Guia de Transição - Matemática - 1 Bimestre

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Governador 
João Doria 
 
Secretário da Educação 
Rossieli Soares 
 
 
Secretário Executivo 
Haroldo Corrêa Rocha 
 
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB 
Caetano Siqueira 
 
Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão da Educação Básica 
– DEGEB 
Herbert Gomes da Silva 
 
Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, do Ensino Médio e da Educa-
ção Profissional – CEFAF 
Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho 
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Professoras e professores, 
 
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo considera fundamental as 
ações colaborativas na rede de ensino para a consolidação de políticas educacionais 
voltadas à qualidade da aprendizagem dos alunos. A colaboração dos professores na 
construção de materiais de apoio articula o Currículo proposto com a prática pedagó-
gica, onde a aprendizagem ocorre nos espaços escolares. Esse é o desafio para 2019. 
A Educação Paulista, nos últimos anos, passou da universalização da Educa-
ção Básica, etapa praticamente vencida, para a construção de uma escola de quali-
dade, em que os gestores, os professores e os alunos, sujeitos do processo educativo, 
e que levam o ensino à aprendizagem profícua, possam encontrar espaço efetivo para 
o desenvolvimento pessoal e coletivo, na perspectiva democrático-participativa. 
Nesse sentido, desde 2008, foi implementado o Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, com o apoio dos materiais didáticos do Programa São Paulo Faz Escola. 
Após dez anos da implantação do Currículo os materiais de apoio foram impor-
tantes, no sentido de fornecer subsídios necessários para orientações e ações peda-
gógicas em sala de aula que, pelo histórico, sempre se resguardaram na convergência 
das políticas públicas educacionais em prol da aprendizagem à luz das diretrizes do 
Currículo Oficial do Estado de São Paulo. 
Em 2019, um ano de transição, os materiais de apoio devem ser reconstruídos 
à luz da Base Nacional Comum Curricular - BNCC e do Currículo Paulista, que repre-
senta um novo período educacional, marcado pelo regime de colaboração entre o Es-
tado e os Municípios. 
 Reafirmando os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-
los em seu trabalho, atribuindo significado e assegurando a construção colaborativa, 
apresentamos o Guia de Transição do São Paulo faz Escola, que tem como objetivo 
orientar diversas práticas e metodologias em sala de aula, que sirvam como ponto de 
partida para a construção dos novos materiais em 2020, com a participação de todos. 
Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com as equipes 
curriculares da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica, apresentam sugestões 
que podem ser adequadas, redefinidas e reorientadas a partir da prática pedagógica, 
e, importante ressaltar, que para sua implementação na sala de aula, teremos como 
protagonistas os professores e os alunos. 
Juntos podemos redefinir o papel da escola, fortalecendo-a como uma institui-
ção pública acessível, inclusiva, democrática e participativa, com a responsabilidade 
de promover a permanência e o bom desempenho de toda a sua população estudantil. 
Contamos com o engajamento e a participação de todas e todos! 
 
Caetano Siqueira 
Coordenador da CGEB 
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Guia de Transição 
 
O Guia de Transição é um documento que transpassa o Currículo Oficial do 
Estado de São Paulo, a Base Nacional Comum Curricular - BNCC e o Currículo Pau-
lista, fundamentando as ações para a implementação de novos materiais de apoio ao 
professor do Ensino Fundamental Anos Finais e do Ensino Médio. O conjunto do guia, 
em dois volumes, é composto por 4 cadernos de orientações para o professor, por 
área de conhecimento. 
Espera-se que esses materiais de cada componente possam ser adaptados e 
reeditados pelo professor conforme o desenvolvimento das atividades realizadas com 
seus alunos. 
Em cada caderno do guia, são apresentadas orientações pedagógicas, meto-
dológicas e de recursos didáticos, conjunto de competências e habilidades a serem 
desenvolvidas no percurso escolar, incluindo em seus tópicos a avaliação e a recupe-
ração. Além de apoiar a prática docente, oferecem fundamentos importantes para as 
ações de acompanhamento pedagógico e de formação continuada, que contam com 
a mediação dos Professores Coordenadores, dos Supervisores de Ensino, dos Dire-
tores do Núcleo Pedagógico e dos Professores Coordenadores do Núcleo Pedagó-
gico, alinhando-se ao planejamento escolar 2019. 
É importante ressaltar que as orientações e atividades foram construídas pela rede 
estadual, o que faz que a sua implementação se apoie na experiência docente. 
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Sumário 
1. Introdução .............................................................................................................................................. 7 
2. A área de Matemática ........................................................................................................................ 7 
3. O currículo de Matemática .............................................................................................................. 8 
3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática .................................................................. 8 
3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. ......................................... 10 
3.3 – Organização dos conteúdos básicos. ............................................................................. 10 
3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Fundamental ....... 12 
3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, segundo 
a BNCC. ................................................................................................................................................. 15 
4- Organização das grades curriculares. ....................................................................................... 17 
4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) ........................ 18 
4.1.1 Sistema de Numeração Decimal..................................................................... 19 
4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural ........................................... 22 
4.1.3 Operações com Números Naturais ............................................................... 25 
4.2.3 Frações e seus significados ............................................................................... 27 
4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 30 
4.2.1 Números inteiros .................................................................................................. 30 
4.2.2 Representação fracionária e decimal/operações ..................................... 33 
4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 37 
4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação ...... 37 
4.3.2 – Dízimas periódicas e fração geratriz .......................................................... 40 
4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 42 
4.4.1 Dos naturais aos reais ......................................................................................... 43 
5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre .................................... 48 
6- Ensino Médio .................................................................................................................................... 51 
6.2 Concepções da Matemática no Ensino Médio nos documentos oficiais .............. 51 
6.3 Competências Específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio 
– BNCC – Ensino Médio .................................................................................................................. 53 
7. Grades curriculares – Ensino Médio .......................................................................................... 55 
7.1 Currículo Oficial/ BNCC – 1ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ....................... 56 
7.1.1 As sequências numéricas e suas progressões ........................................... 57 
6 
 
7.2 Currículo Oficial / BNCC – 2ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ....................... 60 
7.2.1 Os fenômenos periódicos ................................................................................. 61 
7.3 Currículo Oficial / BNCC – 3ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ....................... 64 
7.3.1 Fundamentos da Geometria Analítica .......................................................... 65 
9 Referências Bibliográficas ............................................................................................................... 69 
10 Créditos ............................................................................................................................................. 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
1. Introdução 
Este documento tem como objetivo revisitar o Currículo Oficial do Estado de 
São Paulo, referente a área de Matemática e suas tecnologias, destacando nos tópicos 
iniciais, seus pontos a fim de proporcionar uma possível reflexão sobre a área e o res-
pectivo componente curricular. 
Posteriormente, será apresentado, um panorama referente as habilidades cons-
tantes no Currículo Oficial, de cada segmento dos Anos Finais do Ensino Fundamental 
e sua interligação com as habilidades do Currículo Paulista, seguidas de algumas ori-
entações curriculares. 
2. A área de Matemática 
A opção pela constituição de uma área do conhecimento específica para a Ma-
temática como uma área específica do conhecimento neste Currículo está baseada em 
três razões principais: 
A primeira leva em consideração que ela apresenta um universo próprio, muito 
rico de ideias e objetos específicos, como os números e as operações, as formas geo-
métricas e as relações entre eles. Tais ideias e objetos são fundamentais para a expres-
são pessoal, a compreensão dos fenômenos, a construção de representações signifi-
cativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos. 
Outra razão é que a Matemática compõe com a língua materna um par funda-
mental, mas complementar. 
Naturalmente, existem diferenças fundamentais entre os significados de preci-
são na Língua e na Matemática e os alunos devem ser conduzidos a apreciar a beleza 
presente tanto na exatidão dos cálculos quanto no rigor expressivo do texto poético. 
Finalmente, uma terceira razão é que a matemática propicia a compreensão, 
utilização e criação das tecnologias digitais de informação e comunicação. Lembra-se, 
entretanto, que a apresentação da Matemática como uma área específica não busca 
uma amplificação de suas supostas peculiaridades, nem como um tema 
8 
 
