaxe tan(...) sqrt(...) sin(...) cos(...) Função tangente de... raiz quadrada de... seno de... cos de... Sintaxe sign(x) factor(...) expand(...) Função x |x| a fatoração de um número ou de uma expressão expande uma expressão fatorada Sintaxe exp(x) ratsimp(...) display(...) Função ex reduz uma expressão a um mesmo denominador simplifica uma expressão Sintaxe min(a, b, c) max(a, b, c) partfrac(expressão, variável) Função valo mínimo entre... valor máximo entre... Calcula a decomposição parcial fracionária simples para expressões fracionárias Sintaxe invert(A) A^^-1 determinante(A) rank(A) transpose(A) Função inverte a Matriz A inverte a Matriz A determinante da Matriz A posto da Matriz A trasposta da Matriz A Sintaxe charpoly(A, x) echelon(A) eigenvalues(A) eigenvetors(A) triangularize(A) Função polinômio característico forma escalonada da matriz A autovalores da Matriz A autovalores da Matriz A forma triangular da Matriz A 7.1.4.6 Vetores, Matrizes, Equações e Sistemas Lineares No Maxima, um vetor é definido como sendo uma variável, desde que seus parâmetros sejam colocados entre colchetes e separados por vírgulas: v : [a, b, c, ... ,n]. Se desejarmos calcular (i) u v+ e (ii) u v− 2 , dados u e v= −( ) = − 1 0 2 3 2 12, , , , . 154 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ram aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Primeiramente devemos, na Entrada, atribuir os parâmetros para as variáveis u e v da seguinte forma: (%i29) v:[3/2,‑1,2]$; (%i30) u:[‑1,0,2]$ Voltamos à Entrada, digitamos u+v e teclamos Enter: i) (%i31) u+v; (%o31) [1/2,‑1,4]. Na sequência, voltamos à caixa de Entrada, digitamos u‑2v e teclamos Enter: ii) (%i32) u‑2*v; (%o32) [‑4,2,‑2]. Exemplos Dados r = −( )1 0 5 2, . , e s = − − 3 2 12, , , calcular, usando o Maxima: a) as componentes do vetor 2 r s+ ; b) as componentes do vetor e 2 r s− 3 . Resolução: Primeiramente, definimos, na Entrada, as variáveis r e s. r:[1 , 0.5, ‑2 ]$ e s: [‑3/2 , ‑1 , 2 ]$ Tabela 17 – a) Expressão 2 r s+ Sintaxe 2*r+s; Resultado [1/2,0.0,‑2] Tabela 18 – b) Expressão 2 r s− 3 Sintaxe 2*r‑3*s; Resultado [13/2,4.0,‑10] 155 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Saiba mais Para saber mais e revisar seus conceitos envolvendo vetores, visite os sites: <http://educar.sc.usp.br/fisica/vetores.html>; <http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/>; <http://www.youtube.com/watch?v=mtNIaRk1XOE>. Para inserirmos uma matriz, devemos ler cada linha de uma matriz como se fosse um vetor; desta forma, se temos uma Matriz Mmxn, devemos digitar na caixa de ENTRADA:Matrix([vetor da 1ª. linha], [vetor da 2ª. linha], [vetor da 3ª. linha], ..., [vetor da enésima linha]); Procedimento: digitamos a palavra Matrix, abrimos os parêntesis (que são automaticamente fechados quando se clica no botão Enter) entre os parêntesis, vamos dentro do colchete digitando cada vetor linha. Os vetores linhas devem ser separados por vírgulas. Dadas A e B= = − − − 2 1 0 3 2 1 0 0 1 1 2 0 2 2 1 1 2 0 0 determinar A+B Primeiramente, devemos, na Entrada, definir e inserir as matrizes A e B: A:matrix([2,1,0],[3,2,1], [0,0,1]) enter; B:matrix([‑1,2,0],[‑2,2,1], [‑0.5,0,0]) enter; E verá a seguinte tela: 156 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 32 Para obter A+B, basta digitar na entrada A+B teclando Enter e terá: Figura 33 Outro caminho para inserir uma matriz é seguir os seguintes passos: com o Maxima aberto, digitar na caixa ENTRADA a: para poder resgatar essa matriz pela denominação a quando necessitar. Figura 34 – Nomeando a matriz que iremos inserir no Maxima. Isto feito, selecionar na barra o tema Álgebra e escolher o item Introduzir matriz. 