prova1_2021_02 leonardo sebastian mendeli

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Instituto de Física – Departamento de Física
FIS01206 – Metcomp B – Prova 1
Nome:
Cartão:
INSTRUÇÕES:
1. Crie um programa nomeado prova1_seunome_seucartao no Google Colab (Python) e compartilhe o link comigo:
mendeli.v@gmail.com
OU
Crie um programa nomeado prova1_seunome_seucartao no repl.it (C) e compartilhe o link comigo:
usuário mendeli ou vainstein@if.ufrgs.br
2. Crie um diretório (pasta) no seu computador: seunome_seucartao
3. A prova é composta por 3 questões, 1 computacional e 2 de desenvolvimento no papel. Escreva o seu nome em todas as
folhas com contas à mão.
4. Se você tiver como escanear a prova e enviar um pdf, é o método ideal de entrga. Caso contrário, tire fotos das folhas da
resolução e as salve dentro do diretório (pasta): seunome_seucartao_pag1.jpg, seunome_seucartao_pag2.jpg, etc.
5. Compacte o diretório (pasta): seunome_seucartao.zip e envie este arquivo pelo Moodle.
1
joseh
Carimbo novo
1. Água escorre de um tanque cônico invertido através de um
orifício circular a uma taxa dada por
dx
dt
= −0,6πr2
√
2g
√
x
A(x)
, (1)
onde r é o raio do orifício, x é a altura do nível do líquido,
medida desde o vértice do cone, eA(x) é a área da superfície
do líquido quando este se encontra à altura x (corte transver-
sal do tanque a uma altura x). Suponha que r = 0,1 pé,
g = 32,1 pés/s2, a altura de água inicial é de 8 pés e que o
volume inicial de líquido no tanque é V0 = 512(π/3) pés3.
(a) Dado que o volume de um cone é
V =
π
3
R2h,
onde h é sua altura e R o seu raio à altura h, calcule R0 e A(x) usando o volume inicial V0. (à mão)
(b) Use o método de Euler modificado
k1 = f(tn, xn)
k2 = f(tn + h, xn + k1h)
xn+1 = xn +
h
2
(k1 + k2)
para calcular o nível de água após 10 min usando ∆t = h = 0,1 s. Preste atenção nas unidades de tempo. Resolva o
problema com um programa em C ou Python.
(c) Determine, com o mesmo programa, quantos minutos passarão até o tanque se esvaziar por completo.
(d) (PONTO EXTRA) Deduza a equação (1) levando em consideração a física do problema. Explique qualquer aproximação
e/ou suposição feita.
2
2. O problema de Kepler se refere à órbita circular de um corpo de massa m ao redor de um corpo de massa M , sob a ação da
força gravitacional de Newton, com m�M .
Para este problema, a segunda lei de Newton nos dá
m
d2~r
dt2
= −GMm
r2
r̂, (2)
onde
r̂ =
~r
r
é um vetor unitário que aponta do centro do corpo de massa M
para o centro do corpo de massa m.
(a) Escreva as duas equações de primeira ordem equivalentes à equação (2) na forma vetorial:
d~r
dt
= · · ·
d~v
dt
= · · ·
(b) Escreva as duas equações vetoriais para o método de Euler-Cromer:
~vn+1 = · · ·
~rn+1 = · · ·
(c) Prove que, para o problema de Kepler, o método de Euler-Cromer conserva o momentum angular (~L = ~r×~p, onde ~p = m~v)
de forma exata. Dica: calcule ~Ln+1 e relacione com ~Ln.
(d) Repita o item (b) para o método de Euler explícito e mostre o que ocorre neste caso com ~Ln+1.
3
3. Para resolver um problema de valor inicial
dx
dt
= f(t, x), x(0) = x0,
é proposto um método obtido ao adicionar informação do passo anterior ao método de Euler implícito:
xn+1 = αxn + βxn−1 + h δf(tn+1, xn+1). (3)
Determine α, β e δ que minimizam o erro deste método, seguindo os passos abaixo.
(a) Escreva as séries de Taylor de xn−1 = x(tn − h) e xn+1 = x(tn + h) em função de
xn ≡ x(tn), fn ≡ f(tn, xn), f ′n ≡
df
dt
∣∣∣∣
(tn,xn)
e f ′′n ≡
d2f
dt2
∣∣∣∣
(tn,xn)
.
(b) Faça a expansão de f(tn+1, xn+1), usando o que você obteve no item (a), tn+1 = tn + h e
f(x+ ∆x, y + ∆y) = f(x, y) +
∂f
∂x
∆x+
∂f
∂y
∆y + · · ·
Lembre-se que
d
dt
f(t, x(t)) =
∂f
∂t
+ f
∂f
∂x
.
(c) Use os resultados de (a) e (b) para reescrever o lado direito da equação (3) agrupando os termos de acordo com a potência
de h.
(d) Determine α, β e δ para que a expressão acima tenha o maior número de termos iguais aos da série de Taylor de xn+1.
(e) Reescreva a equação (3) com os valores das constantes obtidos.
4