particularmente relevante, mas sim busca-se criar as condições para uma exploração 
mais adequada das possibilidades de a Matemática servir às outras áreas, na tarefa de 
transformação da informação em conhecimento em todas as suas formas de manifes-
tação. 
3. O currículo de Matemática 
3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática 
O Currículo do Estado de São Paulo aponta como objetivo principal mapear o 
vasto conhecimento acumulado pela humanidade em áreas e disciplinas, articulando-
as de tal modo que não haja uma delimitação rígida de fronteiras entre as disciplinas. 
Defende, ainda que em cada componente curricular, os conteúdos devem ser 
organizados de modo a possibilitar que os alunos adentrem ao complexo universo do 
conhecimento, em busca do desenvolvimento das competências básicas, as quais se 
constituirão eixos norteadores educacionais. 
E, como todos os adultos lidam com números, medidas, formas, operações; leem 
e interpretam textos e gráficos, vivenciam relações de ordem e de equivalência; argu-
mentam e tiram conclusões a partir de informações, é consenso que a Matemática 
possibilita o desenvolvimento de competências que os indivíduos necessitam em suas 
ações. 
Ações estas referidas à contextos práticos. Mas, tão importante quanto referir o 
que se aprende a contextos práticos é ter a capacidade de abstrair, a realidade factual, 
imaginar contextos ficcionais, situações inventadas que proponham soluções novas 
para problemas efetivamente existentes. Limitar-se aos fatos, ao que já está feito, pode 
conduzir ao mero fatalismo. Sem tal abertura para o mundo da imaginação, do que 
ainda não existe enquanto contexto, estaríamos condenados a apenas reproduzir o 
que já existe, consolidando um conservadorismo, no sentido mais pobre da expressão. 
Ainda que o desenvolvimento de tal capacidade de abstração esteja presente 
nos conteúdos de todas as disciplinas, ela encontra-se especialmente associada aos 
objetos e aos conteúdos de Matemática. 
9 
 
Além disso a Matemática e a língua materna têm sido as disciplinas básicas na 
construção dos currículos escolares, em todas as épocas e culturas, havendo um razo-
ável consenso ao fato de que sem o desenvolvimento adequado de tal eixo linguís-
tico/lógico matemático a formação pessoal não se completa. 
 
Enfim, o Currículo do Estado de São Paulo, considerado em toda sua plenitude 
ao longo da escolarização básica, vislumbra articular as ações educacionais em três 
eixos de tal modo que possibilite o desenvolvimento de: 
 o eixo expressão/compreensão: a capacidade de expressão do eu, por meio das 
diversas linguagens, e a capacidade de compreensão do outro, do não eu, do que 
me complementa, o que inclui desde a leitura de um texto, de uma tabela, de um 
gráfico, até a compreensão de fenômenos históricos, sociais, econômicos, naturais 
etc.; 
 o eixo argumentação/decisão: a capacidade de argumentação, de análise e de 
articulação das informações e relações disponíveis, tendo em vista a viabilização da 
comunicação, da ação comum, a construção de consensos e a capacidade de ela-
boração de sínteses de leituras e de argumentações, tendo em vista a tomada de 
decisões, a proposição e a realização de ações efetivas; 
 o eixo contextualização/abstração: a capacidade de contextualização dos con-
teúdos estudados na escola, de enraizamento na realidade imediata, nos universos 
de significações, sobretudo no mundo do trabalho, e a capacidade de abstração, de 
imaginação, de consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potenciali-
dades para se conceber o que ainda não existe. 
No primeiro eixo, ao lado da língua materna, a Matemática compõe um par 
complementar como meio de expressão e de compreensão da realidade. 
No eixo argumentação/decisão, o papel da Matemática, também fica evidente, 
como instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico e na obtenção de con-
dições necessárias para análise racional. 
10 
 
No que se refere ao terceiro eixo de competências, a Matemática é uma instân-
cia bastante adequada, ou mesmo privilegiada, para se aprender a lidar com os ele-
mentos do par conceito/abstrato. Mesmo sendo considerados especialmente abstra-
tos, os objetos matemáticos são os exemplos mais facilmente imagináveis para se com-
preender a permanente articulação entre as abstrações e a realidade concreta. 
Tais eixos podem abrir horizontes e perspectivas de transformação da realidade, 
contribuindo para a imaginação de relações e situações que transcendem os contextos 
já existentes. 
 3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
O Currículo defende que a Matemática assim como a língua materna, com a 
qual interage continuamente precisam articular-se permanentemente com todas as 
formas de expressão, especialmente com as que são associadas às tecnologias infor-
máticas. 
Além disso, nos lembra que os conteúdos devam ser considerados um meio 
para o desenvolvimento de competências citadas anteriormente: expressão/compre-
ensão; argumentação/decisão e contextualização/abstração e que entre estes conteú-
dosencontram-se as ideias fundamentais a serem exploradas, pois elas constituem a 
razão do estudo das disciplinas. 
A proporcionalidade, por exemplo, é considerada uma ideia fundamental na Ma-
temática, assim como as ideias de equivalência, ordem e aproximação, uma vez que 
estão presentes nos mais diversos conteúdos ao longo dos anos finais do Ensino Fun-
damental: no estudo das frações, na semelhança de triângulos, nas funções do 1º grau, 
nas equações, nos estudos de área e volume, na construção dos algoritmos, na reali-
zação de cálculo do dia a dia e assim por diante. 
 
3.3 – Organização dos conteúdos básicos. 
11 
 
Os conteúdos disciplinares de Matemática, nos Anos Finais do Ensino Funda-
mental, encontram-se distribuídos em três grandes blocos temáticos: NÚMEROS, GE-
OMETRIA e RELAÇÕES. 
O trabalho com o bloco de conteúdo denominado Números tem por objetivo 
principal um enriquecimento do escopo da linguagem numérica, inicialmente restrita 
a situações e problemas envolvendo a contagem e a medida. As sucessivas ampliações 
dos campos numéricos por meio de situações significativas que problematizem essa 
necessidade constituem o caminho natural para tal aprofundamento. 
Neste bloco, estão contemplados o estudo das representações algébricas, bem 
como das operações correspondentes, ou seja, a iniciação à Álgebra que se dá a partir 
do 7º ano do Ensino Fundamental, incluindo a generalização de padrões geométricos 
e numéricos e o estudo das equações, potencializando o simbolismo algébrico na 
constituição de uma linguagem cada vez mais rica e abrangente. 
Em Geometria, nos Anos Finais do Ensino Fundamental, a preocupação inicial é 
o reconhecimento, a representação e a classificação das formas planas e espaciais, pre-
ferencialmente trabalhadas em contextos concretos com os estudantes do 6º e 7º anos 
e a ênfase na construção de raciocínio lógico dedutivo nos trabalhos dos 8º e 9º anos 
do Ensino Fundamental. Um aspecto importante a ser destacado na apresentação da 
Geometria, tanto nos Anos Finais do Ensino Fundamental, é o fato de que o conheci-
mento geométrico apresenta quatro faces, que se relacionam permanentemente na 
caracterização do espaço: a percepção, a concepção, a construção e a representação. 
Não são fases, que se sucedem linear e periodicamente, mas faces, que se tocam mu-
tuamente, contribuindo para uma compreensão mais rica da natureza do espaço em 
que vivemos. 
Quanto às Relações, o ponto de partida natural é o estudo das medidas; medir 
é comparar uma grandeza com um padrão e expressar o resultado da comparação por 
meio de um número. 
O estudo das medidas e das relações entre elas, ou seja, das relações métricas, 
parece especialmente adequado para favorecer a aproximação entre as diversas 
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disciplinas, ou seja, a interdisciplinaridade, e mesmo a consideração de questões mais 
amplas do que as de natureza disciplinar, que ingressam no terreno da transdisciplina-
ridade. 
Uma vez que a ideia de número nasce tanto da contagem quanto da medida e 
que o estudo da Geometria certamente envolve relações métricas, as interconexões 
entre os três blocos temáticos: Números, Geometria, Relações, ocorrem quase que na-
turalmente. 
3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Funda-
mental 
Diferentemente da proposta apresentada no Currículo de Matemática da Rede 
Estadual de Ensino, a Base Nacional, propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas 
que orientam a formulação de habilidades a ser desenvolvidas ao longo do Ensino 
Fundamental. Cada uma delas pode receber ênfase diferente a depender do ano de 
escolarização, a saber, Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabili-
dade e Estatística. 
Na unidade temática Números, cuja finalidade é desenvolver o pensamento nu-
mérico, somos lembrados, também que: 
...No processo da construção da noção de número os alunos precisam 
desenvolver entre outras, as ideias de aproximação proporcionalidade, 
equivalência e ordem, noções fundamentais da Matemática. (MEC, 
2017, p. 266) 
Os autores, entendem que para a construção da noção de número, é importante 
que sejam propostas situações significativas com sucessivas ampliações dos campos 
numéricos, nas quais devam ser enfatizados os registros, a correta utilização de uma 
proposta de ensino, seus significados e as respetivas operações nos campos numéri-
cos. 
Algumas características essenciais para o desenvolvimento desta unidade temá-
tica, ainda são destacadas, como a “interdisciplinaridade interna” com outros temas: 
...Cabe ainda destacar que o desenvolvimento do pensamento numé-
rico não se completa, evidentemente, apenas com objetos de estudos 
13 
 