157 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 35 – Inserindo uma matriz no Maxima Isto feito, automaticamente a seguinte tela se abrirá. Nela, você deverá marcar o número de linhas e o número de colunas de que necessita para obter a matriz desejada: Figura 36 – Inserindo uma matriz no Maxima: definindo a dimensão Após definir a dimensão da matriz desejada, clique em OK. Você terá acesso a uma tabela na dimensão solicitada para completá‑la com os elementos desejados. Veja a figura 37: Figura 37 – Inserindo uma matriz no Maxima: inserindo os termos 158 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Lembrete Para apagar os zeros apresentados automaticamente, clique sobre eles e os apague. Na sequência, digite os valores desejados para cada posição. Depois, selecione OK. Figura 38 – Inserindo uma matriz no Maxima: inserindo os termos desejados Após clicar em OK, você terá introduzido na matriz a deste arquivo do Maxima, que apresentará uma tela semelhante à que apresentamos a seguir: Figura 39 Veja que na entrada apareceu nomeada a matriz a: Figura 40 159 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Necessitávamos de operar com a matriz b. De maneira análoga, vamos inserir a matriz b. Isto é, vamos inserir “b:” na entrada, selecionar “Álgebra” na barra de ferramentas, depois optar por “Introduzir matriz” e escolher escrever uma matriz 3x3. Na sequência, inserimos a matriz b do início deste item. Vejamos: Figura 41 – Inserindo uma matriz b no Maxima Voltando à região denominada Entrada, digitamos a+b, pressionamos a tecla Enter e obtemos o resultado da soma a+b, conforme a figura a seguir: Figura 42 – Inserindo a soma de duas matrizes a e b no Maxima Para calcularmos a inversa de a, basta digitar a na Entrada, voltar a escolher o tema Álgebra e depois Inverter matriz: 160 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 43 – Calculando a inversa da matriz a no Maxima Em segundos, temos a matriz inversa de a, a saber: Figura 44 Aprenda a ler a tela de seu computador. Ela está te informando que, para inserir direto a solicitação de função inversa na Entrada, basta você digitar invert(a); e teclar Enter. Caso você deseje calcular o determinante da matriz a, deve colocar o cursor na entrada, digitar a, na sequência, selecionar Álgebra e depois determinante. Imediatamente, o Maxima devolve o valor numérico do determinante da matriz a. Figura 45 161 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 46 – Calculando o determinante da matriz a no Maxima Novamente, lendo a tela de seu computador, ela está te informando que, para inserir direto a solicitação do determinante de uma matriz na Entrada, basta você digitar determinant(a); e teclar Enter. Se você precisar transpor a matriz a, o procedimento é semelhante. Digitar a na Entrada, selecionar “Álgebra” e optar por “Transpor matriz” e obterá como resposta a matriz a seguir: Figura 47 Perceba queo que era linha na matriz a agora é coluna na transposta de a. Mais uma vez, insisto na atenção a tudo que nos apresenta uma imagem, lendo a tela de seu computador. Ela está te informando que para inserir direto a solicitação da transposta da matriz a na Entrada, basta você digitar transpose(a); e teclar Enter. Confira os passos na figura a seguir: 162 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 48 – Calculando a transposta da matriz a no Maxima Exemplos Dadas as matrizes A e B anteriores, usando o Maxima, determinar: a) A*B; b) o determinante de A; c) a inversa de A; d) a transposta de A; e) posto da matriz A; f) o polinômio característico de A+B; g) a forma triangular de (A+B); h) a forma escalonada de (A+B); i) a forma triangular de (B); j) a forma escalonada de (B); 163 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Resolução: Definidas e inseridas as matrizes A e B na caixa de entrada, cada item é resolvido como segue: Tabela 19 – a) A*B Expressão A*B Sintaxe A.B; Resultado − − − 4 0 6 1 7 5 10 2 0 5 0 0 . . . Comentário: multiplicação de matrizes A*B=C: operação que só pode ser realizada quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz C, se existir, terá o número de linha de A e o número de colunas da matriz B. Atenção: a multiplicação de matrizes no Maxima é feita com o símbolo . (ponto), e não com *. Caso você precise calcular A3 deve