na unidade Números. Esse pensamento é ampliado e aprofundado 
quando se discutem situações que envolvem conteúdo das demais uni-
dades temáticas: Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabi-
lidade e estatística. (MEC, 2017, p. 267) 
Na unidade temática Álgebra, os autores propõem a iniciação do raciocínio al-
gébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com as ideias de regularidade, gene-
ralização de padrões e propriedades da igualdade, salientando que nesta fase não se 
propõe o uso de letras. 
Para os Anos Finais, os estudos deste tema devem retomar, aprofundar e am-
pliar o que foi trabalhado nos anos iniciais, de tal modo que ao final do Ensino Funda-
mental, os estudantes devam compreender os diferentes significados das variáveis nu-
méricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, in-
vestigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em 
uma sequência algébrica e estabelecer as conexões entre variável e função e entre 
incógnita e equação. Lembrando que: 
As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano 
cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de represen-
tar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de 
estudo em si mesmos. (MEC, 2017, p. 269) 
Um fator em que se pode atrelar algum aspecto computacional no tema Álge-
bra, seria a importância dos algoritmos que podem ser utilizados nas aulas de Mate-
mática. Salienta-se que um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que 
permite resolver um determinado problema, decompondo um procedimento com-
plexo em partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser represen-
tado graficamente por um fluxograma, enfim os autores destacam que: 
... A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem 
algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habili-
dade relativa à Álgebra que mantém estreita relação com o pensa-
mento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer 
generalizações, propriedades e algoritmos. (MEC, 2017, p. 269) 
O ensino de Geometria nos anos finais, também como em outros temas conso-
lida e amplia as aprendizagens da etapa anterior de estudos, as expectativas referentes 
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aos anos finais, enfatizam o desenvolvimento do conhecimento geométrico relativos à 
Geometria plana, nas quais os estudantes, aprofundam os procedimentos relativos às 
transformações, ampliações/reduções de figuras planas, e que saibam aplicar esses e 
outros conhecimentos para realizar demonstrações simples. Assim, conforme a opinião 
dos autores: 
Assim a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de fór-
mulas de cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas ime-
diatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em situações 
relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do 
teorema de Pitágoras. (MEC, 2017, p. 270) 
E finalmente, o mais importante, o ensino da Geometria deverá proporcionar o 
desenvolvimento do raciocínio hipotético dedutivo. 
No que se refere ao eixo Grandezas e Medidas, o documento enfatiza que o 
reconhecimento das grandezas associadas às figuras geométricas auxilie os estudantes 
a resolver problemasenvolvendo essas grandezas com o uso de unidades de medida 
padronizadas mais usuais. Além disso espera-se o estabelecimento de relações entre 
tais grandezas com as grandezas não geométricas, como; densidade, velocidade, ener-
gia, potência, entre outras e finalmente desenvolver a formulação de expressões de 
cálculo de áreas de figuras planas e volume de poliedros, especialmente os prismas. 
Por último, temos o tema Probabilidade e estatística, a expectativa é que os alu-
nos saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas descritivas, inclu-
indo medidas de tendência central e construção de tabelas e diversos tipos de gráfico. 
Encerrando este tópico, cabe ressaltar que a escolha destas unidades temáticas, 
não é uma regra a ser seguida para o desenho dos currículos, pois esta divisão serve 
tão somente para facilitar a compreensão dos conjuntos de habilidades e de como elas 
se inter-relacionam no componente curricular propriamente dito e com outras áreas 
de conhecimento, considerando a dualidade ferramenta-objeto, da aplicação da Ma-
temática. 
Desta forma, a Equipe Curricular de Matemática, entende que os eixos temáti-
cos: Números, Geometria e Relações, correspondem e inserem perfeitamente as cinco 
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unidades temáticas destacadas anteriormente, cuja tipologia e nomenclatura será ado-
tada neste guia de transição. 
3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamen-
tal, segundo a BNCC. 
A BNCC, entende que o desenvolvimento dos processos matemáticos, potenci-
alizam o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemá-
tico (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvi-
mento do pensamento computacional e assim, garantir o desenvolvimento de compe-
tências específicas, destacadas a seguir, conforme registro no documento oficial. 
 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e tecno-
lógicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive no mundo do trabalho. 
 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de 
produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos 
para compreender e atuar no mundo. 
 Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes cam-
pos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de 
outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de 
construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a 
perseverança na busca de soluções. 
 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presen-
tes nas práticas sociais e culturais de modo a investigar, organizar, representar e 
comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avalia-las crítica e etica-
mente, produzindo argumentos convincentes. 
 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais dis-
poníveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados. 
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 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações 
imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expres-
sar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e lingua-
gens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras 
linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 
 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de ur-
gência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, 
valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem pre-
conceitos de qualquer natureza. 
 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no 
planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos 
e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais 
ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar 
dos colegas e aprendendo com eles. 
Paralelamente, no Currículo Oficial, são indicadas as competências gerais em 
todas as áreas, especificamente no ensino da Matemática, as ideias centrais permeiam 
em todos os tópicos, e estas ideias sugerem centros de interesse como: equivalência, 
proporcionalidade, medida, aproximação, problematização, otimização, entre outras, 
nas quais buscam construir uma ponte que conduza dos conteúdos às competências 
pessoais: 
 capacidade de expressão, que pode ser avaliada por meio da produção de re-
gistros de relatórios, de trabalhos orais e/ou escritos. 
 capacidade de compreensão, de elaboração de resumos, de sínteses, de mapas, 
da explicação de algoritmos etc.; 
 capacidade de argumentação, de construção de análises; justificativas de pro-
cedimentos, demonstrações etc.; 
 capacidade propositiva, de ir além dos diagnósticos e intervir na realidade de 
modo responsável e solidário; 
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 capacidade de contextualizar, de estabelecer relações entre os conceitos e teo-
rias estudados e as situações que lhes dão vida e consistência; 
 capacidade de abstrair, de imaginar situações fictícias, de projetar situações 
ainda não existentes. 
4- Organização das grades curriculares. 
Tendo em mente as ponderações anteriores, apresentamos uma grade curricular 
para a transição do material de apoio do Currículo do Estado de São Paulo, contendo 
os temas, a descrição das habilidades do Currículo Oficial de Matemática e sua respec-
tiva relação com o Currículo Paulista, além de algumas orientações pedagógicas, para 
os quatro anos finais do Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e 
inflexível. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, gran-
dezas e medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios 
que fundamentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as com-
petências pessoais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do 
trabalho, a caracterização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, 
mas que também aprende com as circunstâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso 
ter em mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente 
ocorra. As disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos 
conteúdos é que eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvol-
vimento de competências pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compre-
ensão, de argumentação etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desen-
volvidas pelos estudantes em cada unidade tem. Tais habilidades traduzem, de modo 
operacional, as ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um 
determinado estágio de aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos cur-
riculares listados. 
18 
 
4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
 
 Números 
naturais. 
 
o Característi-
cas do Sis-
tema de Nu-
meração De-
cimal, bases 
e valor posi-
cional. 
 