fazer (A.A.A); se entrar com o comando A^3, no Maxima, estará elevando cada elemento da matriz A ao cubo. Veja a diferença: (%i84) A.A.A; (%o84) 26 15 5 45 26 10 0 0 1 já (%i85) A^3; (%o85) 8 1 0 27 8 1 0 0 1 Tabela 20 – b) O determinante de A Expressão detA Sintaxe determinant(A); Resultado 1 Comentário: determinante é uma propriedade matricial muito usada na resolução de sistemas lineares. Tabela 21 – c) A inversa de A Expressão A1 Sintaxe invert(A); ou A^^‑1 Resultado 2 1 1 3 2 2 0 0 1 − − − Comentário: se a inversa existe, é única. Uma matriz A só admite inversa quando o determinante de A for um número diferente de zero e A1*A=A*A1=/. Só matrizes quadradas são inversíveis ou invertíveis: (A‑1)‑1=A 164 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Tabela 22 – d) A transposta de A Expressão AT Sintaxe transpose(A); Resultado 2 3 0 1 2 0 0 1 1 Comentário: 1ª linha da matriz A será 1ª coluna da AT; 2ª linha da matriz A será 2ª coluna da AT e assim sucessivamente. Se A for uma matriz simétrica, A= AT. Tabela 23 – e) Posto da matriz A Expressão Posto de A Sintaxe rank(A); Resultado 3 Comentário: quando começamos a abordar o tema matrizes, comentamos que, para inserir uma matriz, entendemos cada linha dela como sendo um vetor (as colunas também são interpretadas como vetores). O posto de uma matriz é o numero de vetores linha (ou coluna) linearmente independentes. Uma matriz 3x5 possui no máximo 3 valores L.I. Logo, o valor máximo que o posto pode alcançar é 3. O conceito de posto é muito usado em álgebra linear no estudo de sistemas lineares. O número de soluções de um sistema está associado ao posto da matriz dos coeficientes e ao posto da matriz ampliada. Tabela 24 – f) O polinômio característico de A+B Expressão det(A+B – xI) Sintaxe charpoly(A+B,x); Resultado (1–x)2(4–x)–3(2.0–x) Comentário: você pode não se lembrar, mas calcular o polinômio característico é uma das etapas do procedimento realizado para se calcular os autovalores de uma matriz. Para calcular os autovalores, igualamos o polinômio característico a zero e as raízes desta equação serão os autovalores. Tabela 25 – g) A forma triangular de A+B Sintaxe triangularize(A+B); Resultado 1 3 0 0 1 2 0 0 4− 165 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Tabela 26 – h) A forma escalonada de A+B Sintaxe echelon(A+B); Resultado 1 3 0 0 1 2 0 0 1 Tabela 27 – i) A forma triangular de (B) Sintaxe triangularize(B); Resultado − − − 1 0 0 0 2 0 0 0 2 Tabela 28 – j) A forma escalonada de (B) Sintaxe echelon(B); Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Caso você tenha se esquecido da diferença entre forma triangular e forma escalonada, observe, compare e analise nossos quatro itens anteriores. Você deve ter percebido que a diagonal formada pelos elementos que ocupam a posição i=j de nossas matrizes escalonadas é composta apenas por uma sequência de números 1. Vamos agora estudar um pouco de Equações e Sistemas Lineares no Maxima. Para resolver uma equação, usamos o comando solve, posicionamos o cursor na entrada, digitamos solve (equação desejada) e teclamos no botão Enter. Se desejarmos conhecer: Tabela 29 – a) As raízes da equação x2-2x-3=0 Expressão x2‑2x‑3=0 Sintaxe solve (x^2 – 2*x – 3 = 0); Resultado [x = 3, x = – 1] Tabela 30 – b) As raízes da equação mx2+nx+p=0 na variável x, isto é m,n e p são constantes Expressão mx2+nx+p=0, com m,n e p números reais Sintaxe solve(m*x^2+n*x+p=0,x); Resultado x n mp n m x n mp n m = − − + = − − 2 24 2 4 2 , 166 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Comentário: perceba que o Maxima realizou todos os cálculos algebricamente. Esse é um grande diferencial do software. Tabela 31 – c) A solução do sistema 2 1 3 2 4 x y x y + = − = Expressão 2 1 3 2 4 x y x y + = − = Sintaxe solve([2*x+y=1,3*x‑2*y=4],[x,y]); Resultado [x = 6/7, y = – 5/7] Comentário: esse sistema é possível e determinado ou simplesmente compatível; logo, possui apenas uma solução. A interpretação geométrica da solução de sistemas deste