 
 
 
 
Compreender as prin-
cipais características 
do sistema decimal; 
significado da base e 
do valor posicional. 
 Números 
 
 Sistema de 
numeração 
decimal: ca-
racterísti-
cas, leitura, 
escrita e 
compara-
ção de nú-
meros na-
turais e de 
números 
racionais 
representa-
dos na 
forma deci-
mal. 
(EF06MA02) Reconhe-
cer o sistema de nume-
ração decimal como 
fruto de um processo 
histórico, percebendo 
semelhanças e diferen-
ças com outros siste-
masde numeração, de 
modo a sistematizar 
suas principais caracte-
rísticas (base, valor po-
sicional e função do 
zero), utilizando, inclu-
sive, a composição e 
decomposição de nú-
meros naturais e núme-
ros racionais em sua re-
presentação decimal. 
 
19 
 
4.1.1 Sistema de Numeração Decimal 
O desenvolvimento desta habilidade deve ser tratado inicialmente por meio de 
uma retomada de conceitos que foram ou não adquiridos na etapa anterior de estudos, 
prevalecendo assim o caráter diagnóstico da habilidade em questão. 
Para uma sondagem inicial sugere-se a diagnose1 da capacidade cognitiva do 
estudante em se realizar agrupamentos, desta forma sugerimos a utilização das ativi-
dades denominadas: “Contando de diferentes maneiras” da Situação de Aprendizagem 
1, vol. 1, 6º Ano, p. 10 a 13, ed. 2014-2017, e finalizando o tópico com a atividade: 
“Aprendendo com a experimentação” p. 13 a 15, deste mesmo volume. 
Lembrando que neste momento não será necessária a revisita dos procedimen-
tos relativos ao quadro de valor-posição, pois, esta atividade trata de uma sondagem 
dos conhecimentos básicos dos alunos. 
Para aprofundamento dos saberes relativos a este tema disponibilizamos o link 
do artigo: “Sentido de número na infância: uma interconexão dinâmica entre conceitos 
e procedimentos” – Barbosa H. H. J. (2007), disponível em: http://www.sci-
elo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf, acesso em 04/05/2018. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do trabalho com a habilidade descrita, espera-se que os alunos tenham 
ampliado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal que servirá de base 
para a continuidade de seus estudos em cada unidade temática. 
Desta forma, elencamos os conceitos essenciais descritos para a habilidade 
mencionada: 
 Compreender o funcionamento dos processos de contagem em diferentes ba-
ses, com ênfase na base dez; 
 
1 Descrição ou identificação da razão do problema numa certa circunstância. 
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf
20 
 
 Saber decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de 
acordo com o seu valor posicional. 
Orientação para recuperação 
Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente 
atingidas pela maioria dos estudantes, o professor poderá utilizar uma das aulas, para 
sistematizar novamente os tópicos relativos à habilidade, utilizando, por exemplo, a 
atividade denominada: Aprendendo com a experimentação, descrita na atividade 1 do 
Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo (2014), 6º ano, Vol. 1, p. 13 e 
14. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+2 bem como as Aventuras do Currículo +3 e as atividades Currículo +4, relativos ao 
conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 
06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curricu-
lomais/ (Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso 
em 06/12/2018) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
3 Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
4 Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
21 
 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números e 
operações. 
 
 Números 
naturais. 
 
 Múltiplo e 
divisores, 
Números 
Primos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecer as carac-
terísticas e proprie-
dades dos números 
naturais: signifi-
cado dos números 
primos, de múlti-
plos e divisores. 
 Números 
 
 Múltiplos e 
divisores de 
um número 
natural. 
 Números 
primos e 
compostos. 
 
 
 
(EF06MA05) Classificar nú-
meros naturais em primos e 
compostos, estabelecer re-
lações entre números, ex-
pressas pelos termos “é 
múltiplo de”, “é divisor de”, 
“é fator de”, e estabelecer, 
por meio de investigações, 
critérios de divisibilidade 
por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 
e 1000. 
(EF06MA06) Resolver e ela-
borar problemas que envol-
vam as ideias de múltiplo e 
de divisor, múltiplos e divi-
sores. 
 
22 
 
4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural 
Números Naturais e suas características 
A associação mais imediata dos números naturais é com a ideia de contagem, 
ou seja, um número natural serve para representar determinada quantidade, um con-
ceito que está implicitamente ligado ao princípio de cardinalidade e além disso, os 
números naturais são utilizados para ordenar e identificar elementos de um conjunto. 
No estudo dos números naturais é importante o conhecimento de seus princi-
pais subconjuntos: números pares, ímpares, primos, múltiplos e divisores. Existem di-
ferentes maneiras de se explorar os conteúdos indicados, destacamos aqui a possibili-
dade para explorar a ideia de múltiplo através da observação/identificação de padrões 
em sequências numéricas. 
Partindo do pressuposto de que os alunos já conhecem as sequências dos nú-
meros naturais (0, 1, 2, 3,...), dos números pares (0, 2, 4,...) e dos números ímpares (1, 3, 
5,...), eles podem ser apresentados a sequências numéricas diferentes, em que tenham 
de descobrir o padrão de formação. Por exemplo, as sequências aditivas específicas, 
que se iniciem a partir do número 0, tal como (0, 6, 12, 18, 24, 30,...), que nada mais são 
do que a sequência dos múltiplos de um número natural. 
Da sequência dos múltiplos de um número natural, podemos ampliar para ou-
tros tópicos/conceitos fundamentais incluindo múltiplos comuns de dois números na-
turais, que implica também na obtenção do menor (mínimo) múltiplo comum. 
Um conceito que está estritamente ligado à ideia de múltiplo é o divisor de um 
determinado número, ou seja, se um número a é múltiplo de um número b, então b é 
divisor de a, sendo b≠0. 
Desta noção básica, surge a questão da divisibilidade de um número por outro 
e, consequentemente, na comparação entre os divisores de dois números surge a 
questão de se estabelecer o maior (máximo) divisor comum entre eles. 
23 
 
Por último, os critérios de divisibilidade permitem a iniciação dos estudos refe-
rentes à formação do conceito de número primo e de um processo em que irá subsidiar 
os assuntos posteriores, a decomposição de um número qualquer em fatores primos. 
As atividades referentes a este assunto podem ser inicializadas destacando a 
exploração da identificação de sequências numéricas, com o intuito de se identificar o 
seu padrão de formação, por meio de sequências aditivas e multiplicativas. Por exem-
plo, a partir de uma sequência de cinco números, estabelecer outros números desta 
sequência (vide atividade 1 Situação de Aprendizagem 2: “Explorando os Números Na-
turais”, vol. 1, 6º Ano, p. 25 e 26, ed. 2014-2017). Da mesma forma, podemos iniciar o 
estudo da sequência dos múltiplos e dos múltiplos comuns, utilizando as atividades 4, 
5 e 6 do caderno citado anteriormente, p. 27 e 28, assim como sugerimos os exercícios 
7 e 8, p. 30 e 31, para as atividades de divisores. 
Considerações sobre a avaliação 
No decorrer dos trabalhos referentes à habilidade descrita, a expectativa é a de 
que os alunos tenham ampliado seu conhecimento com relaçãoaos principais conte-
údos relacionados aos números naturais: múltiplos e divisores de um número natural, 
mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, divisibilidade, números primos e 
decomposição em fatores. Alguns desses conteúdos possivelmente foram desenvolvi-
dos nos anos iniciais do Ensino Fundamental, já no 6º ano tais conhecimentos serão 
aprofundados e consolidados, de forma a viabilizar a posterior ampliação do campo 
numérico com a introdução das operações com números fracionários. 
A avaliação da aprendizagem deve ser realizada de forma contínua pelo profes-
sor, por meio de situações-problema ou atividades nas quais verifique os conceitos 
fundamentais a seguir: 
 Reconhecer regularidades em sequências numéricas aditivas e multiplicativas; 
 Resolver situações-problema envolvendo os conceitos de múltiplo e divisor co-
mum. 
24 
 
Orientação para Recuperação 
Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente 
atingidas pelos estudantes, o professor poderá utilizar algumas aulas para retomar os 
conteúdos estudados, ou no início de cada aula revisitar alguns conceitos desta habi-
lidade, procurando mostrar as articulações entre eles. Neste caso, referenciar que as 
ideias de múltiplos e divisores estão diretamente ligadas, pois um número somente é 
divisível por outro se o primeiro for múltiplo do segundo. Outra possibilidade é desta-
car que a decomposição de um número em fatores envolve dois conceitos estudados: 
os números primos e a potenciação. Após esta retomada, é possível propor aos alunos 
que refaçam algumas atividades já realizadas ou a proposição de outras atividades, por 
exemplo, o jogo “Brincando com Divisores e Múltiplos” (disponível em: http://www.ibi-
lce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-
matematica/6-ao-9-ano/). Nesse percurso, pode-se observar o movimento da apren-
dizagem dos alunos com relação às expectativas de aprendizagem já definidas. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+5 bem como as Aventuras do Currículo +6 e as atividades Currículo +7, relativos ao 
conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 
06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curricu-
lomais/ (Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso 
em 06/12/2018) 
 
 
 
5 Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
6 Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
7 Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
25 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números e 
operações. 
 