tipo são as coordenadas do ponto (x,y), que representam a interseção das duas retas. Após escalonar esses sistemas, você terá um sistema equivalente com o mesmo número de equações e incógnitas. Outro procedimento para inserir um sistema linear é o seguinte: selecione o tema equações, escolhao item sistema linear conforme figura 49: Figura 49 – Inserindo um sistema linear Na sequência, você irá ter na tela de seu computador a janela a seguir. Nesta janela, você deve definir o número de equações do sistema que irá investigar. Em nosso exemplo 2: Figura 50 – Inserindo um sistema linear de duas variáveis 167 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Retire os zeros da figura 51 e inclua as equações e as variáveis do sistema linear conforme indicado na figura 52: Figura 51 – Inserindo as equações de um sistema linear de duas variáveis Figura 52 – Como inserir as equações e as variáveis Você também pode trabalhar direto na caixa Entrada usando a função linsolve conforme ilustramos a seguir. Em %i3, temos a entrada do sistema realizada pelo Maxima e em %o3 a devolutiva ou resposta do Maxima. Figura 53 Tabela 32 – d) A solução do sistema x y x y + = + = 1 4 Expressão x y x y + = + = 1 4 Sintaxe solve([x+y=1, x+y=4],[x,y]); Resultado Inconsistent equations: 168 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Comentário: se o sistema que você pretende resolver for incompatível ou impossível, isto é, não possuir solução, o Maxima retornará a mensagem Inconsistent equations. A interpretação geométrica da solução é que não existe ponto de interseção entre as duas retas, o que significa que, geometricamente, estamos operando com duas retas paralelas. Após escalonar esse sistema, você terá um sistema equivalente com uma expressão do tipo 0x+0y=k, onde k é uma constante diferente de zero, o que torna a expressão 0x+0y=k impossível. Tabela 33 – e) A solução do sistema x y x y + = + = 1 2 2 4 Expressão x y x y + = + = 1 2 2 4 Sintaxe solve([x + y =2 , 2*x + 2*y = 4],[x,y]); Resultado Dependent equations eliminated:[x=2‑%r1, y=%r1] Comentário: esse sistema é possível e indeterminado ou compatível indeterminado. Por isso, possui infinitas soluções. Pense que y=%r1=α; agora você percebeu que ele estava te oferecendo o padrão das soluções do sistema x=2 – α e y= α; serão as soluções para qualquer que seja α. A interpretação geométrica da solução é que as retas do sistema são duas retas coincidentes. Após escalonar esse sistema, você terá um sistema equivalente com o mesmo número de equações menor que o número de variáveis. Exemplo de aplicação para fazer e discutir no fórum A seguir, apresentaremos três sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Use o Maxima para resolver os sistemas. Depois, argumente e classifique‑os tanto algébrica como geometricamente em sistema possível determinado, sistema impossível e sistema possível indeterminado. 1. 2 6 4 6 x y x y + = − = 2. x y x y − = − + = 3 9 3 1 3. x y x y − = − + = 3 9 3 1 169 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 6 –6 (2, 2) 1,52 3 Figura 54 1 –3 9 –2 3 Figura 55 170 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 ‑5 2 Figura 56 Comentário: para resolver um sistema no Maxima, também podemos recorrer ao comando linsolve. Tabela 34 – f) A solução do sistema: x y z x y z x y z − − = − + = − + = 2 2 3 2 16 2 9 Expressão x y z x y z x y z − − = − + = − + = 2 2 3 2 16 2 9 Sintaxe linsolve([x‑y‑z=2,2*x‑3+2*z=16,2*x‑y+z=9],[x,y,z]); Resultado [x = 12, y = 25/2, z = – 5/2] Comentário: interpretação geométrica: três planos que se interceptam em um único ponto. Outro procedimento de inserir um sistema linear é o seguinte: selecione o tema equações, escolha o item sistema linear conforme figura 57: 171 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 57 – Inserindo um sistema linear Após esta opção, a janela a seguir se abrirá e nela você irá definir a dimensão do sistema pelo número de equações: Figura 58 – Inserindo o número de equações do sistema linear Definido o tamanho do sistema, você deve digitar as equações. Não se esqueça de escrever o símbolo computacional de produto (*) entre os coeficientes e as variáveis. Caso você se esqueça de colocar o *, os pacotes computacionais não conseguirão executar o que lhes é solicitado. Figura 59 – Inserindo o sistema desejado (sistema linear) Inseridas as equações, você deve, na região designada por variáveis, inserir, separando por vírgulas, quais são as variáveis do sistema cuja solução você deseja saber. Em seguida, clique em OK. Você obterá os seguintes retornos do Maxima: 172 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 60 Sintetizando: • sistema possível e determinado ou sistema compatível determinado: o sistema possui uma única solução; • sistema possível e indeterminado ou sistema compatível indeterminado: o sistema possui infinitas soluções; • sistema impossível ou sistema incompatível: o sistema não possui solução. 7.1.5 Considerações importantes sobre classificação de um sistema linear e sua interpretação geométrica No plano, um sistema de duas variáveis pode ser representado por duas retas: • concorrentes: para o caso de ser possível e determinado: Figura 61 • paralelas: para o caso de ser impossível: Figura 62 • coincidentes: para o caso de ser possível e indeterminado: Figura 63 173 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Atividade para pesquisar e debater no fórum Busque exemplos numéricos que provem o texto a seguir e apresente‑os para verificação e debate no fórum. Um sistema de três variáveis pode ser pensado como sendo um conjuntode três planos no espaço. Contudo, tome cuidado: a famosa regra de Cramer só pode ser usada para discutir sistemas possíveis e determinados: a) quando o sistema é possível e determinado, os 3 planos se interceptam em um único ponto. Tanto quando aplicamos a regra de Cramer quanto quando escalonamos o sistema, temos um sistema possível determinado: p2 p3 P Figura 64 b) os três planos coincidem: ao aplicarmos a regra de Cramer, o sistema será indeterminado e o mesmo ocorre quando escalonamos o sistema. Ao escalonarmos, percebemos que as três equações são equivalentes; logo, os planos são o mesmo plano. A técnica de escalonamento facilita visualizar o que está ocorrendo geometricamente. p1=p2=p3 Figura 65 c) os dois planos coincidem e um é paralelo: ao aplicarmos a regra de Cramer, concluiremos que o sistema é indeterminado e, ao escalonarmos, percebemos que é impossível. Vemos no escalonamento que há duas equações equivalentes e algo impossível está ocorrendo. Tente construir o exemplo. p1=p2 p3 Figura 66 174 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 d) três planos paralelos entre si: ao aplicarmos a regra de Cramer, concluiremos que o sistema é indeterminado e, ao escalonarmos, perceberemos que é impossível. Duas linhas zeram o primeiro membro, resultando em valor diferente de zero independente: p3 p2 p1 Figura 67 Continue esta discussão no fórum: • dois planos coincidentes e um secante: — Cramer resultando em Sistema indeterminado e o mesmo ocorrendo com o escalonamento; • dois planos paralelos e um secante: — Cramer pode variar entre indeterminado e impossível e o escalonamento é impossível; • os três planos serem secantes com uma reta comum: — Cramer pode variar entre indeterminado e impossível e o escalonamento é impossível. Saiba mais Para saber mais sobre sistemas lineares, leia o artigo disponível no site a seguir: <http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/ modulo_III/pdf/exp_sist_lineares.pdf>. 8 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Imagens que possuem repetição de padrão são encontradas frequentemente na natureza e nas artes. Os fractais sempre exibem repetições, com rotações, expansões, contrações e translações de padrões. 