 Números na-
turais. 
o Operações bá-
sicas (+, –, ∙, ÷) 
o Introdução 
às potências. 
 
Saber realizar 
operações com 
números natu-
rais de modo 
significativo 
(adição, subtra-
ção, multiplica-
ção, divisão, po-
tenciação). 
 Números 
 
 Operações 
(adição, 
subtração, 
multiplica-
ção, divi-
são e po-
tenciação). 
 
(EF06MA03) Solucionar e 
propor problemas que en-
volvam cálculos (mentais ou 
escritos, exatos ou aproxi-
mados) com números natu-
rais, por meio de estratégias 
pessoais, com compreensão 
dos processos neles envolvi-
dos com e sem uso de cal-
culadora. 
 
 
4.1.3 Operações com Números Naturais 
Para que o aluno realize operações com números naturais de modo significativo 
é necessário enfatizar o trabalho com situações-problema, que envolvam as estruturas 
aditivas e/ou multiplicativas e possam ser resolvidos por meio de diferentes estraté-
gias, ao invés de utilizar regras para a resolução ou possíveis algoritmos operacionais. 
Considerações sobre avaliação 
Quanto aos conceitos estabelecidos para a habilidade, esperamos que os alunos 
tenham ampliado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal e também 
sobre as quatro operações aritméticas básicas, nas quais podemos destacar os seguin-
tes conceitos essenciais: 
Resolver situações-problema envolvendo as quatro operações básicas e as relações 
de igualdade; 
Desenvolver procedimentos de cálculo mental (exato ou aproximado). 
Considerações sobre recuperação 
Com relação às operações básicas, deve-se retomar com os alunos o significado 
das quatro operações por meio de situações-problema. Compreender a ideia associ-
ada a cada operação é de fundamental importância para a resolução de problemas, 
26 
 
relativos ao campo aditivo e/ou multiplicativo, que propiciam condições para que os 
alunos ampliem seus conhecimentos. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as Aventuras do Currículo +, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, 
seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (acesso em 
06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curricu-
lomais/ (acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (acesso em 
06/12/2018) 
 
27 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números e 
operações. 
 
 Frações 
o Represen-
tação; 
o Compara-
ção e ordena-
ção; 
o Operações. 
Saber realizar 
operações com 
números natu-
rais de modo 
significativo 
(adição, subtra-
ção, multiplica-
ção, divisão, po-
tenciação). 
 Números 
 
 Operações 
(adição, 
subtração, 
multiplica-
ção, divi-
são e po-
tenciação). 
 
(EF07MA08) Ler, compre-
ender, comparar e ordenar 
frações associadas às ideias 
de partes de inteiros, resul-
tado da divisão, razão e 
operador. 
 
 
4.2.3 Frações e seus significados 
Entendemos que no 6º ano do Ensino Fundamental, a ideia de fração deva ser 
ampliada ou potencializada, relacionando-os com a ampliação do conjunto dos núme-
ros racionais, com a introdução dos números racionais positivos e negativos. 
Historicamente, a ideia ou conceito de fração é apresentada com o significado 
de parte de um todo, de acordo com a representação a
b
 , com a e b naturais e b ≠ 0. 
Esta apresentação encoraja os alunos a empregar apenas um tipo de procedimento de 
contagem dupla, ou seja, quando um número racional tem este significado, representa 
a comparação entre o número de partes consideradas e o número total de partes que 
constituem o todo. 
Porém os números racionais, neste caso, apenas os positivos, além da relação 
parte-todo, eles podem assumir diferentes significados, a saber: número, relação parte-
todo, medida, quociente e operador multiplicativo, conforme destacaremos a seguir: 
Número: Neste caso, a ideia remete a representação a
b
 , com b≠0, aqui não são 
consideradas as comparações relativas a dois estados, referentes às quantidades 
28 
 
específicas, que neste sentido não podem ser classificadas como discretas ou contí-
nuas. Aqui o fator preponderante é a leitura •propriamente dita deste “número”, que 
aqui denomina-se como fração, suas características, como a nomenclatura, a represen-
tação na reta numerada, reconhecendo que a fração não é uma superposição de dois 
números naturais, pois este sempre estará entre dois números naturais, pode-se con-
jecturar que as operações neste campo numérico, iniciam-se a partir desta significação 
Relação parte-todo: Este significado é um dos procedimentos cognitivos mais 
utilizados para o conceito de fração, que consiste na partição de um todo (contínuo ou 
discreto) em partes iguais e que cadaparte pode ser representada como 1
n
 , podemos 
considerar, a utilização deste “raciocínio” apenas em situações estáticas, pois, esse pro-
cedimento consiste no estabelecimento em “contar” quantas partes o todo foi dividido 
(denominador) e o número de partes tomadas (numerador), daí a concepção de dupla 
contagem. 
Medida: Aqui a ideia fundamental relativa às frações é a de comparação entre 
duas grandezas, que pode ser interpretada como a ideia de dividirmos uma unidade 
em partes iguais (unidades), e verificarmos quantas partes caberão naquele que se quer 
medir. O significado de fração como medida pode favorecer o entendimento do con-
ceito de razão, utilizados em vários contextos, como: probabilidade de um evento, por-
centagens, escalas, etc. 
Quociente: Esta situação remete a ideia da relação existente entre a relação in-
versa do divisor e o quociente, ou seja, quanto maior o denominador, menor será a 
parte a ser considerada e possibilita o entendimento relativo à equivalência de frações. 
Operador multiplicativo: O olhar para esta significação de fração está ligado a 
ideia de uma fração a
b
 que opera sobre uma quantidade, por exemplo 2
3
 de 18, ou um 
terço da terça parte de um segmento. 
Finalmente, o motivo de se apresentar esta proposta de abordagem destes 
cinco significados, remete a possibilidade de suprir a lacuna de aprendizagem refe-
rente ao reconhecimento de uma fração apenas à relação parte-todo, apontando-se 
29 
 
para a necessidade na elaboração, desenvolvimento, experimentação e análise de 
abordagens de ensino que tragam os outros significados do número racional. 
Após o reconhecimento ou representação de uma fração, o próximo assunto 
refere-se à sua operacionalização, e neste sentido o conceito de equivalência de fra-
ções será importante, e o significado de fração como um número, está intimamente 
ligado à equivalência entre as frações a serem comparadas. 
Neste sentido, uma das ideias é que os denominadores constituem o referencial 
de equivalência que permite realizar uma operação entre frações como se fosse uma 
operação entre números inteiros. 
Esta abordagem pode ser encontrada no Material de Apoio ao Currículo, 7º ano, 
vol. 1, Situação de Aprendizagem 2, pg. 23 a 27. 
Para aprofundamento dos saberes relativos a este tema disponibilizamos o link 
do artigo: “As Operações com Números Racionais e seus Significados a partir da Con-
cepção Parte-todo ” – Ferreira da Silva, Maria José, Ag Almouloud, Saddo . (2008), dis-
ponível em: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=291221883005, acesso em 
12/11/2018. 
 