175 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 Figura 68 ‑Azulejos São exemplos disso a arte do azulejamento, a arte de criar logomarcas para empresas, a estrutura de moléculas de cristais, o padrão da folha de samambaia. Saiba mais O artista holandês M. C. Escher (1898–1972) explorou em muitas de suas obras a arte de recobrir o plano usando repetições de padrões sem sobrepor espaços ou deixar vazios entre as imagens. Para conhecer sua vasta obra, acesse: <http://www.mcescher.com/>. Estudaremos, nesta parte da disciplina, alguns temas específicos de álgebra linear. Faremos uma breve visita ao conceito de transformações lineares e, na sequência, exploraremos um pouco as aplicações injetoras e não injetoras. Nossa intenção é colocar nosso foco maior nas transformações lineares planas. O que é uma transformação linear? Uma transformação linear nada mais é do que um tipo especial de função. 176 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 8.1 Transformação ou aplicação linear Uma transformação linear T :V → W é uma aplicação (ou função) que a cada v → V faz corresponder um único T(v) → W e que u, v ∈ V e α ∈ R satisfaz às seguintes condições: a) T (u + v) = T (u) + T (v); b) T (αv) = αT (v) . Se formos pensar em termos de função, V é o domínio e W é o contradomínio, e a nossa imagem será um subconjunto de W. Essa duas condições podem ser reduzidas a uma só: T :V → W é uma transformação linear se, e somente se, para todos v1, v, ..., vn ∈ V e escalares α1, α,...,αn, temos T (α1 v1 + α2 v2 + ...+ αn vn) = α1 T(v1) + α2 T(v2) +...+ αn T(vn) Chamamos de operador linear uma transformação de um espaço nele mesmo T :V → V. Se formos pensar em termos de função, V é o domínio e, no caso de ser um operador, V também será o contradomínio, e a nossa imagem será um subconjunto de V. Como o foco de nosso estudo nesta disciplina são as transformações lineares planas, todos os exemplos aqui abordados serão dentro desta característica, isto é, traremos como exemplos apenas aplicações do ℜ2 no ℜ2. 8.2 Transformação linear plana No plano, podemos efetuar as seguintes aplicações lineares: • dilatação ou expansão e contração ou retração; • reflexão; • projeção; • cisalhamento; • rotação em um ângulo θ no sentido anti‑horário. Para sermos didáticos, optamos por trabalhar com esses movimentos por meio de exemplos e consideraremos v = (x,y) ∈ ℜ2. 177 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 8.2.1 Movimentos de dilatação e contração Exemplos 1. T: ℜ2 → ℜ2, ou seja, uma aplicação que vai do plano, no plano: T(x,y) =(3x, 3y) Esta é uma transformação linear. Vamos testar. Será que a afirmação a seguir é verdadeira? T(α1v1+α2v2+...+αnvn)=α1T(v1)+α2T(v2)+...+αnT(vn) De fato: sejam v1=(x1, y1) e v2=(x2, y2) T(α1v1+α2v2)=(3α1(x1, y1)+3α2(x2,y2))=(3α1x1, 3α1y1)+(3α2x2,3α2y2) (i) α1T(v1)+α2T(v2)=α1(3x1,3y1)+α2(3x2, 3y2)= (1) (3α1, x1, 3α1, y1)+(3α1 x1, 3α1y1)+(3α2x2, 3α2y2) (ii) (1) como 3 e α ∈ R 3*α =α*3; para todo α∈ R. Como (i) = (ii), T(x,y) = (3x, 3y), é uma transformação linear! Qual será a interpretação geométrica dessa transformação? Essa transformação representa uma dilatação (ou expansão) uniforme de três unidades: y 0 v T (v) x Figura 69 – Transformação de v=(0,5;1) para T(v)=(1,5;3) 2. Consideremos agora: T: ℜ2→ℜ2 T(v) = T(x,y) =(x/2, y/2) . De maneira análoga, demonstra‑se que T é um operador linear. A interpretação geométrica é que a transformação representa uma contração (retração) uniforme de 0,5 unidades. 178 Unidade IV Re vi sã o: G er al do – D ia gr am aç ão : M ár ci o – 13 /1 0/ 11 // M ud an ça d e no m e e re di ag ra m aç ão - R ev isã o: V irg ín ia / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 27 /0 6/ 20 13 y v T (v) x Figura 70 – Contração do vetor v=(2,2) em T(v)=(1,1) A estes dois exemplos de operadores lineares, podemos associar genericamente uma única expressão: T: ℜ2→ℜ2 T(v) = T(x,y) =(αx, αy) se α for um número real não nulo. Se |α| > 0, teremos uma expansão e se |α| < 0, teremos uma contração. A essa transformação uniforme de expandir ou contrair em alfa unidades podemos genericamente associar a seguinte
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