30 
 
4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
 
 
4.2.1 Números inteiros 
A apresentação dos inteiros negativos deve ser efetuada por meio de contextos 
reais ou históricos. Exemplos estes que são comumente encontrados em diversos ma-
teriais didáticos, porém com um certo cuidado na abordagem dos mesmos. 
Uma ideia que também deve ficar clara é a de que os inteiros negativos podem 
ser conceituados a partir da ideia de simetria em relação dos inteiros positivos na reta 
numerada. 
Um desafio didático a ser considerado, consiste no fato de que, em determinado 
estágio de aprendizagem, no caso do conjunto dos números naturais o sinal de “me-
nos” indica a operação de subtração, por exemplo: 5 – 3 = 2. Tratando-se do conjunto 
dos números inteiros, o aluno deverá compreender que o sinal à esquerda do número 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
 
 
o Números 
negativos 
 
 Repre-
sentação; 
 Opera-
ções. 
 
Compreender o signi-
ficado dos números 
negativos em situa-
ções concretas, bem 
como das operações 
com negativos. 
Saber realizar de 
modo significativo as 
operações de adição, 
subtração, multiplica-
ção e divisão de nú-
meros negativos. 
 Números 
 
 Números 
inteiros: 
usos, histó-
ria, ordena-
ção, associ-
ação com 
pontos da 
reta numé-
rica e ope-
rações. 
 
 
 
 
(EF07MA03) Ler, com-
parar e ordenar números 
inteiros em diferentes 
contextos, incluindo o 
histórico, associá-los a 
pontos da reta numérica 
e utilizá-los em situações 
que envolvam adição e 
subtração. 
 
(EF07MA04) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema que envolvam 
operações com números 
inteiros. 
31 
 
equivale ao “sinal do número” que deverá ser considerado na ocasião de se realizar a 
operação. 
Exemplo: 5 –3 ⇔ 5 + (–3) 
Considerações sobre a avaliação 
O trabalho com números negativos certamente deverá ser retomado pelo pro-
fessor ao longo do ano em outros momentos para que haja fixação de conceitos por 
parte do aluno, bem como para que se desenvolva a destreza no cálculo com negati-
vos. No momento em que o assunto é introduzido, o professor deve minimizar o foco 
de sua avaliação de extensas expressões numéricas envolvendo números negativos, e 
maximizar o reconhecimento da linguagem e uso correto da escrita. A partir da com-
preensão da relação existente entre a escrita das operações com negativos e o seu 
cálculo formal, o caminho para a aprendizagem se torna mais tranquilo. 
Orientação para Recuperação 
Como orientação geral para o restabelecimento das aprendizagens não estabe-
lecidas relativas a este tópico, consiste na realização de pesquisas em jornais e revistas 
de infográficos nas quais constam números negativos, como abordam os gráficos da 
atividade 3 do Material de Apoio ao Currículo, Caderno do Professor, pag. 36 e 37, Vol. 
1 do 7º ano do Ensino Fundamental. Para atividades dessa natureza, o aluno poderá 
ser orientado de duas maneiras: 
 Localizar material em que apareçam números negativos; 
 Registrar com suas palavras o que compreendeu sobre os números e a informa-
ção a que se referem. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta 
seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
32 
 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
33 
 
 
 
 
4.2.2 Representação fracionária e decimal/operações 
Quando nos referimos aos números racionais, pensamos em duas questões in-
dagadoras: 
 Qual a diferença entre uma fração e a razão entre dois números quaisquer? 
 Qual é a diferença entre uma fração e um número racional? 
Com referência a primeira questão, é muito comum associarmos a representa-
ção a
b
 , com b≠0 ao resultado da divisão de a por b e chamarmos o símbolo a
b
 de fração, 
mesmo que a e b não sejam inteiros. 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
 
 Números 
racionais 
 
o Repre-
sentação 
fracioná-
ria e deci-
mal; 
o Opera-
ções com 
decimais 
e frações 
(comple-
mentos) 
 
Compreender a rela-
ção entre um fração e 
a representação deci-
mal de um número, 
sabendo realizar de 
modo significativo as 
operações de adição, 
subtração, multiplica-
ção e divisão com de-
cimais. 
Saber realizar de 
modo significativo as 
operações de adição 
subtração multiplica-
ção e divisão de fra-
ções, compreendendo 
o significado das ope-
rações realizadas. 
 
 Números 
 
 Números 
racionais na 
representa-
ção fracio-
nária e na 
decimal: 
usos, orde-
nação e as-
sociação 
com pontos 
da reta nu-
mérica e 
operações. 
 
 
 
 
 
(EF07MA10) Ler, com-
parar e ordenar números 
racionais em diferentes 
contextos e associá-los a 
pontos da reta numérica. 
(EF07MA11) Compre-
ender e utilizar a multi-
plicação e a divisão de 
números racionais, a re-
lação entre elas e suas 
propriedades operató-
rias. 
(EF07MA12) Resolver e 
elaborarsituações-pro-
blema que envolvam as 
operações com números 
racionais. 
34 
 
Neste sentido, define-se fração como a razão entre dois números inteiros. No 
entanto, quando falamos de frações como 1, 2
3
, 5, ou, então, x
y
 , em que x e y represen-
tam grandezas quaisquer, estamos usando a palavra “fração” em sentido figurado. 
Resumindo, podemos dizer que um número racional sempre representa uma 
classe de frações equivalentes. Assim como o número natural 5 representa o que há 
de comum entre todos os conjuntos que podem ser colocados em correspondência 
biunívoca com os dedos de uma mão, um número racional representa o que há de 
comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade. As frações 
3
5
 , 0,6 e 9
15
 são diferentes, embora equivalentes, portanto eles são as diferentes repre-
sentações do mesmo número racional. 
Embora cada número racional esteja associado a um ponto da reta, a recíproca 
aqui não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não se esgotam com os números raci-
onais. Como sabemos, existem pontos da reta que serão associados aos números irra-
cionais, dando ao conjunto real a qualidade de continuidade que é atribuída à reta. 
A localização dos números racionais na reta permite que se façam algumas con-
siderações lógicas sobre propriedades fundamentais que diferenciam os campos nu-
méricos. Uma dessas ideias se refere à possibilidade da determinação do sucessor de 
um número. 
A todo número inteiro, seja positivo, negativo ou zero, podemos determinar seu 
sucessor e antecessor. Mas pensemos agora nos números racionais: quem é o sucessor 
de 1
2
 ou de 0,53? Como vemos, não existem sucessores de números racionais. 
Outra ideia simples que pode ser discutida é a de que, dados dois números 
inteiros, podemos determinar que a quantidade de números inteiros entre eles é sem-
pre finita e determinada. Por exemplo, entre –5 e 3 existem sete números inteiros {–4, 
–3, –2, –1, 0, 1, 2}. E com os racionais, como isso se dá? Considere os números racionais 
1
3
 e 1
2
 : quantos racionais existem entre eles? 
Sabemos que pelo menos um existe: o número médio entre eles, isto é: 
35 
 
1
3 +
1
2
2 = 
5
6
2 = 
5
12 
Com relação aos números 1
3
 e 5
12
 , podemos novamente determinar o número 
que está entre eles: 
Logo, o número encontrado também está entre 1
3
 e 1
2
 . 
Pensando dessa forma, podemos admitir que sempre haverá um número racio-
nal entre dois racionais, e que a esse será associado um ponto na reta. Esse fato permite 
dizer que, entre dois números racionais, existem infinitos números racionais. 
Todo conjunto no qual existe uma infinidade de elementos do mesmo conjunto 
entre dois quaisquer de seus elementos é chamado de conjunto denso. 
Finalmente, é curioso notar que o conjunto dos números racionais é denso sem 
ser contínuo. Como dissemos, embora entre dois números racionais quaisquer sempre 
haja uma infinidade de números racionais, uma vez que ele é denso, o conjunto dos 
números racionais não completa a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade é 
uma qualidade exclusiva do conjunto dos números reais, quando cada ponto da reta – 
imagem associada à continuidade – corresponderá a um número real, seja racional ou 
irracional. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do 7º ano espera-se que o aluno saiba realizar isoladamente as quatro 
operações com decimais e com frações e saiba resolver expressões numéricas simples 
envolvendo decimais e frações. Também faz parte das expectativas de aprendizagem 
que ele saiba ler e interpretar informações na forma de frações ou decimais em textos, 
sejam eles problemas de Matemática, artigos de jornais, revistas, textos dos livros de 
outros componentes curriculares, não apenas da área de Matemática. 
Orientação para a recuperação 
Como orientação geral para a recuperação da aprendizagem dos alunos que 
não atingiram as expectativas, recomendamos que o professor organize trabalhos e 
atividades para serem realizadas em duplas ou trios de trabalhos. Para a elaboração de 
36 
 
atividades, recomendamos que o professor procure diversificar o tipo de enunciado, o 
uso de figuras e o grau de dificuldade. Essas poderão ser montadas com o apoio de 
livros didáticos, de preferência o indicado pela Unidade Escolar no Programa Nacional 
do Livro e do Material Didático (PNLD). 
Neste sentido, sugere-se a atividade denominada como desafio, constante nas 
páginas 30 e 31, do Vol. 1, 7º ano, Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Caderno do Professor. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta 
seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
 
o Potencia-
ção e radi-
ciação 
 
 Princípio 
multipli-
cativo da 
conta-
gem. 
 
 Proprie-
dades 
para ex-
poentes 
inteiros. 
 Proprie-
dades 
para ex-
poentes 
fracioná-
rios. 
Compreender a utili-
dade do uso da lin-
guagem das potências 
para representar nú-
meros muito grandes 
e muito pequenos. 
Conhecer as proprie-
dades das potências e 
saber realizar de modo 
significativo as opera-
ções com potências 
(expoentes inteiros). 
 Números. 
 
 O princípio 
multiplica-
tivo da con-
tagem. 
 
 Potencia-
ção e radi-
ciação. 
 
 
 
(EF08MA03) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema de contagem cuja 
resolução envolve a apli-
cação do princípio multi-
plicativo. 
(EF08MA02) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema usando a relação 
entre potenciação e radi-
ciação, para representar 
uma raiz como potência 
de expoente fracionário. 
 
4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação 
Da mesma forma que, dentre as várias maneiras de se pensar a multiplicação 
como a soma de parcelas repetidas, podemos entender este raciocínio para a poten-
ciação como o produto de fatores repetidos, na qual podemos em alguns casos espe-
cíficos reportar ao Princípio Fundamental da Contagem, ou simplesmente Princípio 
Multiplicativo, que é definido da seguinte maneira: “Se eventos A1, A2, A3 ... An puderem 
38 
 
ocorrer respectivamente, a1, a2, a3 ... e se A1, A2, A3 ... An, forem todos eventos indepen-
dentes entre si, então a quantidade de maneiras distintas em que os n eventos ocorrem 
simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é dada pelo produto: 
a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ ⋯ ∙an 
Um caso prototípico desta aplicação pode ser apresentado da seguinte maneira: 
“SEJA UM RETÂNGULO DIVIDIDO EM QUATRO COLUNAS, QUE DEVEM SER COLORIDAS DISTINTA-
MENTE POR TRÊS CORES, SENDO QUE, CADA COLUNA DEVE SER COLORIDA COM UMA DAS TRÊS CORES, 
MAS AS CORES NÃO PODEM SER ADJACENTES UMA DAS OUTRAS OU SEJA, DE QUANTAS MANEIRAS DIFE-
RENTES É POSSÍVEL PINTAR ESTE RETÂNGULO? 
 Ao estabelecer os procedimentos constata-se que o cálculo poderá ser estabe-
lecido da seguinte maneira: 
3 ∙ 23 = 24 
No que diz respeito ao estudo das potências, no 6º ano, os alunos foram apre-
sentados ao assunto por meio das potências de base inteira e expoente natural. No 8º 
ano, a ideia de potência deverá ser ampliada pelo uso de expoentes naturais e pela 
discussão das principais propriedades operatórias das potências. 
Sem perder a generalidade do assunto, a radiciação pode ser entendida como 
a operação inversa da potenciação. 
Considerações sobre a avaliação 
O objetivo específico da apresentação deste tópicorefere-se à exclusividade da 
apresentação do Princípio Multiplicativo da Contagem e sua ligação com o conceito 
de potência de um número, neste sentido é importante que o trabalho referente a este 
assunto seja avaliado com base em problemas contextualizados. Tais problemas po-
dem ser tanto os utilizados em sala de aula e criados pelos alunos. 
 
39 
 
Orientação para a recuperação 
De modo geral, a avaliação de aprendizagem dever ser um processo contínuo, 
realizado durante toda a etapa de aprendizagem do aluno, sendo assim o professor 
deve estar atento para eventuais dificuldades que são comuns no trato com os alunos. 
Essa observação é fundamental para que se fundamente e aplique atividades de recu-
peração nas quais ajudem o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na 
realização das atividades. 
Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresen-
tada pelos alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior ou se está ligada 
à especificidade de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discus-
são de uma atividade exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante 
proveitosa, consistindo em uma boa estratégia de recuperação das aprendizagens. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o profes-
sor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Cur-
rículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
40 
 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números 
 
 Dízimas 
periódicas 
e fração 
geratriz. 
Conhecer as condi-
ções que fazem com 
que uma razão entre 
inteiros possa se ex-
pressar por meio de 
dízimas periódicas; 
saber calcular a gera-
triz de uma dízima. 
 Números. 
 
 Dízimas 
periódicas 
e fração 
geratriz. 
 
 
 
 
(EF08MA05) Reconhecer 
e utilizar procedimentos 
para a obtenção de uma 
fração geratriz para uma 
dízima periódica. 
 
4.3.2 – Dízimas periódicas e fração geratriz 
Nesta habilidade o ponto central a ser discutido refere-se ao fato de que toda 
fração irredutível possui uma representação decimal, a qual pode ser finita, infinita e 
periódica. Além da discussão sobre a obtenção das frações geratrizes, é importante a 
exploração da “previsão” do tipo de representação decimal de uma fração irredutível 
por meio de análises e estratégias de fatoração do seu denominador, isto é, quando o 
denominador é formado apenas pelos fatores primos 2 e 5, geram decimais exatos. 
Nesse processo, serão aprofundados tanto os conceitos relacionados às noções de 
múltiplos e divisores de um número natural como as regras de divisibilidade. 
O conteúdo acima, poderá ser encontrado, no Material de Apoio ao Currículo 
do Estado de São Paulo, Caderno do Professor, Situação de Aprendizagem 2: As dízi-
mas periódicas são previsíveis, Vol. 1, 8º ano, pg. 19 a 27, e também na Situação de 
Aprendizagem 2: Números racionais e sua escrita decimal, Vol. 1, 9º ano, pg. 29 a 38. 
Considerações sobre a avaliação 
Com o desenvolvimento deste conteúdo espera-se que os alunos compreen-
dam o campo dos números racionais como compostos por números cuja 
41 
 
representação decimal pode ser finita ou periódica e infinita. Tal definição dos números 
racionais é importante, pois será retomada na discussão sobre outro tipo de campo 
numérico, os irracionais. 
No caso das dízimas periódicas, a exploração das primeiras experiências com 
representações infinitas serviu de base para uma série de atividades com um sentido 
de investigação e pesquisa. Portanto, na avaliação, a exploração da curiosidade dos 
alunos, a prática de uma reflexão crítica diante de situações insólitas ou curiosas na 
escrita dos números, como são as dízimas, é muito mais relevante do que a mera fixa-
ção de regras operatórias para determinar as geratrizes. 
Orientações para a Recuperação 
Especificamente falando sobre o trato da obtenção da fração geratriz de uma 
dízima periódica, o professor pode retomar o método que utiliza o princípio da equi-
valência entre expressões numéricas (efetuando o produto de ambos os membros por 
potências de 10), ampliando-a com outros valores. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o profes-
sor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Cur-
rículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
 
 
42 
 
 
4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
o Números 
 
o Conjuntos 
numéri-
cos; 
o Números 
irracio-
nais; 
o Números 
Reais; 
o Potencia-
ção e radi-
ciação em 
ℝ; 
o Notação 
científica. 
 
 
 
 
 
 
Compreender a neces-
sidade das sucessivas 
ampliações dos con-
juntos numéricos, cul-
minando com os nú-
meros irracionais. 
Saber representar os 
números reais na reta 
numerada. 
Incorporar a ideia bá-
sica de que os núme-
ros irracionais so-
mente podem ser utili-
zados em contextos 
práticos por meio de 
suas aproximações ra-
cionais, sabendo cal-
cular a aproximação 
racional de um nú-
mero irracional. 
Saber realizar de 
modo significativo as 
operações de radicia-
ção e de potenciação 
com números reais. 
Compreender o signi-
ficado e saber utilizar a 
notação científica na 
representação de nú-
meros muito grandes 
ou muito pequenos. 
 Números 
 
 Necessi-
dade dos 
números 
reais para 
medir qual-
quer seg-
mento de 
reta. 
 Números ir-
racionais 
reconheci-
mento e lo-
calização 
de alguns 
na reta nu-
mérica. 
 Potências 
com expo-
entes nega-
tivos e fra-
cionários. 
 Números 
reais: nota-
ção cientí-
fica e pro-
blemas. 
(EF09MA01) Reconhe-
cer que uma vez fixada 
uma unidade de compri-
mento, existem segmen-
tos de reta cujo compri-
mento não é expresso 
por número racional 
(como as medidas de di-
agonais de um polígono 
e alturas de um triân-
gulo, quando se toma a 
medida de cada lado 
como unidade.) 
(EF09MA02) Reconhe-
cer um número irracional 
como um número real 
cuja representação deci-
mal é infinita e não pe-
riódica, e estimar a loca-
lização de alguns deles 
na reta numérica. 
(EF09MA03) Efetuar cál-
culos com números re-
ais, inclusive potências 
com expoentes fracioná-
rios. 
(EF09MA04) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema com números re-
ais, inclusive em notação 
científica, envolvendo di-
ferentes operações. 
43 
 
4.4.1 Dos naturais aos reais 
 Os conjuntos numéricos 
Ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental os alunos tiveram contato com 
diferentes conjuntos de números: naturais, frações, decimais, negativos, etc. O 9º ano 
é o momento ideal para se fazer uma síntese desses números, retomando seus signifi-
cados e organizando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos 
sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve 
ser dada à resolução de situações-problema e à representação por diagramas, e menos 
à linguagem simbólica, que será possivelmente desenvolvida ao longo do Ensino Mé-
dio. 
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na lingua-
gem formal e mais voltado para o desenvolvimento do pensamento lógico e a resolu-
ção de situações-problema. 
Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente,a ideia de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de conta-
gem de objetos, os números chamados naturais são suficientes para expressar resul-
tados e efetuar determinadas operações. 
Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade 
criaram diferentes necessidades de representação, implicando a criação de outras for-
mas de representação numérica; frações, decimais, números negativos, irracionais e 
imaginários. Cada tipo de número criado pelo homem ampliou não só a capacidade 
de representação, mas também as possibilidades de solução para diferentes proble-
mas. 
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas 
de representação numérica. Com os números naturais, puderam representar quantida-
des inteiras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações. Os 
números racionais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como 
44 
 
número decimal. As frações surgem para representar quantidades não inteiras, o re-
sultado de medidas, a relação entre a parte e o todo de determinado objeto ou con-
junto. 
Os números negativos são estudados no 7º ano, contradizendo a ideia de que 
os números só podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, no 9º ano 
surgem os números irracionais que representam as medidas de segmentos incomen-
suráveis, uma vez que elas não podem ser representadas na forma de uma fração entre 
dois inteiros. 
 Conjuntos numéricos e operações dos naturais aos racionais. 
No conjunto dos números naturais sempre podemos realizar as duas operações 
fundamentais: a adição e a multiplicação, ou seja, quaisquer que sejam a e b perten-
centes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a ∙ b será também um na-
tural. Dizemos então que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multipli-
cação. 
Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio 
dos naturais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois núme-
ros. Por exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natural. A subtração 
a – b só pode ser realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual 
a b. 
A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico 
para incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, 
além da adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número 
inteiro. Contudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a só pode resultar em um 
número inteiro se a for um fator de b. 
Assim de forma semelhante ao que aconteceu com a subtração, a criação dos 
números fracionários, na forma b
a
 (a e b inteiros, com a≠0), removeu os obstáculos para 
a operação de divisão, com exceção da divisão por zero. 
45 
 
Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos números racionais, que é fechado 
para adição, multiplicação, subtração e divisão. 
Assim, a ampliação do campo numérico dos naturais para os racionais possibi-
litou a criação de um conjunto cujos resultados das quatro operações aritméticas bá-
sicas podem ser obtidos sem restrições. 
 Dos racionais aos irracionais. 
Como vimos, os números racionais permitem expressar o resultado de um pro-
cesso de medida. 
Quando for possível expressar a medida de um segmento com base em outro 
por meio de uma fração ou número inteiro, dizemos que os segmentos são comensu-
ráveis. Em termos práticos, os números racionais podem expressar a medida de quais-
quer segmentos comensuráveis. 
Em termos teóricos, contudo, a questão deve ser ampliada. Nem toda medida 
pode ser expressa na forma de uma razão entre números inteiros. A descoberta da 
existência dos segmentos incomensuráveis foi um dos fatos mais surpreendentes da 
história da Matemática. Um dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade é 
a medida da diagonal do quadrado em relação ao lado, que foi atribuída aos pitagóri-
cos, na Grécia Antiga8. 
A existência de segmentos incomensuráveis implicou a criação de um conjunto 
complementar aos números racionais e que foi denominado irracionais. Entre os nú-
meros irracionais, encontram-se as raízes não exatas, como √3, √5, √12, √55 etc., e 
números como Pi (π) ou Fi (𝜙𝜙), chamados transcendentais ou transcendentes. De modo 
geral, todos os irracionais possuem uma representação decimal infinita e não perió-
dica. 
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais 
deu origem ao conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma 
 
8 No Material de Apoio ao Currículo, Caderno do Professor, 9º ano, Vol. 2, pg. 25, consta um 
detalhamento da situação apresentada. 
46 
 
propriedade importante, que será amplamente utilizada no prosseguimento dos estu-
dos. Para cada número real, é possível associar um único ponto de uma reta numérica. 
Assim, a reta real constitui um modelo para representação de todos os números reais, 
sejam eles racionais ou irracionais. 
Finalmente, é importante discutir com os alunos que, diferentemente do con-
junto dos racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição 
e multiplicação. Por exemplo, embora √3 + √5 seja irracional, o resultado de 
√3+�–√3� é zero, que é racional. Do mesmo modo, √3 ∙ √3 = √9 = 3, que também é 
racional. O conjunto dos irracionais também não é fechado para subtração e para di-
visão. Oportunizar momentos em que o aluno possa elaborar situações de própria au-
toria ou adaptações referentes ao tema. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do desenvolvimento das habilidades descritas no quadro, espera-se que 
os alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos numéricos, 
desde os números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para representar 
situações-problema envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto. Em 
relação aos conjuntos numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é 
a ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais aos racionais com base nas quatro 
operações básicas. E o segundo é a passagem dos racionais para os irracionais, com-
pondo o conjunto dos números reais. Estes dois aspectos devem ser bem trabalhados, 
pois constituirão uma base para o prosseguimento dos estudos no Ensino Médio, prin-
cipalmente no que se refere às funções. 
Orientação para a Recuperação 
Caso alguns alunos demonstrem dificuldade para compreender o significado 
dos conjuntos numéricos, recomendamos que se retome um pouco da história dos 
números, mostrando como esse tipo de representação evoluiu ao longo da história em 
47 
 
função das necessidades do homem: o surgimento dos números naturais como uma 
forma de representar a contagem de objetos ou ordenação; a necessidade de medida 
provocando o surgimento dos números fracionários (racionais); o desenvolvimento do 
comércio e das finanças, que demandou a utilização de números negativos para regis-
trar dívidas entre outros. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor 
poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo 
+ bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta 
seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curri-
culo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
Propor situações desafiadoras que extrapolem o conjunto numérico. Exemplo 
dos naturais propor: 5-7. Também situações problema do cotidiano. Exemplo extrato 
bancário, saldo de gol de campeonato de futebol, entre outros. 
 
48 
 
5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre 
 
6º ano do Ensino Fundamental 
Tema Habilidade 
Números  Compreender as principais características